2024年中考数学复习（全国版）重难点09 相似三角形8种模型（A字、8字、射影定理、一线三等角、线束模型、三角形内接矩形、三平行模型、旋转相似模型）（原卷版）

重难点突破09相似三角形8种模型（A字、8字、射影定理、一线三等角、线束模型、三角形内接矩形、三平行模型、手拉手模型）目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u题型01A字模型题型028字模型题型03射影定理题型04一线三等角模型题型05线束模型题型06三角形内接矩形模型题型07三平行模型题型08手拉手模型（旋转模型）相似三角形的判定方法：1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2）两个三角形相似的判定定理：①三边成比例的两个三角形相似；②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；③两角分别相等的两个三角形相似．④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似.题型01A字模型已知图示结论（性质）若DE∥BC①∆ADE~∆ABC②AD若∠1=∠2或∠3=∠4或AD①∆ADE~∆ABC②AC2=AB•AD若∠1=∠2①∆ADE~∆ABC②AC2=AB•AD[补充]该模型也被称为子母模型，即子母模型可以看作一组公共边的反A模型[双反A字模型]若∠1=∠2=∠3①∆AEB~∆DEA~∆DAC②AB•AC=BE•CD③(AEAD)2=1．（2020·湖北武汉·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D是AB上一点，点E在BC上，连接CD2．（2020·浙江杭州·统考中考真题）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝，BE＝3．（2020·山东济宁·中考真题）如图,在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C,D．AC与BD相交于点E，CD2=CE·CA,分别延长AB,DC相交于点P，PB=BO，CD=22．则BO的长是．4．（2020·上海浦东新·统考三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．(1)求线段DE的长；(2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求EFDF5．（2021上·辽宁丹东·九年级统考期中）如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的29（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．6．（2020上·河南郑州·九年级校考阶段练习）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求AN:7．（2022下·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足∠1=∠2，则称点P为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=22，AB=4，试判断点D是不是△ABC(2)如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若点D是△ABC8．（2021上·浙江绍兴·九年级统考期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．（1）如果△DEF与△ABC互为母子三角形，则DEABA．2

B．12

C．2或（2）已知：如图1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，求证：△ABD与△（3）如图2，△ABC中，AD是中线，过射线CA上点E作EG//BC，交射线DA于点G，连结BE，射线BE与射线DA交于点F，若△AGE与9．（2020上·全国·九年级专题练习）已知，如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD，AE交CB的延长线于点E．（1）求证：△BAE∽△ACE；（2）AF⊥BD，垂足为点F，且BE•CE＝9，求EF•DE的值．题型028字模型已知图示结论（性质）若AB∥CD①∆AOB~∆COD②AO若∠1=∠2或∠3=∠4或AO①∆AOB~∆COD10．（2021·四川广元·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，连接AE，若AE的延长线和BC的延长线相交于点F．（1）求证：BC=（2）连接AC和BE相交于点为G，若△GEC的面积为2，求平行四边形ABCD11．（2020·四川遂宁·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则BEEGA．12 B．13 C．2312．（2020·浙江杭州·统考一模）如图，点O是△ABC边BC上一点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，且ABAM＝m，ACAN＝（1）若点O是线段BC中点．①求证：m+n＝2；②求mn的最大值；（2）若COOB＝k（k≠0）求m，n之间的关系（用含k13．（2021·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，抛物线y=-12x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线y=x-2与（1）点F的坐标是________；（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，PMQN=11（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒42个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG14．（2020·云南·统考中考真题）抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为-1,0，点C的坐标为0,-3．点P为抛物线y=x2（1）求b、c的值；（2）设点F在抛物线y=x2+bx（3）在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？若存在，求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2021上·安徽合肥·九年级合肥寿春中学校考期末）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，D为AB上一点，连接CD，分别过点A、B作AN⊥CD，BM⊥CD．（1）求证：AN＝CM；（2）若点D满足BD：AD＝2：1，求DM的长；（3）如图2，若点E为AB中点，连接EM，设sin∠NAD＝k，求证：EM＝k．

16．（2022·山西吕梁·统考三模）综合与实践：数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．问题情境：在□ABCD中，点P是边AD上一点．将△PDC沿直线PC折叠，点D的对应点为“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作EF∥AD，与PC交于点F，连接DF，则四边形(1)数学思考：请你证明“兴趣小组”提出的问题；(2)拓展探究：“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为AD的中点时，延长CE交AB于点F，连接PF．试判断PF与PC的位置关系，并说明理由．请你帮助他们解决此问题．(3)问题解决：“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在AB边上时，AP=3，PD=4，DC=10．则AE17．（2023·江苏南通·统考一模）正方形ABCD中，AB=2，点E是对角线BD上的一动点，∠DAE=αα≠45°.将△ADE沿AE翻折得到(1)当0°<α<45°时，求∠DBG的度数(用含α(2)点E在运动过程中，试探究DGDE的值是否发生变化？若不变，求出它的值.(3)若BF=FG，求18．（2021·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°<α<180°），过点A作射线AM交射线BC于点D，将AM绕点A逆时针旋转α得到AN，过点C作CF（1）当AM与线段BC相交时，①如图1，当α=60°时，线段AE，CE和CF之间的数量关系为②如图2，当α=90°时，写出线段AE，CE和CF（2）当tanα=43，AB＝19．（2023下·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，记△COD的面积为S1,△

