2024年中考数学复习（全国版）专题13 一次函数的应用【十大题型】（举一反三）（原卷版）

专题13一次函数的应用【十大题型】TOC\o"1-3"\h\u【题型1行程问题】 1【题型2工程问题】 3【题型3最大利润问题】 5【题型4分配问题】 6【题型5分段计费问题】 7【题型6调运问题】 9【题型7计时问题】 11【题型8几何问题】 13【题型9体积问题】 14【题型10现实生活问题】 16【知识点一次函数的应用】在研究有关函数的实际问题时，要遵循一审.二设.三列.四解的方法：第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系；第2步：设自变间的关系设满量。根据各个量之足题意的自变量；第3步：列函数。根据各个量之间的关系列出函数；第4步：求解。求出满足题意的数值。【题型1行程问题】【例1】（2023·江苏·统考中考真题）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时30min，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为70km/h．两车之间的距离

(1)请解释图中点A的实际意义；(2)求出图中线段AB所表示的函数表达式；(3)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间．【变式1-1】（2023·浙江宁波·统考中考真题）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2

(1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值，(2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．【变式1-2】（2023·黑龙江·统考中考真题）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．请解答下列问题：(1)填空：甲的速度为______米/分钟，乙的速度为______米/分钟；(2)求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．【变式1-3】（2023·吉林长春·东北师大附中校考三模）甲、乙两人驾车都从P地出发，沿一条笔直的公路匀速前往Q地，乙先出发一段时间后甲再出发，甲、乙两人到达Q地后均停止，已知P、Q两地相距200km，设乙行驶的时间为th，甲、乙两人之间的距离为y（km）

(1)由图象可知，甲比乙晚出发______h．图中线段BC所在直线的函数解折式为．(2)设甲的速度为v1km/h，求出(3)根据题目信息补全函数图象（不需要写出分析过程，但必须标明关键点的坐标）．【题型2工程问题】【例2】（2023·四川成都·一模）哈尔滨至名山风景区的高铁工程已经进入施工阶段，现要把248吨物资从伊春运往绥化和鹤岗两地，用大、小两种货车共20辆恰好能一次性运完这批货物，已知大、小两种货车的载重量分别是每辆16吨和10吨，运往绥化和鹤岗的运费如表：车型绥化（元/辆）鹤岗（元/辆）大货车620700小货车400550(1)两种货车各有多少辆？(2)若安排9量货车前往绥化，其余货车前往鹤岗，设前往绥化的大货车为a辆，且运往绥化的物资不少于120吨，那么一共有多少种运送方案？其中那种方案运费最省钱？【变式2-1】（2023·江苏南通·统考中考真题）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：信息—工程队每天施工面积（单位：m2每天施工费用（单位：元）甲x3600乙x2200信息二甲工程队施工1800m2所需天数与乙工程队施工(1)求x的值；(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于15000m2【变式2-2】（2023·吉林·统考中考真题）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和ym与甲组挖掘时间x

