2024年中考数学复习（全国版）专题06 一次方程（组）及其应用【八大题型】（举一反三）（原卷版）

专题06一次方程（组）及其应用【八大题型】TOC\o"1-3"\h\u【题型1等式的性质及一元一次方程的相关概念】 2【题型2一次方程(组)的解法】 2【题型3一元一次方程的应用】 3【题型4二元一次方程组的应用之和差倍分问题】 4【题型5二元一次方程组的应用之销售问题】 4【题型6中考最热考法之以注重过程性学习的形式考查一次方程（组）】 6【题型7中考最热考法之以跨学科背景考查一元一次方程的实际应用】 7【题型8中考最热考法之以真实问题情境为背景考查二元一次方程组的实际应用】 9【知识点一次方程(组)】1.定义定义1：含有未知数的等式叫做方程。定义2：只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是。定义3：使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。定义4：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程，它的一般形式是。定义5：把两个方程合在一起，就组成了方程组。定义6：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，这样的方程组叫做二元一次方程组。定义7：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。定义8：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。2.等式的性质性质1：若a=b，则a±c=b±c。等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等。性质2：若a=b，则ac=bc；(c≠0)。等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。3.解一元一次方程的一般步骤①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。4.解二元一次方程组的方法①代入消元法；②加减消元法。代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。5.方程(组)与实际问题解有关方程(组)的实际问题的一般步骤：第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。第3步：列方程(组)。根据题中各个量的关系列出方程(组)。第4步：解方程(组)。根据方程(组)的类型采用相应的解法。第5步：答。【题型1等式的性质及一元一次方程的相关概念】【例1】（2023·内蒙古包头·二模）设x、y、c是实数，正确的是（

）A．若x=y，则x+c=C．若x=y，则xc=y【变式1-1】（2023·吉林·统考中考真题）请写出一个解为2的一元一次方程，这个方程可以为．【变式1-2】（2023·安徽宿州·统考三模）若a，b，c为互不相等的实数，且67a+1A．a-c=6C．a-b=6【变式1-3】（2023·内蒙古·统考中考真题）关于x的方程mx2m【题型2一次方程(组)的解法】【例2】（2023·江苏南通·统考中考真题）若实数x，y，m满足x+y+m=6，3A．3 B．52 C．2 D．【变式2-1】（2023·湖南永州·统考中考真题）关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1A．3 B．-3 C．7 D．【变式2-2】（2023·海南·统考中考真题）若代数式x+2的值为7，则x等于（

A．9 B．-9 C．5 D．【变式2-3】（2023·湖南常德·统考中考真题）解方程组：x【题型3一元一次方程的应用】【规律方法】利用一元一次方程解应用题的关键是找准等量关系，而等量关系往往隐藏在含有关键词的语句中，列方程时应注意以下内容：设未知数时，单位要写清楚；列方程时，方程两边所表示的量应该相同，并且各项的单位要一致；对于求得的解，还要检验其是否符合实际意义。【例3】（2023浙江杭州·校联考一模）小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价．【变式3-1】（2023·北京·统考中考真题）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6:4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的110．某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm

【变式3-2】（2023·浙江·统考中考真题）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代中国1斤等于16两）．今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为斤．【变式3-3】（2023·广西·统考中考真题）为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积．（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？（2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工费用为400元，比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪一种方案的施工费用最少？【题型4二元一次方程组的应用之和差倍分问题】【例4】（2023·吉林·中考真题）被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342km，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km．求隧道累计长度与桥梁累计长度．【变式4-1】（2023·湖南·统考中考真题）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有名．【变式4-2】（2023·湖北·统考中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何．”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？请解答．【变式4-3】（2023·吉林·统考中考真题）问题解决糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳现有a根竹签，b个山楂．若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是________（填写序号）．⑴bc+d=a；⑵ac【题型5二元一次方程组的应用之销售问题】【例5】（2023·湖北襄阳·统考中考真题）在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）：次数数量（支）总成本（元）海鲜串肉串第一次3000400017000第二次4000300018000针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．(1)求m、n的值；(2)五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价a（0<a<1）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求【变式5-1】（2023·湖南湘西·统考中考真题）2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元．(1)求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？(2)甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围．(3)在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？【变式5-2】（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）佳衣服装厂给某中学用同样的布料生产A，B两种不同款式的服装，每套A款服装所用布料的米数相同，每套B款服装所用布料的米数相同，若1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米．(1)求每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米；(2)该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过168米，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？【变式5-3】（2023·四川内江·统考中考真题）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示：水果种类进价（元千克）售价（元）千克）甲a20乙b23该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元．(1)求a，b的值；(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售．求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价3m元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（利润率=利润本金）不低于【题型6中考最热考法之以注重过程性学习的形式考查一次方程（组）】【规律方法】本题以“阅读+任务”的形式，通过阅读解一次方程（组）的过程，寻找错误，要养成善于总结，勤于反思、敢于质疑的数学思维。【例6】（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程7x解：2×7x……(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．(2)写出你的解答过程．【变式6-1】（2023·浙江·统考中考真题）用消元法解方程组{x解法一：

