2024年中考数学复习（全国版）第19讲 直角三角形（练习）（原卷版）

第19讲直角三角形目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u题型01利用直角三角形的性质求解题型02根据已知条件判定直角三角形题型03与直角三角形有关的面积计算题型04利用勾股定理求线段长题型05利用勾股定理求面积题型06已知两点坐标求两点距离题型07判断勾股数问题题型08勾股定理与网格问题题型09勾股定理与无理数题型10以直角三角形三边为边长的图形面积题型11利用勾股定理证明线段的平方关系题型12勾股定理的证明方法题型13以弦图为背景的计算题题型14利用勾股定理构造图形解决问题题型15利用勾股定理解决实际问题题型16勾股定理与规律探究问题题型17在网格中判定直角三角形题型18利用勾股定理逆定理求解题型19利用勾股定理解决实际生活问题题型01利用直角三角形的性质求解1．（2023·广东梅州·统考一模）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C

A．30° B．40° C．50° D．60°2．（2023·广东中山·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，点D为边A．3 B．23 C．2 D．3．（2021·河南信阳·统考一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,H为BC中点，AC=6,A．125 B．52 C．3 D4．（2022·广东广州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，当B在x轴的正半轴上运动时，A随之在y轴的正半轴上运动，矩形ABCD的形状保持不变．若∠OAB＝30°时，点A的纵坐标为23，点C的纵坐标为1，则点D到点O的最大距离是（）A．25 B．22+2 C．22+4 D．2题型02根据已知条件判定直角三角形5．（2022·重庆·重庆市松树桥中学校校考模拟预测）已知△ABC的三条边分别是a、b、c，则下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（A．a:b:C．∠A:∠B6．（2022·云南昆明·统考二模）已知实数x，y，z满足(x-5)2+y-12+|A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断7．（2022·安徽合肥·合肥38中校考一模）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，选择下列条件中的一个，能判断△ABC是直角三角形的是（）①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝3：4：5A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型03与直角三角形有关的面积计算8．（2023·广东佛山·统考二模）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，BC=4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交A．83-4π B．83-9．（2023·山东泰安·统考一模）如图，Rt△ABC中，∠A=30°,∠ABC=90°，将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A'BC'．此时恰好点C在AA．13 B．916 C．2310．（2022·山东济南·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，∠C=30∘，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AB，AC于点P，Q；再分别以点P，Q为圆心，以大于12PQ的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线AE交BC于点F.设△ABF，△ABCA．12 B．13 C．1311．（2022·浙江金华·统考一模）把一副三角尺如图所示拼在一起，其中AC边长是26，则△ACD的面积是（

A．42 B．6 C．43 D题型04利用勾股定理求线段长12．（2021·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB=48cmA．8cm B．10cm C．16cm13．（2022·云南昆明·官渡六中校考一模）在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=100,sinA．5003 B．5035 C．60 D14．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC．若OC=5，BC=1，∠AOB=30°A．3 B．32 C．2 D．题型05利用勾股定理求面积15．（2022·四川内江·四川省内江市第六中学校考一模）若直角三角形的两边长分别是方程x2-7A．6 B．12 C．12或372 D．616．（2023·河南南阳·统考三模）如图，在正方形ABCD中，AB=4cm，在等腰直角三角形EFG中，∠FEG=90°，EF=10cm．边BC与FG在同一直线上．CF=8cm．若正方形ABCD

17．（2023·广东潮州·统考模拟预测）如图，△BED是等腰直角三角形，AC经过点E，过点B作BA⊥AC，过点D作DC∥BA，若AC

题型06已知两点坐标求两点距离18．（2022·广东中山·校联考一模）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）到原点的距离是．19．（2022·宁夏银川·银川市第三中学校考模拟预测）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2=(x1-x2)2+(y1-(1)已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；(2)已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离；(3)已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．题型07判断勾股数问题20．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，2521．（2022·河北石家庄·校联考三模）已知：整式A=n2+1，B=2(1)当n=1999时，写出整式A+B(2)求整式A2(3)嘉淇发现：当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．22．（2019·安徽马鞍山·校联考二模）若正整数a，b，c（a＜b＜c）满足a2+b2＝c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．观察下列两类“勾股数”：第一类（a是奇数）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；…第二类（a是偶数）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；…（1）请再写出两组勾股数，每类各写一组；（2）分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明（a，b，c）是“勾股数”．题型08勾股定理与网格问题23．（2020·山东聊城·统考模拟预测）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACBA．355 B．175 C．324．（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，在9×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是∠ABC的平分线，则BD的长为（

