2023高考数学：导数几何意义问题练习100题

2023高考数学：导数几何意义问题必刷100题

目录

1.导数几何意义................................................................1

1.1.几何意义................................................................1

1.2.导数第一定义............................................................2

1.3.导数第二定义............................................................2

1.4.导函数与导数............................................................2

2.一阶导数与二阶导数.........................................................2

3.类型一：求在曲线上一点的切线方程ITO题...................................2

4.类型二：求过一点的切线方程110题.........................................8

5.类型三：距离问题1-10题...................................................15

6.类型四：零点问题ITO题...................................................23

7.类型五:求参数问题ITO题.................................................35

8.类型六：导数几何意义综合压轴小题150题..................................44

1.导数几何意义

1.1.几何意义

导数的几何意义

，在引入导数定义的切线问题中，我们看到函数f(x)

在点X。处的导数/'(%)的几何意义是：曲线y=f(χ)

在点M(XP,/(/))处相切的斜率。设(X为该点处切线的

倾角，则有f'(xo)=tanα,如下图。

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1.2.导数第一定义

设函数y=f(χ)在点xθ的某个邻域内有定义，当自变量X在xθ处有增量^

x(xθ+∆x也在该邻域内冲寸相应地函数取得增量4y=f(xO+4x)-f(xO),如果Ay

与Ax之比当^χf0时极限存在，则称函数y=f(x)在点xθ处可导并称这个极

限值为函数y=f(x)在点xθ处的导数，记为F(X0),即导数第一定义。

1.3.导数第二定义

设函数y=f(x)在点xθ的某个邻域内有定义，当自变量X在xθ处有变化，

Δx(x-xO也在该邻域内)时相应地函数变化4y=f(x)-f(xO)°如果Ay与之比

当Ax-O时极限存在，则称函数y=f(x)在点xθ处可导并称这个极限值为函数

y=f(x)在点xθ处的导数记为f,(xθ),即导数第二定义。

1.4.导函数与导数

如果函数y=f(x)在开区间I内每一点都可导，就称函数f(x)在区间I内可

导。这时函数y=f(x)对于区间I内的每一个确定的X值都对应着一个确定的导

数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f(x)的导函数记作

y',f(x),dy∕dx,df(x)∕dxo导函数简称导数。

2.一阶导数与二阶导数

简单来说，一阶导数是自变量的变化率，二阶导数就是一阶导数的变化

率，也就是一阶导数变化率的变化率。连续函数的一阶导数就是相应的切线斜

率。一阶导数大于0,则递增；一阶倒数小于0,则递减；一阶导数等于0,

则不增不减。

而二阶导数可以反映图象的凹凸。二阶导数大于0,图象为凹；二阶导数

小于0,图象为凸；二阶导数等于0,不凹不凸。

结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于零，而二阶导数

大于零时，为极小值点；当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值

点；当一阶导数、二阶导数都等于零时，为驻点。

3.类型一：求在曲线上一点的切线方程1-10题

1.5^∕(x)=0r+α+cosx(αwR),则在曲线y=/(χ)上一点(0,2)处的切线方程为

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()

A.x-y+2=0B.x+y-2=0C.2x—y+2=0D.2x+y-2=0

【答案】A

【详解】

因为点(0,2)在曲线上,所以7(0)=α+cos0=2,于是α=l,

所以/(x)=x+cosx+l,∕,(x)=l-sinx,∕,(θ)=l,

故切线方程为y-2=x-0,即x-y+2=0.

故选：A

2.设函数/(x)=x3+(α-2W+".若/(χ)为奇函数，则曲线.v=∕(x)在点(11(1))

处的切线方程为()

A.y=4x-↑B.y=5x-2C.y=4x-2D.y=5x-6

【答案】B

【分析】

根据函数/(X)的奇偶性，可得”，然后分别求得/(1)J'(1),最后可得直线方程.