解法二：由②，得3x+(

由①-②，得3x=3．

把①代入③，得（1）反思：上述两个解题过程中有无计算错误?若有误，请在错误处打“×”．（2）请选择一种你喜欢的方法,完成解答．【变式6-2】（2023·浙江·统考中考真题）以下是圆圆解方程x+12-解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．移项，合并同类项，得x＝﹣3．圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．【变式6-3】（2023·山西忻州·校联考模拟预测）下面是小彬同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．x-解：①×3，得3x-6y②-③，得-5y=-5y=1．…y=1代入①，得x=3．所以，原方程组的解为x=3y=1填空：①以上求解步骤中，第一步的依据是；②第二步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是（填序号）；A．数形结合B．类比思想C．转化思想D．分类讨论③小彬同学的解题过程从第步开始出现错误，直接写出该方程组的正确解：．【题型7中考最热考法之以跨学科背景考查一元一次方程的实际应用】【规律方法】本题以物理学科为背景考查一元一次方程的实际问题，形成问题意识，并能结合现实素材，理解物理知识，在解决本题的同时感受数学和实际生活的联系，体会数学的应用价值。【例7】（2023·四川南充·统考中考真题）小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，当动力臂由1.5m增加到2m时，撬动这块石头可以节省N的力．（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂）【变式7-1】（2023·山西大同·大同一中校联考模拟预测）由于王亮在实验室做实验时，没有找到天平称取实验所需药品的质量，于是利用杠杆原理制作天平称取药品的质量（杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂）．如图1，当天平左盘放置质量为60克的物品时，右盘中放置20克砝码天平平衡；如图2，将待称量药品放在右盘后，左盘放置12克砝码，才可使天平再次平衡，则该药品质量是（

）

A．6克 B．4克 C．3.5克 D．3克【变式7-2】（2023·浙江杭州·校联考一模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍挑动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，动力臂为1.5m，则搅动这块大石头至少需要的动力是（

）

A．360N B．400N C．450N D．600N【变式7-3】（2023·浙江·统考二模）综合与实践问题提出：数学实践活动课上，老师提出了一个问题：请你借助一架天平和若干个10克的砝码测量出一个牙杯和一个牙刷的重量．

实验探究：准备若干个相同的牙杯和若干个相同的牙刷（每个牙杯的重量相同，每个牙刷的重量也相同），设一个牙杯的重量为x克，经过实验，小明将信息记录在下表：记录天平左边天平右边天平状态牙杯的总重量牙刷的总重量记录14个牙杯，2个10克的砝码20个牙刷平衡4_________记录23个牙杯14个牙刷和1个10克的砝码平衡3_________解决问题：（1）用含x的代数式表示出表中的两空（即牙刷的总重量）．（2）根据表中的数据利用一元一次方程的知识求出一个牙杯的重量和一个牙刷的重量．设计方案：（3）根据（2）中的结论，若将天平左边放置5只牙杯，则天平右边需放置_________个牙刷和5个10克的砝码可使天平平衡．【题型8中考最热考法之以真实问题情境为背景考查二元一次方程组的实际应用】【例8】（2023·四川成都·统考中考真题）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．(1)求A，B两种食材的单价；(2)该小吃