2024年中考数学复习（全国版）第二讲 特殊四边形的性质与判定（题型突破+专题精练）（解析版）

→➌题型突破←→➍专题训练←题型一菱形的性质判定及其应用1．（如图，四边形是菱形，点E，F分别在边上，添加以下条件不能判定的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角形全等判定定理SAS可判定A，三角形全等判定定理AAS可判定B，三角形全等判定定理可判定C，三角形全等判定定理AAS可判定D即可．【详解】解:∵四边形是菱形，∴AB=AD,∠B=∠D,A.添加可以，在△ABE和△ADF中，，∴(SAS)，故选项A可以；B.添加可以，在△ABE和△ADF中，∴(AAS)；故选项B可以；C.添加不可以，条件是边边角故不能判定；故选项C不可以；D.添加可以，在△ABE和△ADF中，∴(SAS)．故选项D可以；故选择C．【点睛】本题考查添加条件判定三角形全等，菱形性质，掌握三角形全等判定定理，菱形性质是解题关键．2．如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】依次求出OE=OF=OG=OH，利用勾股定理得出EF和OE的长，即可求出该四边形的周长．【详解】∵HF⊥BC,EG⊥AB,∴∠BEO=∠BFO=90°，∵∠A=120°，∴∠B=60°，∴∠EOF=120°，∠EOH=60°，由菱形的对边平行，得HF⊥AD,EG⊥CD，因为O点是菱形ABCD的对称中心，∴O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH，∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°，∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°，所以四边形EFGH是矩形；设OE=OF=OG=OH=x，∴EG=HF=2x，，如图，连接AC，则AC经过点O，可得三角形ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AC=AB=2,∴OA=1,∠AOE=30°，∴AE=，∴x=OE=∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=,故选A．

