江西省丰城拖船中学2023-2024学年高三年级上册开学测试数学试题

2023-2024学年第一学期开学测试

高三数学试题

时间：120分钟分值：150分

一、单选题(每题5分，共40分)

1.集合A={x∣∣x-1∣≤1},集合8={x|2x—1>0},则AB=()

-ICl「1八(1o^

A.—,2B.不2C.；,2

[2」L2)(2」

2.在等比数列{4,}中，%=2,4=4,则首项等于()

A.2B.1C.

3.下列求导运算正确的是()

A.(3)=3恤遇B.(lgxy=-7二

JclnlO

C.(CoSX)'=sinxD.(x2cosx),=-2xsinx

4.过点(-2,0)与圆V+y2-4x-相=0相切的两条直线垂直，则机=()

A.-4B.-2√2C.2√2D.4

5.已知X与V之间的一组数据：若>关于X的线性回归方程为∕=2.1XT.25,则m的值为()

X1234

ym3.24.87.5

A.1B.0.85C.0.7D.0.5

6.如图，在平行六面体ABeo-ABe。中，E为AG的中点，若Af=xA41+),AB+zAD,则()

B.x=l,y=—,z=-

22

11

D.X=——,y=1l,z=-

2

7.已知椭圆G5+y2=］过点(,砌作圆/+>2=ι的切线/交椭圆G于AB两点.将IABl表示为加的函数,

则IABl的最大值是()

A.1B.2C.3D.4

一(X+2)~—m.一1,X≤—1o/o\1

8.已知函数/(x)=｛2',,若关于X的方程"(x)f-(>+3)∕(x)+加->o+3机=0有且仅

(2x+2)e-x-m,Λ>-l

有4个不同的实数根，则实数〃?的取值范围为()

二、多选题(每题5分，共20分)

9.数列｛%｝的前〃项和为S“，已知S“=-/+7〃，则()

A.｛%｝是递增数列

B.a∣o=-12

C.当”>4时，an<0

D.当“=3或4时，S“取得最大值

10.设正方体ABCO-AgGA中，AiBl,BB∖,BC的中点分别为E,F,G,则()

A.NEFG=4NEGFB.平面EGF与正方体各面夹角相等

C.E,F,G,R四点共面D.四面体C—EFG,A-E尸G体积相等

11.设等比数列｛4｝的公比为夕，其前"项和为S,,,前“项积为，，并且满足条件q>l,%9%υ>l,

(089-l)(α90-l)<0,则下列结论正确的是()

A.0<q<∖B.%⅜∣>1

C.7的值是7；中最大的D.使7；>1成立的最大自然数"等于178

12.已知函数/(x)=(e'+l)x-a(e'-l),则()

A.4>0时，/(x)>0

B.α42时，/(x)单调递增

C.4>2时，/(x)有两个极值点

D.若/(x)=O有三个不等实根x∣'W、工3，则X1+X2+X3=。

三、填空题(共20分)

13.若圆C:(X-I)2+(>-人)2=9上恰有4个点到直线3x-4y=0的距离为2,则6的取值范围为.

14.在空间直角坐标系ODZ中，A(2,5,-1),8(1,3,1),C(0,0,4),0(TMM,若四边形AB。C为平行四边形,

则(,〃,〃)=.

,S+7

15.已知正项数列｛勺｝的前〃项和为S“，满足45“=a：+24—3,则」—的最小值为________•

a,,~l

16.已知函数/(x)=g(x+4)e*,g(x)=xln(2x)+4x.若实数片,是满足f(x1)=g(x2)="(α>2),则

XIX2+4*2-4Ina的最小值为.

四、解答题(共70分)

17.设｛4｝是公差不为0的等差数列，¾=8,4%,4成等比数列.

(1)求｛4｝的通项公式:

3

(2)设。=不一,求数列低｝的前〃项和3.

a∣Λi-l

18.某市教师进城考试分笔试和面试两部分，现把参加笔试的40名教师的成绩分组：第1组［75,80),第

2组［80,85),第3组［85,90),第4组［90,95),第5组［95,100］.得到频率分布直方图如图所示.

(1)分别求成绩在第4,5组的教师人数；

(2)若考官决定在笔试成绩较高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名进入面试，

①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲和乙同时进入面试的概率；

②若决定在这6名考生中随机抽取2名教师接受考官D的面试，设第4组中有X名教师被考官D面试,

求X的分布列和数学期望.

