2023年高考数学客观题十一 圆锥曲线

专题H锥曲线

【考试内容】椭圆及其标准方程;椭圆的简单几何性质；双曲线

及其标准方程;双曲线的简单几何性质;抛物线及其标准方程;抛

物线的简单几何性质

【近7年全国卷考点统计】

试卷类型2016201720182019202020212022

全国卷（甲通一510101051010

全国卷（乙卷）510510101010

新高考全国1010

新高考全国∏才1010

重要考点回顾

一、椭圆知识点

______________⅛⅛______________

］定义］平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于

_____________尸I%。的点的轨迹叫椭圆•_____________

y

y

[,小

I图象］T›S∖42rI

OU*OKX

I飞V

2222

标准方程―y÷ʒ-—1(。>/?>0)—y÷=I(Q>Z?>0)

abba

范围________IxIWQjyl劭________________∣χ∣≤∙一区。________

顶点与

4(-Q,O),A2(a,O),长轴长=2QAI（O,-〃）闫2（。，〃），长轴长二2〃

长短轴

Bl(O,-份12(0力),短轴长=2。3（瓦0）,43,0）,短轴长=28

的长

隹占≡-c,0),F2(C9O)

八、、八、、F1(O9-C)9F2(O9C)

焦距尸1&I=2c(其中c2=a2-b2)尸1^2∣=2c(其中N=Q2功2)

离心率e=-(0<e<l)τ~=Vl-β2(e越小,椭圆越近似于圆)

_____Cla________________________________

对称性椭圆都是关于Zy轴成轴对称,关于原点成中心对称

椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形,其周长为

隹八、占、八二、、-

2Q+2G解题中常用余弦定理和勾股定理来进行相关的

角形

________________________τW________________________

焦点弦椭圆的一焦点与过另一焦点的弦组成的三角形,

三角形______________________其周长为4〃_____________________

二、双曲线知识点

范围________∣χ∣≥α,yWR_____________χ^R,lyl≥α_____

顶点与&（-七0）队2（。，。），实轴长=2αAl（O,-α）√42（0,a）,实轴长二2〃

实虚轴虚轴长=2"时叫等轴双虚轴长=2b,0=b时叫等轴双

的长___________«_____________________«__________

隹占

八、、八、、F1(-c,O),F2(C9O)Fi(O9-C)9F2(O9C)

焦距IgF21=2c(其中c2=d2+b2)尸1&I=2c(其中c2=a2+Z?2)

渐近线Iy=±一1%(或2与-今2=。),α/Ty2X2八、

y=±7%(或-—=O)

方程aab______baTTb______

e'（e>l）X=√7二I（e越小,双曲线开口越小），

离心率

等轴双曲线的6=也

对称性双曲线都是关于X）轴成轴对称,关于原点成中心对称

隹八、、占八、、二--双曲线上一点与双曲线的两个焦点组成的三角形,解题

角形中常用余弦定理和勾股定理来进行相关的计算

三、抛物线的知识点

内容

平面内到定点方的距离等于到定直线距离的点的轨迹叫

定义

抛物线.

图形J么LL-MILOZV

πΓ7

标准方程y1-2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2--2py(p>Q)

范围x≥O,yeRx≤0,y∈Ry≥O,x∈Ry≤),x∈R

开口.向右.■向左..向上..向下.

方向

焦准距_______________________〃S>o)_______________________

顶点

坐标原点(0,0)

坐标

隹八、、占八、、PP

■畔,0)IF(-y,O)F(O,y)■F(O,-f)■

坐标乙乙乙乙

线

准

程

方77PP

PΓ,X-P-Uzy---l7^y=-

_________2________222

对称轴X轴X轴y轴y轴

离心率e=l

考点训练

1.若一个椭圆长轴、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的

离心率是)

4321

AEBgc.-D.-

【答案】B

【解析】由题意可知2α+2c=2∙2b,化简得α+c=20,

两边平方得(。+。)2=4/?2,(〃+。2=4(〃2_/),3〃2-2〃05,=0,

BP(α+c)(3α-5c)=0,

因为α+c≠0,于是有3α=5c,即e=∣.故选B.

2.已知椭圆的长轴长是短轴长的√∑倍,则椭圆的离心率等于（

A.-B.四C.√2D.且

222

【答案】B

【解析】由已知得2〃=泥2瓦即〃2=2ZA

，：济二浮+」得到到=少2,

.・.由Wd解得谬故选B.

a22b222

3.若椭圆上2+俨=1的两个焦点为方J2,过生作垂直于X轴的直线与

4

椭圆相交,-个交点为P,则点P到尸2的距离为1()■

AZB.√3eɪD.4

22

【答案】C

【解析】由椭圆的方程可知〃2=4/2=1,求得¢2=3.