【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等内容，要求学生在理解相关概念的基础上学会应用，能分析并综合运用相关条件完成线段关系的转换，考查了学生的综合分析与应用的能力．3．如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作、延长线的垂线，垂足分别为点、．若，，则的值为（）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根据菱形的基性质，得到∠PAE=30°，,利用勾股理求出AC=，则AP=+PC，PE=AP=+PC，由∠PCF=∠DCA=30°，得到PF=PC，最后算出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形且∠ABC=120°，AB=2，∴AB=BC=CD=DA=2，∠BAD=60°，AC⊥BD，∴∠CAE=30︒，∵AC⊥BD，∠CAE=30°，AD=2，∴AC=，∴AP=+PC，在直角△AEP中，∵∠PAE=30°，AP=+PC，∴PE=AP=+PC，在直角△PFC中，∵∠PCF=30°，∴PF=PC，∴=+PC-PC=，故选：B．【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、勾股定理的应用以及在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，关键会在直角三角形中应用30°．4．如图，在菱形中，，连接、，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】设AC与BD的交点为O，由题意易得，，进而可得△ABC是等边三角形，，然后问题可求解．【详解】解：设AC与BD的交点为O，如图所示：∵四边形是菱形，∴，，∵，∴△ABC是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴；故选D．【点睛】本题主要考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．5．如图，菱形的对角线与相交于点，点在上，连接，，，，，则（）A．4 B．3 C． D．2【答案】A【分析】根据菱形的性质以及已知条件，可得是等边三角形，可得，进而根据，可得，进而可得,根据，，，即可求得．【解析】四边形是菱形，,，，是等边三角形，，，，，，，，即，，．故选A．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD中点，连接OE，则下列结论中不一定正确的是（）A．AB＝AD B．OEAB C．∠DOE＝∠DEO D．∠EOD＝∠EDO【答案】C【分析】由菱形的性质可得AB=AD=CD，AC⊥BD，由直角三角形的性质可得OE=DE=CE=CD=AB，即可求解．【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=CD，AC⊥BD，故选项A不合题意，∵点E是CD的中点，∴OE=DE=CE=CD=AB，故选项B不合题意；∴∠EOD=∠EDO，故选项D不合题意；故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是是解题的关键．8．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，点G，H分别是AC的三等分点，则S四边形EHFG÷S菱形ABCD的值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可证EG∥BC，EG＝2，HF∥AD，HF＝2，可得四边形EHFG为平行四边形，即可求解．【解析】解：∵BE＝2AE，DF＝2FC，∴，∵G、H分别是AC的三等分点，∴，，∴，∴EG∥BC∴，同理可得HF∥AD，，∴，故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质，由题意可证EG∥BC，HF∥AD是本题的关键．9．如图，菱形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，，则的长为______．【答案】【分析】直接利用菱形的性质得出AO，DO的长，再利用勾股定理得出菱形的边长，进而利用等面积法得出答案．【详解】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，DB=6，∴AO=4，DO=3，∠AOD=90°，∴AD=5，在中，由等面积法得：,∴故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的高的求法（等面积法），熟记性质与定理是解题关键．10．菱形中，对角线，则菱形的高等于___________．【答案】【分析】过A作AE⊥BC，垂足为E，根据菱形的性质求出菱形边长，再利用菱形的面积公式得到方程，解之可得AE．【详解】解：如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，即AE为菱形ABCD的高，∵菱形ABCD中，AC=10，BD=24，∴OB=BD=12，OA=AC=5，在Rt△ABO中，AB=BC==13，∵S菱形ABCD=，∴，解得：AE=，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理的应用，能熟记菱形的性质是解此题的关键，注意：菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相平分且垂直．11．如图，在菱形ABCD中，对角线，，分别以点A，B，C，D为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留）【答案】【分析】先根据菱形的性质得出AB的长和菱形的面积，再根据扇形的面积公式求出四个扇形的面积和即可得出答案【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，，，∴AC⊥BD，AO=6，BO=8；∴；∴菱形ABCD的面积=∵四个扇形的半径相等，都为，且四边形的内角和为360°，∴四个扇形的面积=，∴阴影部分的面积=；故答案为：．【点睛】本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．12．如图1，菱形的对角线与相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为，点Q的运动路线为．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为__________厘米．【答案】【分析】四边形是菱形，由图象可得AC和BD的长，从而求出OC、OB和．当点P在段上运动且P、Q两点间的距离最短时，此时连线过O点且垂直于．根据三角函数和已知线段长度，求出P、Q两点的运动路程之和．【详解】由图可知，（厘米），∵四边形为菱形∴（厘米）∴P在上时，Q在上，距离最短时，连线过O点且垂直于．此时，P、Q两点运动路程之和∵（厘米）∴（厘米）故答案为．【点睛】本题主要考查菱形的性质和三角函数．解题的关键在于从图象中找到菱形对角线的长度．13．如图，在菱形中，，为中点，点在延长线上，、分别为、中点，，，则_____．【答案】4【分析】连接CG，过点C作CM

