2025届新高考数学精准冲刺复习分组与分配问题

2025届新高考数学精准冲刺复习

分组与分配问题一、不同元素的分组与分配问题:分组问题：将n个不同元素按照某些条件分成k组

分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分配问题：n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象

可按定额分配和随机分配分类，也可按定向分配和不定向分配分类，

分组问题和分配问题的区别：

（1）分组问题中组与组之间只要元素个数相同是不区分的；

（2）分配问题即使2组元素个数相同，但因分配对象不同，仍然是可区分的。

（3）分组问题只需要将不同的元素分开即可；

（4）分配问题需要确定不同元素的归属。

（5）对于分组问题，均匀的分组需要除序；

（6）对于分配问题，要先分组再分配；

（7）对于指定每组人数的分配问题，直接给每组选人即可。1、非平均分组

所谓“非平均分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。例1.七个人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？（1）分成三组，分别为1人、2人、4人；（2）选出5个人再分成两组，一组2人，另一组3人。

2、平均分组“平均分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等的组。例2.从7个参加义务劳动的人中，选出6个人，分成两组，每组都是3人，有多少种不同的分法？分析：记7个人为a、b、c、d、e、f、g写出一些组来考察下表选3人再选3人分组方法种数abcdefdefabc这两种只能算一种分法abcdegdegabc这两种只能算一种分法………………

选2个再选2又选2个剩下四个分组方法数ababcdcdefefcdefabefabcdefcdefabcdabghijghijghijghijghijghij

…………………………3、部分平均分组“部分平均分组”是指将所有元素分成部分组元素个数相等的组。分析：记十个零件为a、b、c、d、e、f、g、h、i、j写出一些组来考察表2

例3.将十个不同的零件分成四堆，每堆分别有2个、2个、2个、4个，有多少种不同的分法？4、编号（定向）分组（分配）（1）.非平均编号（定向）分组（分配）例4.从7个参加义务劳动的人中选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法？

（2）.部分平均编号（定向）分组（分配）例5.有5本不同的书全部分给3人，每人至少一本，有多少种不同的分法？

分析：5本不同的书全部分给3人有两类情况，①将书分成3本、1本、1本三组，②将书分成2本、2本、1本三组，实战演练：有6本不同的书按下列方式分配或分组,问:共有多少种不同的分配方法?(1)分给甲、乙、丙三人甲得1本,乙得2本,丙得3本;(2)分成1本、2本、3本三组;定向定额不等分分配问题不定向定额不等分分组问题(3)分给甲、乙、丙三人,其中一个人1本,一个人2本,一个人3本;定向不等分随机分配问题先分组再分配(4)分成三组,每组都是2本;平均分组问题：倍除法（去重复法）平均分组问题：先分组再除以分组数全排列数(5)分给甲、乙、丙三人,每个人2本;(6)分成三组,一组4本,另外两组各1本;

定向定额等分分配问题局部等分分组问题(7)分给甲、乙、丙三人,其中一个人4本,其余一人1本;(8)甲得1本,乙得1本,丙得4本;定向不定额局部等分分配问题定向定额局部等分分配问题

(9)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？

定向随机分配问题(10)分给甲、乙、丙、丁4个人,每人至少1本.二、相同元素的分组问题:相同元素的分组问题—隔板法相同元素分给不同对象，采用隔板法进行求解：

隔板法：就是在n个元素形成的n-1个空中插入m-1个隔板,可以把n个元素分成m组的方法。隔板法一共有三种题型：①标准型②多分型③少分型后两种都是化为“标准型”来解题，例6.老徐计划把6个苹果分给4位同学，每位同学至少1个,则共有多少种分法

①标准型需要同时满足的3个要求：(1)这n个元素必须无差别（互不相异、相同），(2)分成的组彼此相异。(3)每个对象至少分得一个元素，

②多分型需要同时满足的3个要求：(1)这n个元素必须无差别，(2)n个元素分给m个不同的对象（n>m），(3)每个对象至少分k个元素（k>1）。例7某单位订阅了30份学习材料发放给三个部门,每个部门至少发放9份材料,则共有(

)种不同的发放方法.A.7

B.8

C.10

D.12

E.14

③少分型需要同时满足的3个要求：(1)这n个元素必须无差别，(2)n个元素分给m个不同的对象（n>m），(3)允许有