(1)甲组比乙组多挖掘了__________天．(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数．【变式2-3】（2023·福建厦门·厦门市湖里中学校考模拟预测）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调研发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积xm2之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为(1)当x≤100时，求y与x(2)当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用【题型3最大利润问题】【例3】（2023·山东青岛·统考中考真题）某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：品名AB进价（元/件）4560售价（元/件）6690(1)第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？(2)受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元．①请求出W与m的函数关系式；②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．【变式3-1】（2023·江苏扬州·统考中考真题）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？【变式3-2】（2023·四川达州·统考中考真题）某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．(1)分别求出每件豆笋、豆干的进价；(2)某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的32(3)若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？【变式3-3】（2023·四川内江·统考中考真题）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示：水果种类进价（元千克）售价（元）千克）甲a20乙b23该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元．(1)求a，b的值；(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售．求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价3m元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（利润率=利润本金）不低于【题型4分配问题】【例4】（2023·湖南永州·校考二模）某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病毒．若购买3桶甲消毒液和2桶乙消毒液，则一共需要220元；若购买1桶甲消毒液和3桶乙消毒液，则一共需要190元．(1)每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？(2)若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，其中购买甲消毒液a桶，且甲消毒液的数量不超过乙消毒液的数量的2倍．怎样购买，才能使总费用W最少？并求出最少费用．【变式4-1】（2023·浙江湖州·统考一模）为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，则购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的45(1)求篮球、足球的单价分别为多少元？(2)学校计划购买篮球、足球共60个，如果购买足球m（m≤45）个，总费用为w元，请写出w与m(3)在（2）的条件下学校计划总费用不多于5200元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？【变式4-2】（2023·河南周口·校联考三模）某园区准备进行二次绿化，计划购进A，B两种绿化树，经调查可知购进5棵A绿化树和10棵B种绿化树共需1100元，购进10棵A种绿化树和8棵B种绿化树需1600元．(1)求A，B两种绿化树每棵的价格；(2)若最终决定购买A，B两种绿化树共24棵，且A种绿化树的数正不少于B种绿化树数量的3倍，请你设计一种费用最低的购买方案，并求出最低费用．【变式4-3】（2023·黑龙江鸡西·统考二模）针对新冠疫情作积极防控，某公司计划生产A，B两种消毒产品共80箱，需购买甲、乙两种材料．已知生产一箱A产品需甲种材料3千克，乙种材料4千克；生产一箱B产品需甲、乙两种材料各2千克．经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料3千克和乙种材料2千克共需资金140元．(1)求甲、乙两种材料的单价分别为每千克多少元；(2)现公司用于购买甲、乙两种材料的资金不超过8800元，且不低于8760元，求符合生产条件的生产方案有哪几种；(3)在（2）的条件下，若生产一箱A产品需加工费40元，生产一箱B产品需加工费50元，则应选择哪种生产方案，使生产这80箱产品的成本最低，最低成本是多少元（成本=材料费+加工费）？【题型5分段计费问题】【例5】（2023·吉林白山·校联考一模）某地区的电力资源缺乏，未能得到较好的开发．该地区一家供电公司为了居民能节约用电，采用分段计费的方法来计算电费．月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数图象如图所示．(1)月用电量为50度时，应交电费______元．(2)当x≥100时，求y与x之间的函数关系式．(3)月用电量为150度时，应交电费______元．【变式5-1】（2023·陕西西安·校考二模）某市出租车计费方法为：当行驶里程不超过3km时，计价器保持在8.5元；当行驶里程超过3km时，计价器开始变化，行驶里程x（km）与车费y（元）之间的关系如图所示．(1)当行驶里程超过3km时，求y与x之间的函数关系式；(2)若某乘客有一次乘出租车的车费为28.5元，求这位乘客乘车的里程．【变式5-2】（2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）为了倡导绿色低碳的生活方式，鼓励居民节约用电，某地采取表1的计费方式已知嘉淇家7月份用电量为280度，缴纳电费为164元．表1

某地居民用电计费方式第一档电量第二档电量第三档电量月用电量180度（含180度），以下每度价格0.55元月用电量180度至300度（含300度）的部分，每度比第一档提价a元月用电量300度以上的部分，每度比第一档提价0.30元(1)求出表1中a的值；(2)设某用户每月用电量为x度，应缴纳电费为y元，求y与x的函数关系式；(3)嘉淇在暑期社会实践活动中随机调查了20户家庭7月份的用电量，如表2所示试通过计算求出这20户家庭缴纳电费的中位数和众数．表2

