2023年高考数学一轮复习讲义：第二章 培优课2-4函数性质的综合应用

培优课,§2.4函数性质的综合应用

题型一函数的单调性与奇偶性

例1(1)设式X)是定义在R上的偶函数，当QO时，y(x)=lnx+e*.若a=A—兀)，b=∕(log23),

C=人2-°∙2),则4,b,C的大小关系为()

A.b>a>cB.c>b>a

C.a>b>cD.a>c>b

答案C

解析当x>0时，"r)=1nx+e∙v为增函数，

.∙√U)的图象关于y轴对称，且在(一8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，“=穴一兀)

=fiπ),

又π>3>log23>l>2o∙2>O,

，欢)/10g23)42­°2),

.,.a>h>c.

(2)(2020・新高考全国I)若定义在R上的奇函数7U)在(-8,0)上单调递减，且式2)=0,则满

足状X—1)20的X的取值范围是()

A.[-1,1]U[3,+∞)

B.[-3,-1]UIO,1J

C.[-l,0]U[l,+∞)

D.[-1,0]U[1,3]

答案D

解析因为函数段)为定义在R上的奇函数，

则|O)=(I

又兀V)在(-8,0)上单调递减，且式2)=0,

画出函数人x)的大致图象如图(1)所示，

则函数Kt—1)的大致图象如图(2)所示.

(2)

当x≤0时，要满足状x—1))0,

则式X-I)W0,得一IWXW0.

当x>0时，要满足求x—1)20,

则yu—i)>o,得IWXW3.

故满足求X-1)20的X的取值范围是［-1,0］U［1,3］.

思维升华(I)解抽象函数不等式，先把不等式转化为y(g(x))次∕z(x)),利用单调性把不等式的

函数符号“『脱掉，得到具体的不等式(组).

(2)求比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一

单调区间上，进而利用其单调性比较大小.

跟踪训练1(2022・南京质检)已知函数40=-X-X3,XI，X2,X3∈R-且X1+X2>O,x2+x3>O,

Λ⅛+χι>o,贝IJy(XI)+y(χ2)+y(χ3)的值()

A.一定大于零

B.一定小于零

C.等于零

D.正负都有可能

答案B

解析函数T(X)的定义域为R,

又—X)=—^(_X)―(_x)3=x+x3

=-fi,x')<

所以函数凡r)是R上的奇函数，

由单调性的运算性质可知，函数y(x)是R上的减函数，

因为X1+X2>O,X2+X3>O,Λ⅛+X1>O,

即Xl>—X2,X2>-X3,X3>-Xl,

所以TO)勺(―X2),危2)q—X3),

式X3)<√(-XI)，

即Λ∙X∣)<一段2),於2)<—/(X3),

T(X3)<—/U1),

所以“Tl)+加2)<0,於2)+%3)<0,

Xx3)+Xxι)<O,

三式相加可得加1)+%2)+ΛX3)<O.

题型二函数的奇偶性与周期性

例2(I)定义在R上的偶函数y(x)满足yu+2)=-∕U),且在［—2,0］上单调递减，下面关于40

的判断不正确的是()

A..大0)是函数的最小值

B.KX)的图象关于点(1,0)对称

C.府)在［2,4］上单调递增

D.段)的图象关于直线x=2对称

答案C

解析A项，∙∙7U+2)=-AX)=-Λ-x),

'-fix+4)=-Ax+2)=/(X)=K-X),

∙∙√(x)是周期为4的周期函数，

又y(x)在［—2,OJ上单调递减，在R上是偶函数，.∙.在［0,2］上单调递增，

.∖A0)是函数的最小值,正确；

B项，由ytx+2)+X-X)=0,

∙∙√(x)的图象关于点(1,0)中心对称，正确；

C项，又兀V)在［—2,0］上单调递减，在R上是偶函数，人X)是周期为4的周期函数，

.•出口在⑵阳上单调递减,错误;

D项，∙.√(x+4)=Λ—x),火x)的图象关于直线x=2对称，正确.