AD，交AD的延长线于M，利用平行线的性质和三角形中位线定理可得CG=

2HF=

，由ABCD，得CDM=

A=

60°，设DM=

x，则CD=

2x，CM=x，在Rt△CMG中，借助勾股定理得，即可求出x的值，从而解决问题．【解析】如图，连接CG，过点C作CM

AD，交AD的延长线于M，F、H分别为CE、GE中点，FH是△CEG的中位线，HF=CG，四边形ABCD是菱形，

ADBC，ABCD，DGE

=E，EHF=

DGE，E=EHF，HF

=

EF

=

CF，CG=

2HF

=，ABCD，CDM=

A

=

60°，设DM=x，则CD=

2x，CM=x，点G为AD的中点，DG=

x，GM=2x，在Rt△CMG中，由勾股定理得：，x=2，AB

=

CD=

2x=

4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，有一定综合性，作辅助线，构造直角三角形，利用方程思想是解题的关键．14．如图，四边形是菱形，点、分别在边、的延长线上，且．连接、．求证：．【答案】见解析【分析】根据菱形的性质得到BC=CD，∠ADC=∠ABC，根据SAS证明△BEC≌△DFC，可得CE=CF．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠ADC=∠ABC，∴∠CDF=∠CBE，在△BEC和△DFC中，，∴△BEC≌△DFC（SAS），∴CE=CF．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据菱形得到判定全等的条件．15．如图，在中，的角平分线交于点D，．（1）试判断四边形的形状，并说明理由；（2）若，且，求四边形的面积．【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）4【分析】（1）根据DE∥AB，DF∥AC判定四边形AFDE是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠EDA=∠EAD，可得AE=DE，即可证明；（2）根据∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根据对角线AD求出边长，再根据面积公式计算即可．【详解】解：（1）四边形AFDE是菱形，理由是：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠EAD，∵DE∥AB，∴∠EDA=∠FAD，∴∠EDA=∠EAD，∴AE=DE，∴平行四边形AFDE是菱形；（2）∵∠BAC=90°，∴四边形AFDE是正方形，∵AD=，∴AF=DF=DE=AE==2，∴四边形AFDE的面积为2×2=4．【点睛】本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．16．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．（1）求证：AE＝CF；（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）EF⊥BD或EB＝ED，见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明，则可得到AE＝CF；（2）连接BF，DE，由，得到OE=OF，又AO=CO，所以四边形AECF是平行四边形，则根据EF⊥BD可得四边形BFDE是菱形．【详解】证明：（1）∵四边形是平行四边形∴OA＝OC，BE∥DF∴∠E＝∠F在△AOE和△COF中∴∴AE＝CF（2）当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，理由如下：如图：连结BF，DE∵四边形是平行四边形∴OB＝OD∵∴∴四边形是平行四边形∵EF⊥BD，∴四边形是菱形【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，菱形的判定等知识点，熟悉相关性质，能全等三角形的性质解决问题是解题的关键．题型二矩形的性质判定及其应用17．如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据勾股定理求出AC=BD=10，由矩形的性质得出AO=5，证明得到OE的长，再证明可得到EF的长，从而可得到结论．【详解】∵四边形ABCD是矩形，，，，，，，，，又，，，，，，，同理可证，，，，，，故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答此题的关键．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】设CE=x，则BE=3-x由折叠性质可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5，所以AF=4，BF=AB-AF=5-4=1，在Rt△BEF中，由勾股定理得(3-x)2+12=x2，解得x的值即可．【详解】解：设CE=x，则BE=3-x，由折叠性质可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5在Rt△DAF中，AD=3，DF=5，∴AF=，∴BF=AB-AF=5-4=1，在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，即(3-x)2+12=x2，解得x=，故选：D．【点睛】本题考查了与矩形有关的折叠问题，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键．19．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由勾股定理求出BD的长，根据矩形的性质求出OD的长，最后根据三角形中位线定理得出EF的长即可．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=OD=OB，∵，，∴AC=∴BD=10cm，∴，∵点，分别是，的中点，∴．故选：D．【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．20．如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的速度匀速运动到点C，的面积S（cm2）随运动时间t（s）变化的函数图象如图2所示，则AB的长是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由图象2可知，点P从B到C的运动时间为4s，则由动点P的运动速度可求出BC的长，再根据图象可知的面积为6cm2，即可利用面积公式求解此题．【解析】解：∵动点P从A点出发到B的过程中，S随t的增大而增大，动点P从B点出发到C的过程中，S随t的增大而减小．∴观察图象2可知，点P从B到C的运动时间为4s，∵点P的运动速度为1cm/s，∴BC=1×4=4（cm），∵当点P在直线AB上运动至点B时，的面积最大，∴由图象2得：的面积6cm2，∴，∴cm．故选：B．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量．要求能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．21．如图，将矩形纸片ABCD的两个直角进行折叠，使CB，AD恰好落在对角线AC上，B′，D′分别是B，D的对应点，折痕分别为CF，AE．若AB＝4，BC＝3，则线段的长是（）A． B．2 C． D．1【答案】D【分析】先利用矩形的性质与勾股定理求解再利用轴对称的性质求解，从而可得答案.【解析】解：矩形纸片ABCD，由折叠可得：同理：故选：【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键.22．如图，在矩形纸片ABCD中，，，M是BC上的点，且．将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点处，折痕为MN，则线段PA的长是（）

