宁夏银川市名校2023-2024学年数学九年级上册期末联考试题含解析

宁夏银川市名校2023-2024学年数学九上期末联考试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.sin30的倒数是（）

A.1B.2

y3）三点，则y”y2,y3的大小关

系为（）

A.yi<yiVy3B・y3<yi<yiC.yj<yi<y2D.yi<ya<yi

4.当加取下列何值时，关于X的一元二次方程32—2%+1=0有两个相等的实数根（）

B.2C.4.D.±1

5.如图，443。中，A8=AC=10,S〃A=2,于点E,I）是线段8E上的一个动点，则CO+^BO的最小

5

值是（）

A.275B.475C.5百D.10

6.已知：m=V2+bn=V2T，则Jm2工=（）

A.±3B.-3C.3D.y[5

7.如图，桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是（）

9.如图，正五边形ABCD内接于0O,连接对角线AC,AD,则下列结论：①BC〃AD；②NBAE=3NCAD；

③△BAC0ZkEAD；@AC=2CD.其中判断正确的是（）

A.①③④B.③C.①②④D.①②③④

10.函数y=ax?-1与y=ax（a#0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）

A斗B.坐圣.宓

4

II.反比例函数y=一一（x<0）如图所示，则矩形OAPB的面积是（）

A.-4B.-2C.2D.4

12.如果△ABCS/\OEF,且对应边的AB与。E的长分别为2、3,则△ABC与△Z>EF的面积之比为（）

A.4:9B.2:3C.3:2D.9:4

二、填空题（每题4分，共24分）

13.若〃?是方程x-2017=1的一个根，则代数式加（加+1）的值等于.

14.如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处,BE交AD于点F.过点D作DG〃BE,

交BC于点G,连接FG交BD于点O.若AB=6,AD=8,则DG的长为.

15.120。的圆心角对的弧长是6兀，则此弧所在圆的半径是.

16.若x=2是关于％的方程V—4x—/+5=0的一个根，则。的值为.

17.若代数式43-2%—5与2d+1的值互为相反数，则x的值是—.

18.小王存银行5000元，定期一年后取出3000元，剩下的钱继续定期一年存入，如果每年的年利率不变，到期后取

出2750元，则年利率为.

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图，。。的弦AB、CD的延长线相交于点P,且AB=CD.求证PA=PC.

20.（8分）如图，在矩形ABCO中，E是上一点，连接BE,BE的垂直平分线分别交于点P,O,Q,

连接8P,EQ.

（1）求证：四边形BPEQ是菱形;

(2)若A3=5,E为AB的中点，连接O£OE=6,求BE的长.

21.(8分)在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,设锐角NDOC=a,将ADOC按逆时针方向旋转得到AAOC，

(0°V旋转角〈90。)连接AC，、BD',AO与BD，相交于点M.

(1)当四边形ABCD是矩形时，如图1,请猜想AC与BD，的数量关系以及NAMB与a的大小关系，并证明你的猜

想；

(2)当四边形ABCD是平行四边形时，如图2,已知AC=kBD,请猜想此时AC，与BD，的数量关系以及NAMB与a

的大小关系，并证明你的猜想；

(3)当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3,AD/7BC,此时(1)AC，与BD，的数量关系是否成立？NAMB与a的

大小关系是否成立？不必证明，直接写出结论.

22.(10分)如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2,0),OB=OA,且NAOB=120。.

⑴求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使AOBC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理

由；

⑶若点M为抛物线上一点，点N为对称轴上一点，是否存在点M、N使得A、O、M、N构成的四边形是平行四边形？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

23.(10分)某市“艺术节”期间，小明、小亮都想去观看茶艺表演，但是只有一张茶艺表演门票，他们决定采用抽卡

片的办法确定谁去.规则如下：

将正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片(除数字外其余都相同)洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽出一张

记下数字后放回；重新洗匀后背面朝上放置在桌面上，再随机抽出一张记下数字.如果两个数字之和为奇数，则小明

去；如果两个数字之和为偶数，则小亮去.

(1)请用列表或画树状图的方法表示抽出的两张卡片上的数字之和的所有可能出现的结果；

(2)你认为这个规则公平吗？请说明理由.

24.(10分)如图，某小区规划在一个长16m,宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB

平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2,求小路的宽.