19.已知直四棱柱ABCo-ABcR中，底面ABCO为菱形，AAt=6,AB=4,NSAQ=60。，E为线段Ba

上中点.

⑴证明：AE〃平面BCQ；

(2)求CE与平面BCQ所成角的正弦值.

20.在①S,=衅〃，②q,≠0,S,=%4川+1这两个条件中任选一个,补充在下面问题中，并解答下

2〃〃4

列问题.

己知数列｛q｝的前n项和为S11,%=3,且满足

(1)证明:数列｛4｝是等差数列，并求｛a,,｝的通项公式;

(2〃-3)2"

(2)设bn=------>—,数列｛4｝的前〃项和为7“.

α

⅛,,÷1

(i)求

(ii)判断是否存在互不相等的正整数p,q,，-使得p,g,r成等差数列且9+2,7；+2,7；+2成等比数列，

若存在，求出满足条件的所有p,q,r的值；若不存在，请说明理由注:如选择多个条件分别解答，按第一

个解答计分.

22

21.已知椭圆C：「+斗=l(α>6>0)的左顶点为A,上顶点为8,右焦点为尸(1,0),。为坐标原点，线

段OA的中点为。，且忸α=∣DF∣.

⑴求C的方程：

(2)已知点朋、N均在直线X=2上，以MN为直径的圆经过。点，圆心为点7,直线AM、AN分别交椭圆C

于另一点P、Q，证明直线PQ与直线OT垂直.

22.设函数"x)=(x+a)e*-l,已知直线y=2x是曲线y=〃x)的一条切线.

⑴求实数”的值；

(2)若不等式〃x)*"x+ln(x+l)］对任意xs(-1,”)恒成立，求实数r的取值范围.

1.c

^A={x||x-l|<l}={x|-l<x-l<l}={x|0<x<2},

B={x|2x-l>0}=Ix|x>,

^A|B=^,2.

î$i£:C

2.C

^4_n.221

a,142

C

3.B

AM,(3v)'=3'ln3,MMAMOL

B(lgx)'=1-,JWB

xln10

CM,(cosx)'=-sinx,JWC&W.

(x2cosx)'=2xcosx-x2sinx,JjlfIMDi-x.

&&B

4.D

Ilx2+y2-4x-m=0-ftMa(x-2)2+y2=4+m,

SPM^l(2,0),^gr=Æ,

M(-2,0)ElfflWW,ROâ(-2,0)JIJ@|-ù(2,0)

BP4=V2x\j4+m,Mf#m=4.

M:D.

5.D

x=—(l+2+3+4)=2.5,

ÿ=^(/n+3.2+4.8+7.5)=^(/M+15.5),

ElMay0y=2.ix-1.25,

JW-(m+15.5)=2.1x2.5-1.25,

4

m=0.5,

D

6.B

HAE=AA,+4,E=AA,+1<4,Ç=A4,+1A,B,+A,D,=AA,+1AB+1AD,

Ox=lj=^,z=^,

22

7.B

^/77=int,âA,l-y11W|A^=V3;

^W=-lHt,[H]WW|AB|=X/3;

sH>iut,y=k(x-m),

y=k(x-m)

8k2mx+4k2m2-4=0,

’&A,y,),(^2>y2)>M

8k2m4k2ni2-4

x.+x-,=--------,x.x,=---------—

12l+4£212l+4£2

XÉ(fir+r=lfflW,=BP/n2jt2=*2+l,

\lk2+\

ilrTSw=±nrt,|AB|=^3,

4^3

..M=<2

âKttâm=±5/30t,M=2,

A\AB\2.

iftiÆ:B.

8.A

•^(x+2)'-l,x<-l

'&g(^=f(x)+m=BlJ/(x)=g(x)-/M,

(2x+2)e’v,x>-l

X[/(x)]2-(m2+3)/(x)+m3-m2+3/n=[/(x)-«][/(x)-m2+m-3]=0,

22

19fW[g(x)-2m][g(x)-m-3]=0,JWJg(x)=2mg(x)=m+3.

im-/x2(x+l)_p.z,,.2e'-2(x+l)e'-2x

Q)^x>-lBtg(x)=------—,3<BWag'(x)=-------y-——=—.

>eee

^-l<x<0Bt,g'(x)>0,HP®^g(x)îÉE(-l,O)±^^îltt;

3x>Olfj,g'(x)<0,BP®^g(x)Æ(0,+oo)±^^«.

H^jx>-1,x+1>0,er>0=>g(x)>0.