20户家庭7月份用电量统计表用电量（度）120160200260320户数23672【变式5-3】（2023·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）据悉，上海市发改委拟于今年4月27日举行居民用水价格调整听证会，届时将有两个方案提供听证．如图1，射线OA、射线OB分别表示现行的、方案一的每户每月的用水费y(元)与每户每月的用水量x(立方米)之间的函数关系，已知方案一的用水价比现行的用水价每立方米多0.96元；方案二如图2表格所示，每月的每立方米用水价格由该月的用水量决定，且第一、二、三级的用水价格之比为1：1.5：2(精确到0.01元级数水量基数m调整后的价格（元/m3第一级0~15（含15）2.61第二级15~25（含25）3.92第三级25以上n

图（2）(1)写出现行的用水价是每立方米多少元？(2)求图1中m的值和射线OB所对应的函数解析式，并写出定义域；(3)若小明家某月的用水量是a立方米，请分别写出三种情况下(现行的、方案一和方案二)该月的水费b(用a的代数式表示)(4)小明家最近10个月来的每月用水量的频数分布直方图如图3所示，估计小明会赞同采用哪个方案请说明理由．【题型6调运问题】【例6】（2023·黑龙江·校联考一模）某地地震发生后，根据救灾指挥中心的信息，甲、乙两个重灾区急需一种大型挖掘机，甲地需要27台，乙地需要25台，A、B两省获知情况后慷慨相助，分别捐赠该型号挖掘机28台和24台，并将其全部调运往灾区，如果从A省调运一台挖掘机到甲地耗资0.4万元，到乙地耗资0.3万元；从B省调运一台挖掘机到甲地耗资0.5万元，到乙地耗资0.2万元．设从A调往甲地x台挖掘机，A、(1)用含x的代数式填写下表：甲地乙地A省xB省(2)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(3)若总耗资不超过16.2万元，共有几种调运方案？哪种调运方案的总耗资最少？【变式6-1】（2023·河南南阳·校联考三模）进入冬季以来，新冠肺炎疫情再次来袭．一方有难，八方支援，我县某公司积极响应党的号召，帮助运送爱心物资，以下是两次载满的运输情况如下表：甲种货车辆数乙种货车辆数运送物资总数/吨第一次3224第二次2538(1)求甲乙两种货车每次载满分别能运送多少吨物资；(2)如果用甲乙两种货车共10辆运送物资，其中甲种货车m辆，请表示出两种货车载满爱心物资的总吨数w和m的关系式．【变式6-2】（2023·湖北武汉·统考二模）计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：百元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）．A地B地甲厂710乙厂1015(1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地__________台，乙厂运往A地__________台，乙厂运往B地__________台．(2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？(3)因客观原因，从甲到A的运输费用每台增加了m百元，从乙到B的运输费用每台减小了2m百元，其它不变，且1<m【变式6-3】（2023·广东广州·模拟预测）6月份以来，猪肉价格一路上涨，为平抑猪肉价格，某省积极组织货源，计划由A、B、C三市分别组织10辆，10辆和8辆运输车向D、E两市运送猪肉，现决定派往D、E两地的运输分别是18辆、10辆．已知一辆运输车从A市到D、E两市的运费分别为200元和800元，从B市到D、E两市的运费分别为300元和700元，从C市到D、E两市的运费分别为400元和500元．若从A、B两市都派x辆车到D市，当这28辆运输车全部派出时，(1)求总运费W（元）与x（辆）之间的关系式，并写出x的取值范围；(2)求总运费W最低时的车辆派出方案．【题型7计时问题】【例7】（2023·江西南昌·统考一模）沙漏又称“沙钟”，是我国古代一种计量时间的装置．它是根据均匀的沙粒从一玻璃球漏到另一个玻璃球的数量来计量时间．其中上面玻璃球中沙粒完全流入下面玻璃球后立即将沙漏倒置（倒置时间忽略不计），重新进行计时，周而复始．某课外数学小组观察发现：该沙漏上面玻璃球沙粒剩余量y粒与流入时间t秒成一次函数关系（不考虑其他因素），当流入时间在第3秒时，上面玻璃球剩余沙粒1140粒，当流入时间在第9秒时，上面玻璃球剩余沙粒1020粒．(1)求出上面玻璃球沙粒余量y粒与流入时间t（秒）之间的函数关系式；(2)求沙漏恰好完成第一次倒置所需时间．【变式7-1】（2023·河南洛阳·统考模拟预测）如图，“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x（小时）表示漏水时间，y（厘米）表示壶底到水面的高度，y是x的一次函数．某次计时过程中，如表记录了四组数据，其中只有一组数据记录错误，它是（

