初三数学-有关圆的经典例题

Xupeisen110初三数学PAGEPAGE1初三数学有关圆的经典例题1.分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB与AC有不同的位置关系。解：由题意画图，分AB、AC在圆心O的同侧、异侧两种情况讨论，当AB、AC在圆心O的异侧时，如下图所示，过O作OD⊥AB于D，过O作OE⊥AC于E，∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°，当AB、AC在圆心O同侧时，如下图所示，同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°，∴∠BAC=15°点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。例2.如图：△ABC的顶点A、B在⊙O上，⊙O的半径为R，⊙O与AC交于D，（1）求证：△ABC是直角三角形；分析：则AF=FB，OD⊥AB，可证DF是△ABC的中位线；（2）延长DO交⊙O于E，连接AE，由于∠DAE=90°，DE⊥AB，∴△ADF解：（1）证明，作直径DE交AB于F，交圆于E又∵AD=DC∴AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形。（2）解：连结AE∵DE是⊙O的直径∴∠DAE=90°而AB⊥DE，∴△ADF∽△EDA例3.如图，在⊙O中，AB=2CD，那么（）分析：解：解法（一），如图，过圆心O作半径OF⊥AB，垂足为E，∵在△AFB中，有AF+FB>AB∴选A。解法（二），如图，作弦DE=CD，连结CE在△CDE中，有CD+DE>CE∴2CD>CE∵AB=2CD，∴AB>CE∴选A。例4.求CD的长。分析：连结BD，由AB=BC，可得DB平分∠ADC，延长AB、DC交于E，易得△EBC∽△EDA，又可判定AD是⊙O的直径，得∠ABD=90°，可证得△ABD≌△EBD，得DE=AD，利用△EBC∽△EDA，可先求出CE的长。解：延长AB、DC交于E点，连结BD∵⊙O的半径为2，∴AD是⊙O的直径∴∠ABD=∠EBD=90°，又∵BD=BD∴△ABD≌△EBD，∴AB=BE=1，AD=DE=4∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EBC=∠EDA，∠ECB=∠EAD例5.于H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点。（1）当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，为什么？分析：由题意容易想到作辅助线OC，（1）要使PC与⊙O相切，只要使∠PCO=90°，问题转化为使∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH就可以了。解：（1）当PC=PF，（或∠PCF=∠PFC）时，PC与⊙O相切，下面对满足条件PC=PF进行证明，连结OC，则∠OCA=∠FAH，∵PC=PF，∴∠PCF=∠PFC=∠AFH，∵DE⊥AB于H，∴∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH=90°即OC⊥PC，∴PC与⊙O相切。即AD2=DE·DF点拨：本题是一道条件探索问题，第（1）问是要探求△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，可以反过来，把PC与⊙O相切作为条件，探索△PCF的形状，显然有多个答案；第（2）问也可将AD2=DE·DF作为条件，寻找两个三角形相似，探索出点D的位置。例6.D作半圆的切线交AB于E，切点为F，若AE：BE=2：1，求tan∠ADE的值。分析：要求tan∠ADE，在Rt△AED中，若能求出AE、AD，根据正切的定义就可以得到。ED=EF+FD，而EF=EB，FD=CD，结合矩形的性质，可以得到ED和AE的关系，进一步可求出AE：AD。解：∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥AB，BC⊥DC∴AB、DC切⊙O于点B和点C，∵DE切⊙O于F，∴DF=DC，EF=EB，即DE=DC+EB，又∵AE：EB=2：1，设BE=x，则AE=2x，DC=AB=3x，DE=DC+EB=4x，在Rt△AED中，AE=2x，DE=4x，点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。例7.已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且点O2在⊙O1上，（1）如下图，AD是⊙O2的直径，连结DB并延长交⊙O1于C，求证CO2⊥AD；（2）如下图，如果AD是⊙O2的一条弦，连结DB并延长交⊙O1于C，那么CO2所在直线是否与AD垂直？证明你的结论。分析：（1）要证CO2⊥AD，只需证∠CO2D=90°，即需证∠D+∠C=90°，考虑到AD是⊙O2的直径，连结公共弦AB，则∠A=∠C，∠DBA=90°，问题就可以得证。