25.(12分)大学生小李和同学一起自主创业开办了一家公司，公司对经营的盈亏情况在每月的最后一天结算一次.在

1—12月份中，该公司前x个月累计获得的总利润y(万元)与销售时间x(月)之间满足二次函数关系.

(1)求y与x函数关系式.

(2)该公司从哪个月开始“扭亏为盈”(当月盈利)？直接写出9月份一个月内所获得的利润.

(3)在前12个月中，哪个月该公司所获得利润最大？最大利润为多少？

26.如图，一次函数7=履+6的图象与反比例函数y=—的图象交于A(-2,1),B(1,n)两点.

X

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)根据图象写出使一次函数的值〉反比例函数的值的x的取值范围.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、B

【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解.

【详解】sin3()」

2

故sin3()的倒数是2,

故选B.

【点睛】

此题主要考查倒数，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.

2、D

【分析】根据&>0,*<0,结合两个函数的图象及其性质分类讨论，然后再对照选项即可.

【详解】解：分两种情况讨论：

①当AV0时，反比例函数7=人在二、四象限，而二次函数开口向下，故A、B、C、。都不符合题意；

X

②当£>0时，反比例函数在一、三象限，而二次函数开口向上，与y轴交点在原点下方，故选项O

x

正确；

故选：D.

【点睛】

本题主要考查反比例函数与二次函数的图象，掌握A对反比例函数与二次函数的图象的影响是解题的关键.

3、C

【分析】根据抛物线y=ax?+2ax+4(a<0)可知该抛物线开口向下，可以求得抛物线的对称轴，又因为抛物线具有

对称性，从而可以解答本题.

【详解】解：..•抛物线y=ax2+2ax+4(a<0),

，对称轴为：x=-———~1>

2a

・•.当xV-1时，y随x的增大而增大，当x>T时，y随x的增大而减小，

33

VA(--,yi),B(-叵,y2),C(返，y3)在抛物线上，且-5V-血，-0.5<^2，

••・y3〈yiVy2,

故选：c.

【点睛】

本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数具有对称性，在对称轴的两侧它的增减性不一样.

4、A

【分析】根据一元二次方程的判别式判断即可.

【详解】要使得方程由两个相等实数根，

判别式△=（-2）2-4m=4-4m=0,

解得m=l.

故选A.

【点睛】

本题考查一元二次方程判别式的计算,关键在于熟记判别式与根的关系.

5,B

BE

【解析】如图，作DHJ_AB于H,CMJ_AB于M.由tanA=——=2,设AE=a,BE=2a,利用勾股定理构建方程求出

AE

a,再证明DH=^BD,推出CD+好BD=CD+DH,由垂线段最短即可解决问题.

55

【详解】如图，作DH_LAB于H,CM_LAB于M.

.•.ZAEB=90°,

BEr

VtanA=-----=2,设AE=a,BE=2a,

AE

则有：100=a2+4a2,

:.a2=20,

，a=26或-2石（舍弃），

；.BE=2a=4右,

VAB=AC,BE±AC,CM±AB,

.-.CM=BE=4V5（等腰三角形两腰上的高相等））

VZDBH=ZABE,ZBHD=ZBEA,

DHAEy/5

AsinZDBH

而一罚一7

避

5BD,

避

5BD=CD+DH,

.,.CD+DH>CM,

ACD+^BD>4V5，

:.CD+gBD的最小值为4V5.

故选B.

【点睛】

本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想

思考问题，属于中考常考题型.

6、C

【分析】先根据题意得出m-“和“〃的值，再把式子化成含与机〃的形式，最后代入求值即可.

【详解】由题得：〃2-〃=2、mn=\

+n2+3mn-y](m—n)2+5mn=y22+5xl=V9=3

故选：C.

【点睛】

本题考查代数式求值和完全平方公式，运用整体思想是关键.

7、C

【分析】根据左视图是从左面看所得到的图形进行解答即可.

【详解】从左边看时，圆柱和长方体都是一个矩形，圆柱的矩形竖放在长方体矩形的中间.

故选：C.

【点睛】

本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图.

8、D

【分析】根据勾股定理求出AC,根据余弦的定义计算得到答案.

【详解】由勾股定理得，AC=7AB2+BC2=J32+22=V13»

AB3_3V13

则cosA=-----=

ACV13--iF

故选：D.