(2)(2021•全国甲卷)设兀t)是定义域为R的奇函数，且yU+x)=A-X).若/(一3)=；，则/(D

等于()

ʌ-^3B-^3c-3D-3

答案C

解析因为40是定义在R上的奇函数，

所以y(-x)=-√U)∙

又式l+x)=A—X),

所以42+x)=∕u+(1+x))=y(—(1+x))=—/u+X)=—ʌ—x)=y(x),

所以函数y(x)是以2为周期的周期函数.

思维升华周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，

将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.

跟踪训练2已知定义在R上的奇函数y(x)满足式x+2)=一火X),当OWXWl时，y(x)=x2,则

为2023)等于()

A.20192B.1C.0D.-1

答案D

解析根据题意，函数式x)满足√(x+2)=—/(x),

则有yu+4)=—yu+2)=AX),

即函数是周期为4的周期函数，

则|2023)=式-1+2024)=/(—1),

又函数y=7(x)为奇函数，且χW［0,l］时，fix)=X2,

则式一D=FD=-1，故42023)=-l.

题型三函数的奇偶性与对称性

例3(1)已知火X)是定义在R上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点(-1,0)成中心对称

的是()

A.>'=(χ-l)∕(χ-l)

B.y=(x+l)Λx+l)

C.y=xj[x}+∖

D.y=xJ(x)-∖

答案B

解析构造函数g(x)=求x),该函数的定义域为R,所以g(—x)=-状一X)=—状X)=-g(X),

函数g(x)为奇函数，

故函数g(x)的图象的对称中心为原点.

函数y=(x+l)∕U+l)的图象可在函数g(x)的图象上向左平移1个单位长度，

故函数y=(x+l^x+l)图象的对称中心为(一1,0).

(2)(2022-高邮模拟)写出一个满足兀0=五2—x)的偶函数KO=.

答案cos心(常数函数也可，答案不唯一)

解析取兀T)=COSTLT,证明过程如下：

"r)=cosπx的定义域为R,

由八-x)=COS(-Ttr)=cosTtr=KX),

故火X)为偶函数，

又fi2-χ)=coslπ(2—x)J=cos(2π—TLV)=cosπx=fix).

思维升华由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等.

跟踪训练3定义在R上的奇函数lX),其图象关于点(一2,0)对称，且犬X)在[0,2)上单调递增,

则()

A.Λ∣1)<√(12)<A21)

B.Λ21)<∕(12)<∕(ll)

C.川1)勺(21)勺∏2)

D.Λ21)<∕(ll)<∕(12)

答案A

解析函数4X)的图象关于点(一2,0)对称，

.∖∕(χ-4)=—χ-Λ),

又y(x)为定义在R上的奇函数，

；•一人一X)=Aχ),

...而-4)=Λx),

即函数凡r)的周期是4,

则yUD=Λ-D,火12)=/(0),

Λ21)=ΛD,

∙.√(x)为奇函数，且在［0,2)上单调递增，

则7U)在(-2,2)上单调递增，

.∖Λ-1)<AO)<Λ1).

即川1)勺(12)521).

题型四函数的周期性与对称性

例4(1)(2022.重庆实验外国语学校月考)已知函数兀0满足：4r+2)的图象关于直线x=-2

对称，且人工+2)=裾，当2WxW3时，/U)=log2(x+?)，则/(誓)的值为()

A.2B.3C.4D.6

答案B

解析因为式x+2)的图象关于直线x=-2对称，所以兀V)的图象关于直线x=0对称，即函

数兀0为偶函数，因为兀v+2)==,所以函数段)是周期函数，且7=4,

所以/(乎)=旭。8+号=/(I)=/(-1)

=∕H+4)=≠(I)=ι°g2(l+⅛)=3∙

(2)已知y(x)的定义域为R,其函数图象关于直线X=-3对称,且yu+3)=Ax-3),若当x∈［0,3］

时，yω=2'+ι,则下列结论正确的是.(填序号)

①/U)为偶函数；

②AX)在［-6,—3］上单调递减；

③/U)关于直线x=3对称；

刨IOo)=5.

