2024年中考数学复习（全国版）第27讲 与圆有关的位置关系（练习）（解析版）

第27讲与圆有关的位置关系目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u题型01判断点和圆的位置关系题型02根据点和圆的位置关系求半径题型03判断直线与圆的位置关系题型04根据直线与圆的位置关系求半径题型05根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离题型06求圆平移到与直线相切时圆心坐标题型07求圆平移到与直线相切时运动距离题型08圆和圆的位置关系题型09判断或补全使直线成为切线的条件题型10利用切线的性质求线段长题型11利用切线的性质求角度题型12证明某条直线时圆的切线题型13利用切线的性质定理证明题型14切线的性质与判定的综合运用题型15作圆的切线题型16应用切线长定理求解题型17应用切线长定理求证题型18判断三角形外接圆圆心位置题型19求外心坐标题型20求特殊三角形外接圆的半径题型21由三角形的内切圆求长度题型22由三角形的内切圆求角度题型23由三角形的内切圆求周长、面积题型24求三角形的内切圆半径题型25直角三角形周长、面积和内切圆半径的关系题型26三角形内心有关的应用题型27三角形外接圆与内切圆综合题型01判断点和圆的位置关系1．（2023·广东广州·统考一模）已知⊙O的半径为5，当线段OA=6时，则点A与⊙OA．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定【答案】B【分析】根据点A到圆心的距离大于半径即可求解．【详解】解：∵OA=6>5∴A点在圆外，故选：B．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，掌握点到圆心的距离大于半径时点在圆外，等于半径时点在圆上，小于半径时点在圆内是解题的关键．2．（2023·广东广州·广州大学附属中学校考一模）已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程x2-4A．⊙O的内部 B．⊙C．⊙O上或⊙O的内部 D．⊙O【答案】A【分析】先解一元二次方程，得到d值，再比较d与半径8的大小，若d>8，则点P在⊙O的外部，若d<8，则点P在⊙O的内部，若d=8【详解】解：解方程x2-4x-∵点P到圆心O的距离d为方程x2∴d=5<8∴点P在⊙O故选A【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、解一元二次方程，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解答的关键．3．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=8,tanA．点C在圆A内，点B在圆A外B．点C在圆A上，点B在圆A外C．点C、B都在圆A内D．点C、B都在圆A外【答案】A【分析】由解直角三角形求出AC=4，由AC和AB与圆的半径的大小关系，即可判断出点C和点B与⊙【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∴BCAC=2，即∴AC=4∴AC<8∴点C在⊙A∵AB>∴AB>8∴点B在⊙A故选A．【点睛】本题考查了解直角三角形，点与圆的位置关系，掌握解直角三角形和会判断点与圆的位置关系是解决问题的关键．题型02根据点和圆的位置关系求半径4．（2022·山东枣庄·校考一模）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙【答案】6.5cm或【分析】分点P在⊙O外和⊙O内两种情况分析；设⊙O【详解】设⊙O的半径为xcm当点P在⊙O外时，根据题意得：4+2∴x=2.5当点P在⊙O内时，根据题意得：2∴x=6.5故答案为：6.5cm或2.5【点睛】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解．5．（2023·四川成都·统考二模）已知P是⊙O内一点（点P不与圆心O重合），点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程ax2-12【答案】12【分析】根据题意知⊙O【详解】解：∵P是⊙O∴⊙O∵最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程ax∴⊙O的直径为-故答案为：12．【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．6．（2023·上海·校考一模）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，以A为圆心，r为半径作⊙A，使得点D在圆内，点C在圆外，则半径r【答案】6<【分析】首先利用勾股定理得出AC的长，利用以A为圆心，r为半径作⊙A，使得点D在圆内，点C在圆外，得出r【详解】解：如图，连接AC，∵矩形矩形ABCD中，AB=8，AD∴AC∵以以A为圆心，r为半径作⊙A，使得点D在圆内，点C∴半径r的取值范围是：6<r故答案为：6<r【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用图形得出r的取值范围是解题关键．题型03判断直线与圆的位置关系7．（2022·安徽蚌埠·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，以1.5为半径的圆的圆心P的坐标为(0,2)，将⊙P沿y轴负方向平移1.5个单位长度，则x轴与⊙P的位置关系是（A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【答案】A【分析】根据题意，将圆心点向下平移1.5个单位，即可判断圆与x轴的位置关系．【详解】解：如图，∵圆心P的坐标为(0,2)，将⊙P沿y轴负方向平移1.5∴平移后的点P的坐标为(0,0.5)，∴OP∵半径为1.5，∴PO∴圆P与x轴相交，故选A【点睛】本题主要考查圆与直线的位置关系，结合题意判断圆与x轴的位置关系是解题的关键．8．（2022·山东青岛·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=45，AC=5cm，以点A．相离 B．相交 C．相切 D．相切或相交【答案】A【分析】计算C点到AB上的高即可判断；【详解】解：如图，过C作CD⊥AB于D，由题意得：AB×45=5，AB=254由勾股定理得：BC=AB2Rt△BCD中，CD=BCsin∠B=3cm，∵2cm＜3cm，∴圆与AB相离，故选：A．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，利用勾股定理和三角函数解直角三角形是解题关键．9．（2021·上海崇明·统考二模）已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（）A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切【答案】D【分析】根据圆心到直线的距离与圆的半径大小的关系进行判断，即当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离．【详解】∵⊙O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm∴点A在以O为圆心5cm长为半径的圆上，点B在以O圆心3cm长为半径的⊙O上当AB⊥OB时，如左图所示，由OB=3cm知，直线AB与⊙O相切；当AB与OB不垂直时，如右图所示，过点O作OD⊥AB于点D，则OD<OB，所以直线AB与⊙O相交；∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切故选：D．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，要确定直线与圆的位置关系，要比较圆心到直线的距离与半径的大小，从而可确定位置关系．题型04根据直线与圆的位置关系求半径10．（2023·上海虹口·校联考二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，BC=12．分别以点O、D为圆心画圆，如果⊙O与直线AD相交、与直线CD相离，且⊙D与⊙O内切，那么⊙

A．12<r<4 B．52<【答案】C【分析】过点O作OE⊥AD，勾股定理求得BD=13【详解】解：如图所示，当圆O与AD相切时，过点O作OE⊥∵矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，BC∴AD⊥CD，CD=AB=5∴OE∴OE=则r=