Xg(0)=2,^x>-lHx->-lHt,g(x)—>0+;

+

e^x->+oo[hj*,g(x)—>0.

3I

@^x<-10t>g(x)=—(x+2)2-1,g(-l)=—,

fttBMg(x)

WIWnJW:a^y=g(x)ÉI<j[¥|^^a^y=/n2+3â<j|S]WW1

0fWi^i=gMfitga®y=2mgaW3,

yii]|<2m<2=>1<m<1,#f'«QJ

A

9.BCD

Ajâl®,ân>2Ht,a„=S,,-S,,„I=-2/7+8,

=S,=6=-2x1+8,=-2/?+8,

S^9«„+i~o„--2(/7+1)+8+2/7-8=-2<0,

BiâlDbÉ«„=-2/?+8pjftaio=-12,^BjEïft;

^an=-2/?+8<0,|^n>4,Cilji/lj;

Dj^Ipi,IS]>'J.y=-x2+7x|ÏJXt^'$[h^Jx=^,-JFninJb',

XneN*,m^n=3^4Ht,DiE<

BCD.

10.ABD

WJEF=V2.FG=4Ï’EG=yh2+l2+22=^6>

EF2+FG2-EG22+2-61

cosAEFG=Z.EFG=—,

2EFFG2^2x72~2’3

71

X.EF=FG,:.ZEGF=-,ZEFG=4ZEGF,Ail;

6

MfB,KlDMfoMDADC.DD,nTBÏL&lHJWzlÆ,

i£ïE^mêOj2,WJ£(2,1,2),F(2,2,l),G(l,2,0),

.'.EF=(0,1,-1),FG=(-1,O,-1),

ffiEGFn=(x,y,z),

EF•n=y-z=0

WJ^%=i,W4#;y=-i.z=—1

FG-n=-x-z=0

XTffiABCD,YffiBCC1B,WffiAEB1A1â<J^|èj*^iJ^»i=(O,O,l),s=(O,l,O),r=(l,0,0),

EGFB1BÆ;

OTC,DtE,Q

BXCHFG,CGHBXCX,WWCGPB,BtP=CG=^BC-,

BXEHCXDX,BXE='-CXDX,:.BtE:.BtQ=BtCt=BC,

P,Q^S.^,

FG]^AXBXCIDI=P,DXEAtB]CtD],PfDtE,

:.DXE^FG^^^,:.E,F,G,DX^^^,C

SffD,^AtB,

\DJIBC,AXDX=BC,/.HA,PCD,'J.j

.-.A'BI/CD,,y^EFHAxB,:.EFHCDX,

.-.EF^^EGF,CDx<z^fàEGF,-.CDJI^EGF,

/.HW^C-EFG,«,-EFG^Wl^,OïF.ïiÏÏJ.

ABD.

11.AD

21772

ÉaS9a90>1,IJIlJa,•4>1,fjlfq(ax■)>1,

Xa,>l,M<7>0,

X(a89-l)(c90-l)<0,JÜlJ^9>l,â^d.

J^O<4<1,^Affi^;

_2

0<a(J0<1

=

È^90^89’°90>ffiï0<û90<1,MO^9(1<^89’A^CIHP<;

^-^\Ji=a\'aïam=(ai’am)(a2'^177)(^89’°9o)=(a89’û9o)>’

iflj^79'@2••'^179—(^1'^179)^2’^178)'’'(^89'^91)^90—’1’1'1/Dil'.fl)|].

AD.

12.BCD

ïtfA,^a=1(1t,,/'(x)=(e'+l)x-(e'-1),lltUt/(x)=(e*+l)x-(e'-1),jW/(O)=O-(e°-l)=O,

#A^;

XtJ’TB,/'(x)=(x+l)ex+l-tzex,^-/'(x)>0,BJ#(7<X+1+^,

®^(A-)=X+1+^,plljg'(x)=l-p7,

g'(x)<0,g(x)|MO^;âx>Ofa,g'(x)>0,g(x)

JIlJa<g(x)n.n=<?(0)=2)gp^a<20t,/'(x)>0,/(x)^^ig,B;

M^F-C,ÈjâljiiBnJ^n,g(x)>/h<>92,g(x)->+a>,^x->+«>l^,g(x)->+<»,

MTD,B»x=0^/(x)=0-^,^^®xl<x2=o<x3,

e>+1

Sx^Oltf,È/(x)=O,WaJK=

ev-lv7ev-l

MM^®«Mx)APX3,

X=e-vi=~-e*~=*(X)’

JWx,+-r3=0,

#fiy>xl+x2+x3=O,iJ{DjE®|;

BCD.