（2）问题②是一道探索性的问题，好像难以下手，不妨连结AC，直观上看，AC等于CD，到底AC与CD是否相等呢？考虑到O2在⊙O1上，连结AO2、DO2、BO2，可得∠1=∠2，且有△AO2C≌△DO2C，故CA=CD，可得结论CO2⊥AD。解：（1）证明，连结AB，AD为直径，则∠ABD=90°∴∠D+∠BAD=90°又∵∠BAD=∠C，∴∠D+∠C=90°∴∠CO2D=90°，∴CO2⊥AD（2）CO2所在直线与AD垂直，证明：连结O2A、O2B、O2D、AC在△AO2C与△DO2C中∵∠O2BD=∠O2AC，又∠O2BD=∠O2DB，∴∠O2AC=∠O2DB∵O2C=O2C，∴△AO2C≌△DO2C，∴CA=CD，∴△CAD为等腰三角形，∵CO2为顶角平分线，∴CO2⊥AD。例8.如下图，已知正三角形ABC的边长为a，分别为A、B、C为圆心，积S。（图中阴影部分）分析：阴影部分面积等于三角形面积减去3个扇形面积。解：°，原题可在上一题基础上进一步变形：⊙A1、⊙A2、⊙A3…⊙An相外离，它们的半径都是1，顺次连结n个圆心得到的n边形A1A2A3…An，求n个扇形的面积之和。解题思路同上。解：一、填空题（10×4=40分）1.已知：一个圆的弦切角是50°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为___________。2.圆内接四边形ABCD中，如果∠A：∠B：∠C=2：3：4，那么∠D=___________度。3.若⊙O的半径为3，圆外一点P到圆心O的距离为6，则点P到⊙O的切线长为___________。4.如图所示CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于M，则可得出AM=MB，等多个结论，请你按现有的图形再写出另外两个结论：___________。5.⊙O1与⊙O2的半径分别是3和4，圆心距为，那么这两圆的公切线的条数是___________。6.圆柱的高是13cm，底面圆的直径是6cm，则它的侧面展开图的面积是___________。7.已知：如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=16cm，拱高CD=4cm，那么拱形的半径是___________。8.若PA是⊙O的切线，A为切点，割线PBC交⊙O于B，若BC=20，PA=，则PC的长为___________。9．如图5，△内接于⊙O，点是上任意一点（不与重合），的取值范围是．（第9题图）10．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为（第9题图）°°°O11．已知的半径是3，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与的位置关系是．12．如图，已知点E是圆O上的点，B、C分别是劣弧的三等分点，，则的度数为．13．如图，中，，．将绕所在的直线旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的侧面积．（取3.14，结果保留两个有效数字）图8第14题图f图8第14题图fABCAAOBNM15．如图，是的直径，为弦，，过点的的切线交延长线于点．若，则的半径为cm．16．如图，是由绕点顺时针旋转而得，且点在同一条直线上，在中，若，，，则斜边旋转到所扫过的扇形面积为．CBA（15题图）OADPEBCBA（15题图）OADPEBC（第17题图）17．如图，从圆O外一点引圆O的两条切线，切点分别是，若，是上的一个动点（点与两点不重合），过点作圆O的切线，分别交于点，则的周长是．18、在平面内，⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P与⊙O的位置关系是.19．如图8，在中，．将其绕点顺时针旋转一周，则分别以为半径的圆形成一圆环．则该圆环的面积为．20．如图9，点是上两点，，点是上的动点（与不重合）连结，过点分别作于点，于点，则．ACACB图8AEOFBP图9三、解答题：1.已知：如图所示，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过B点作⊙O1的切线交⊙O2于D，连结DA并延长与⊙O1相交于C点，连结BC。过A点作AE∥BC与⊙O2相交于E点，与BD相交于F点。（1）求证：EF·BC=DE·AC；（2）若AD=3，AC=1，AF，求EF的长。2.某单位搞绿化，要在一块图形的空地上种四种颜色的花，为了便于管理和美观，相同颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占的面积相同，现征集设计方案，要求设计的图案成轴对称图形或中心对称图形。请在如图所示的圆中画出三种设计方案。（只画示意图，不写作法）。3.已知：△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F。（3）求sin∠EOB的值.11．（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分）OCADEH图8“创意设计”公司员