【点睛】

本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做NA的余弦是解题的关键.

9、B

【分析】根据圆的正多边形性质及圆周角与弦的关系解题即可.

BC=CD=AB,

【详解】解：①

NBAC=ACAD=ZACB,

.,.BC/7AD,故本选项正确；

②•.•BC=CD=DE,

:.NBAC=NCAD=NDAE,

ZBAE=3ZCAD,故本选项正确；

③在ABAC和AE4。中，

BA=AE,BC=DE,ZB=ZE,

.,.△BAC^AEAD(SAS),故本选项正确;

@-：AB+BC>AC,：.2CD>AC,故本选项错误.

故答案为①②③.

【点睛】

此题考查圆的正多边形性质及圆周角与弦的关系，理解定义是关键.

10、B

【分析】本题可先通过抛物线与y轴的交点排除C、D,然后根据一次函数y=ax图象得到a的正负，再与二次函数y

=ax2的图象相比较看是否一致.

【详解】解：由函数y=ax2-l可知抛物线与y轴交于点(0,-1),故C、D错误；

A、由抛物线可知，a>0,由直线可知，aVO,故A错误；

B、由抛物线可知，a>(),由直线可知，a>0,故B正确；

故选：B.

【点睛】

此题考查的是一次函数的图象及性质和二次函数的图象及性质，掌握一次函数的图象及性质与系数关系和二次函数的

图象及性质与系数关系是解决此题的关键.

11、D

【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义：反比例函数图象上一点向x轴，y轴作垂线与坐标轴围成的矩形面

积等于|k|解答即可.

4

【详解】・・•点P在反比例函数y=--（x<0）的图象上，

x

••S短彩OAPB=|*4|=4>

故选：D.

【点睛】

本题主要考查反比例函数的比例系数的几何意义，掌握反比例函数上一点向x轴，y轴作垂线与坐标轴围成的矩形面

积等于|k|是关键.

12、A

【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算.

【详解】

AR24

.•.△ABC与△OEF的面积之比等于（一）2=（-）2=-.

DE39

故选：A.

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的对应线段（对应中线、对

应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、1

【分析】把加代人已知方程，求得病+,”=2018,然后得加（加+1）的值即可.

【详解】解：把加代人已知方程f+x—2017=l得疗+加=2018,

m（m+l）=m2+m=2018,

故答案为1.

【点睛】

本题考查一元二次方程的解以及代数式求值，注意已知条件与待求代数式之间的关系.

25

14、一

4

【解析】根据折叠的性质求出四边形BFDG是菱形，假设DF=BF=x,...AF=AD-DF=8-x,根据在直角4ABF

中,AB2+AF2=BF2,即可求解.

【详解】解：•••四边形ABCD是矩形，

；.AD〃BC,/.ZADB=ZDBC

，FD〃BG,

又；DG〃BE,

二四边形BFDG是平行四边形，

1•折叠，,NDBC=NDBF,

故NADB=NDBF

.\DF=BF,

...四边形BFDG是菱形；

VAB=6,AD=8,

.•.BD=L

I

.\OB=-BD=2.

2

假设DF=BF=x,；.AF=AD-DF=8-x.

在直角4ABF中,AB2+AF2=BF2,BP62+(8-x)2=x2,

解得x=—,

4

25

n即nDG=BF=—,

4

故答案为：与25

4

【点睛】

此题主要考查矩形的折叠性质，解题的关键是熟知菱形的判定与性质及勾股定理的应用.

15、1

【分析】根据弧长的计算公式1=窑，将n及1的值代入即可得出半径r的值

1oO

【详解】解：根据弧长的公式/=黑，

解得r=l.

故答案：1.

【点睛】

此题考查弧长的计算，掌握计算公式是解题关键

16、±1

【分析】将x=2代入方程，列出含字母a的方程，求a值即可.

【详解】解：..，二？是方程X2一以一储+5=0的一个根，

.*.22-4x2-a2+5=0.

解得，a=±l.

故答案为：±1.

【点睛】

本题考查方程解的定义，理解定义，方程的解是使等式成立的未知数的值是解答此题的关键.

17、1或一2

3

2

【解析】由题意得：4x2—2x—5+2x2+1=0,解得：x=l或x=-§,

故答案为：1或

18、10%

【分析】设定期一年的利率是X,则存入一年后的本息和是5000(1+x)元，取3000元后余［5000(1+力-3000］元，再存

一年则有方程［5000(1+x)-3000J.(l+x)=2750,解这个方程即可求解.