A．4 B．5 C．6 D．【答案】B【分析】连接PM，证明即可得到，PA=5．【解析】连接PM∵矩形纸片ABCD中，，，∴∵∴∵折叠∴,∴∵PM=PM∴∴∴故选B．【点睛】本题考查矩形的折叠问题，解题的关键是看到隐藏条件，学会利用翻折不变性解决问题．23．如图，在矩形中，，点E，F分别在边上，且，按以下步骤操作：第一步，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，点B的对应点为，则线段的长为_______；第二步，分别在上取点M，N，沿直线继续翻折，使点F与点E重合，则线段的长为_______．【答案】1【分析】连接AF，NE，NF，证明出△AOE△ADC，利用对应边成比例求出OE=，再根据勾股定理求出的长，利用勾股定理求出EF，再根据折叠的性质，得到NF=NE，最后得出结果．【详解】解：如图所示，连接AF，NE，NF，∵点F与点E重合，∴MN⊥EF，设EF与AA’交于点O，由折叠的性质得到OA=OA’=3，令BF=x，则FC=8-x,由勾股定理的：，∵∠AOE=∠ADC，∠OAE=∠DAC∴△AOE△ADC，∴，由勾股定理得到：AC=，∴，∴OE=，∴OA=，∴OC=，∵，∴，解得：,∴的长为1．设B’N=m，B’F=1，则，解得：m=1，则FN=，∵EF=，∴MF=，∴MN=，故答案为：1，．【点睛】本题主要考查了折叠的性质和勾股定理的应用，关键在于画出图形，利用三角形相似和勾股定理求出各边的长度，特别注意点F与点E重合用到垂直平分线的性质．24.如图，矩形中，，，对角线的垂直平分线交于点、交于点，则线段的长为__．【答案】【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出BD，证明△BOF∽△BCD，根据相似三角形的性质得到比例式，求出EF即可．【解析】解：如图：四边形是矩形，，又，，，是的垂直平分线，，，又，，，，解得，，四边形是矩形，，，，是的垂直平分线，，，在和中，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个角是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键．25.如图，在矩形中，E为的中点，连接，过点E作的垂线交于点F，交CD的延长线于点G，连接CF．已知，，则_________．【答案】【分析】由题意，先证明△AEF≌△DEG，则EF=EG，，利用等腰三角形的性质，求出，然后得到AB=CD=，则，利用勾股定理求出BC，然后得到AE的长度，即可求出FE的长度．【解析】解：根据题意，在矩形中，则AB=CD，BC=AD，∠A=∠EDG=90°，∵E为的中点，∴AE=DE，∵∠AEF=∠DEG，∴△AEF≌△DEG，∴EF=EG，；∵CE⊥FG，∴，∴AB=CD=，∴，在直角△BCF中，由勾股定理则，∴AD=3，∴，在直角△AEF中，由勾股定理则；故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理等知识，26.如图，将矩形纸片折叠（），使落在上，为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将边折起，使点B落在上的点G处，连接，若，，则的长为________．【答案】【分析】根据矩形的性质和正方形的性质，证明，从而，又因为，代入求解即可．【详解】解：∵四边形是矩形,，∴,,,且四边形是正方形，∴，∴，又∵，∴，∴又∵（折叠，∴，,，设,则，∴，又∵是正方形对角线，∴，∴，∴，∴，解得：，即，∴．故答案为：【点睛】本题考查的是矩形的性质，正方形的性质和判定，三角形全等等相关知识点，根据题意找到等量关系转换是解题的关键．解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到．27.如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，，则GH的长为________．【答案】3【分析】根据直角三角形的性质和三角形中位线的性质，即可求解．【详解】∵在矩形ABCD中，∠BAE=90°，又∵点F是BE的中点，，∴BE=2AF=6，∵G，H分别是BC，CE的中点，∴GH是的中位线，∴GH=BE=×6=3，故答案是：3．【点睛】本题主要考查矩形的性质，直角三角形的性质和三角形中位线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，是解题的关键．28.如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为_____时，与全等．【答案】2或【分析】可分两种情况：①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值．【解析】解：①当，时，，，，，，解得：，，，解得：；②当，时，，，，，解得：，，，解得：，综上所述，当或时，与全等，故答案为：2或．【点睛】主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．29.已知：如图，矩形的对角线相交于点O，．（1）求矩形对角线的长．（2）过O作于点E，连结BE．记，求的值．【答案】（1）4；（2）【分析】（1）根据矩形对角线的性质，得出△ABO是等腰三角形，且∠BOC=120°，即∠AOB=60°，则△ABO为等边三角形，即可求得对角线的长；（2）首先根据勾股定理求出AD，再由矩形的对角线的性质得出OA=OD,且OE⊥AD，则AE=AD，在Rt△ABE中即可求得．【详解】解：（1）∵四边形是矩形，是等边三角形，，所以．故答案为：4．（2）在矩形中，．由（1）得，．又在中，．