如图所示,可求得尸点坐标为(-但力尸乙|3

根据椭圆的定义可知,Wl+*=2α=4,■

A7

解得IPF2I=4-1尸尸11=4《=)故选C.

22__

4.已知方程W+£=1(k∈R)表示焦点在X轴上的椭圆,则左的取值

A.(-∞,l)(3,+∞)B.(l,3)

C.(l,+∞)D.(-∞,3)

【答案】B

【解析】由题意可知〃2=k+1/2=3-左,

则上+1>3-QO,解得1<Z<3.故选B.

~~→22

5.椭圆t装+台=I(4>6>0)的左、右顶点分别是A,民左、右焦点分别

是入42・若如UlK尸2∣,∣K用成等比数列,则此椭圆的离心率为()

■AqBTc,∣D.√5-2

【答案】B

【解析J由椭圆性质可知IAKl=尸∕2∣=2c,∣尸臼=α+c.

因为三者成等比数列,所以(2c)2=(4-c)3+c),

化简得5/=〃2,解得右叵故选B.

5

6.设吊/2是椭圆的左、右焦点,P为直线X号上

一点,△尸2尸入是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为（）

4

D

A,2-BI-5

【答案】C

【解析】如图,由题意可知I尸码=/ι%∣=2g尸2人|二手-C

因为/心工尸=/b2尸工=30。，所以有NP&A=60°.

又B4_L%A,于是有N尸2%二30。，故有IP/2∣=2∣A%I,'

即2c=2（当一c）,化简得4c=3α,

~∖Xθ-FjA~

于是故选

e=ma=4*C.、/

22

7.已知双曲线。匕=Im>0)的离心率为2,则。=()

a23

A.2B.^C也D.1

22

【答案】D

【解析】由双曲线的离心率可得正ɪd解得α=l∙故选D.

__22一

8•已知双曲线C⅞⅛=13>0力>0）的离心率为9则C的渐近线方

（I）■

IlΛ

AJ=±FB.y=±∕C.y=±^D.y=±

乙xx

【答案】C

【解析】∙.γ.∙.冷即篇―••鸿..风.

.•双曲线的渐近线方程为y=±,χ=±1,故选C

9.已知双曲线的中心在坐标原点,离心率e=2,且它的一个顶点与

抛物线俨=-8%的焦点重合,则此双曲线的方程为(

22‹2丫22

ANJL=IB.v-y=lC.±v-匕v=1D.—-^ΛJ=1

33124412

【答案】D

【解析】因为抛物线V=-8x的焦点为(-2,0),即双曲线的一个顶点

为(-2,0),于是有α=2,

又e=『2,所以c=4,从而有。=丘2-Q2=2^∕5.

22

故双曲线方程为土-匕=1.故选D.

412

10.已知b112为双曲线N-y2=2的左、右焦点,点P在双曲线上,

∣PF1∣=2∣PF2∣J∣JCOSZF1PF2=)

4

AqBIc∙iD-5

【答案】C

［解析］由双曲线%2.y2=2可得a=叵b=迎,c=2,

由双曲线的定义可矢口,|尸巴|-|尸尸2匚2|尸尸2∣TPBl二I尸/2匚2。二2近,

于是有IP尸11=2万-21=4近,又因尸2∣=2C=4,

IPFII2+∣PF2∣2-∣FlF2『32+8-16_3

由余弦定理可得CoSNF/B=

J2×4√2×2√2-4*

2∣PF1∣∣PF2∣

故选C.

__22

11.已知双曲线C：、翥=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则

。的方程为()

A-^-=lB.亡-竺二1C-^-=lD.--2^=1

205

52080202080

【答案】A

【解析】双曲线。的其中一条渐近线方程为产一

Ja'

点P(2,l)在该条直线上,可得2，

a2

由题意可知2c=10且〃2+。2=θ2,解得〃2=5,〃2二20.故选A.

2222

12.已知双曲线G¾⅛=l（g>°力>°）与双曲线02：亍£=1有相同的

渐近线,且G的右焦点为「（后。）,则。=,b-.

【答案】1；2

【解析】由双曲线G的渐近线方程为

可知双曲线G中3=2,

且由题意可知。=倔

2221

∙.*O+。2=C9.*.a=l,b=4.

解得。=1,0=2.