【详解】解：设定期一年的利率是了,

根据题意得：一年时：5000(1+%),

取出3000后剩：5000(1+x)-3000,

同理两年后是15000(1+x)~3000J(l+x),

即方程为［5000(1+x)-3000］.(1+x)=2750,

解得：玉=10%,9=-150%(不符合题意，故舍去)，即年利率是10%.

故答案为：10%.

【点睛】

此题考查了列代数式及一元二次方程的应用，是有关利率的问题，关键是掌握公式：本息和=本金x(l+利率x期数),

难度一般.

三、解答题(共78分)

19、见解析.

【分析】连接AC,由圆心角、弧、弦的关系得出AB=CD，进而得出AO=CB，根据等弧所对的圆周角相等得出

NC=NA,根据等角对等边证得结论.

【详解】解：如图，连接AC.

,:AB=CD,

：,AB=CD・

:,AB+BD=CD+DB，BPAD=CB-

：.NC=ZA.

...PA=PC.

【点睛】

本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键.

20、（1）证明见解析；（2）1.

【分析】（1）先根据矩形的性质、平行线的性质可得ZPEB=N£BQ,再根据垂直平分线的性质可得

OE=OB/POE=NQOB=90°,然后根据三角形全等的判定定理与性质可得OP=OQ,最后根据平行四边形的

判定、菱形的判定即可得证；

（2）先根据三角形中位线定理可得袒=12,再根据矩形的性质可得NA=90。，然后在HA/WE中，利用勾股定理

即可得.

【详解】（1）四边形ABCD是矩形

AD//BC

ZPEB=ZEBQ

垂直平分8E

:.OE=OB,NPOE=ZQOB=90°

:NOPE封OQB〈ASA

：.OP=OQ

，四边形BPEQ是平行四边形

又QPQ上BE

四边形8PEQ是菱形

（2）...PQ垂直平分BE

.•.O是BE的中点

尸是A3的中点，OF=6

..AE=2OF^n（三角形中位线定理）

QAB=5,ZA=90。

BE=yjAB2+AE2=752+122=13-

【点睛】

本题考查了矩形的性质、菱形的判定、三角形全等的判定定理与性质、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握并灵活

运用各判定定理与性质是解题关键.

21、（1）B»=AU,NAMB=a,见解析；（2）AC，=kBD，，ZAMB=a,见解析；（3）AC，=BD，成立，ZAMB=a

不成立

【分析】（1）通过证明ABOD，g△AO。得到BD，=AC,NOBD，=NOAU,根据三角形内角和定理求出NAMB=

ZAOB=ZCOD=a；

（2）依据（1）的思路证明△BOD，S^AOC,得到AU=kBD，,设BD，与OA相交于点N,由相似证得NBNO=NANM,

再根据三角形内角和求出ZAMB=a；

⑶先利用等腰梯形的性质OA=OD,OB=OC,再利用旋转证得？AOCii?30D，由此证明AAOC演△BOD0,得到

BD，=AC，及对应角的等量关系，由此证得NAMB=a不成立.