【详解】

由函数/(x)=Y+(α-2)χ2+0r为奇函数

所以f(-χ)="χ)

3

由ʃ(-ɪ)=(-x)+(a-2)(-x)^+α(-x)=-J?+(α-2*_ax

所以-/+(α-2)x2-0x=-∣^x3+(tz-2)x2+ɑrɔ=>a=2

所以/(x)=r+2x,则∕V)=3V+2

所以Fo)=3J'(1)=5

所以所求切线方程为y-3=5(XT),即y=5x-2

故选：B

3.曲线y=-*+χ在点*1,0)处的切线方程是()

A.2x-y+2=0B.2x+γ+2=0

C.2x-y-2=0D.2x+y-2=0

【答案】D

【详解】

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因为点P(1,O)在曲线y=-6'+X上，解得α=l,尸(X)=-3x2+l,

所以八1)=-3XF+1=-2,

所以，曲线y=-加+X在点P(LO)处的切线方程为y-o=-2(χ-i).

即2x+y-2=0.

故选：D

4.已知函数“X)是奇函数且其图象在点(L"l))处的切线方程y=2χ-ι,设函

数g(x)="x)-x2,则g(x)的图象在点(Tg(T))处的切线方程为()

A.y=4x+2B.y=-4x-6

C.y=oD.y=-2

【答案】A

【分析】

先求出g'(T)=4,再求出切点的坐标，即得解.

【详解】

解：由已知得r(ι)=2,/(ɪ)ɪi,因为/(χ)是奇函数，所以r(τ)=2,

/(T=T又因为/(x)=r(x)-2x,所以/(T)=r(T)+2=4,

⅛(-1)=/(-1)-1=-2,

所以g(x)的图象在点(Tg(T))处的切线方程为y+2=4(x+l),"=4x+2.

故选：A

5.曲线y=χ-2在％=］处的切线的倾斜角为%则等L=()

X1÷tana

A.—1B.--C.∙∕iD.2

【答案】B

【分析】

2

先求出y=χ-4的导函数，进而求出χ=ι时，y=l+2=3,由导函数的几何意义

X

和倾斜角与斜率的关系，求出tana=3,利用万能公式求出结果.

【详解】

ɔ

/=!+—»当X=I时，V=1+2=3,所以tane=3,由万能公式得：

X

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Ccos2a-sin2a1-tan2a1-94

cos2ɑ=----；---------；—=--------；—=-----=——

cos^«÷sin^a1+tan^a1+95

,cos2a411

所rr以u------=——×-=——

1+tancr545

故选：B

6.已知函数为奇函数，则g(x)在A=T处的切线方程为

()

A.χ-y=0B.2x-y+l=O

C.x-2>∙+l=0D.3x-y+2=0

【答案】D

【分析】

利用函数〃X)为奇函数可得g(x)=-/(T)=T2+χln(τ),求导可求解

g(-l)=-l,g<-l)=3,即得解

【详解】

当XCo时，-X>0,

贝I]f(-x)=(-x)2+(-x)ln(-x)=X2-.rln(-x),

止匕时g(x)=-/(-x)=-X2+xln(-x),

贝ljg'(x)=-2x+ln(τ)+l,则g(7)=T,g'(-l)=3,

所求切线方程为y+l=3(x+D,即3x-y+2=0.

故选：D

7.已知函数A*)在R上满足f(x)=2f(2r)-f+8x-8,则曲y=f(x)在点

(IJ⑴)处的切线方程是()

A.y=2x-lB.y=∙xC.y=3χ-2D.y=-2χ+3

【答案】A

【分析】

先根据〃幻=2/(2-乃-/+8>8求出函数/。)的解析式，然后对函数Ax)进行求

导，进而可得到y=∕(χ)在点(Ij⑴)处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求

切线方程.

【详解】

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./(x)=2∕(2-x)-√+8x-8,.∙./(2-Λ)=2∕(X)-(2-X)3+8(2-X)-8.

r./(2-x)=2/(x)-xi+4x—4+16—8x-8.

将f(2-x)代入f(χ)=2/(2-x)-f+8x-8,得/(x)=4∕(%)-2√-8x+8-x2+8x-8,

.∙./(ɪ)=X2,f∖x)=2x,

y=F(X)在(i,∕(i))处的切线斜率为y'=2,

••・函数y=/(X)在(IJ⑴)处的切线方程为yT=2(χ-1),即y=2x-1.

故选：A.

8.曲线/(X)=叱在点(IJ(I))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为

X

()

A∙；b∙⅛

C.1D.2

【答案】B

【分析】

根据导数的几何意义求出切线方程，然后再求切线与两坐标轴围成的三角形的

面积.