当圆O与CD相切时，过点O作OF⊥CD于点

则OF则r∴⊙O与直线AD相交、与直线CD相离，且⊙D与⊙O故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，根据题意画出图形是解题的关键．11．（2021·浙江宁波·统考一模）如图，在RtΔABC中，∠C=90°,∠B=30°,AC=2，以C为圆心，r为半径作圆．若该圆与线段【答案】r=3【分析】先根据题意画出符合的两种情况，根据勾股定理求出BC，即可得出答案．【详解】解：过C作CD⊥AB于D，在Rt△BCA中，∵∠ACB=90°，AC=2，∠B=30°，∴AB=4，∴BC=根据三角形的面积公式得：AB•CD=AC•BC，∴CD=当圆与时AB相切时，r=3，当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是2＜r≤23，综上所述：r的取值范围是r=3或2＜r≤23，故答案为：r=3或2＜r≤23．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，切线的性质，勾股定理的应用，能求出符合题意的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．12．（2022·湖北襄阳·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为3,1，若⊙A与坐标轴有三个公共点，则⊙A的半径为【答案】10或3【分析】利用圆与坐标轴的位置关系，画出符合要求的图形进行求解即可．【详解】∵点A的坐标为3,1∴如图1，当⊙A经过原点时，半径为如图2，当⊙A与y轴相切时，半径为点A到y轴的距离为故答案为：10或3【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及坐标与图形性质，直线和圆的位置关系的确定一般是利用圆心到直线的距离与半径比较来判断，若圆心到直线的距离是d，半径是r，则①d>r，直线和圆相离，没有交点；②d=r，直线和圆相切，有一个交点；③d<r，直线和圆相交，有两个交点．题型05根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离13．（2023·江苏淮安·统考一模）已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O有2个公共点，则点O到直线l的距离可能是（A．3 B．5 C．7 D．9【答案】A【分析】根据题意得点O到直线l的距离小于圆的半径，即可解答．【详解】∵⊙O的半径为5，直线l与⊙O有∴点O到直线l的距离0≤d故选：A．【点睛】本题考查了点、直线、圆的位置关系．熟练掌握直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径，是解题的关键．14．（2020·河北唐山·统考二模）已知⊙O的半径为5，直线AB与⊙O有公共点，则圆心O到直线AB的距离不可能为（A．5 B．5.5 C．4.5 D．1【答案】B【分析】直线AB与⊙O【详解】∵直线AB与⊙O∴直线AB与⊙O∴圆心距小于等于半径∵5.5>5∴B选项错误故选B．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，当圆心距大于半径时直线和圆相离，当圆心距等于半径时直线和圆相切，当圆心距小于半径时直线和圆相交．15．（2022·北京·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，如果PQ两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M,N的“近距离”，记为d(M,N)已知A（－4，0），B（0，4），C（4，0），D（0，－4），（1）d（点A，点C）＝________，d（点A，线段BD）＝________；（2）⊙O半径为r，①当r＝1时，求⊙O与正方形ABCD的“近距离”d（⊙O，正方形ABCD）；②若d（⊙O，正方形ABCD）＝1，则r＝___________．（3）M为x轴上一点，⊙M的半径为1，⊙M与正方形ABCD的“近距离”d（⊙M，正方形ABCD）＜1，请直接写出圆心M的横坐标m的取值范围．【答案】（1）8；4；（2）①22-1；②22-1或5；（3）-6<m<2【分析】（1）图形M，N的“近距离”的定义可求解；（2）①根据题意作图，根据“近距离”的定义即可求解；②根据题意分圆在正方形ABCD内部和外部分别作图求解；（3）由题意可求∠OCB＝45°，分点M在x轴正半轴且⊙M在正方形ABCD的外面与内部，及点M在x轴负半轴且⊙M在正方形ABCD的外面与内部，由题意列出不等式，即可求解．【详解】（1）∵A（－4，0），C（4，0），d（点A，点C）＝8；∵B（0，4），D（0，－4），∴线段BD在y轴上∴d（点A，线段BD）为A点到y轴的距离，即4故答案为：8；4；（2）①如图，当r＝1时，过点O作OE⊥AB于E点，OE与⊙O交于H点，则OE=12AB=12∴⊙O与正方形ABCD的“近距离”d（⊙O，正方形ABCD）=EH=OE-OH=22-1；②如图，当⊙O在正方形ABCD内部时，d（⊙O，正方形ABCD）＝1即EH=OE-OH=1则OH=OE-EH=22-1当⊙O在正方形ABCD外部时，d（⊙O，正方形ABCD）＝1即BG=1则OG=OB+BG=5故答案为：22-1或5；（3）如图，∵OB=OC，∴∠OCB＝45°，当点M在x轴正半轴且⊙M在正方形ABCD的外面时，⊙M的半径为1∵d（⊙M，正方形ABCD）＜1由图可得OM2-OC-1＜1即OM2-4-1＜1∴OM2＜6即m＜6；当点M在x轴正半轴且⊙M在正方形ABCD的内部时，⊙M的半径为1，过点M1作M1G⊥BC，∵d（⊙M，正方形ABCD）＜1∴M1G-r＜1∵M1G=CM1·sin45°=2∴224-m解得m＞4-2∴4-2当点M在x轴负半轴且⊙M在正方形ABCD的外面与内部时，同理可得-综上，m的取值范围为-6<m<2【点睛】本题属于圆的综合题，考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，三角函数的运用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．题型06求圆平移到与直线相切时圆心坐标16．（2020·辽宁盘锦·统考二模）如图，半径r=22的⊙M在x轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线y=x+2A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0)或（-6，0）【答案】D【分析】根据题意，进行分情况讨论，分别为圆位于直线右侧并与直线相切和位于直线左侧并于直线相切两种情况，进而根据相切的性质及等腰直角三角形的相关性质进行求解即可得解．【详解】①当圆位于直线右侧并与直线相切时，连接MA，如下图所示：∵y∴A(0,2)，B(-2,0)，△∴AB∵r∴△ABM是等腰直角三角形，∴⊙M与直线AB相切于点A∵AO∴OB∴圆心M的坐标为(2,0)；②当圆位于直线左侧并与直线相切时，过点M作MC⊥AB于点∵⊙M与直线AB相切，MC∴MC根据直线AB的解析式：y=x∴△BCM∴MB∵B∴圆心M的坐标为(-6,0)，综上所述：圆心M的坐标为(2,0)或(-6,0)，故选：D．【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质及动圆问题，熟练掌握相关几何求解方法并进行分类讨论是解决本题的关键．17．（2022·河南南阳·统考一模）如图，直线y=-34x-3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙PA．-73,0 B．C．-37,0 D．【答案】B【分析】由题意根据函数解析式求得A（-4，0），B（0，-3），得到OA=4，OB=3，根据勾股定理得到AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵直线y=-34x-3交x轴于点∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4，∴A（-4，0），B（0，-3），∴OA=4，OB=3，∴AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO，∴△APD∽△ABO，∴PDOB∴13∴AP=53∴OP=73或OP=17∴P(-73,0)或故选：B．【点睛】本题考查切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意并运用数形结合思维分析是解题的关键．18．（2022·安徽滁州·校考一模）如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，3），∠BAO=30°，点P的坐标为(1,0)，⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P【答案】（-2,0）（-3,0）（-4,0）【分析】先分别求得⊙P与直线l相切时点P的坐标，然后再判断⊙P与直线l相交时点P的横坐标x的取值范围，即可求得坐标为整数的点【详解】如图，⊙P'与⊙P″分别切AB于由B(0,3)，∠BAO=30°，易得OA连接P'D、P″E，则P'D⊥同理可得，AP″=2，则 P' 的横坐标为∴当⊙P与直线l相交时，点P的横坐标x的取值范围为-∴横坐标为整数的点P的坐标为(-2,0)、(-3,0)、(-4,0)．故答案为：(-2，0)、(-3，0)、(-4，0)．