几何类比变式探究综合大题-2023年中考数学知识点练习（江苏）（解析版）

2023年中考数学【热点•重点•难点】专练（江苏专用）

重难点05几何类比变式探究综合问题

【命题趋势】

几何综合题是中考数学中的重点题型，也是难点所在.几何综合题的难度都比较大，所占分值也比较

重，解答题数量一般有两题左右，其中一题一般为三角型、四边形综合；另一题通常为圆的综合；它们在

试卷中的位置一般都在试卷偏后的位置.只所以儿何综合题难度大，学生一般都感觉难做，主要是因为这

种类型问题的综合性较强，涉及的知识点或者说考点较多，再加上现在比较热门的动态问题、最值（范围）

问题、函数问题，这就导致了几何综合题的难度再次升级，因此这种题的区分度较大.所以我们一定要重

视平时多培养自己的综合运用知识的能力，从不同的角度，运用不同的知识去解决同一个问题.

【满分技巧】

1.熟练掌握平面几何知识：要想解决好有关几何综合题，首先就是要熟练掌握关于平面几何的所有知识，

尤其是要重点把握三角形、特殊四边形、圆及函数、三角函数相关知识.几何综合题重点考查的是关于三

角形、特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）、圆等相关知识.

2.掌握分析问题的基本方法：分析法、综合法、“两头堵”法：

1）分析法是我们最常用的解决问题的方法，也就是从问题出发，执果索因，去寻找解决问题所需要的条件，

依次向前推，直至已知条件：例如，我们要证明某两个三角形全等，先看看要证明全等，需要哪些条件，

哪些条件已知了，还缺少哪些条件，然后再思考要证缺少的条件，又需要哪些条件，依次向前推，直到所

有的条件都已知为止即可.

2）综合法：即从已知条件出发经过推理得出结论，适合比较简单的问题；

3）“两头堵”法：当我们用分析法分析到某个地方，不知道如何向下分析时，可以从已知条件出发看看能

得到什么结论，把分析法与综合法结合起来运用是我们解决综合题最常用的办策略.

3.注意运用数学思想方法：对于几何综合题的解决，我们还要注意运用数学思想方法，这样会大大帮助我

们解决问题，或者简化我们解决问题的过程，加快我们解决问题的速度，毕竟考场上时间是非常宝贵的.常

用数学思想方法：转化、类比、归纳等等.

A卷（真题过关卷）

备注：本套试卷所选题目多数为近三年江苏省各地区中考真题，针对性强，可作为一轮、二

轮复习必刷真题过关训练.

一.解答题（共20小题）

1.（2022•淮安）在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究.如图（1）,在菱形ABS

中，/8为锐角，E为BC中点，连接。E,将菱形A8C。沿OE折叠，得到四边形AbEz）,点A的对应

点为点A',点B的对应点为点8.

【观察发现】

A'D与B'E的位置关系是A'D//B'E:

【思考表达】

（1）连接B,C,判断/OEC与/BCE是否相等，并说明理由；

（2）如图（2）,延长QC交Ab于点G,连接EG,请探究/QEG的度数，并说明理由；

【综合运用】

如图（3）,当NB=60°时，连接B,C,延长DC交AE于点G,连接EG,请写出BC、EG、DG之间的

数量关系，并说明理由.

【分析】【观察发现】利用翻折变换的性质判断即可.

【思考表达】（1）结论：NDEC=NBCE.证明。E〃C8'即可；

（2）证明GC=GB',推出EGLCB',即可解决问题.

【综合运用】结论：Z）G2=EG2+至8'C2.如图（3）中，延长DG交EB'的延长线于点T,过点。作

16

DΛ±GA,交GA'的延长线于点R想办法证明OE=工C8',可得结论.

4

【解答】解：【观察发现】如图（1）中，由翻折的性质可知，4'D∕∕B'E.

故答案为：A'D∕∕B'E；

【思考表达】（1）结论：/DEC=/BCE.

理由：如图（2）中，连接88'.