【详解】

当x=l时，/(1)=0,又因为广(力=匕詈，所以r⑴=1,

所以曲线/(X)=叱在点(IJ⑴)处的切线方程为y-o=ι∙(χT),

X

即x-y-l=O,

因为x-y-l=O与两坐标轴的交点坐标为(1,0)和(0,-1),

所以此切线与两坐标轴围成的三角形的面积为:xlxl=g.

故选：B.

9.若函数"X)=∕-2Λ∙图象在点(Λ0J(ΛU))处的切线方程为y="+"贝必-〃的

最小值为()

A.-2B.-2+1C.--D.-2--

ege

【答案】D

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【分析】

求出导函数，表示出切线方程，再求出Z-匕的表达式，最后借助导数即可作答.

【详解】

由/(x)=e*-2x求导得：f∖χ)=ex-2<于是得f'(x<>)=e"-2,

函数/(x)=d-2x图象在点(x°,∕(x°))处的切线方程为

x,

y—(e"-2Λ0)=(e'-2)(X-x0),

整理得：y=(e%-2)x+(J∕)e%从而得2=*-2S=OXO)*,k-b=x^-29

令g(x)=城-2,则F(X)=(X+1)，，当XVT时，g'(x)<0,当时，g<x)>O,

于是得g(x)在(F,T)上单调递减，在(T+∞)上单调递增，则

g(x)min=g(T)=-2-1,

e

所以人匕的最小值为-2」.

e

故选：D

10.已知M是曲线V=InX+；/+(Ii)X上的任一点，若曲线在M点处的切线

的倾斜角均是不小K的锐角，则实数，，的取值范围是()

A.[2,÷<o)B.[4,÷w)C.(γθ,2]D.(v,4]

【答案】C

【分析】

求y',结合已知根据导数的几何意义可得y'≥tang=l,即x+∙LHa对任意χ>0恒

4X

成立，再利用基本不等式求出即可.

(ɪ/min

【详解】

y=1ΠΛ+-X2+(l-α)x,所以y=-+x+l-4,

因为曲线在用处的切线的倾斜角是均不小于9的锐角,

所以了≥tan：=1对于任意的X>O恒成立,即,+x+l-α≥l对任意x>O恒成立,

4X

所以x+∙!∙Nα,又x+2≥2,当且仅当X=L即x=l时，等号成立，

ɪXX

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故α≤2,所以。的取值范围是(―,2].

故选：C

4.类型二：求过一点的切线方程I-LO题

1.函数/(x)=InX过点(0。的切线方程为()

211

A.y=xB.y=-xC.y=~xD.V=-X

e2e

【答案】D

【分析】

先求导数，再根据导数几何意义求切线斜率，最后根据点斜式得结果.

【详解】

设切点为(苞，InxI)

因为f(x)=lnx.∙.r(x)=g

1InM!-0,,,

/.——=--------..Inx1=1/.X1=

XIX1-0

因此切线方程为y=∙LX

e

故选：D

2.已知函数/(x)=xlnx,若直线/过点(O,"),且与曲线y=∕(x)相切，则直线

/的斜率为()

A.—2B.2

C.-eD.e

【答案】B

【分析】

设切点坐标为(Klnr),利用导数求出切线/的方程，将点((),-。的坐标代入直线

/的方程，求出f的值，进而可求得直线/的斜率.

【详解】

设切点坐标为(f,"nf),/(x)=xlnx,∕,(x)=lnx+l,直线/的斜率为

/'(f)=lnr+l,

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所以，直线/的方程为yτlnf=(lnf+l)(x-r),

将点(0,-e)的坐标代入直线/的方程得-eτhv=T(Inr+1),解得Ue,

因此,直线/的斜率为f'(e)=2.

故选:B.

3.己知函数/(x)=e*,(x<l),函数g(x)=A(x+2),若两函数的图象恰有两个不同

的交点，则实数A的取值范围()

A∙IMB.C.(圜D.SM

【答案】A

【分析】

首先求切线的斜率，再由数形结合，求实数人的取值范围.

【详解】

由题知/'(x)=e',设切点为(Λ0,e"),则切线方程为y-e%=eM(x-%).将(-2,0)

代入可得Xo=T，故g(x)=A(x+2)与/(x)=e"(x<l)相切时％」，

e

1e-0

A(l,e),C(-2,0),故由两函数的图象有两个不同交点可得1<k<匚即

7CG2,0)IX

故选:A.