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，分别求得⊙P与直线l相切时点P题型07求圆平移到与直线相切时运动距离19．（2021上·吉林四平·九年级统考期末）如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=16cm，则l沿OC所在直线向下平移cm时与⊙O相切．【答案】4【分析】根据垂径定理可求出AH=12AB=8cm，再利用勾股定理可得OH=6cm，从而CH=4cm，再由l与⊙O相切，则点O到直线l的距离等于【详解】解：∵直线l⊥OC，AB=16cm，∴AH=12AB=8∵OA=OC在Rt△AOHOH=A∴CH=OC若l与⊙O相切，则点O到直线l的距离等于OC=10cm，∴l沿OC所在直线向下平移的距离等于CH即l沿OC所在直线向下平移4cm时与⊙O故答案为：4．【点睛】本题主要考查了垂径定理，直线与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．20．（2020·九年级单元测试）已知⊙O是以坐标原点为圆心，半径为1，函数y=x与⊙O交于点A、B，点Px,0在x轴上运动，过点P且与OA平行的直线与【答案】-2≤x【分析】由题意得x有两个极值点，过点P与⊙O相切时，x取得极值，作出切线求解即可.【详解】将OA平移至P1D的位置，使P1D与圆相切，连接OD如下图所示：由题意得，OD故可得OP1=2，即同理当点P在y轴左边时也有一个极值点P2，此时x取得极小值-综上可得x的范围为：-2≤x故填：-2≤x【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，找出两个极值是关键.21．（2020上·全国·九年级期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离．【答案】1或5．【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．【详解】当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故答案为：1或5．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．题型08圆和圆的位置关系22．（2023·吉林四平·校联考三模）如图，已知长方形ABCD中，AB=4,AD=3，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点C,DA．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外【答案】C【分析】根据内切得出圆A的半径，再判断点D、点E到圆心的距离即可【详解】∵圆A与圆B内切，AB=4，圆B的半径为∴圆A的半径为5∵AD=3∴点D在圆A内在Rt△ABC中，AC∴点C在圆A上故选：C【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键23．（2022·上海徐汇·统考二模）已知两圆相交，当每个圆的圆心都在另一个圆的圆外时，我们称此两圆的位置关系为“外相交”．已知两圆“外相交”，且半径分别为2和5，则圆心距的取值可以是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根据两圆“外相交”的定义，得到圆心距是大于较大圆的半径且小于两个圆的半径之和，进行解答即可.【详解】解：设圆心距为d，由题意得，圆心距是大于较大圆的半径且小于两个圆的半径之和，即5<d<5+2∴5<d<7A．4＜5，故选项错不可以，不符合题意；B,5＝5，故选项不可以，不符合题意；C．5<6<7，故选项可以，符合题意；D．7＝7，故选项不可以，不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系两圆“外相交”，得出圆心距d满足5<d<7是解答此题的关键．24．（2021·四川绵阳·一模）如图，⊙O1的直径AB长度为12，⊙O2的直径为8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直线O1O2平移，当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，令圆心距O1O2＝x，则x的取值范围是（）A．2≤x≤10 B．4≤x≤16 C．4≤x≤43 D．2≤x≤8【答案】D【分析】由题意得出点O2在点O1的右侧，⊙O2与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，O1O2的最大值和最小值，分别画出图形求解得出x的取值范围，根据对称性可得点O2在点O1的左侧时的结论．【详解】解：当点O2在点O1的右侧时，当⊙O2向左移动到与直线AB相切时，如图1所示，设切点为M，则O2M=4，又∵∠AO2O1=30°，∴O1O2=2•O2M=8，当⊙O2继续向左移动到与⊙O1内切时，如图2所示，此时O1O2=6-4=2，所以当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，2≤x≤8；故选：D．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、平移的性质，求出符合条件的x的最大值和最小值是解决问题的关键．25．（2021·山东青岛·统考一模）【问题提出】用n个圆最多能把平面分成几个区域？【问题探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论．探究一：如图1，一个圆能把平面分成2个区域．探究二：用2个圆最多能把平面分成几个区域？如图2，在探究一的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前1个圆有2个交点，将新增加的圆分成2部分，从而增加2个区域，所以，用2个圆最多能把平面分成4个区域．探究三：用3个圆最多能把平面分成几个区域？如图3，在探究二的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前2个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成2×2=4部分，从而增加4个区域，所以，用3个圆最多能把平面分成8个区域．（1）用4个圆最多能把平面分成几个区域？仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．（2）【一般结论】用n个圆最多能把平面分成几个区域？为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前(n-1)个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成______________部分，从而增加___________________个区域，所以，用n（3）【结论应用】①用10个圆最多能把平面分成_________个区域；②用___________个圆最多能把平面分成422个区域．【答案】（1）在探究三的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前3个圆分别有2个交点，将新增的圆分成2×3=6部分，从而增加6个区域，所以，用4个圆最多能把平面分成14个区域；（2）2n-2；2n-2；n【分析】（1）在探究三的基础上，新增加的圆与前3个圆分别有2个交点，将新增的圆分成2×3=6部分，所以，用4个圆最多能把平面分成2+2×1+2×2+2×3个区域；（2）为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前(n-1)个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成（2n-2）部分，从而增加（2n-2）个区域，所以，用n个圆最多能把平面分成（3）①用n=10，代入规律，求代数式的值即可；②设n个圆最多能把平面分成422个区域，利用规律构造方程，可得方程n2【详解】解：（1）在探究三的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前3个圆分别有2个交点，将新增的圆分成2×3=6部分，从而增加6个区域，所以，用4个圆最多能把平面分成2+2×1+2×2+2×3=14个区域；（2）为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前(n-1)个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成（2n-2）部分，从而增加（2n-22+2×1+2×2+2×3+2×4+…+2(n-1)，=2+2(1+2+3+…+n-1)，=2+2×1=2+=n2故答案为：（2n-2）；（2n-2）；n2（3）①用10个圆，即n=10，n2②设n个圆最多能把平面分成422个区域，可得方程n2整理得n2因式分解得n-解得n=21或∴用21个圆最多能把平面分成422个区域．故答案为：21．【点睛】本题考查图形分割规律探究问题，圆与圆的位置关系，利用新增圆被原来每个圆都分成两个交点，其交点数就是新增区域数，发现规律后列式求和，利用规律解决问题，涉及数列n项和公式，代数式求值，解一元二次方程，仔细观察图形，掌握所学知识是解题关键．题型09判断或补全使直线成为切线的条件26．（2020·安徽芜湖·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是(