22

13.如图/也是双曲线Gr看二1（。＞。力＞。）的左、右焦点,过鸟的

直线/与C的左、右两支分别交于A,5两点.若IABl：∣BF2∣：∖AF2∖

二3：4：5,则双曲线的离心率为,、『

［答案］g

⅛J∖F

【解析】由题意,可设∣A5∣=3川5F2∣=MHB∣K.‘'二'

根据双曲线的定义可知，I/∖H

∣AF2∣-∣AFJ=2βJBF1∣-∣BF2∣=∣BA∣+∣AF1∣-∣BF2∣=2β.

两式相减得∣AF1∖=3t,2a=2t,a=t.

V∖AB∖：∣BF2∣：∖AF2∖=3：4：5,

・•・N63C=90°,有∣5%F+∣瓦引2二/E2匕得到尸∕2∣=2√I^.

于是2c=2√I^,得故

at

14.已知双曲线的一个焦点与抛物线N=24y的焦点重合,其中一条

渐近线的倾斜角为60。，则该双曲线的标准方程为()

A∙^-丝=lBX--=1cX--=1D.^-—=1

92727912242412

【答案】B

【解析】抛物线∕=24y的焦点为(0,6),即双曲线的焦点为(0,±6),

22

设双曲线的方程为J-S=I(〃>0力>0),则C=G

由渐近线方程为^=tan600二8,/=/+〃2,解得〃=3百力二3,H

22

则双曲线的方程为匕-±二1.故选B.

279

15.0为坐标原点下为抛物线Cy2=4内的焦点,尸为C上一点,若

IP尸I=4四,则APOF的面积为（）

A.2B.2√2C.2√3D.4

【解析】由I尸尸|二4金,可得尸点到准线的距离也为4位，

则P点横坐标为3鱼沙2=4鱼×3√2≡24,

则P到X轴的距离为2访故S△尸∣^F∣∙2√6=2点故选C.

16.设方为抛物线Cy2=3x的焦点,过产且倾斜角为30。的直线交。于

AQ两点,则∣A5∣=()

A呼B.6C.12D.7√3

【答案】C

【解析】依题可得吧0),则直线A3方程为W(D,

与抛物线方程联立可得N-尖+白=0,则4+必二・

ZIoZ

根据抛物线上点到焦点的距离和到准线的距离相等,且抛物线开

口向右,则4＞。山＞。，

可得∣A5∣=∣AF∣+∖BF∖=XΛ+J⅛+2X12.故选C.

17.过抛物线y=4x的焦点方的直线交该抛物线于A,5两点,若

IAW=3,则|3月=.

【答案】I

【解析】由卢4%知焦点尸的坐标为(1,0),

若过点尸的直线的斜率不存在,那么直线方程为%=1,此时直线与

抛物线的两个交点为(1,2)和(1,-2),则IAn=2,不合题意,故舍去.

设过焦点厂的直线的斜率为上那么直线的方程为厂网*1),

代入y2=4x中,得NX2-(2N+4)x+N=0,

7

设A(Xljɪ),B(X29J2),那么XIX2=1.

_iɔ

而IAFI=X1+1=3,那么XI=2,所以尤2=3.所以∖BF∖=X+1=-.

乙2乙

22

18.若抛物线卢2年的焦点与椭圆器+；=1的右焦点重合,则P的值

A.-2B.2C.-4D.4

【答案】D

22

［解析】椭圆方程为土+匕=1,则。2=6/2=2/=4,

62

所以根据题意有*2,得p=4.故选D.

乙

19.已知抛物线关于X轴对称,它的顶点在坐标原点o,并且经过点

M2,%).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则QM=()

A∙2√2B.2√3C.4D,2√5

【答案】B

【解析】由题意,抛物线关于无轴对称,开口向右,

设方程为y?=2px(p>0).

・・♦点M2,%)到该抛物线焦点的距离为3,

n

,•2+厂3,・∙p=2,抛物线方程为y2=4χ.

•M(2,)⅛),∙'∙y()2=8,

・•・|0M=V¥Tδ=2g.故选B.

20.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在X轴上,。与抛物线*=16x的准

线交于4B两点,且∣A3∣=4√5,则。的实轴长为()

A.√2B.2√2C.4D.8

【答案】C

【解析】设等轴双曲线C的方程为/-y2=左①,

抛物线＞2=16%,22=16/=8,与=4,准线方程为4-与=-4.