4.已知曲线y=e'的切线过坐标原点，则此切线的斜率为()

A.eB.~eC.-D.-

e

【答案】A

【分析】

设切点为(如源),然后求出曲线y=e，在切点处的切线方程为

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尸蟾=*(xr°),然后把坐标原点(0,0)代入即可解出答案.

【详解】

设切点为(∙⅛,e"),由y=e*,得V=e*,

.∙.=*，则曲线y=/在切点处的切线方程为y-1=叫XF),

把坐标原点(0.0)代入，可得-e&=-%•*,解得%=1,

.∙.所求切线的斜率为∕=e∙

故选：A.

5,若过点(。力)可以作曲线V=Inx的两条切线，则()

A.eb<aB.ea<λ>C.O<α<efcD.O<b<e"

【答案】C

【分析】

设切点为(为，%),可得切线为InXLb=；(XLa),所以b=∕+lnx0-l,设

⅜⅞

g(x)=∕+lnx-l,则y=。与g(x)=:+lnx-l图象有两个交点，讨论.VO时由单调

性可知不符合题意，当。>0时，由导数判断g(x)的单调性以及最值，数形结合

即可求解.

【详解】

ln

设切点为(为,%),y1)=⅞

由y=Inx可得y=L则切线方程为y-8='(x-α),

X⅞

因为点(毛，％)在切线上，所以InXo-6=：(%-4),所以6=?+InXO-1,

AOXQ

若过点(4为可以作曲线y=lnx的两条切线，则6=∕+lnx°T有两解，

玉)

设g(x)=2+InX-1,可得g[χ)=9l=

当“V0时，g'(x)=+U>O恒成立，此时g(x)=q+∣nx-l在(0,+8)上单调递增，

匕=巴+ln/T至多一解，所以“MO不符合题意，

⅞

当”>0时，由g'(x)<O可得O<x<4;由g<x)>O可得无>a；

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所以g(x)=f+InX-I在(OM)上单调递减，在(α,y)上单调递增，

hq

所以g(x)ra⅛=g(a)=a,

当X趋近于。时，g(x)=：+InX-I趋近于+00；

当X趋近于+∞时，g(x)=∙^+lnx-l趋近于E；

所以若y=b与g(x)=∕+lnx-l图象有两个交点，可得6>lna即0<a<e",

所以若过点(。力)可以作曲线>=lnx的两条切线，则O<a<e",

故选：C.

6.若直线I与曲线产五和χ2+y2=1都相切，则/的方程为()

A.y=2x+lB.y=2x+yC.y=；x+lD.y=yx+y

【答案】D

【分析】

根据导数的几何意义设出直线/的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出

答案.

【详解】

设直线/在曲线y=«上的切点为■,后)，则%>O,

函数y=4的导数为N'=壶，则直线/的斜率氏=古，

设直线/的方程为丫-H),即X-2y∣jζy+xn=0,

由于直线/与圆X2]相切，则舟=总

两边平方并整理得54-4%-1=0,解得%=1,xc=-∣(舍)，

则直线/的方程为x-2y+l=0,即y=]+g.

故选：D.

7.已知"χ)=χ+方若曲线y="χ)存在两条过(2,0)点的切线，贝1的取值范

围是.

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【答案】⑷“<-8或α>0}

【分析】

求导函数((x)设切点坐标为，写出切线方程并代入点(2,0)得

2

2xu+axu-a=0,由于有两条切线，故方程有两非零的根，结合判别式即可求

解.

【详解】

/\

由题得:(M=1-力，设切点坐标为%,

2尸I2xJ

/、

则切线方程为yf)-f=l-τ^T(Xr0)，

，玉)∖NXO>

又切线过点(2,0),可得F-券=(I-京］(2-与)，

整理得2∙√+g,-a=0,

因为曲线y="χ)存在两条切线，故方程有两个不等实根且χ°≠o

若XO=0,则q=0,为两个重根，不成立

即满足△=〃-8(-a)>0,解得。>0或。<一8.

故。的取值范围是{4∣“<-8或α>0}

故答案为：{o∣α<-8或α>0}

8.已知函数"x)=e'+2x,过点作(1,2)曲线y=∕(x)的切线，则函数的切线方

程为.

【答案】(/+2)X-I=O

【分析】

对函数求导，设切点坐标(%，%),表示出raj与“χ°),根据导数的几何意义

写出切线方程，且该直线过点(1,2),代入求解出马的值，即可得切线方程.

