2024年中考数学复习（全国版）专题19 三角形的概念和性质【十六大题型】（举一反三）（原卷版）

专题19三角形的概念和性质【十六大题型】TOC\o"1-3"\h\u【题型1画三角形的高、中线、角平分线】 2【题型2等面积法求三角形的高】 4【题型3利用网格求三角形的面积】 5【题型4根据三角形的中线求解】 6【题型5与垂心性质有关的计算】 8【题型6利用三角形的三边关系求解】 9【题型7利用三角形内角和定理求解】 9【题型8三角形内角和与平行线的综合应用】 10【题型9三角形内角和与角平分线的综合应用】 12【题型10利用三角形内角和定理解决三角板问题】 13【题型11利用三角形内角和定理探究角的数量关系】 15【题型13利用三角形外角的性质求角度】 17【题型14三角形的外角性质与平行线的综合】 18【题型15利用三角形的外角性质解决折叠问题】 20【题型16三角形内角和定理与外角和定理综合】 21【知识点三角形】1.三角形的基本概念(1)三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。(2)三角形的分类①按边之间的关系分：三边都不相等的三角形叫做不等边三角形；有两边相等的三角形叫做等腰三角形；三边都相等的三角形叫做等边三角形。②按角分类：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。(3)三角形的三边之间的关系三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。③证明线段不等关系。(4)三角形的高.中线.角平分线角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。高线：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。(5)三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。(6)三角形的角①三角形的内角和等于180°。推论：直角三角形的两个锐角互余。有两个角互余的三角形是直角三角形。②三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。内外角的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。三角形的外角和等于360°。(7)三角形的面积三角形的面积=×底×高【题型1画三角形的高、中线、角平分线】【例1】（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）嘉淇剪一个锐角△ABC做折纸游戏，折叠方法如图所示，折痕与BC交于点D，连接AD，则线段AD分别是△ABC的（

）

A．高，中线，角平分线 B．高，角平分线，中线C．中线，高，角平分线 D．高，角平分线，垂直平分线【变式1-1】（2023·吉林长春·校联考二模）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，在给定的网格中，按照要求作图（保留作图痕迹）．(1)在图①中作△ABC的中线BD．(2)在图②中作△ABC的高BE．(3)在图③中作△ABC的角平分线BF．【变式1-2】（2023·河北石家庄·统考一模）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（∠A是钝角），他打算用折叠的方法折出∠C的角平分线、

A．AB边上的中线和高线 B．∠C的角平分线和ABC．∠C的角平分线和AB边上的中线 D．∠C的角平分线、【变式1-3】（2023下·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，△ABC

(1)在图1中画出△ABC中BC边上的高AD，垂足为D(2)在图2中画出△ABC中AB边上的中线CE(3)直接写出图2中三角形ACE的面积．【题型2等面积法求三角形的高】【例2】（2023·陕西西安·校考三模）如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A、B、C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中A．7510 B．713 C．7【变式2-1】（2023·江苏苏州·统考三模）数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S△ABC，小颖画的三角形面积记作S△DEF，那么你认为(

)A．S△ABC>S△DEF B．S△ABC<S△DEFC．S△ABC=S△DEF D．不能确定【变式2-2】（2023上·陕西延安·二模）如图，△ABC在平面直角坐标系中，A，B，C三点在方格线的交点

(1)请在图中作出△ABC中AB(2)求△ABC(3)点B到AC边所在直线的距离为165，求AC【变式2-3】（2023·河北张家口·统考一模）如图，在点A，B，C，D中选一个点；与点M，N为顶点构成一个三角形，其面积等于△KMN的面积，这个点为（

A．点A B．点B C．点C D．点D【题型3利用网格求三角形的面积】【例3】（2023·安徽安庆·校考一模）如图，点A，B在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上，在网格格点上除点A，B外任取一点C，则使△ABC的面积为1的概率是

【变式3-1】（2023·北京·统考二模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均在格点上，则SΔABCSΔACD(填“＞”，“＜”或

【变式3-2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考三模）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段DE，点A、B、D、E均在小正方形的顶点上．