答案①③④

解析段)的图象关于直线X=-3对称，

则八一X)=Z(X—6),

又火x+3)=/(x—3),则加)的周期7=6,

.∙.八一X)=ΛX—6)=AX),

.∖Λχ)为偶函数,故①正确；

当x∈［0,3］时，fl.x)=2x+1单调递增，

∙.∙7=6,故火x)在［―6,—3］上也单调递增，故②不正确；

y(x)关于直线X=-3对称且T=6,

.∙J(x)关于直线x=3对称，故③正确；

y(100)=∕(16×6+4)=Λ4)=y(-2)=Λ2)=5,故④正确.

思维升华函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它

们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间

上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.

跟踪训练4已知定义在R上的函数对任意实数X有兀v+4)=-∕U),若函数y(χ-l)

的图象关于直线x=l对称，八-1)=2,则|2025)=.

答案2

解析由函数y=Λχ-l)的图象关于直线X=I对称可知，函数7U)的图象关于y轴对称，故

J(X)为偶函数.又由y(x+4)=—/(x),

得负x+4+4)=-∕U+4)=Λx),

∙∙√(x)是周期为8的偶函数.

∙,∙Λ2025)=∕U+253X8)=∕∏)=/(—1)

=2.

课时精练

I.(2022.荆门模拟)已知函数次只是定义域为R的偶函数，且八尤)的周期为2,在［-1,0］上单

调递增，那么兀0在［1,引上()

A.单调递增B.单调递减

C.先增后减D.先减后增

答案C

解析函数凡*)的周期为2,

且./U)在［-1,0］上单调递增且为偶函数，

.∙.函数在［0,1］上单调递减，

.∙.函数火x)在［1,3］上先增后减.

2.已知偶函数y(x)对于任意XeR都有火χ+D=-Xx),且兀V)在区间［0,1］上是单调递增的，

则五一6.5),火一1),犬0)的大小关系是()

A.ΛO)<A-6.5)<A-1)

B.Λ-6.5)<7(0)<∕(-l)

C.Λ-1)<A-6.5)√(O)

D.人—1)勺(0)勺(一6.5)

答案A

解析由∣x+l)=-∕U),

得y(x+2)=-∕(x+l)=∕(x),

•••函数凡r)的周期是2.

•；函数式x)为偶函数，

Λ√(-6.5)=y(-0.5)=Λ0.5),

Λ-1)=ΛD∙

•••加)在区间［0,1］上是单调递增的，

,∖A0)<A0.5)<∕(i),

即火0)勺(一6.5)勺(一1).

3.已知函数兀V)是定义在R上的偶函数，且在［0,+8)上单调递减，若实数α满足y∏og3”)

+Λloglα)^2/1),则α的取值范围是()

3

A.(0,3］B(O,I

C.［1,3D.［1,3］

答案C

解析函数40是定义在R上的偶函数，

且在［0,+8)上单调递减，

故兀V)在(-8,0］上单调递增.

因为yuog30)+y∏og∣4)》纨U，

3

所以∕log3a)+Λ-log3a)=贺bg3q)>2/(1),

即Λlog3a)宓1)=如一D=H0g3α∣≤1，

所以一1Wl0g3αWl,

解得WWaW3.

4.(2022•重庆西南大学附中月考)已知定义在R上的函数y(x)满足八一X)=-AX),y(l+x)=∕U

一X),当x∈［一1,1］时，y(x)=x3-3x,则犬2023)等于()

A.1B.-2C.-1D.2

答案D

解析由题意知，函数犬χ)满足yo+χ)=ΛI-X),可得y(x)的图象关于直线X=I对称，

又由大一X)=-J(X),可得兀0的图象关于点(0,0)对称，

所以函数应r)是周期为4的函数，

所以023)=Λ-l)>

因为当x∈［—1,1］时,7U)=X3-3X,

则人2023)=Λ-l)=2.