【详解】

r(x)=e*+2,设切点坐标为(为,%),则r(Λ0)=*+2,/(Λ⅛)=^+2Λ0,所以切

线方程为y-(4+2%)=(1+2)(xf),且该直线过点(1,2),所以

2-(*+2x0)=(*+2)(l-x°),得*(2τ°)=0,得玉>=2,所以切线方程为

(e2+2)x-y-e2=0.

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故答案为：(e~+2)x-y-/=。

22

9.已知双曲线C:1-与=1(“〉0力＞0)的一条渐近线与曲线y=l+lnx相切，则

a~b

该双曲线的离心率为.

【答案】√2

【分析】

设切点坐标为(f,lnr+l),利用导数求出切线方程，由切线过原点求得f的值，可

得出切线的斜率，进而得出，由此可得出双曲线的离心率为e=Jl+('J.

【详解】

设切点坐标为(r,lnr+l),对于函数y=l+lnx求导得y=J,

所以，曲线y=l+lnx在X=t处的切线方程为y-(l+lnf)=;(XT),

由于该切线过原点，则TTnf=T,解得f=L

所以，切线的斜率为：=1,所以，该双曲线的离心率为e*卜(2=万

故答案为：血.

10.设函数/(x)=Y+(αT)Y+6，若/(x)为奇函数，则过点(0,-16)且与曲线

y=〃力相切的直线方程为.

【答案】y=13x-16

【分析】

根据函数是奇函数，构造/(τ)+∕(ι)=o求出。值.再另设切点，求出切线方程，

将(O,-16)代入切线方程，即可求出切点横坐标，切线方程可求.

【详解】

；函数/("=/+(。-1)/+亦为奇函数，

"(T)+/(I)=O,

.*•—1+Q—1—α+(l+α-l+α)=O.角牟a=1,

.∖/(x)=x3+x,

・•・Γ(X)=3X2+1.

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设切点为(%,%),则切(飞)=3芯+1.

设切线方程为y-%=r(∙¾)(χf)∙

VΛ=⅛+⅞，

y-(%+飞)=(3片+1)(X-M).

•••该直线过点(0,-16),

一16一(x：+⅞)=(3∙⅛+l)(θ-⅞)，

解得%=2,

.∙.%=10,Γ(⅞)=13f

.∙.所求直线方程为yT0=13(x-2),

即y=13x-16.

故答案为：y=l3x-∖6.

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5.类型三：距离问题I-IO题

1.已知抛物线Uχ2=2py（p>0）焦点为RM（肛2）是抛物线C上一点，且

∖MF∖=3,点P在抛物线C上运动，则点尸到直线/：y=x-2的最小距离是

（）

A.ɪB.也C.1D.√2

22

【答案】B

【分析】

法一：利用抛物线定义求抛物线方程，设尸，?）（，€/?）,结合点线距离公式得

到关于，的函数，求最值即可；法二：利用导数求与Ly=X-2平行且与抛物线

相切的直线，根据平行线的距离公式求点线距离最小值；法三：设平行于

/：y=x-2且与抛物线相切的直线方程，联立抛物线应用方程法求参数，写出切

线方程，进而求距离.

【详解】

法一：抛物线C的准线为y=-∙∣,由抛物线的定义知：2-[-日）=3,解得

P=2,

：.抛物线C的方程为X2=4y.设小?[≡R），

t2

点尸到直线/的距离，_'一4一2_"-2）2+4|近，当且仅当,=2时等号成立.

F~=4√Σ-<

法二：如图，当点P到直线/的距离最小时，抛物线C在点尸处的切线与/平

行，

设切点P的横坐标为r，由炉=4），，得y'=；x,则5=1,即f=2,

.∙.抛物线C上的点P到直线/距离最小的点是（2,1）,此时点尸到直线/的距离为

∣2-1-2∣√2

√2-V*

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法三：设与抛物线C相切且与直线Ly=x-2平行的直线为y=x+%

由卜一整理得V-4x-46=0,

y=x+b

由则到直线/的最小距离为1_y/2

A=(-4)2+16b=0→6=-l,P?2=T

故选：B.