(1)在方格纸中画出以AB为斜边的Rt△ABC，点(2)在方格纸中画出以DE为一边的等腰△DEF，点F在小正方形的顶点上，且△DEF的面积为【变式3-3】（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，在9×9的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在小正方形的顶点上(1)在图中，按要求画一个△ABC，使点C在格点上，使得AC=5，且△(2)在图中，在格点上取一点D，画一个△ABD，使得△ABD的面积是12，且(3)连接CD，直接写出△ACD【题型4根据三角形的中线求解】【例4】（2023·湖北·统考中考真题）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为．【变式4-1】（2023·福建泉州·模拟预测）如图，BD是△ABC的中线，AB=6，BC=4，△【变式4-2】（2023·湖南·中考真题）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=13，AD=1（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．【变式4-3】（2023·江苏·统考中考真题）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF=3FE，则【题型5与垂心性质有关的计算】【例5】（2023·山东威海·统考模拟预测）【信息阅读】垂心的定义：三角形的三条高（或高所在的直线）交于一点，该点叫三角形的垂心．【问题解决】如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=62°，H为△A．120° B．115° C．102° D．108°【变式5-1】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，H、O分别为△ABC的垂心、外心，∠BAC=45°，若△ABC外接圆的半径为

A．23 B．22 C．4 D【变式5-2】（2023·河北·模拟预测）已知锐角△ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径，则∠A的度数是（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【变式5-3】（2023·福建泉州·南安市实验中学校考模拟预测）如图1，设ΔABC是一个锐角三角形，且AB≠AC，Γ为其外接圆，O、H分别为其外心和垂心，CD为圆Γ直径，M为线段（1）证明：M为BC中点；（2）过O作BC的平行线交AB于点E，若F为AH的中点，证明：EF⊥（3）直线AM与圆Γ的另一交点为N（如图2），以AM为直径的圆与圆Γ的另一交点为P．证明：若AP、BC、

【题型6利用三角形的三边关系求解】【例6】（2023·四川·中考真题）若实数x、y满足x-4+y-8=0【变式6-1】（2023·江苏盐城·统考中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（

）A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12【变式6-2】（2023·贵州·统考中考真题）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（

）A．1 B．2 C．7 D．8【变式6-3】（2023·江苏·统考中考真题）如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，点P、Q分别是AB、A1C1的中点，PQ的最小值等于．【题型7利用三角形内角和定理求解】【例7】（2023·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A'B'C，连接AA．70° B．65° C．60° D．55°【变式7-1】（2023·青海西宁·统考中考真题）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△【变式7-2】（2023·湖北·中考模拟）如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若∠A．67.5° B．52.5° C．45° D．75°【变式7-3】（2023·江苏·无锡市第一女子中学校考中考模拟）如图，在△ACB和△DCE中，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE、BD交于点O，AE与DC交于点M，

【题型8三角形内角和与平行线的综合应用】【例8】（2023·四川·中考真题）如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△A

A．35° B．40° C．50° D．70°【变式8-1】（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图所示，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，DE∥AC，交BC于点E．若∠A．25° B．40° C．45° D．50°【变式8-2】（2023·江苏·统考中考真题）如图，AD//BC，∠ADC=120°，∠BAD=3∠CAD，E为AC上一点，且∠ABE=2∠CBE，在直线AC上取一点【变式8-3】（2023·浙江金华·一模）如图，已知AB∥CD，小妍同学进行以下尺规作图：①以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线AB于点E；②以点E为圆心，小于线段CE的长为半径作弧，与射线CE交于点M，N；③分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，交于点F，直线EF交CD于点G．若∠CGE=α，则∠A．90°-α B．90°-12α C．【题型9三角形内角和与角平分线的综合应用】【例9】（2023·山东淄博·统考一模）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°A．35° B．60° C．70° D．85°【变式9-1】（2023·浙江·中考真题）如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=度．【变式9-2】（2023·广东佛山·校考一模）如图，已知△ABC的三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且AD=AO，CB(1)求证：∠OBD(2)若∠BAC=80°，求【变式9-3】（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC,AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD长为半径画弧，与

(1)求证：△ADE(2)若∠BAC=80°，求【题型10利用三角形内角和定理解决三角板问题】【例10】（2023·青海·统考中考真题）一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边上，AC与DM、DN分别交于点E、F，把△MDN绕点D旋转到一定位置，使得DE=DF，则∠BDN的度数是(

)A．105° B．115° C．120° D．135°【变式10-1】（2023·甘肃·中考真题）（1）如图，BD与CD分别平分∠ABC和∠ACB，已知∠BDC（2）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，求∠1的度数【变式10-2】（2023·浙江绍兴·统考三模）如图，将一个含30°角的直角三角板的斜边和量角器的直径所在的边重合放置，其中点D所在位置在量角器外侧的读数为110°，∠ACB=90°，连结DC交AB于点E，则