）A．102 B．10 C．3102题型09勾股定理与无理数25．（2020·河南·模拟预测）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于(

)A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间26．（2022·广东佛山·西南中学校考三模）勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”．即c=a2+b2（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为2，“股”为3，则A．1 B．2 C．3 D．427．（2019·浙江杭州·模拟预测）如图所示，数轴上点A表示的数是-1，O是原点，以AO为边作正方形AOBC，以A为圆心、AB长为画弧交数轴于P1、P2两点，则点P1表示的数是，点P2表示的数是题型10以直角三角形三边为边长的图形面积28．（2020·浙江·一模）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB,AC，灰色部分面积记为S1，黑色部分面积记为S2，白色部分面积记为A．S1=S2 B．S2=29．（2019·内蒙古鄂尔多斯·校联考一模）如图，以直角三角形的三边为边，分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3的图形有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个30．（2021·江苏无锡·校考二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABDE、ACFG、BCIH，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于．31．（2020·新疆·统考二模）图中是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若最大的正方形E的边长为3,则正方形A、B、

题型11利用勾股定理证明线段的平方关系32．（2021·广东深圳·明德学校校考一模）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD=2，33．（2022·山东济南·统考二模）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：AB2+（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC=4，AB34．（2022·河北廊坊·统考模拟预测）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形，(1)如图1，连接AM，BN，求证：△AOM(2)如图2，将△MON绕点O顺时针旋转，当点N恰好在AB边上时，求证：B35．（2022·北京石景山·统考二模）在△ABC中，∠ACB=90°,CA=CB，D是AB的中点，E为边AC上一动点（不与点A，C重合），连接DE，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BF，过点F作FH⊥(1)如图1，当AE<EC时，比较∠ADE与∠BFG的大小；用等式表示线段(2)如图2，当AE>EC时，依题意补全图2，用等式表示线段题型12勾股定理的证明方法36．（2023·北京大兴·统考一模）下面是用面积关系证明勾股定理的两种拼接图形的方法，选择其中一种，完成证明．勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．已知：如图，直角三角形的直角边长分别为a，b，斜边长为c．求证：a2方法一如图，大正方形的边长为a+b，小正方形的边长为证明方法二如图，大正方形的边长为c，小正方形的边长为b-证明37．（2022·四川攀枝花·统考模拟预测）如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x（1）小明发明了求正方形边长的方法：由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝a（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程：（3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．38．（2019·安徽滁州·校考二模）【思考题】阅读下面的情景对话，然后解答问题：老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．小华：等边三角形一定是奇异三角形；小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？（1）①根据“奇异三角形”的定义，小红得出命题：“等边三角形一定是奇异三角形”，请判断小红提出的命题是否正确，并填空：命题（填“正确”或“不正确”），不要说嘛理由．②若某三角形的三边长分别是2、4、10，则△ABC是奇异三角形吗？（填“是”或“不是”），不要说嘛理由．（2）在Rt△ABC中，两边长分别是a=52、c=10，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c的值．题型13以弦图为背景的计算题39．（2020·浙江杭州·模拟预测）勾股定理相传在商代由商高发现，故又称“商高定理”．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三块阴影区域面积分别记为S1,S2,S3，两个较小正方形纸片的重叠部分（六边形PQMNHGA．S1+S2=S3+S40．（2022·重庆沙坪坝·统考一模）清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABCD的方法证明了勾股定理（如图）．连结CE，若CE=5，BE=4，则正方形ABCD的边长为41．（2021·上海杨浦·统考三模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，如果S1+题型14利用勾股定理构造图形解决问题42．（2019·广西·统考三模）如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（）A．31+π B．32 C．343．（2019·山东枣庄·中考模拟）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（）A．20 B．24 C．994 D．44．（2021·四川泸州·统考一模）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若AE=3，BF=2，则正方形DECF的边长等于()A．32 B．1 C．45 D45．（2021·江苏扬州·统考一模）如图，王老师将汽车停放放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高AB为16dm，汽车轮胎的直径为80dm，请你计算直角顶点到轮胎与底面接触点BC长为（A．35dm B．32dm C．30dm题型15利用勾股定理解决实际问题46．（2022·江苏南通·统考一模）《九章算术》是我国古代数学名著，记载着这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度为x尺，则可列方程为（）A．x2+52＝（x+1）2 B．x2+102＝（x+1）2C．x2﹣52＝（x﹣1）2 D．x2﹣102＝（x﹣1）247．（2023·广西南宁·统考二模）如图，一架长为10m的梯子AB斜靠在竖直的墙BC上，梯子的底端（点A）距墙角（点C）为6m．若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端（点B）向下滑动多少米？若设梯子的顶端向下滑动x