13.(--,2)

2

ÉIHIC:(x-1)2+(y-è)2=9,nJWIH'Ù'C(l,&),^i^jr-3,

=XlâlCT^S,

gfëMISIc±w4^ÆJlJOï3x-4.y=02,!OÆ|CA|<1,

|3-4&|_|3-4è|

XÈlal'Ù'SlJM3x-4y=0|W?§5?9d=

V32+(-4)25

522

14.(-2,6)

AB=(-l,-2,2),CD=(-l,/rc,n-4),

ffWAB=CD>ffi\lkm=-2,n-4=2,n=6,

(-2,6).

15.—

3

EO4S„=a2+2a„-3,

222

Sn>2Ht,45„_,=a,,.+2o„_,-3,^«4(S„-$„_,)=o+2a„-a_,-2an_y

2

EP4a„=a;+2a„-a.t-2a(«„)(«„~an_,-2)=0

X«„>0,JWa„+<Vi*0,lü!|an-a„_l-2=0,EPan-an_}=2

^/î=lHt,45,=a,2+20,-3,pllja2-2o,-3=0,^a,=3j^a,=-1($)

i^±,2M^ât^^iJ,^rtÂan=3+(n-l)x2=2n+l,

n(n-l)x2,

5„=3nH----------—=n2+2n

"2

S„+7a2+2/2+7n+l+^>2^+l

2n22ny22n

22n

S+7n,72,715

xrï=r1+^=r1+r7’a"=3*’-2++1+—2n~--2++1+6-~-—3

„1511\+7,,,.a,M.-.U..H

X—>—,JW—U77.

H-□nJ

y.

16.4-8/z?2

È/(x)=l(x+4)e\W/'(x)=l(x+5)e',^x>01tf,/^x)>0,

JW/(X)ÆE|'H](0,+O>)±<TOÜ,

EIX1g(x)=x[ln(2x)+4]=|e1"’2'1[in(2x)+4]=/(in(2x)),

JWW/(x1)=^(x2)=a,g[J/(x,)=/(ln(2x2))=a,

A|

/Wx,=ln(2x2),JW2x,=e,X«>2,

£lflUx,x2+4X2-41na-(x,+4)x2-41na=y(x,+4)e-41n«=a-41n<7,

^w7(6/)=a-41n«,«>21ŸFWm\a)=1--=—-

aa

^ae(2,4)/n'(tf)<O,m(a)

ae(4,-H»)gj-,ZM'(O)>O,m(a),

^ttâ«=4g-hm(a)Wft/hfê/n(4)=4-81n2,

Aj(xlx2+4X2-41nafi^ft/>-(g^4-81n2.

4-81n2.

17.(l)a,,=3n-l

„3A?

(2)5,,=6^4

(1)

JW«3=«r«n

XH^«,=8,=(8-2T/)(8+86/),J9fl^6Z2-3J=O.

J3»fLU6/=3,JWtf|+2</=67,+6=8,'^at=2,

fôa„=2+3(n-l)=3/7-1.

(2>f8»*.=^-3_1______1

unun+l(3n—l)(3n+2)3n—13n+2’

i

3n-l3n+2

213»

23/7+26/?+4

18.(DM4,5«ffiAWJA8,4

1?

(1)AWM4M»A^A0.04x5x40=8A,

M5^ÔÙ^ffiA^A0.02x5x40=4A,/WM4,5«WA^WJA8A^4A.

(2)(2)©É^WWAI?!,nTWM3âWMA^A0.06x5x40=12,

SAM3,4,5Æ4>ffl#JBttmW6£aAffliït

JWM3,4,

WJ¥,

'-'19

®É®&,ma^ix^mwnr«ttAo,i,2,

nT^P(X=O)=^-=-,P(X=l)=^1=—,P(X=2)=^-=—,

v’C;5v7C;15v7C;15

JWxAA

X012

21

P

51515

?R17

FWxûW^M£(x)=0x-+ix-+2x-=-.