2.点P在函数y=e”的图像上，若满足到直线y=x+“的距离为2夜的点P有

且仅有3个，则实数。的值为()

A.5或-3B.1或3C.1D.5

【答案】D

【分析】

在曲线y=e*的点P(X°,%)作切线，使得此切线与直线y=χ+α平行，得PO1),进

而根据题意得点尸到直线y=x+α的距离为2&时满足条件，根据点到直线的距

离公式得。=5或α=-3,再结合图形分析即可得答案.

【详解】

过函数y=e'的图象上点P(χ°,%)作切线，使得此切线与直线y=χ+α平行，

因为y'=e",于是e%=l,所以Xo=O，No=I,.∙.POl),

于是当点尸至IJ直线V=x+。的距离为2&时，贝IJ满足到直线V=x+。的距离为2√2

的点P有且仅有3个，

解得a=5或。=—3,

又当。=-3时，函数y=e*的图象与直线y=x-3不相交(如图)，从而只有一个

点到直线距离为2立，所以不满足；

当。=5时，函数y=e，的图象与直线y=x+5相交，满足条件.

故选：D.

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3,若点A在曲线y=lnχ-l上运动，点8在直线y=χ+2上运动，AB两点距离

的最小值为()

A.2B.2√2C.4D.与(e+2)

【答案】B

【分析】

结合图像，当与直线y=x+2平行的直线与曲线y=lnx-1相切于点尸时，此时

AB两点距离的最小值为点尸到直线y=x+2的距离，计算可得点尸的坐标，从

而算出答案.

【详解】

如图可知，当与直线y=x+2平行的直线与曲线y=lnx-l相切于点P时，此时

AB两点距离的最小值为点尸到直线y=x+2的距离，

设与直线y=x+2平行的直线与曲线y=lnx-1相切于点P(Λ0,lnx°-l)时,

又y'=L=1即得%=1,∙∙∙P(1,T)

X⅞

∣ι+2-(τ)∣

所以点P到直线y=X+2的距离为=2√2,

所以A3两点距离的最小值为2&.

故选：B

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4.若点A((U)与曲线y=lnx上点8距离最小值为26,则实数/为

A∙1∩2÷3B.In3÷2C∙—In3÷3D•-ln2+2

22

【答案】C

【分析】

设点B的坐标为(m,In,"),根据直线AB与曲线y=lnx在点8处的切线垂直，得到

f关于旭的表达式，再利用两点间的距离公式结合I阴的最小值为2有，求出加

的值，即可得出实数f的值.

【详解】

设点8的坐标为("?,Inw),对函数y=Inx求导得y=g,

由题意可知，直线AB与曲线N=Inx在点B处的切线垂直，则L=巴吆=-加，

-Hl

得/=m2+Inm，

由两点间的距离公式得IAM=Jfn、(I-Inmf=病危，

由于k却的最小值为2√J,即∕√+∕√=12,m>0,解得,"=6，因此，

r=3+ln石=3+'ln3.

2

故选：C.

L

5.曲线y=JT在点(1,1)处的切线为/,贝!)/上的点至IJ圆Y+y2+4χ+3=0上

ZX-I

的点的最近距离是

A.√2-lB.2√2-lC.√3-lD.2√2

【答案】B

【分析】

利用导数的几何意义,求出切线方程,然后根据直线和圆的位置关系即可得到结

论.

【详解】

f(x)=---------------

(2Λ-I)2,

第18页共102页

・・・在点(1,1)处的切线为1的斜率α=T,

，切线方程为y-i=-(χ-i),

即x+y-2=0,

圆的标准方程为(x+2)2+y2=l,

.∙.圆心A(-2,0)泮径z∙=L

1-2+0-214

则圆心到直线x+y-2=()的距离d=--J=—=正=

.•・/上的点到圆/+/2+4》+3=0上的点的最近距离是“_「=2应-1,

故答案为2√Σ-1.

6.在平面直角坐标系Xsy中，P是曲线了=/+,(χ>o)上的一个动点，则点P

X

到直线y=X的距离的最小值是.

【答案】4

2

【分析】

画出函数y=∕+Lχ>o)的大致图象和直线y=χ,数形结合可知，当直线y=χ

X

的平行直线与曲线相切时，切点到直线的距离最小，由点线距公式可得最小值.