乙乙

等轴双曲线与抛物线的准线4-4的两个交点分别为A(-4,y),3(-4,-y),

则IAjBI=Iy-(-y)I=2y=4^∕5,y=2Λ∕5^∙

将%=-4j=2√5代入①,化W⅛(-4)2-(2√^)2=LA=4,α2=4,α=2,

所以。的实轴长为4.故选C.

21.已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为/的右焦点与抛物线

Cy2=8x的焦点重合AB是C的准线与石的两个交点,则∣A8∣二(

A.3B.6C.9D.12

【答案】B

【解析】Y抛物线Cy2=8%的焦点为(2,0),准线方程为x=-2,

..・椭圆E的右焦点为(2,0)..椭圆E的焦点在X轴上，

设椭圆£方程为马+马=1(〃＞。＞0),。=2「・・6=£=；,・：〃=4力2=〃2-

αzbza2

c2=12.

22

・•・椭圆石方程为土+匕=1,

1612

将尤=2代入椭圆片的方程解得423),5(2-3),∙∙.∣AB∣=6故选B.

2

22.已知尸是双曲线CN千二1的右焦点,p是。左支上一点40,6份）,

当AAPT调长最小时,该三角形的面积为.

【答案】12前

【解析】设双曲线的左焦点为％,由双曲线定义知,∣PN=2α+∣P尸J,

・•・ZXA尸方的周长为

∣7¾∣+∣PF∣+∖AF∖=∖PA,∖+2a+∖PF1∖+∖AF∖=∖PA∖-^∖PFi∖+∖AF∖+2a,

由于2α+IA为是定值,要使△△尸产的周长最小，

则∣∕¾∣+∣P%∣最小,即PAK共线.

•・•点A(0,6√δ)Fι(∙3,0),

・,・直线AK的方程为卷+熹=1,即广嘉-3,代入/《=1,

整理得y2+6ʌ∕r^y-96=0,解得或y=-8^∕^(舍)，

・・・P点的纵坐标为2遍.

11

・尸产△力FFI-SN"]义

∙SS—~乙×6×ðʌ/ð-乙-X62ʌ∕g-1

23,直线/经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到/的距离

为其短轴长的则该椭圆的离心率为（）

4

A，-3

【答案】B

【解析】如图,利用三角形等面积法得〃多二"

则故选B.

a2

24.设厂为抛物线Cy2=4x的焦点,曲线广勺Qo)与C交于点P,尸产’九

t∕∖f

轴,则左二()

A.-B.lC.∣D.2

2z

【答案】D

【解析】:尸为抛物线V=4x的焦点,∙∙."l,0>

又・.・曲线y=%上〉0)与C交于点尸,尸尸，X轴，

∙)C

Iz

ΛP(1,2),Λ^2,Λ⅛=2.

故选D.

22

25.已知。为坐标原点下是椭圆Cj+j=l(Q>b>O)的左焦点4B分

azbz∙

别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PnLX轴.过点A的直线/与线

段Pb交于点M与y轴交于点E若直线经过OE的中点,则C的离

心率为()

1123

A.iB.-C.-D.-

3234

【答案】A£

【解析】由题意可设直线/的方程为广十+α),

分别令X=-。与X=O得∖FM∖=k(a-c),∖OE∖-ka,vf0一二^度

设OE中点为由ABMFSZ∖BOO,得用巴∖0B∖目口kaa

j∖BF∖,2k(α-c)a+c

整理得?三,所以椭圆离心率为e/故选A.

26.已知A为抛物线Cy2=2∕zφ>0)上一点,点A到。的焦点的距离为

12,到y轴的距离为9,贝IJP=)

A.2B.3C.6D.9

cH∣

【解析】因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等,

所以有解得

9+乙±12,p=6.

故选C.

22

27.已知双曲线三J=Im>0力>0)的右焦点与抛物线y2=2PX(P>0)

αz匕N

的焦点重合,抛物线的准线交双曲线于AB两点,交双曲线的渐近

线于CQ两点,若ICDI=¢|4凤则双曲线的离心率为■()

A.√2B.√3C.2D.3

【答案】A

【解析】由题意可得抛物线的准线方程为尸弓

设AB,C。与X轴分别交于点MN,由ICQI=鱼|A引,

再由双曲线渐近线及抛物线的对称性可得ICNI=√^∣AM∙

ɪ22

由题意可得±c,即p=2c,可得'解得Iyl=匕,所以IAM=纥

aa

所以/=2左=2（。2-。2）,施星得C=¢Q,

所以双曲线的离心率6。=但故选A.