A．10-x2=C．102=8-48．（2020·江苏扬州·统考模拟预测）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面尺高．49．（2022·广东深圳·深圳市宝安第一外国语学校校考三模）某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图1，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为（2）几何拓展：如图2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N使（3）代数应用：求代数式x2+1+题型16勾股定理与规律探究问题50．（2022·广东中山·统考三模）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1∽矩形ADCB；再连接AC1，以对角线AA．5×522022 B．2×5251．（2022·宁夏银川·校考一模）如图，△OA1A2为等腰直角三角形，OA1=1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA252．（2022·黑龙江·二模）如图，对面积为1的正方形ABCD逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CD，DA至A1，B1，C1，D1，使得A1B=AB，B1C=BC，C1D=CD，D1A=DA，顺次连接点A1，B1，C1，D1，得到正方形A1B1C1D1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，题型17在网格中判定直角三角形53．（2022·山东临沂·统考一模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则∠BAC与∠DAC的大小关系为（A．∠BAC>∠DAC B．∠BAC<∠54．（2022·安徽黄山·统考一模）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的正弦值为（

A．55 B．22 C．1255．（2022·江苏扬州·统考一模）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则sin∠ADC2题型18利用勾股定理逆定理求解56．（2019·湖南益阳·统考一模）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是(

)A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形57．（2020·河北·校联考二模）如图，已知点E是△ABC的外心，点P、Q分别是AB、AC的中点，连接EP、EQ分别交BC于点F、D，若BF=5，DF=3，CD=4，则

A．18 B．24 C．30 D．3658．（2022·广东佛山·佛山市华英学校校考二模）如图，△ABC中，AC=2，BC=4，AB=32，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是．59．（2023·贵州遵义·统考一模）如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=10，BD=6，CD=8，将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到题型19利用勾股定理解决实际生活问题60．（2022·江西赣州·统考一模）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为7丈，24丈，25丈，问这块沙田面积有多大？（题中的“丈”是我国市制长度单位，1丈＝10尺）则该沙田的面积为平方丈．61．（2021·湖南岳阳·校联考二模）数学文化我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五丈，中斜十二丈，大斜十三丈，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5丈，12丈，13丈，问这块沙田面积有多大？（题中的“丈”是我国市制长度单位，1丈＝10尺．）则该沙田的面积为平方丈．一、单选题1．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（A．23+2 B．5-33 C．2．（2022·浙江宁波·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE=AD，DF=2A．22 B．3 C．23 D3．（2022·四川南充·中考真题）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB'C'，点B'恰好落在CA的延长线上，A．90° B．60° C．45° D．30°4．（2023·河北·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，AB=4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF，若S正方形AMEF

A．43 B．83 C．12 D5．（2023·贵州·统考中考真题）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（

）

A．4m B．6m C．10m6．（2023·北京·统考中考真题）如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB<BC，∠A=∠C=90°，△EAB≌△BCD，连接DE，设AB=a，BC

上述结论中，所有正确结论的序号是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③7．（2023·浙江杭州·统考中考真题）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE,△ABF,△BCG,△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF>∠BAF，连接BE．设∠BAF

A．5 B．4 C．3 D．28．（2023·山东·统考中考真题）在△ABC中，BCA．1<AB<7 BC．△ABC内切圆的半径r<1 D．当AB=二、填空题9．（2023·北京·统考中考真题）如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E．若∠AOC=45°

10．（2023·江苏扬州·统考中考真题）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b-a=4

1