故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的对角线性质，等边三角形的判定，等腰三角形的三线合一以及在直角三角形中求锐角正切的知识点，灵活应用矩形对角线的性质是解题的关键．30.如图，点C是的中点，四边形是平行四边形．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）如果，求证：四边形是矩形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形ACED是平行四边形；（2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC．∵点C是BE的中点，∴BC=CE，∴AD=CE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，∵AB=AE，∴DC=AE，∵四边形ACED是平行四边形，∴四边形ACED是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．31.如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．【分析】根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等，利用AAS判定△ABE≌△FCE，从而得到AB＝CF；由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BC＝AF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，∵E为BC的中点，∴EB＝EC，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AB＝CF．∵AB∥CF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵BC＝AF，∴四边形ABFC是矩形．32.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△BDE≌△FAE；（2）求证：四边形ADCF为矩形．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠AFE＝∠DBE，根据线段中点的定义得到AE＝DE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AF＝BD，推出四边形ADCF是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到∠ADC＝90°，于是得到结论．【解答】证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是线段AD的中点，∴AE＝DE，∵∠AEF＝∠DEB，∴△BDE≌△FAE（AAS）；（2）∵△BDE≌△FAE，∴AF＝BD，∵D是线段BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝CD，∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCF为矩形．33.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．【分析】（1）根据菱形的性质得到BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO，得到AE＝OE=12AD，推出OE∥FG，求得四边形（2）根据菱形的性质得到BD⊥AC，AB＝AD＝10，得到OE＝AE=12AD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，求得FG＝OE＝5，根据勾股定理得到AF=【解析】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO，∵E是AD的中点，∴AE＝OE=12∴∠EAO＝∠AOE，∴∠AOE＝∠BAO，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴四边形OEFG是矩形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中点，∴OE＝AE=12AD＝由（1）知，四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5，∵AE＝5，EF＝4，∴AF=AE∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．题型三正方形的性质判定及其应用34.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O做ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】先证明，再证明四边形MOND的面积等于，的面积，继而解得正方形的面积，据此解题．【详解】解：在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC，又四边形MOND的面积是1，正方形ABCD的面积是4，故选：C．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．35.如图，在边长为3的正方形中，，，则的长是（）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】由正方形的性质得出，，由证得，即可得出答案．【解析】解：四边形是正方形，，，∵在中，，，设，则，根据勾股定理得：，即，解得：（负值舍去），，，，，，，，，．