)A．点(0，3) B．点(1，3) C．点(6，0) D．点(6，1)【答案】B【分析】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，当O'B⊥BF时F点的位置即可．【详解】∵过格点A，B，C作一圆弧，∴由垂径定理可得圆心为：O'(2,0)，如图所示，由切线性质可知当O'B⊥BF时，BF与圆相切，当△BO'D≌△BFA时，∠O'BF=∠FBA+∠O'BA=∠O'BD+∠O'BA=90°，此时O'B⊥BF，BF与圆相切，AF=O'D=1，AB=BD=2，∴F坐标为（1,3），同理可得F'（5,1），所以满足条件的F点的坐标为：(5,1)或(1,3)，故选B.【点睛】本题考查由垂径定理确定圆心和切线的性质，确定圆心是本题的关键.27．（2019下·九年级课时练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，以C为圆心作⊙CA．8 B．4 C．9.6 D．4.8【答案】D【分析】过点C作CD⊥AB于点D，先利用勾股定理求得BC的长，再利用三角形的面积公式求得CD的长即可.【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，∵∠C=90°，AB=10∴BC=∵S△ABC=1∴CD=则以C为圆心CD为半径作⊙C与AB相切故选D.【点睛】本题主要考查切线的判定，勾股定理，三角形的面积公式，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.28．（2022·吉林长春·吉林大学附属中学校考一模）如图，已知∠AOB=30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作⊙M，当OM=cm时，⊙【答案】4【分析】过M作MN⊥OA于点N，此时以MN为半径的圆⊙M与OA相切，根据30°角所对直角边为斜边的一半可得OM的长【详解】解：如图，过M作MN⊥OA于点N，∵MN=2cm，∠AOB∴OM=4cm，则当OM=4cm时，⊙M与OA相切故答案为4.【点睛】本题主要考查切线判定，直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.29．（2019下·九年级课时练习）Rt△ABC的斜边AB=5cm，直角边AC=3cm，圆心为C，半径为2cm和3cm的两个圆⊙C1和【答案】⊙C1与AB相离；⊙C2与AB相交；当半径为125cm【分析】过点C作CD⊥AB于点D，利用勾股定理求得BC的长，再利用三角形的面积公式求得CD的长，进而判定圆⊙C1和⊙C2【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB在Rt△∠ACB∴BC由面积公式，得AC·∴CD∵12∴⊙C1与∵12∴⊙C2与当半径为125cm时，AB与⊙【点睛】本题主要考查圆与直线的位置关系，切线的判定，勾股定理等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.题型10利用切线的性质求线段长30．（2023·山东泰安·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，若AC=PC=3A．3 B．32 C．23 D【答案】D【分析】连接OC，根据AC=PC，OC=OA，证出∠A=∠OCA=∠P，求出∠A=∠OCA=∠【详解】解：连接OC，如图所示，∵AC=∴∠A∵OC=∴∠A∴∠A∵PC是⊙O∴∠OCP∵∠A∴∠A在Rt△OPC中，tan∠∴OC=PC×∵PB=OP-∴PB=3故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、切线的性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线是解答此题的关键．31．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，点O是斜边AB边上一点，以O为圆心，OA为半径作圆，⊙O恰好与边BC相切于点D，连接AD．若AD=BDA．94 B．332 C．3【答案】B【分析】连接OD，可证明OD∥AC，进而证明∠BAD=∠CAD=∠B【详解】解：连接OD，则OD=∴∠BAD∵⊙O与边BC相切于点D∴BC⊥∴∠ODB∴OD∥∴∠ODA∴∠BAD∵AD=∴∠BAD∴∠BAD∵∠BAD∴∠BAD∴∠BOD∵OD=3∴AD=∴CD=故选：B．【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的性质、平行线的性质、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，锐角三角函数的应用等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．32．（2023·内蒙古乌兰察布·校考模拟预测）如图，在半径为10cm和6cm的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为cm．【答案】16【分析】根据切线的性质得到OC⊥AB，根据垂径定理得到AC=12AB【详解】解：∵AB是小圆O的切线，∴OC⊥AB，∵AB是大圆O的弦，∴AC=12AB在Rt△AOC中，AC=OA2-OC2则AB=2AC=16（cm），故答案为：16．【点睛】本题考查的是切线的性质、垂径定理和勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．33．（2022·浙江衢州·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E为AD上一点，且AE=2，F为BC边上的动点，以为EF直径作⊙O，当⊙O【答案】2或92或【分析】⊙O与矩形的边相切，但没有具体说与哪个边相切，所以该题有三种情况：第一种情况是圆与边AD、BC相切，此时BF=AE；第二种情况是圆与边AB相切，利用中位线定理以及勾股定理可求出BF的长；第三种是圆与边CD相切，同样利用中位线定理以及勾股定理求得BF【详解】解：①当圆与边AD、BC相切时，如图1所示此时∠AEO所以四边形AEFB为矩形即BF=AE=2；②当圆与边AB相切时，设圆的半径为R，切点为H，圆与边AD交于E、N两点，与边BC交于M、F两点，连接EM、HO，如图2所示此时OE=OF=OH=R，点O、H分别是EF、AB的中点∴2OH=AE+BF即BF=2R-2∵BM=AE=2∴MF=2R-4在Rt△EFM中，∵EM=AB=6，EF=2R∴62解得R=将R=134代入BF∴BF=③当圆与边CD相切时，设圆的半径为R，切点为H，圆与边AD交E、D两点，与边BC交M、F两点，如图3所示此时OE=OF=OH=R∵AE=2∴ED=6∵点O、H分别是EF、CD的中点∴2OH=ED+FC即FC=2R-6∵BM=AE=2∴MF=BC-BM-FC即MF=12-2R∵EM=AB=6，EF=2R∴在Rt△EMF中即62解得R=∵BF=∴BF=【点睛】本题考查了切线的性质、中位线定理以及勾股定理，关键是分清楚情况，数形结合，将几何问题转化为方程问题．题型11利用切线的性质求角度34．（2022·广西南宁·校联考一模）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE,CD相切于A,CA．144° B．130° C．129° D．108°【答案】A【分析】根据切线的性质，可得∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，结合正五边形的每个内角的度数为108°，即可求解．【详解】解：∵AE、CD切⊙O于点A、C，∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为：5-2×180°5∴∠AOC＝540°−90°−90°−108°−108°＝144°，故选：A．【点睛】本题主要考查正多边形的内角和公式的应用，以及切线的性质定理，掌握正多边形的内角和定理是解题的关键．35．（2023·山东泰安·统考一模）如图，AB、AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD=35°，则∠【答案】35【分析】连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，首先根据圆周角定理可得∠E+∠BAE=90°，再根据AD为⊙【详解】解：如图，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE∵AE为⊙∴∠ABE∴∠E∵AD为⊙∴∠DAE∴∠BAE∴∠E∴∠C故答案为：35．【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，作出辅助线是解决本题的关键．36．（2023·山东德州·统考三模）如图，在△ABC中，∠B=90°，⊙O过点A、C，与AB交于点D，与BC相切于点C，若∠【答案】64°/64度【分析】根据同弧对应的圆心角是圆周角的2倍计算出∠DOC，再根据AB//OC【详解】如下图所示，连接OC从图中可以看出，∠DAC是圆弧DC对应的圆周角，∠DOC是圆弧得∠DOC∵BC是圆O的切线∴OC⊥∵∠∴AB∴AB//∴∠ADO故答案为：64°【点睛】本题考查圆的切线的性质，圆周角定理、平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握圆和平行线的相关知识．37．（2023·江苏连云港·校考一模）如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D、C，连接BC，若∠A=40°，则∠ACB=°．【答案】25【分析】连接OB，如图，利用切线的性质得∠ABO=90°，再利用互余得到∠AOB=50°，然后根据三角形外角性质和等腰三角形的性质计算∠C的度数．【详解】解：连接OB，如图，∵边AB与⊙O相切，切点为B，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，∴∠AOB=90°-∠A=90°-40°=50°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠C，∴∠AOB=∠OBC+∠C=2∠C，∴∠C=12∠AOB=25°故答案为：25．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．题型12证明某条直线时圆的切线38．（2023·江苏淮安·统考一模）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点(1)判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AB=4【答案】(1)证明见解析(2)6-【分析】（1）利用等腰三角形的性质与三角形的内角和定理证明AB⊥AC（2）如图，连接OD，先证明∠AOD=2∠ABC=90°,∠BOD=90°,再利用阴影部分的面积等于三角形【详解】（1）证明：∵∠ABC=45°，AB=∴∠ACB∴∠BAC=90°,即∵A在⊙∴AC为⊙（2）如图，连接OD，∵∠ABC=45°∴∠AOD=2∠∵AB=4∴OA=2∴S△ABC=S扇形AOD∴S【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，切线的判定，扇形面积的计算，掌握“切线的判定方法与割补法求解不规则图形面积的方法”是解本题的关键．39．（2023·云南昆明·校考一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DB(1)求证：CE是⊙O(2)若DE=45，AC=2【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）根据直径所对的圆周角是90°，得出∠A+∠ABC=90°，根据圆周角定理得到（2）根据tanA=tanD得出【详解】（1）证明：∵AB是⊙O∴∠ACB∴∠A∵BC=∴∠A又∵∠DEC∴∠D∴∠DCE∴CD⊥∵OC为⊙O∴CE是⊙O（2）由（1）知CD⊥在Rt△ABC和∵∠A=∠D∴tanA即BCAC∴CD=2在Rt△CD2+∴2CE解得CE=4【点睛】本题主要考查圆的综合题，熟练掌握圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识是解题的关键．40．（2023·江苏淮安·统考三模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点O在BC边上，⊙O经过点A和点