(1)问题解决：如图①，若AB∥CD(2)探索推广：如图②，若AB与CD不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)拓展应用：如图③，在OA上取一点E，使OE=OC，过点E作EF∥CD交OB于点F，点H为AB的中点，OH交EF于点G，且OG=2题型03射影定理已知图示结论（性质）若∠ABC=∠ADB=90°①∆ABC~∆ADB~∆BDC②AB2=AC•AD,BD2=AD•CDBC2=AC•CD（口诀：公共边的平方=共线边的乘积）③AB•BC=BD•AC（面积法）20．（2020·山西·统考中考真题）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点21．（2021上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝95,BD=422．（2022上·江苏南京·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且ADAC＝AC（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．23．（2021·湖北武汉·统考一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点．（1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB；（2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且FHHE=4（3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________．题型04一线三等角模型已知图示结论（性质）若∠B=∠D=∠ACE=90°①∆ABC~∆CDE②ABCD=BCDE=ACCE或BC•CD=AB•DE(可看作底③当点C为BD中点时，∆ABC~∆CDE~∆ACE若∠B=∠D=∠ACE=α①∆ABC~∆CDE②AB③当点C为BD中点时，∆ABC~∆CDE~∆ACE24．（2022·湖北襄阳·统考一模）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，BD=3，将△ADE沿直线DE翻折得到△FDE，当点F落在边BC上，且BF=425．（2020·四川乐山·中考真题）如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB=3，AD=2，26．（2020·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC（1）证明：△BDA（2）若∠B=45°,BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、27．（2021上·山东济南·九年级统考期中）（1）问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A（2）探究若将90°角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3，在△ABC中，AB=22，∠B=45°，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC28．（2021上·吉林长春·九年级统考期末）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A=∠B【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A=∠B=∠DPC．若PD=4，【拓展】如图③，在△ABC中，AC=BC=8，AB=12，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作∠CPE=∠A，PE与边29．（2020·四川雅安·中考真题）如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交（1）求证：△ABE（2）若EC=2，求△（3）请直接写出EC为何值时，△CEF30．（2020·浙江杭州·统考一模）如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，过BC边上一点P，作∠DPE＝60°，分别与边AB，AC相交于点D与点E．（1）在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由；（2）若△PDE为正三角形时，求BD+CE的值；（3）当DE∥BC时，请用BP表示BD，并求出BD的最大值．31．（2021·江苏南通·南通田家炳中学校考二模）在矩形ABCD中，点E是CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F（1）如图1，若tan∠EFC=（2）如图2，在线段BF上取一点G，使AG平分∠BAF，延长AG，EF交于点H，若FG=BG32．（2020·江苏宿迁·统考中考真题）【感知】（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：AEEB=DE【探究】（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且EFEG=AEEB，连接BG交CD于点H．求证：【拓展】（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且AEEB=DEEC，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：33．（2021·浙江衢州·统考中考真题）【推理】如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．（1）求证：△BCE【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若HDHF=45，【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若ABBC=k，HDHF=34．（2020·四川成都·统考中考真题）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将ΔBCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．（1）如图1，若BC=2BA，求（2）如图2，当AB=5，且AF⋅FD（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN35．（2020·山东济南·校考二模）矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3．分别以OB、OA所在直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B、C重合）．过点F的反比例函数y＝kx（k＞0）的图象与边AC交于点E(1)当点F运动到边BC的中点时，点E的坐标为__________；(2)连接EF，求∠FEC的正切值；(3)如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求BG的长度．题型05线束模型已知图示结论（性质）若DE∥BC①DFEF=②DF:FG:EG=BH:HI:CI（右图）若AB∥CD①AEBE②AE:EF:BF=DH:HG:CG（右图）36．（2022上·浙江宁波·九年级校考期中）【基础巩固】(1)如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC【尝试应用】(2)如图2，已知D、E为△ABC的边BC上的两点，且满足BD=2DE=4CE，一条平行于AB的直线分别交AD、AE和AC于点L【拓展提高】(3)如图3，点E是正方形ABCD的边CD上的一个动点，AB=3，延长CD至点F，使DF=2DE，连接CG，37．（2022·浙江宁波·统考中考真题）(1)如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB,AC,BC上的点，DE∥BC(2)如图2，在（1）的条件下，连接CD,CG．若CG⊥(3)如图3，在▱ABCD中，∠ADC=45°,AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点38．（2023·全国·九年级专题练习）在△ABC中，已知D是BC边的中点，G是△ABC的重心，过G点的直线分别交AB、AC于点E、(1)如图1，当EF∥BC时，求证：(2)如图2，当EF和BC不平行，且点E、F分别在线段AB、AC上时，（(3)如图3，当点E在AB的延长线上或点F在AC的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．题型06三角形内接矩形模型已知图示结论（性质）若四边形DEFG为矩形，AN⊥BC①∆ABC~∆ADG②AD③若四边形DEFG为正方形即DGBC=AMAN若假设则xBC=AN-xAN若已知BC、39．（2021上·贵州铜仁·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=3,AC=4，正方形DEFG的顶点D,G分别在40．（2015·广西崇左·中考真题）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？41．（2020·广东·华南师大附中校考模拟预测）如图,在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD(1)求证：△AEF(2)设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大(3)当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线AD匀速向上运动(当矩形的边PQ到达A点时停止运动)，设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t42．（2021上·九年级课时练习）一块直角三角形木板的面积为1.5m2，一条直角边AB为43．（2020上·甘肃张掖·九年级校考阶段练习）如图，正方形EFGH内接于△ABC，AD⊥BC于点D，交EH于点M，BC＝10cm，AD＝20cm．求正方形EFGH的边长．