）组数1234漏水时间x12.545.5壶底到水面的高度y13974A．第1组 B．第2组 C．第3组 D．第4组【变式7-2】（2023·广东深圳·校联考二模）某学校STEAM社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（图1）制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该实验小组从函数角度进行了如下实验探究：实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到表1．表1沉沙时间x02468电子秤读数y（克）618304254探索发现：(1)建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时间x，纵坐标表示精密电子称的读数y，描出以表1中的数据为坐标的各点．(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．结论应用：应用上述发现的规律估算：(3)若漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为多少？(4)若本次实验开始记录的时间是上午7:30，当精密电子秤的读数为72克时是几点钟？【变式7-3】（2023·浙江绍兴·统考三模）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．某学校STEAM社团在进行项目化学习时依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型．该实验小组通过观察，记录水位hcm、时间tt（min）…1234…h（cm）…1.62.02.42.8…为了描述水位hcm与时间tmin的关系，现有以下三种函数模型供选择：h=kt+

(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象．(2)当水位高度h为4.8cm时，求对应的时间t【题型8几何问题】【例8】（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线y=-13x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线y=-43x+2上的一动点，动点E

【变式8-1】（2023·江苏泰州·校考三模）已知直线l过点A0,-2且平行于x轴，点B的坐标为0,2，将直线l绕点B逆时钟旋转60°，则旋转后的直线对应的函数表达式为【变式8-2】（2023·河北沧州·校考模拟预测）矩形OABC在平面直角坐标系如图所示，OA=12，OC=24，点E、F分别是OA、OC上的动点，点E、F分别从A、O同时出发，沿OA、OC方向，分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向点O、C运动，当运动秒时，EF∥AC；当EF⊥OB时，直线EF

【变式8-3】（2023·江苏南通·校考二模）已知，如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为-1,0，点B的坐标为3,0，点C的坐标为0,3，点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ=3PQ，连接DQ，当3AP+4DQ【题型9体积问题】【例9】（2023·河北保定·统考一模）如图1，一个正方体铁块放置在高为90cm的圆柱形容器内，现以一定的速度往容器内注水，注满容器为止．容器顶部离水面的距离ycm与注水时间xmin之间的函数图象如图(1)求直线BD的解析式，并求出容器注满水所需的时间．(2)求正方体铁块的体积．【变式9-1】（2023·陕西·统考一模）小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作：请根据图中给出的信息，解答下列问题：(1)放入一个小球量桶中水面升高cm；(2)求放入小球后量桶中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的函数关系式；(3)当量桶中水面上升至距离量桶顶部3cm时，应在量桶中放入几个小球？【变式9-2】（2023·浙江绍兴·统考一模）将一块a×b×ca<b<c的长方体铁块（图1）平放在一个长方体水槽底部（图2），现向水槽内匀速注水，直至注满水槽为止，因铁块在水槽内有3种不同的放置方式，所以水槽内的水深h（1）判断t1与t2的大小关系：t1_________________t2；（2）水槽深度为_________________厘米；a=_________________厘米，b=_________________厘米；（3）求铁块的体积．【变式9-3】（2023·河北石家庄·校考一模）如图，A、B两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时水箱A中没有水，水箱B中盛满水．现以6dm3/min的流量从水箱B中抽水注入水箱A中，直至水箱A注满水为止．设注水tmin，水箱A的水位高度为y（1）水箱A的容积为______；（提示：容积=底面积×高）（2）分别写出yA、yB与（3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，求出此时两水箱中水位的高度差．【题型10现实生活问题】