(1)试判断直线AC与⊙O(2)若CE=3，求⊙【答案】(1)直线AC与⊙O(2)⊙O的半径为3【分析】（1）连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，∠BAO=∠B=30°，求得（2）连接AE，推出△AOE是等边三角形，得到AE=OE，∠AEO=60°【详解】（1）直线AC与⊙O理由：连接OA，

∵AB=AC，∴∠B∵OA=∴∠BAO∴∠AOC∴∠OAC=180°-60°-30°=90°，即∵OA是⊙O∴直线AC与⊙O（2）解：连接AE，∵OA=OE，∴△AOE∴AE=OE，∴∠EAC∴∠EAC∴AE=∴AE=即⊙O的半径为3【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．41．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D

(1)判断直线DE与⊙O(2)若∠BCD=30°，【答案】(1)DE与⊙O(2)阴影部分的面积为25【分析】（1）连接OE，如图，先利用OE为△ABC的中位线得到OE∥AB，再证明∠COE=∠DOE，接着证明△OCE（2）先计算出∠B=60°，BC=10，则根据圆周角定理得到∠COD=2∠B=120°【详解】（1）解：DE与⊙O连接OE，OD，如图：

∵E是AC中点，O为BC∴OE为△∴OE∴∠COE=∠B∵OB∴∠B∴∠COE在△OCE和△OC=∴△OCE∴∠ODE∴OD⊥DE∴DE为⊙（2）解：∵∠ACB=90°，∠A∴∠B=60°，∴在Rt△ABC中，∴BC=则OB=即⊙O的半径为5∴∠COD∵∠COE∴OE⊥CD，设OE与CD交于点∴OF=12∴CD=2则S△∵∠COD=120°，∴S扇形∴阴影部分图形的面积S阴影∴S阴影∴阴影部分的面积为25π【点睛】本题考查了圆与几何图形的综合，掌握圆的基础知识，切线的证明方法，含30°角的直角三角形三边的关系、圆周角和扇形的面积公式等知识是解题的关键．题型13利用切线的性质定理证明42．（2023·福建福州·福建省福州杨桥中学校考模拟预测）AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，过点A作⊙O(1)如图1，求证∠B(2)如图2，连接AD，若⊙O的半径为2，OE=3，求【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）证明∠ODB=∠OAE=90（2）证明ΔODB∼ΔOAE，求出OD，由勾股定理求出DB，由垂径定理求出BC，进而利用勾股定理求出AC【详解】（1）解：∵OD⊥∴∠ODB∵AE是⊙O∴∠OAE在ΔODB和ΔOAE中，∠ODB∴∠B（2）解：如图，连接AC．∵⊙O的半径为2∴OA=OB=∵在ΔODB和Δ∠ODB=∠OAE∴ΔODB∼∴ODOA=OB∴OD=在RtΔODB中，由勾股定理得：∴DB=∵OD⊥BC，OD经过∴CD=∴BC=2∵AB是⊙O的直径，C是⊙∴∠ACB在RtΔACB中，由勾股定理得：∴AC=在RtΔACD中，由勾股定理得：∴AD=【点睛】本题考查切线的定义、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，熟练掌握上述知识点，通过证明ΔODB∼ΔOAE43．（2023·陕西铜川·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点(1)求证：∠CAB(2)若⊙O的半径r=5,AC=8【答案】(1)见解析(2)32【分析】（1）根据AM是⊙O的切线，得出∠BAM=90°．根据CD⊥AB，可证AM（2）连接AD．根据直径所对圆周角性质得出，∠CDB+∠ADC=90°．可证∠ADC=∠C．得出AD【详解】（1）证明：∵AM是⊙O∴∠BAM∵CD∴∠CEA∴AM//∴∠CDB∵∠CAB∴∠CAB（2）解：如图，连接AD．∵AB为直径，∴∠ADB∴∠CDB∵∠CAB∠∴∠ADC∴AD=∵AB=2∴BD=∵∠BAP∠ABD∴△ADB∴ABPB∴PB=∴DP=【点睛】本题考查圆的切线性质，直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，熟练掌握圆周角性质和三角形相似判定与性质是解题关键．44．（2023·甘肃酒泉·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点E，交(1)求证：AF⊥(2)若CF=1，AC=2，AB=4【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）连接OD，根据AD平分∠CAB，可得∠CAD=∠OAD，从而得到（2）由△ODE∽△AFE，可得OE:AE=OD【详解】（1）证明：连接OD，∵AD平分∠CAB∴∠CAD∵OA=∴∠OAD∴∠CAD∴OD∥∵EF为⊙O∴OD⊥∴AF⊥（2）解：由（1）得：OD∥∴△ODE∵AC=2，CF∴AF=3∵AB=4∴OD=2，OB∴OE:设BE为x，∴OE=∴2+x解得：x=2即BE的长为2．【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．45．（2020·北京·统考模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．（1）求证：∠ADC=∠AOF；（2）若sinC=13，BD=8，求EF【答案】（1）见解析；（2）2．【分析】（1）连接OD，根据CD是⊙O的切线，可推出∠ADC+∠ODA=90°，根据OF⊥AD，∠AOF+∠DAO=90°，根据OD=OA，可得∠ODA=∠DAO，即可证明；（2）设半径为r，根据在Rt△OCD中，sinC=13，可得OD=r，OC=3r，AC=2r，由AB为⊙O的直径，得出∠ADB=90°，再根据推出OF⊥AD，OF∥BD，然后由平行线分线段成比例定理可得【详解】（1）证明：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴∠ADC+∠ODA=90°，∵OF⊥AD，∴∠AOF+∠DAO=90°，∵OD=OA，∴∠ODA=∠DAO，∴∠ADC=∠AOF；（2）设半径为r，在Rt△OCD中，sinC∴ODOC∴OD=∵OA=r，∴AC=OC-OA=2r，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵OF⊥AD，∴OF∥BD，∴OEBD∴OE=4，∵OFBD∴OF=6∴EF=【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，切线的性质，直径所对的圆周角是90°，灵活运用知识点是解题关键．题型14切线的性质与判定的综合运用46．（2020·山东德州·统考二模）如图，AB是△ABC外接圆的直径，O为圆心，CH⏊AB，垂足为H，且∠PCA=∠ACH，