44．（2019上·宁夏银川·九年级校考期中）如图在锐角ΔABC中，BC=6,SΔABC=12，两动点M,N分别在AB,AC上滑动，且MN//BC，以MN为边长向下作正方形（1）求出ΔABC的边BC上的高（2）如图1，当正方形MPQN的边PQ恰好落在边BC上时，求x的值（3）如图2，当PQ落在ΔABC外部时，求出y与x的函数关系式

45．（2018·湖南永州·中考真题）如图1．在△ABC中，矩形EFGH的一边EF在AB上，顶点G、H分别在BC、AC上，CD是边AB上的高，CD交GH于点I．若CI＝4，HI＝3，AD=92．矩形DFGI（1）求正方形DFGI的边长；（2）如图2，延长AB至P．使得AC＝CP，将矩形EFGH沿BP的方向向右平移，当点G刚好落在CP上时，试判断移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？（3）如图3，连接DG，将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分别与线段DG、DB相交于点M、N，求△MNG′的周长．题型07三平行模型已知图示结论（性质）若AB∥EF∥CD①1②146．（2022下·黑龙江大庆·八年级统考期中）如图，F为△BED的边BD上一点，过点B作BA∥EF交DE的延长线于点A，过点D作DC∥EF交(1)求证：1AB(2)请找出SΔABD，SΔ47．（2023·安徽滁州·校考一模）如图，已知AB⊥BC、DC⊥BC，AC与BD相交于点O，作OM⊥BC于点M，点E是BD的中点，EF⊥BC于点G，交AC于点F，若

A．75 B．125 C．3548．（2021·内蒙古·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD=3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB49．（2021上·安徽安庆·九年级安庆市石化第一中学校考期中）图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝50．（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，在相对的两栋楼CD、EF中间有一堵院墙AB，甲、乙两个人分别在这两栋楼内观察这堵墙，根据实际情况画出平面图形(CD⊥DF．AB⊥DF．EF⊥DF)．甲从点C可以看到点G处，乙从点E可以看到点D处．点B是DF的中点．墙AB高

51．（2022·湖北武汉·统考模拟预测）（1）【问题背景】如图1，AB∥EF∥CD，AD与BC相交于点E，点F在

小雅同学的想法是将结论转化为EFAB（2）【类比探究】如图2，AE⊥AB，BD⊥AB，GH⊥AB，DE与BC相交于点G，点H在（3）【拓展运用】如图3，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接AC，BD交于点M，过点M作EF∥AB，交AD于点E，交BC于点F，连接EC，FD交于点N，过点N作GH∥AB，交AD于点G，交BC于点52．（2022上·上海嘉定·九年级统考期中）如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，点F在线段BC上，ABCD(1)求证：AB∥(2)求AB:题型08手拉手模型（旋转模型）已知图示结论（性质）若∆ADE以点A为旋转中心旋转一定角度，且∆ADE~∆ABC∆ABD~∆ACE【扩展一】如图，直线AB的同一侧作∆ABC和∆AMN都为等边三角形（A、B、N三点共线），连接BM、CN，两者相交于点E，则存在多组相似三角形.【扩展二】如图，∆ABC和∆AMN都为等边三角形（A、B、N三点不共线），连接BM、CN，两者相交于点O，则存在多组相似三角形.53．（2019·河南·统考中考真题）在ΔABC，CA=CB，∠ACB=α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD（1）观察猜想如图1，当α=60°时，BDCP的值是，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是（2）类比探究如图2，当α=90°时，请写出BDCP的值及直线BD与直线（3）解决问题当α=90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D54．（2020·湖北武汉·中考真题）问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE尝试应用：如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，拓展创新：如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD=∠CBD=30°，∠55．（2020·山东枣庄·中考真题）在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，AC=BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AE交于点M，DE（1）如图1，若CE=CF，求证：（2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中，试证明C（3）若CD=2，CF=256．（2023上·河南周口·九年级统考期末）在△ABC中，CA=CB，∠ACB=α，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接(1)观察猜想如图①，当α=60°时，BDCP的值是_