19.(DiOJWJT

<2,T

(1)imSMH^ttABCD-ÂlBlClDl4’.AD//BlCl^AD=BtC],

AB^DA¥^HmAKIJABt//ctD,

^AB^^BC.D,QDcz^BCJ),WABJ/^BC'D,

^AB//DlC]ÜAB=D]Cl,ABCxl\AWHWJAD,//BCX,

XAD,<z^jïiîBC,D,BC,aBC,D,Jjll]AD,//BC,D,

XAD'C^fàAB'D,,AB,c~WllABtDt,AD,AB,=A,

m^AB,D,//^BC,D,XAE^\SÎAB,D,,&AE!!¥ÜÏHC,D■

(2)OZW.

t£,JfeffiABCDjfâ&fc,ZBAD=60°,WJDM,DC.O^SÏMSÎlL,

^ÿlJ^DM,DC,y,

=6

XM>AB=4,

pli]A(2A-2,0),fî(2A2,0),C(0.4,0),D(0,0,0),D,(0,0,6),B,(25/3,2,6),Ç(0,4,6),73,1,6),

ÎQlJDB=(2S/3,2,0),DC,=(0,4,6),CE=(75,-3,6),

DBn=02>/3x+2y=0

STfflSÇD—4"/È[^>^/?=(x,y,z),ljllj<

DCt■n=04y+6z=0

MXX=>/3»WJy—3,z=2,BC}D=(75,-3,2),

iSCEWffiBQDm0,mijsinBHcoS(CE,n)|=|—|=2É.

V3+9+4■V3+9+362

20.(IMJOW,«,,=2/7-1

^H+l

(2)(i)T„=-------2;(ii)SÈWtlT

2/2+1

(1)ilEHJlÆlâ®,È5„=^//f#S„tl=^cLl(/2+l),

Mï^fflMW«„+l=(«+1)-//,

MW(n-l)«n+l=««„-!,JWIiÀ«a„+2=(«+l)«n+i-1’

WïWW#nan+nan+2=2nan+t,LUa„+an+2=2an+l,y,.

fiTrtt«,=l,X«2=3,fft{«„}d=2,

pli]an-1+2(n-1)-2n-1.

ÈS„=^±1W4S„=a„an+l+1,4S„+I=«n+l«„+2+1,

4

=an+lan+2-anan+l,EI^«„*O,fiTran+l*0,an+2-an=4,

A|+1

H^a2=3,S„=“;W,?=lWa,=S,=,ÏÏïUat=l,

fjlrlU=^+4(n-1)=1+4(n-1)=4n-3=2(2n-1)-1,

a2n=a,+4(n—1)=3+4(n-1)=4n—1=2(2n)-I.

a„=2/7-1,an+]-a„=2n+1-(2n-1)=2,

(2)(i)itl(1)an=2/7-1,

(2/?-3)2"_[(4/7-2)-(2//+1)]2"_2"*'2"

a„a,l+l(2/7-l)(2/7+l)2n+l2n-l

22223222"+l2"2"+l

ffïkÀT—---------1------------1-4-------------------—----------2,

'31532/7+12/7-12//+1

(ii)q,r,^p,q,+2,Tq+2,Tr+2

2^+12r+’

=22=2+r+2=22

plljp+r=2q,>2p+,•37—1(2q+j)’®’"'"^’

filf^(2p+l)(2r+1)=(2/y+l)2=>(2p+l)(2r+1)-(//+r+1)?=-(p-/•)'=0.

=q,q,r,féWp,q,

ÿiJKTo+2Tp+2,Tt/+2,Tr+2Lt»J.

21.(1)—+2L=i

43

(2)iiE0|W^

(1)c=l,Pl'JlBD\=J—+b2.M|£>F|=^+1,

k7V42

12

fiTrlUl^-+b2=-+l,BPb2^7/+1,y.a2=b2+c2,

N42

JWWa2—a—2=0,a=2jaKt?=—1(^4),Ülb2=3,Éltl^ï’ÏS—+—=1.

43

mn

JjlLUAA/:y=—(x+2),SN:y=-(x+2),

r44

^+£=1

43

mmSSW(m2+12)x2+4m2x+4/W2-48=0,A>0,

m

y=—(x+2)

4

r>/xn.i-4w22(12-m2}r,.12m

&?(Xt»}’|)>K'Jx,-2--------2»1#X,-------2’P1'J>'=’

m+12m+12tn+12

Jkl2-m2),12m

feh»2+12m2+12+

A+Z=,

43

[rijîfl!«(n2+12)x2+4/rx+4n2-48=0,»A>0,

n,

y=—(x+2)

4

\—rzri2(12-n2)12/?p(12-z?2)12/Î

Q(A,y2).«T#x,=—-——,Plüy