CD平分∠ACB，交⊙O于点D，连接BD，AP=2．（1）判断直线PC是否为⊙O的切线，并说明理由；（2）若∠P=30°，求AC、BC、BD的长．（3）若tan∠ACP=12，求⊙O【答案】（1）PC是⊙O的切线，理由见解析；（2）AC=2；BC=23；BD=22；（3）⊙O的半径为【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质及垂直的定义得到∠PCA+∠OCA=90°，即可证明PC是⊙O的切线；（2）根据∠P=30°，可求得∠AOC=60°，进而得到∠OAC=60°，求出∠PCA=30°，AC=AP=2，利用∠ABC=12∠AOC=30°，求出AB=2AC=4，利用勾股定理求出BC，利用垂径定理得到AD=BD，利用等腰直角三角形的性质即可求出BD（3）根据直径和切线的性质得到∠ABC=∠ACH，由tan∠ABC=tan∠ACP=12得到ACBC=12，再证明△PAC∽△PCB，得到PA【详解】（1）PC是⊙O的切线理由：连接OC，∵OA=OC∴∠OCA=∠OAC∵CH⏊AB∴∠ACH+∠OAC=90°∵∠PCA=∠ACH∴∠PCA+∠OAC=90°即：∠PCA+∠OCA=90°∵OC为⊙O的半径∴PC是⊙O的切线（2）连接AD，∵PC是⊙O的切线∴∠PCO=90°∵∠P=30°∴∠AOC=60°∵OA=OC∴∠OAC=60°∴∠ACP=∠OAC-∠P=30°∴AC=AP=2∵∠ABC=12∠AOC=1∴AB=2AC=2×2=4∴BC∵CD平分∠ACB∴∠ACD=∠BCD∴弧AD与弧BD相等，∴AD=BD∵AB为⊙O的直径∴∠ADB=90°∴△ABD是等腰直角三角形；∴BD=（3）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°∴∠ACH+∠BCH=90°∵CH⏊AB∴∠B+∠BCH=90°∴∠ABC=∠ACH∴tan∠ABC=tan∠ACP=1∴AC∵∠PCA=∠ACH∴∠PCA=∠ABC∵∠P=∠P∴△PAC∽△PCB∴PA∵AP=2∴PC=4∴PB=8∴AB=6∴⊙O的半径为3．【点睛】此题主要考查切线的性质与判定综合，解题的关键是熟知切线的判定与性质、三角函数的定义及相似三角形的判定与性质．47．（2020·甘肃酒泉·统考二模）如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交O于点D，E为AC的中点，连接CD，（1）求证：DE是⊙O（2）若BD=4，CD=3，求【答案】（1）见解析；（2）AC=【分析】（1）连接OD，根据切线的性质和直角三角形斜边的中线以及等腰三角形的性质得出，∠EDC=∠ECD，∠（2）首先根据勾股定理求出BC的长度，然后证明△BCD∽△BAC【详解】（1）证明：连接OD，如图，∵BC是⊙O∴∠BDC∴∠ADC∵E为AC的中点，∴DE=∴∠EDC∵OD=OC∴∠ODC∵AC切⊙O于点C∴AC⊥∴∠EDC∴DE⊥∴DE是⊙O（2）解：在Rt△∵BD=4，CD∴BC∵∠BDC=∠BCA∴△BCD∴CDAC即3AC∴AC=【点睛】本题主要考查圆的综合问题，掌握切线的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键．48．（2023·云南楚雄·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长(1)求证：DE是⊙O(2)若AEDE=2【答案】(1)见解析(2)13【分析】（1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可；（2）连接CF，证OD是△ABC的中位线，得CF=2DE，再证DE是△FBC的中位线，得CF=2DE,设AE=2x，DE=3k，则CF=6k，BE=EF=AE+AF=2k+10，AC=BA=EF+AE=4k+10，然后在Rt△ACF中，由勾股定理，得(4k+10)2=102+(6k)2，解得：k=4，从而求得AC=4k+10=4×4+10=26，即可求得⊙O的半径OA【详解】（1）证明：连接OD；∵OD=OC，∴∠C=∠ODC，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠ODC，∴OD∥AB，∴∠ODE=∠DEB；∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．（2）解：连接CF，由（1）知OD⊥DE，∵DE⊥AB，∴OD∥AB，∵OA=OC，∴BD=CD，即OD是△ABC的中位线，∵AC是⊙O∴∠CFA=90°，∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠CFA=∠BED=90°，∴DE∥CF，∴BE∴BE=EF，即DE是△FBC的中位线，∴CF=2DE,∵AEDE∴设AE=2x，DE=3k，CF=6k，∵AF=10，∴BE=EF=AE+AF=2k+10，∴AC=BA=EF+AE=4k+10，在Rt△ACF中，由勾股定理，得AC2=AF2+CF2，即(4k+10)2=102+(6k)2，解得：k=4，∴AC=4k+10=4×4+10=26，∴OA=13,即⊙O的半径为13【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，证OD是△ABC的中位线，DE是△FBC的中位线是解题的关键．49．（2021·广东韶关·统考一模）如图，AC为⊙O的直径，B为AC延长线上一点，且∠BAD＝∠ABD＝30°，BC＝1，AD为⊙O的弦，连接BD，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M．(1)求证：直线BD是⊙O的切线；(2)求⊙O的半径OD的长；(3)求线段BM的长．【答案】(1)见解析(2)1；(3)3【分析】（1）利用等腰三角形的性质及三角形的内角和求得∠ODB＝90°，按照切线的判定定理可得答案；（2）利用30°角所对的直角边等于斜边的一半及圆的半径相等可得答案；（3）先由勾股定理求得BE的长，再连接DM，利用有两个角相等的三角形相似可判定△BMD∽△BDE，然后利用相似三角形的性质可得比例式，从而求得答案．【详解】（1）证明：∵OA＝OD，∠BAD＝∠ABD＝30°，∴∠BAD＝∠ADO＝30°，∴∠DOB＝∠BAD+∠ADO＝60°，∴∠ODB＝∠180°﹣∠DOB﹣∠ABD＝90°，∵OD为⊙O的半径，∴直线BD是⊙O的切线；（2）∵∠ODB＝90°，∠ABD＝30°，∴OD＝12OB∵OC＝OD，∴BC＝OC＝1，∴⊙O的半径OD的长为1；（3）∵OD＝1，∴DE＝2，BD＝22∴BE＝BD2+如图，连接DM，∵DE为⊙O的直径，∴∠DME＝90°，∴∠DMB＝90°，∵∠EDB＝90°，∴∠EDB＝∠DME，又∵∠DBM＝∠EBD，∴△BMD∽△BDE，∴BMBD∴BM＝BD∴线段BM的长为37【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆的性质，直径所对的圆周角是直角，三角形相似的判定和性质，熟练掌握切线的性质，三角形相似的判定是解题的关键．题型15作圆的切线50．（2022·北京海淀·人大附中校考模拟预测）已知：⊙O和圆外一点P，求作：过点P的⊙作法：①连接OP；②分别以O，P为圆心，大于12OP长为半径画弧，两弧交于M，N两点，连接MN，交③以C为圆心，OC长为半径作⊙C，交⊙O于点④作直线PA，所以直线PA，PB为