A．55° B．65° C．75° D．85°【变式10-3】（2023·山西·统考三模）综合与实践−−探究特殊三角形中的相关问题问题情境：某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，且Rt△ABC的较短直角边AB为2，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α0°<α<90°，如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，(1)初步探究：勤思小组的同学提出：当旋转角α=时，△AMC是等腰三角形；(2)深入探究：敏学小组的同学提出在旋转过程中．如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线，请帮他们证明；(3)再探究：在旋转过程中，当旋转角α=30°时，求△ABC与△AFE重叠的面积；(4)拓展延伸：在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．【题型11利用三角形内角和定理探究角的数量关系】【例11】（2023·山东滨州·统考一模）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，这个关系是（A．2∠A=∠1+∠2 BC．∠A=∠1+∠2 D【变式11-1】（2023·广西百色·校联考一模）如图，有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、LA．∠2=∠4+∠7 B．∠1+∠4+∠6=180°C．∠3=∠1+∠6 D．∠2+∠3+∠5=360°【变式11-2】（2023·海南儋州·海南华侨中学校联考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，使点D落在AC边上，DE，BC相交于点E．设∠A．α+β=150°C．52α+【变式11-3】（2023·内蒙古鄂尔多斯·统考一模）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上的一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE，设∠BAC=α，∠BCE=β．(1)如图①，当点D在线段BC上，如果α=60°，β=120°；如图②，当点D在线段BC上，如果α=90°，β=90°；如图③，当点D在线段BC上，如果α，β之间有什么样的关系？请直接写出．(2)如图④，当点D在射线BC上，（1）中结论是否成立？请说明理由；(3)如图⑤，当点D在射线CB上，且在线段BC外，（1）中结论是否成立？若不成立，请直接写出你认为正确的结论．【题型12三角形内角和定理与新定义问题综合】【例12】（2023上·江苏南京·九年级校联考期中）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形ABCD（如图），以下结论：①∠BCD＝∠A+∠B+∠D；②若AB＝AD，BC＝CD，则AC⊥BD；③若∠BCD＝2∠A，则BC＝CD；④存在凹四边形ABCD，有AB＝CD，AD＝BC．其中所有正确结论的序号是．【变式12-1】（2023·江苏·苏州高新区第二中学校考二模）定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值kk>1称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形ABC中，∠A=36°,则它的优美比A．32 B．2 C．52 D【变式12-2】（2023·江苏盐城·统考一模）定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．若△ABC是“倍角三角形”，∠A=90°，AC=3【变式12-3】（2023·江苏苏州·统考一模）【阅读理解】如果三角形的两个内角α与β满足2a+β=90°，那么我们称这样的三角形为【基础巩固】（1）若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C>90°，∠A=50°【尝试应用】（2）如图①，在△ABC中，∠ACB>90°，AC=5，BC=73，且BC边上的高AD【灵活运用】如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，试问在边BC上是否存在点E，使得△ABE【题型13利用三角形外角的性质求角度】【例13】（2023·湖北·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接

【变式13-1】（2023·山东·统考中考真题）如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到△CBF．若∠ABE=55°

【变式13-2】（2023·北京延庆·统考一模）如图，⊙O的弦AB，CD相交于点P．若∠A=48°，∠APD=80°【变式13-3】（2023·山东·统考中考真题）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB,

A．180°-α B．180°-2α C．90°+α【题型14三角形的外角性质与平行线的综合】【例14】（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，小颖按如下方式操作直尺和含30°角的三角尺，依次画出了直线a，b，c．如果∠1=70°，则∠2的度数为（

）．

A．110° B．70° C．40° D．30°【变式14-1】（2023·广东深圳·统考中考真题）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF=120°，DE与地面平行，∠ABD=50°，则

A．70° B．65° C．60° D．50°【变式14-2】（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1=44°，则∠2的度数为（）

A．14° B．16° C．24° D．26°【变式14-3】（2023·浙江·校联考三模）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，点E是射线AB上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交直线CD于点F，∠BEF

(1)如图1，点E在线段AD上运动．①若∠B=60°，∠②若∠A=90°，求(2)若点E在射线DB上运动时，探究∠EGC与∠【题型15利用三角形的外角性质解决折叠问题】【例15】（2023·辽宁丹东·校考