故选：．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，证明是解题的关键．36.由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点．若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q，根据题意可知BE=PC=DF，AE=BP=CF，根据可得BE=PE=PC=PF=DF，根据正方形的性质可证明△FDG是等腰直角三角形，可得DG=FD，根据三角形中位线的性质可得PH=FQ，CH=QH=CQ，利用ASA可证明△CPH≌△GDQ，可得PH=QD，即可得出PH=BE，可得BH=，利用勾股定理可用BE表示长CH的长，即可表示出CG的长，进而可得答案．【详解】如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q，∵由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形，∴BE=PC=DF，AE=BP=CF，∵，∴BE=PE=PC=PF=DF，∵∠CFD=∠BPC，∴DF//EH，∴PH为△CFQ的中位线，∴PH=QF，CH=HQ，∵四边形EPFN是正方形，∴∠EFN=45°，∵GD⊥DF，∴△FDG是等腰直角三角形，∴DG=FD=PC，∵∠GDQ=∠CPH=90°，∴DG//CF，∴∠DGQ=∠PCH，在△DGQ和△PCH中，，∴△DGQ≌△PCH，∴PH=DQ，CH=GQ，∴PH=DF=BE，CG=3CH，∴BH=BE+PE+PH=，在Rt△PCH中，CH==，∴CG=BE，∴．故选：C．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．37.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上，，，则AF的长是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】过作的垂线分别交于,由，证明，设，根据，求得，在中，利用勾股定理即可求得．【解析】如图，过作的垂线分别交于，四边形是正方形，，，四边形是矩形，，，，，，，四边形是正方形，，，，在和中，（AAS），，设，则，，即，解得，，四边形是正方形，，，，．故选B【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，求得是解题的关键．38.如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则的度数为（）A．60° B．65° C．75° D．80°【答案】C【分析】根据斜边中线等于斜边一半，求出∠MPO=30°，再求出∠MOB和∠OMB的度数，即可求出的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形中，∴∠MBO=∠NDO=45°，∵点O为MN的中点∴OM=ON，∵∠MPN=90°，∴OM=OP，∴∠PMN=∠MPO=30°，∴∠MOB=∠MPO+∠PMN=60°，∴∠BMO=180°-60°-45°=75°，，故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质和直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用相关性质，根据角的关系进行计算．39.如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是(﹣10，8)，点D在AC上，将BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据四边形ABCD是矩形，C（-10，8），得出BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，再由折叠的性质得到CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，利用勾股定理先求出OE的长，即可得到AE，再利用勾股定理求出DE，利用求解即可.【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，C（-10，8），∴BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，由折叠的性质可知：CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，在直角三角形BEO中：，∴，设，则在直角三角形ADE中：，∴，解得，∴，∵∠DEB=90°，∴，故选D.【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角函数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.40.如图，在正方形ABCD中，，M是AD边上的一点，．将沿BM对折至，连接DN，则DN的长是（）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】延长MN与CD交于点E，连接BE，过点N作，根据折叠的正方形的性质得到，在中应用勾股定理求出DE的长度，通过证明，利用相似三角形的性质求出NF和DF的长度，利用勾股定理即可求解．【详解】解：如图，延长MN与CD交于点E，连接BE，过点N作，∵，M是AD边上的一点，，∴，，∵将沿BM对折至，四边形ABCD是正方形，∴，，∴(HL)，∴，∴，在中，设，则，根据勾股定理可得，解得，∴，，∵，，∴，∴，∴，，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用等内容，做出合适的辅助线是解题的关键．