(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：连接MP，∵MP=MO，∴MN是线段OP的______（______∴CP=∵OP为⊙O的直径，A，∴∠OAP=∠OBP∴半径OA⊥AP，半径∴直线PA，PB为⊙O【答案】(1)见解析(2)垂直平分线；到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形即可；（2）先由垂直平分线的判定可得MN是线段OP的垂直平分线，从而得到CP=CO，再由圆周角定理可得【详解】（1）解：如图，PA、

；（2）解：连接MP，

，∵MP=MO，∴MN是线段OP∴CP=∵OP为⊙O的直径，A，∴∠OAP∴半径OA⊥AP，半径∴直线PA，PB为故答案为：垂直平分线；到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点睛】本题考查了作图—复杂作图，此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了线段垂直平分线的判定与性质、圆周角定理和切线的判定与性质．51．（2023·山东青岛·统考三模）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°．求作：⊙O，使圆心O在斜边AB上，经过点B且与边

【答案】见解析【分析】作∠ABC的角平分线交AC于E，作EO⊥AC交AB于点O，以O【详解】解：如图，作∠ABC的角平分线交AC于E，作EO⊥AC交AB于点O，以O

∵BE平分∠ABC∴∠CBE∵EO⊥AC，∴∠AEO∴EO∥∴∠OEB∴∠OEB∴OE=又∵EO⊥∴边AC与⊙O相切于点E∴⊙O【点睛】本题考查了作图—复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行的作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，本题涉及到两个基本作图（作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线），角平分线的定义，平行线的判定和性质，切线的判定，等腰三角形的判定等知识．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．52．（2023·江苏南京·统考二模）如图，已知菱形ABCD．求作⊙O，使得⊙O与菱形的四条边都相切要求：（1）用直尺和圆规作图；（

【答案】见解析【分析】连接AC、BD，交点为O，过点O作OH⊥AB，垂足为H，以O为圆心，【详解】如图，1.连接AC、BD，交点为2.以点O为圆心，适当长度为半径画弧，交AB于E，F两点，分别以点E，F为圆心，大于12EF为半径画弧，两弧交于点M，连接OM，交AB于点H，则3.以O为圆心，OH为半径作圆．则⊙O∵OH⊥AB,OH∴AB与⊙O∵⊙O和菱形ABCD都是中心对称图形，且⊙O的圆心与菱形∴⊙O为菱形ABCD【点睛】本题考查菱形的性质，基本作图—作垂线，切线的判定．熟练掌握切线的判定是解题的关键．53．（2023·福建莆田·统考二模）（1）如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AO平分∠BAC交BC于点O，以OB为半径作⊙（2）如图2，某湿地公园内有一条四边形ABCD型环湖路，∠ABC=90°．现要修一条圆弧形水上栈道，要求该圆弧形水上栈道所在的⊙O，圆心在BC上且与AB，CD

【答案】（1）直线AC是⊙O的切线，理由见解析；（2【分析】（1）过点O作OD⊥AC与点D，利用角平分线的性质可得（2）延长BA，CD相交于点E，作∠BEC的平分线交BC于点O，以O为圆心，OB【详解】解：（1）直线AC是⊙O理由：过点O作OD⊥AC与点

，∵∠ABC=90°，AO平分∴OB=∴直线AC是⊙O（2）如图所示，⊙O

．【点睛】本题考查了角平分线的性质，切线的判定等知识，掌握切线的判定定理是解题的关键．题型16应用切线长定理求解54．（2022·江西·模拟预测）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于点C、D，若CD=12，PA=8，则A．45 B．35 C．34【答案】A【分析】连接OA，根据切线长的性质得出PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，再证△APD≌△BPD（SAS），然后证明∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，利用勾股定理求出OP=OA【详解】解：连接OA∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B∴PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，∴∠APD=∠BPD，在△APD和△BPD中，AP=∴△APD≌△BPD（SAS）∴∠ADP=∠BDP，∵OA=OD=6，∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，在Rt△AOP中，OP=OA∴sin∠ADB=APOP故选A．【点睛】本题考查圆的切线性质，三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握圆的切线性质，三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数是解题关键．55．（2022·浙江杭州·统考一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接OB、AB，若∠ABO=25°，则∠A．50° B．55° C．65° D．70°【答案】A【分析】根据切线的性质得出PA=PB，∠PBO=90°，再根据三角形内角和定理求解即可．【详解】∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA=PB，∠OBP=90°，又∵∠ABO=25°，∴∠PBA=90°-25°=65°=∠PAB，∴∠P=180°-65°-65°=50°，故选：A．【点睛】本题考查切线的性质，三角形内角和定理，掌握切线的性质和等腰三角形的性质，三角形内角和为180°是解题的关键．56．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）如图，PA､PB切⊙O于A､B，若∠APB=

A．53 B．6 C．8 D．【答案】B【分析】连接PO，证明Rt△PAO≌Rt△【详解】解：连接PO，如图所示：

∵PA、PB切⊙O∴PA=PB，OA⊥∵在Rt△PAO和Rt△∴Rt△∴∠APO∴PO=2AO=6故选：B．【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，三角形全等的判定和性质，直角三角形性质，解题的关键是求出∠APO57．（2021·湖北随州·一模）如图：PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于CA．∠APO=∠BPO B．PA=PB C．AB⊥【答案】D【分析】利用切线长定理、等腰三角形的性质、切割线定理即可得出．【详解】∵PA、PB是⊙O的切线，切点是A、∴PA=PB∴选项A、B错误；∵PA=PB∴OP∴选项C错误；根据已知不能得出C是PO的中点，故选项D正确；故选D．【点睛】本题考查了切线长定理、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握切线长定理，属于基础题．题型17应用切线长定理求证58．（2022·四川成都·统考二模）已知：如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，BC是直径，AB交PO于点M，⊙O的半径为3，(1)求证：AC∥(2)求AC的长【答案】(1)见解析(2)18【分析】（1）连接AO，根据切线长定理可得PA=PB，AO=BO，则（2）根据（1）的结论可得∠C=∠POB，根据同角的余角相等可得∠ABC=∠BPO，根据切线的性质可得∠OBP=90°，勾股定理求得【详解】（1）连接AO，则AO=根据切线长定理可得PA=∴PO⊥∵BC∴AC⊥∴AC∥（2）∵AC∴∠C∵AC⊥∴∠C∵PO⊥∴∠POB∴∠ABC∵PB是⊙∴OB在Rt△POB中，∴PO∴sin∠ABC=∴ACBC∵BC=2∴AC=【点睛】本题考查了垂直平分线的判定，直径所对的圆周角是直角，切线长定理，勾股定理，切线的性质，根据正弦求边长，掌握以上知识是解题的关键．59．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）已知⊙O的圆心在BC上，AC、AB分别为⊙O的切线，切点分别为C、D，⊙O交BC