【详解】

11ɔY3—1

⅛∕(x)=x2+-(x>0),则r*)=2x—=

尤XJr

令f'(x)=O,BP2X3-1=0,解得X=更,

2

当0<x<更时，f'(x)<0,/(X)单调递减；

2

当X>理时，Γ(x)>0,/(X)单调递增.

2

如图，画出函数大致图象以及直线y=χ,

当直线y=χ的平行直线与曲线y=V+1(x>0)相切时，切点尸到直线y=χ的距

X

离最小.

设切点P(X°，%),切线斜率为k,

由％=f'α0)="J=ι,解得Xo=1,即点尸(1,2).

第19页共102页

贝U点尸(1,2)至U直线N=X的距离"=f=q.

722

故答案为:与

7.设P为y=±χ2-2图象C上任意一点，/为C在点P处的切线，则坐标原

点。至心距离的最小值为一.

【答案】2

【分析】

设出切点P坐标，由导数求得C在点P处的切线方程，由点到直线的距离公式

写出坐标原点。至心距离，再由基本不等式求最小值.

【详解】

设P(Λ-0Λ√-2),

由y=:χ2-2,得y'=；x,

2

则C在点P处的切线方程为：y-^x0+2=lχυ(x-x0),

2

整理得：2x0x-4y-Λ0-8=0.

-j2-822

i∣z4-nɪ;I-71>in-->l⅛lɪ⅞+81x0+4+4

•••坐标原点0至U/距禺d=、1，=丁玛，

√4√+1622+42JXo2+4

>2.

2

当且仅当行N=Wɪ,即XO=O时上式等号成立.

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••・坐标原点。到/距离的最小值为2.

故答案为：2.

8.设户为y=；V-2图象C上任意一点，/为C在点P处的切线，则坐标原点。

到/距离的最小值为.

【答案】2

【分析】

设出切点P的坐标，由导数求得C在点P处的切线方程，利用点到直线的距离

公式写出坐标原点。到直线/的距离，再结合基本不等式，即可求解.

【详解】

由题意，设点P（X0，；尤；-2）,

由函数y=；/-2,可得y=gχ,所以

所以曲线C在点P处的切线方程为y-%；+2=/Q-X。）,

整理得切线/的方程为2x°x-4y-W-8=0,

1x：+81xθ÷4+4

乂由坐标原点。列直晨/川距H"=

√4xθ+16

=3后7+］台）≥2,当且仅当向工+［三时，即与=0时等号成立,

所以坐标原点。到直线/的最小值为2.

故答案为：2.

9.曲线y=τr∖在点（1,1）处的切线为1,则1上的点到圆d+y2+4x+3=0上的

ZX-1

点的最近距离是.

【答案】2近—1

【分析】

可得曲线在点（1,1）处的切线方程，可得圆心到直线的距离即为1上的点到

圆χ2+y2+4x+3=0上的点的最近距离，由点到直线的距离公式可得答案.

【详解】

解：∙∙∙y=f(χ)=⅛i,

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∙,,f(X)="(2x-l)2

.∙.在点(1,1)处的切线为I的斜率k=-1,

∙∙.切线方程为y-1=-(χ-l),

即x+y-2=0,

圆的标准方程为(x+2)2+y2=l,

.∙.圆心A(-2,0),半径r=l.

则圆心到直线x+y-2=0的距离d=2出，

ʌɪ上的点到圆χ2+y2+4x+3=0上的点的最近距离是d-r=2√2-l，

故答案为20-1.

10.定义：曲线C上的点到直线I的距离的最小值称为曲线C到直线I的距

离.已知曲线Ci：y=χ2+a到直线hy=x的距离等于C2：x2÷(y÷4)2=2

到直线1：y=x的距离，则实数a=.

【答案】(

【详解】

试题分析：由新定义可知，直线7与曲线C相离，

圆C的圆心到直线7的距离为-=Wi>4,此时直线/与圆。、相

*#F+T(T7)I，

离，

根据新定义可知，曲线=2到直线，0=X的距离为

2√2-√2=√2-

对函数J=、二-α求导得1'=X：，令清===?*：=：=■:；=g,

1>,1&X,]∣•

故曲线C]在X=—处的切线方程为."T~÷=小一；,即X-Y----=0,

2><!”24

于是曲线C∙:I=V+α到直线/i=X的距离为卜__斤，则有

√i1+(-ι,r^.

a-1=2,

4

第22页共102页

解得α=2或α=—,

44

当α=-工时，直线7与曲线G相交，不合乎题意；当时，直线7与曲线

G相离，合乎题意.