41.如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1.将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（）A．2 B．2 C．6 D．5【答案】D【分析】作FH⊥AB于H，交AE于P，设AG=GE=x，在Rt△BGE中求出x，在Rt△ABE中求出AE，再证明△ABE≌△FHG，得到FG=AE，然后根据S四边形AGEF=S△AGF+S△EGF求解即可【解析】解：作FH⊥AB于H，交AE于P，则四边形ADFH是矩形，由折叠的性质可知，AG=GE，AE⊥GF，AO=EO．设AG=GE=x，则BG=3-x，在Rt△BGE中，∵BE2+BG2=GE2，∴12+(3-x)2=x2，∴x=．在Rt△ABE中，∵AB2+BE2=AE2，∴32+12=AE2，∴AE=．∵∠HAP+∠APH=90°，∠OFP+∠OPF=90°，∠APH=∠OPF，∴∠HAP=∠OFP，∵四边形ADFH是矩形，∴AB=AD=HF．在△ABE和△FHG中，，∴△ABE≌△FHG，∴FG=AE=，∴S四边形AGEF=S△AGF+S△EGF=====5．故选D．【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，三角形的面积，以及勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．42.如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转，使点B落在点的位置，连接B，过点D作DE⊥，交的延长线于点E，则的长为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用已知条件求得,设，将都表示出含有的代数式，利用的函数值求得，继而求得的值【解析】设交于点,由题意：是等边三角形四边形为正方形∴∠CBF=90°-60°=30°，DE⊥又设则解得：故选A【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，特殊角的锐角三角函数值，灵活运用锐角三角函数的定义及特殊三角函数值是解题的关键．43.如图，正方形OABC的边长为2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到正方形OA′B′C′，连接BC′，当点A′恰好落在线段BC′上时，线段BC′的长度是___．【答案】【分析】连接AA′，根据旋转和正方形的性质得出∠OA′C′=45°，∠BA′O=135°，OA=OA′=AB=2，再根据等腰三角形的性质，结合已知条件得出旋转角，然后利用三角形的性质和勾股定理得出答案；【解析】解：连接AA′，∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到正方形OA′B′C′，连接BC′，当点A′恰好落在线段BC′∴∠OA′C′=45°，∠BA′O=135°，OA=OA′=AB=2，∴∠OA′A=∠OAA′=，∴∠BAA′=，∴∠ABA′=∠AA′B=，∴∠BA′O=135°=∠AA′B+∠OA′A，∴，∴，∠A′AB=30°，∴△OAA′为等边三角形，∴AA′=AB=2，过点A′作A′E⊥AB于E，∵∠A′AB=30°，则A′E=，AE=，∴BE=，∴A′B=，∵A′C′=，∴BC′=A′B+A′C′=；故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形以及勾股定理，解题的关键是得出旋转角得出△OAA′为等边三角形．44.已知的三个顶点都是同一个正方形的顶点，的平分线与线段交于点D．若的一条边长为6，则点D到直线的距离为__________．【答案】3或或或【分析】将△ABC放入正方形中，分∠ABC=90°，∠BAC=90°，再分别分AB=BC=6，AC=6，进行解答．【详解】解：∵△ABC三个顶点都是同一个正方形的顶点，如图，若∠ABC=90°，则∠ABC的平分线为正方形ABCD的对角线，D为对角线交点，过点D作DF⊥AB，垂足为F，当AB=BC=6，则DF=BC=3；当AC=6，则AB=BC==，∴DF=BC=；如图，若∠BAC=90°，过点D作DF⊥BC于F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，AD=DF，又∠BAD=∠BFD=90°，BD=BD，∴△BAD≌△BFD（AAS），∴AB=BF，当AB=AC=6，则BC=，∴BF=6，CF=，在正方形ABEC中，∠ACB=45°，∴△CDF是等腰直角三角形，则CF=DF=AD=；当BC=6，则AB=AC==，同理可得：，综上：点D到直线AB的距离为：3或或或，故答案为：3或或或．【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，知识点较多，解题时要结合题意画出符合题意的图形，分情况解答．45.如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E在BC上，点F在CD上，N为EF的中点，连结NA，以NA，NF为邻边作□ANFG．连结DG，DN，将Rt△ECF绕点C顺时针方向旋转，旋转角为（0°≤≤360°）．（1）如图1，当＝0°时，DG与DN的关系为____________________；（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）在Rt△ECF旋转的过程中，当□ANFG的顶点G落