(1)求证：DE∥(2)若AC=6，AB=10，求【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）连接OD，证明出∠AOC=∠DEO（2）先由勾股定理求出BC，再利用DE∥AO，利用平行线分线段成比例定理求出半径，最后由△BDE【详解】（1）证明：连接OD，

∵AC、AB分别为⊙∴AC=AD在Rt△OAC和OA=∴Rt∴∠AOC∵OD∴∠ODE∵∠COD∴∠AOC∴DE（2）解：在Rt△∵AC=6，∴由勾股定理，得BC=设OC=x，则BO=∵AD=AC∴BD由（1）知DE∥∴BE即8-2x解得x=3经检验，x=3∴OC在Rt△由勾股定理，得OA=∵DE∴△BDE∴DE即DE3解得DE=【点睛】本题考查圆的切线的性质，圆的基本性质，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关图形的判定和性质是解题的关键．60．（2021·河北唐山·统考二模）如图，△ABC是直角三角形，以斜边AB为直径作半圆，半圆的圆心为O，过A、C两点作半圆的切线，交点为D，连接DO交AC于点E．

(1)求证：OD∥BC；(2)若AC＝2BC，求证：AB＝AD．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】对于（1），连接OC，根据切线的性质得到AD＝CD，且OA⊥AD，OC⊥CD，根据全等三角形的性质得到∠ADO＝∠CDO，求得DO⊥AC，根据平行线的判定定理即可得到结论；对于（2），先根据平行线的性质得∠B＝∠EOA，进而说明AE＝EC，求得∠EOA＝∠EAD，再推出BC＝AE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OC，如图所示，∵DA、DC是半圆O的切线，∴AD＝CD，且OA⊥AD，OC⊥CD，又OA＝OC，OD＝OD，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠ADO＝∠CDO，即DO是∠ADC的平分线，∴DO⊥AC，又BC⊥AC，∴OE∥BC；

（2）证明：由（1）知：OE∥BC，DO垂直平分AC，∴∠B＝∠EOA，AE＝EC，又DA⊥AO，∴∠EOA＝∠EAD，∴∠EAD＝∠B.∵AC＝2BC，∴BC＝AE，∴△ABC≌△DAE（ASA），∴AB＝AD．【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定等，构造全等三角形是解题的关键．61．（2022·辽宁大连·统考一模）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OP交⊙O于点C，连接AC，(1)求证：C是AB的中点；(2)若AC=OC=2【答案】(1)见解析；(2)2【分析】（1）证明△APC≌△BPC（SAS），得到AC（2）连接AO．先证明△AOC是等边三角形，得到∠AOP=60°，由PA是⊙O的切线，切点为A，∠PAO=90°，在Rt【详解】（1）证明：∵PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B∴AP=BP，又∵PC=∴△APC≌△BPC∴AC=∴AC=∴C是AB的中点；（2）解：连接AO．∵AC=OC，∴AC=∴△AOC是等边三角形，∴∠AOP∵PA是⊙O的切线，切点为A∴OA⊥∴∠PAO在Rt△APO中，tan∠∴AP=【点睛】此题考查了切线长定理、切线的性质定理、圆中的弧和弦之间的关系、解直角三角形、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，难度不大，熟练掌握相关定理的内容是解题的关键．题型18判断三角形外接圆圆心位置62．（2023·河北邢台·统考一模）如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F，O均在格点上．下列三角形中，外心不是点O的是（

）A．△ABC B．△ABD C．△ABE【答案】C【分析】设小正方形边长为1，再通过勾股定理求出O到所有顶点长度，不相等的就是外心不在的三角形．【详解】解：设小正方形边长为1，则：OA=OE=2根据三角形外心到各顶点距离相等可以判断：点O是△ABD不是△ABE故选：C．【点睛】本题考查外心的定义，掌握勾股定理求出外心到各顶点距离是关键．63．（2023·北京昌平·统考二模）船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立两座灯塔.只要留心从船上到两个灯塔间的角度不超过一定的大小，就不用担心触礁.如图所示的网格是正方形网格，点A,B,C,D,P,M,N是网格线交点，当船航行到点P的位置时，此时与两个灯塔

A．位置A B．位置B C．位置C D．位置D【答案】B【分析】先利用格点找出△MNP的外接圆的圆心，再判断哪个点在△【详解】解：如图，

由网格可知，点O是MN和MP垂直平分线的交点，即点O是△MNP∵OM=∴点M在△MNP∴∠MPN∴船处于位置B时，也一定无触礁危险，故选B．【点睛】本题考查圆周角定理，三角形的外心，勾股定理与网格问题等，解题的关键有两个，一是找出△MNP64．（2023·广东汕尾·统考二模）如图，在5×5的正方形网格中（小正方形的连长为1），有6个点A、B、C、D、E、F，若过A、B、C三点作圆O，则点D、E、F三点中在圆O外的有（

）个A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由图可知∠ABC=90°，故过A、B、C三点作圆O，直径为AC，圆心O在AC的中点，然后根据网格的特点用勾股定理计算半径和点D、E、【详解】解：如图，∵∠ABC∴过A、B、C三点作圆O，直径为AC，圆心O在AC的中点，∴OA=OD=OEOF=3>∴点F在圆O外，点D、E在圆O上，故选：B．【点睛】本题主要考查了直角三角形的外接圆圆心在斜边的中点上，以及点与圆的位置关系，解题关键是关键网格的特点找到圆心的位置．65．（2018·广东汕尾·校考三模）如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．

(1)用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）(2)设△ABC是等腰三角形，底边BC=8cm，腰AB【答案】(1)见解析(2)25【分析】（1）作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心O；（2）构建直角△BOE【详解】（1）解：作法：分别作AB和AC的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；

（2）连接AO、BO，AO交BC于E，∵AB=∴AE⊥∴BE=在Rt△ABE中，设⊙O的半径为R，在Rt∴OB即R2∴R=答：圆片的半径R为256【点睛】本题综合考查了垂径定理，勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图等知识点，要注意作图和解题中垂径定理的应用．题型19求外心坐标66．（2022·山东枣庄·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，A0,-3，B2,-1，C2,3．则△ABCA．0,0 B．-1,1 C．-2,-1 D【答案】D【分析】由BC两点的坐标可以得到直线BC∥y轴，则直线BC的垂直平分线为直线y=1，再由外心的定义可知△ABC外心的纵坐标为1，则设△ABC的外心为P（a，-1），利用两点距离公式和外心的性质得到PA【详解】解：∵B点坐标为（2，-1），C点坐标为（2，3），∴直线BC∥y轴，∴直线BC的垂直平分线为直线y=1，∵外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，∴△ABC外心的纵坐标为1，设△ABC的外心为P（a，1），∴PA∴a2解得a=-2∴△ABC外心的坐标为（-2，1），故选D．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，外心的性质与定义，两点距离公式，解题的关键在于能够熟知外心是三角形三边垂直平分线的交点．67．