9

综上所述，a=-.

4

6.类型四：零点问题ITO题

—尤2—9rr<OO

1∙已知函数/3=UgIo'若函数依fa）—%有四个零点，则

实数机的取值范围是（）

2e一3

B.k-

D.

第23页共102页

【答案】B

【分析】

ɔ

转化条件得直线y=与函数〃尤)的图象有四个交点，作出函数图象，

结合导数的几何意义，数形结合即可得解.

【详解】

2[K')

g(x)=0o∕(Λ∙)=m(Λ∙+l)-qθ{2有四个交点，作出f(x)的图象，结

ɔy=∕π(x÷lj--

合y=Mx+l)-∣过定点m则直线应在过此点的y="χ)切线以及原点的

直线之间，过原点时斜率为2;；当直线与曲线相切时，由

2

f(x)=[ln(x+I)J=-Ip设切点小,％),则切线斜率为左=_L=YI，得

X+X()+]Ag+]

11I](2」、

故In(XO+I)=,,所以χ,+i=/,则切线斜率为e不，故ZMe3.

vɔ/

故选：B

2.设/(χ)=MH,若函数g(χ)="χ)-"在区间(Od)上有三个零点,则实数“

的取值范围是

【答案】D

【详解】

令g(x)=F(X)-Or=0,可得F(X)=O%.

第24页共102页

在坐标系内画出函数f(χ)=∣im∣的图象(如图所示).

设过原点的直线y=6与函数y=∕"χ的图象切于点A(XO,∙nχ()),

InXO=G⅛(χ0=e

则有〃ɪ，解得I.

a--Ia=一

⅞[e

所以当直线y=以与函数y=/〃x的图象切时α=L

e

又当直线y=⑪经过点B—2)时，有2=7,解得α=*

结合图象可得当直线y=以与函数"X)=∣I时的图象有3个交点时，实数。的取

值范围是信,J

即函数g(x)=∕(x)-⑪在区间(0")上有三个零点时，实数。的取值范围是

(M).选D∙

3.已知/(x)=InXTa«-6卜1,若存在实数”,使得/(x)在上有2个零

点，则2的取值范围为()

a

【答案】A

【分析】

由/(X)=。可得InX-I=W五一0,令/=ej,贝Ij21n∕-l=Im_同=同,

b

由题意可得y=21n-l与y=同一1的图象有2个交点，作出丁=21n/-1的图象,

第25页共102页

求在点(e,l)处的切线的方程求得临界值即可求解.

【详解】

由/(x)=lnx-∣6fVx-⅛∣-l=O可得：lnʃ-l=∣<7Λ∕X-⅛∣,

令∕=4∈(l,e),贝Ij21n∕—I=M-H=I硝一2,

若“X)在(呆2)上有2个零点，

b

则y=21n-l与y=同”’的图象有2个交点，

作出其图象如图所示：由y=21nr-l可得V=；,

ɔ

当∕=e时，y=2lne-l=l,/=-,

e

9

所以y=21nl在(e,l)处的切线的方程为y-l,(x-e),

e

即y=2χ-W,所以

ee<2√a2

b

因为一<e,

a

所以*2<e,[的取值范围为俘e],

2aa∖2)

故选：A.

4.已知函数〃X)=x'且关于X的方程/(x)-以=。有三个不等实根，则实

e^x,x≤0

数〃的取值范围为()

第26页共102页

A.(-∞,-e]B.(-∞,-e)C.(-∞,-l)D.(-∞,-l]

【答案】B

【分析】

转化关于X的方程“χ)-6=o有三个不等实根为y=∕(χ),y=以有三个不同的交

点，分αN0,α<0讨论，当α<0时，考虑临界状况，V=⑪与>=",相切，分析

即得解

由题意，关于X的方程“X)=0有三个不等实根，可转化为y=f(χ),y=◎有

三个不同的交点

结合图像，当α≥0时显然不成立；

当“<0时，考虑临界状况，y=6与y=e-'相切

设切点为(x(),ef),

xx

由于y=-e^k=-e^°

从而切线方程为：y-^=-^(x-x0),由于直线过原点

故一ef=-^(-x0).∙.xfl=-l

k=-e

数形结合可知，当A<-e,即αe(τo，-e)时，y=