【详解】解：（1）ACr=BD%NAMB=a,

证明：在矩形ABCD中，AC=BD,OA=OC=-AC,OB=OD=-BD,

22

.".OA=OC=OB=OD,

XVOD=OD,,OC=OCr,

.,.OB=OD,=OA=OC,,

VZD,OD=ZC,OC,

.•.180°-ZD,OD=1800-NC'OC,

.•.ZBOD^ZAOCS

.,.△BOD^AAOCS

.•.B»=AC，，

/.ZOBD^ZOACS

设BD，与OA相交于点N,

.\ZBNO=ZANM,

.,.180。-ZOAC1-ZANM=180°-NOBD'-NBNO,

即ZAMB=ZAOB=ZCOD=a,

综上所述，BD，=AC，，NAMB=a,

(2)AC'=kBD',NAMB=a,

证明：\•在平行四边形ABCD中，OB=OD,OA=OC,

XVOD=OD,,OC=OCf,

AOC^OA,OD，=OB,

•.,/D，OD=NCOC,

.•.180°-ZD,OD=1800-NC'OC,

.,.ZBOD^ZAOCS

.,.△BOD^AAOCS

.,.BDr：AC,=OB；OA=BD：AC,

VAC=kBD,

，AC，=kBD，，

VABOD^AAOCS

设BD，与OA相交于点N,

...NBNO=NANM,

A1800-NOAC'-ZANM=180°-NOBD'-ZBNO,即NAMB=NAOB=a,

综上所述，AC，=kB»,NAMB=a,

(3),在等腰梯形ABCD中，OA=OD,OB=OC,

由旋转得：2coe五？DOD,

A180??COC[i180??DOD,

即？AOE,

.•.AC=BD，，？QACii彳论。8,(?CM=?OBD,

设B»与OA相交于点N,

VZANB=D€MC0+ZAMB=?OBD^?AQB,删ACii?OBD,

.7*6泄QBa,

.,.AC=BD，成立，NAMB=a不成立.

【点睛】

此题是变化类图形问题，根据变化的图形找到共性证明三角形全等，由此得到对应边相等，对应角相等，在(3)中,

对应角的位置发生变化，故而角度值发生了变化.

22、⑴k。+孚…"I，争；⑶

【解析】（1）先确定出点5坐标，再用待定系数法即可；

（2）先判断出使ABOC的周长最小的点C的位置，再求解即可；

（3）分04为对角线、为边这两种情况进行讨论计算即可得出答案.

【详解】（1）如图所示，过点3作轴于点。，

•.,点A的坐标为(-2,0),OB=OA,

：.OB=OA=2,

■:ZAOB=120°,

:.N800=60。，

在Rt^OBD中,N008=90。，

:.N080=30°,

:.OD=1,DB=V3,

...点8的坐标是(1,6)，

设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,

由已知可得：

c=0

<a+b+c=6,

4«-2Z?+c=0

a=——

3

解得：</,=¥

c=0

所求抛物线解析式为y=迫/+2叵%；

-33

(2)存在.

V△80C的周长=0B+8C+C。，

又,：0B=2,

：.要使MOC的周长最小，必须BC+CO最小,

•.•点。和点A关于对称轴对称，

二连接A5与对称轴的交点即为点C,

由对称可知，OC=OA,

此时"OC的周长=0B+8C+C0=0B+BC+AC；

点C为直线4B与抛物线对称轴的交点，

设直线AB的解析式为y=kx+b,

将点A(-2,0),B(l,省)分别代入，得：

k+b=G

-2&+/?=0'

[6

a=—

3

解得:

26

b=------

I3

，直线AB的解析式为产走x+2叵,

33

当x=-\时产二，

3

二所求点C的坐标为(-1,立);

3

①当以04为对角线时，

,：OA与MN互相垂直且平分，

二点股(一1,一直)，

3

②当以。4为边时，

•.Q=MN且0A//MN,

即MN=2,MN〃x轴，

设M-1J),

则M(-3,f)或(1J)

将M点坐标代入y=叵1,

33

解得，u\/3>

・・・的-3,5,M3(1，B

综上：点M的坐标为：(一1,一走)，或(一3,6)或(1,百).

3

【点睛】

本题是一道二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、最短路径、平行四边形等知识.综合运用所学知识，并进行

分类讨论是解题的关键.

23、(1)见解析

(2)公平，理由见解析

【分析】(D用列表法将所有等可能的结果一一列举出来即可；

(2)求得两人获胜的概率，若相等则公平，否则不公平.

【详解】解：(1)根据题意列表得：

1234

12345

23456

34567

45678

(2)由列表得：共16种情况，其中奇数有8种，偶数有8种，

二和为偶数和和为奇数的概率均为g，

...这个游戏公平.

点评：本题考查了游戏公平性及列表与列树形图的知识，难度不大，是经常出现的一个知识点.

24、小路的宽为2m.

【解析】如果设小路的宽度为皿》,那么整个草坪的长为(2-2x)m,宽为(9-x)m,根据题意即可得出方程.

【详解】设小路的宽度为工m，那么整个草坪的长为(2-2x)m,宽为(9-x)m.根据题意得：

(2-2x)(9-x)=222

解得：X2=2,X2=2.

V2>9».,.x=2不符合题意，舍去，.*.x=2,

答：小路的宽为2机.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，弄清“整个草坪的长和宽”是解