2"—ɪ

5.(2022•湖北鄂南联考)己知函数次X)=FPj^,且贝。)+大力<0，贝M)

A.a+h<0B.a+h>0

C.a—∕>+1>0D.α+⅛+2<0

答案A

2t-1

解析函数兀O=行Y的定义域为R,

_2^j-l2Λ(2^Λ~1)

式一X)=2^v+1=2Λ(2^V+I)

1一2,

=］+2X=-负㈤'

所以函数,/(X)为奇函数，

0〃._(y+D-2_2

旦八X1—2Λ+］12v+1,

显然函数火X)为R上的增函数，

由.大4)+大勿<0可得

Λα)<-Λ⅛)=Λ-⅛),

所以a<-b,即a+b<Q.

6.(2022・辽阳模拟)定义在R上的奇函数y(x)满足犬χ-4)=-√(x),且在。2］上单调递增，若

方程y(x)=,"(,">0)在区间［-8,8］上有四个不同的根汨,、2，工3/4,则Xl+Λ^2+x3+x4的值为()

A.8B.-8C.0D.-4

答案B

解析因为式X—4)=—fix),

所以兀v)=—兀v+4),

所以J(X+8)=∕(x),

所以函数7U)的周期为8,

又因为大X)是奇函数，在［0,2］上单调递增，

作出函数的大致图象如图所示，

由图象可知,/(£)=〃?(〃?>0)在区间［-8,8］上的四个不同的根.，及，X3,X4,两个关于直线X=

—6对称，两个关于直线x=2对称，

所以Xi+x2+x3+M=—6X2+2X2=-8.

都有/

7.(2022・沈阳质检)定义在R上的奇函数兀r),对于VxCR,且满足

负4)>一2,.八2)=根一总，则实数〃?的取值范围是()

A.—1<nι<0或〃?>3

B.m<-1

C.加<—1或0<m<3

D.0<m<3

答案C

解析定义在R上的奇函数兀0对于∀X∈R,都有/©+X)=/(}—£),

则/(∣+x)=∕(-X)=-")，

故人3+x)=-/(x+∣)=fi,x),

函数周期为7=3,

故y(2)=Λ-4)=-Λ4),.穴4)>一2,

3

故式2)=相一才2,

,(w-3)(???+1)

h即lri----£---------<o,

m

解得m<—1或0<m<3.

8.(2022.运城模拟)已知偶函数段)满足“γ)+y(2-χ)=0,下列说法不正确的是()

A.函数兀r)是以4为周期的周期函数

B.函数式外的图象关于x=4对称

C.函数於+2)为偶函数

D.函数Kr—3)为偶函数

答案D

解析依题意知y(x)是偶函数，

且人》)+人2—x)=0,

T(X)=-/(χ-2)=-[-Λχ-2-2)]

=Xx-4),

所以周期为4,

所以A,B正确.

於+2)=段—2+4)=凡L2)

=1一(χ-2))=A-χ+2),

所以函数负x+2)为偶函数，C正确.

若yu—3)是偶函数，

则yu-3)=A-x-3)=∕5+3),

则函数T(X)是周期为6的周期函数，这与上述分析矛盾，

所以人尤一3)不是偶函数.D错误.

9.写出一个同时满足以下三个条件①定义域不是R，值域是R：②奇函数；③周期函数的函

数解析式.

JT

答案Xx)=tanX,x≠5+⅛π∕eZ)(答案不唯一)

解析满足题意的函数为7U)=lanX,

X/+E(X∈Z)(答案不唯一).

10.(2022・内江模拟)已知定义域为R的函数於)满足:

①图象关于原点对称；

物x)='(Ir)；

③当XW(0，J时，y(x)=log2(x+l)+∕w.

若式2020)=log23,贝IJm