22

28.设双曲线。的方程为与J=I（α>O,b>O）,过抛物线*=4x的焦点

αzbz

和点（0力）的直线为/.若C的一条渐近线与/平行,另一条渐近线与/

垂直,则双曲线C的方程为（

A.次旦=1BN-Q=I

444

2CC

C.v--y2=lD.x2-y2=l

【答案】D

【解析】抛物线俨=4%的焦点坐标为(1,0),

则直线/的方程为y=-6(x-l).

22〃

:双曲线I(Q>0,b>0)的渐近线方程为y=+-%,

αz匕/α

且C的一条渐近线与/平行,另一条渐近线与/垂直，

Λa-a∙(-^)=-l∙

.∙.α=l/=L

・•・双曲线C的方程为炉-俨=1.故选D.

22

29.(多选题已知双曲线C∖K=1(Q>0力>0)的离心率e=2,C上的

点到其焦点的最短距离为1,则

AC的焦点坐标为(0,±2)

■BC的渐近线方程为尸土^

C.点(2,3)在C上

D.直线mX-y-m=OMIWR)与C恒有两个交点

【答案】BC

【解析】由已知得Q2所以：='所以。2=3,

c———乙〉C—Z.

aV

2

所以双曲线C的方程为N-匕=1.所以C的焦点为(±2,0),故A错误;

3

C的渐近线方程为尸土，二土库,故B正确；

ɔ2

因为22卷=1,所以点(2,3)在C上,故C正确；

直线mx-y-加=0即产加恒过点(1,0),

当加=±遮时,直线与双曲线C的一条渐近线平行,此时直线与双

曲线只有一个交点,故D错误.

故选BC

22

30.（多选题）已知K,三是椭圆。套+k=1（。»＞。）的左、右焦点MN

是左、右顶点,e为椭圆。的离心率.过右焦点b2的直线/与椭圆交

B

于A,5两点,已知力友/Z1=。,34R=2尸。JAFII=2∣AF2∣•设直线A的

斜率为匕直线AM和直线AN的斜率分别为占,左2,直线和直线HN

的斜率分别为七，&，则下列结论一定正确的是（）

Ae店B

5∙H

44

cm.D∙⅞A=5

【答案】AC

【解析】∙∙Z%∙βX=0,∙∙∙Abj5K.

在△即尸2中"尸|”I=3"2=|叫号百尸2=2C,

2

*,石Fl2+EF2-F/2,.∙.C=浜,b=1—¢2=短,

椭圆离心率e=?=£故A正确；

05

【解析】左上=2,故B错误；

C

设点A(x,y),易得点M(-a,O),N(α,O),

2

31.（多选题）双曲线炉J=IS>0）一条渐近线方程为2√∑x+y=0,双

bz,

曲线的离心率为自双曲线的焦点到渐近线的距离为4则（）

A.6∕=2√2B.t∕=√2C.e-3

【答案】AC

2

【解析】双曲线N-J=IS>0）的一条渐近线方程为2岳+广0,

DΔ

可得6=2企,〃=1,所以故C正确；

aa

双曲线的右焦点（3,0）,

双曲线的焦点到渐近线的距离为d=磊二2立,故A正确.

故选AC.

32.（多选题）已知抛物线Nqy的焦点为EMXlM）.（心力）是抛物

乙

线上两点,则下列结论正确的是（

A.点尸的坐标为（，0）

B,若直线MN过点E则印2二-2

C.若诂F>,则IMNl的最小值为2

v乙

D.若IMFI+1NFIW,则线段MN的中点P至卜轴的距离为J

2O

【答案】BCD

【解析】抛物线N=］的焦点为《0弓）,故A错误；

根据抛物线的性质可得MN过点丽,则XM2二高故B正确；

若Λ⅛=⅞⅛，则IMNl的最小值为抛物线的通径长,为2〃J故C正确;

【解析】抛物线V=?1

8,

过点M,N,P的别作准线的垂线1,NN；PP；

rr?

则∣Λ∕ΛΓ∣二∖MF∖,∖NN,∖^∖NF∖,∖MM,∖+∖NN,∖=∖MF∖+IN川二工

2

所以|「尸，］」MM，|+|NN，-

所以线段MN中的尸到X轴的距离为IP尸故D正确.

O4oO

故选BCD.

N'

22

33.(多选题)已知P是椭圆kB=I上一动点MN分别是圆

(X+2)2+y2二2与圆(X-2)2+y2ɪɪ动点,则()

27

A.FM+FNI的最小值为丁乙

ɔr

值

B.∣PM+IPNI的最小为彳乙

C.∖PM∖+IPNI的最大值为日

乙

QQ

D.∣PM∣+∣PN∣的