:EB=EC=EB',

：.ZBB'C=90°,

.,.BB'±B'C,

由翻折变换的性质可知88'IDE,

.∖DE∕∕CBl,

：.ADEC=ZB'CE；

（2）结论：NDEG=90°.

理由：如图（2）中，连接08,DB',

由翻折的性质可知/8。E=NB'DE,

设NBDE=NB'DE=x,NA=NA'=y.

：四边形ABCO是菱形，

...NADB=NCDB=NB'DA',

ΛZA,DG=ZBDB1=Ix,

：.ZDGA'=180o-2x-y,

；NBEB'=NEBD+NEB'D+ZBDB',

J.ZBEB'=180°-y+2x,

,CEC=EB',

LNEB'C=NECB'=L/BEB，=90°-上v+x,

22

INGB'C=ZA'B'E-NEB'C=l80-y^（90°-」y+x）=90°-⅛--x,

22

：.ZCGA1=2NGB'C,

•：NCGA'=ZGB'C+ZGCB',

.,.ZGB'C=NGCB',

.,.GC=GB1,

`:EB'=EC,

ΛEG±CB,,

'：DE//CB',

.∖DE±EG,

：・NDEG=90°；

【综合运用】结论：DG2^EG2+^.BIC2.

16

理由：如图(3)中，延长。G交EB'的延长线于点T,过点£>作。GA'交GA'的延长线于点R.

设GC=GB'=x,CD^A'D=A1B'=2a,

VZB=60o,

,NA=NZM'B'=120°,

ΛZDA,R=60°,

ΛA,R=A'D∙cos60o=a,DR=Ma,

在RtaOGR中，则有(24+x)2=(√3α)2+(3a-x)2,

∙*∙x—-a,

5

∙'∙GB'—ci,AG=2</,

55

`:TB'//DA',

•TB'_GB'

"DA,GA，，

.TB'=II

5a

.".TB'=&,

3

'：CB'//DE,

ʌ

.CB'_TB'

DEET47'

a+τra

3

：.DE=工CB，,

4

VZDEG=90o,

.∙.DG2=EG2+DE1,

.∖DG2=EG2+-B/C2.

16

/图⑶

图⑵

2.(2022•徐州)如图，在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC=12,点尸在边AB上,。、2分别为8C、

尸C的中点，连接。E.过点E作8C的垂线，与8C、AC分别交于F、G两点.连接。G,交PC于点H.

(1)/EOC的度数为45°；

(2)连接尸G,求aAPG的面积的最大值；

(3)PE与OG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；

(4)求e旦的最大值.

CE

【分析】(1)由等腰三角形的性质可得NABC=NACB=45°,由三角形中位线定理可得OE〃48,可求

解；

(2)设AP=x,由等腰宜角三角形的性质和三角形中位线定理可求AG的长，由三角形面积公式和二次

函数的性质可求解：

(3)由aSAS,,可证ACEF且ZXGQF,可得CE=QG,NDGF=NFCE,可求解;

(4)利用勾股定理和相似三角形的性质分别求出C”，CE的值，即可求解.

【解答】解:(1)∙.∙ZBAC=90°,AB=AC=12,

∕A8C=/ACB=45°,BC=12√2.

；£＞、E分别为8C、PC的中点，

.∖DE∕∕AB,DE=-BP,

2

：.ZEDC=ZABC=45°,

故答案为：45；

(2)¾AP=x,则BP=12-X,

VDE=AfiP,

2

：.DE=6-上,

2

,:GFlBC,NEDC=45°,

：.ZEDC=ZDEF=45o,

OF=EF=E=3&-亚X,

24

：点。是8C的中点，

：.BD=CD=6M,

.,.CF=3&+近1,

4

•：GFLBC,NACB=45°,

.∙.NACB=NCG尸=45°,

J.GF=FC,

ΛGC=√2FC=6+-^-,

2

."G=6-三,

2

2

SΛAPG=-×AP×AG=-l-×x×(ð-ɪ)--A(χ-6)+9,

2224

.∙.当x=6时，△/1PG的面积的最大值为9；

(3)PEVDG,DG=PE,理由如下：

9

：DF=EFfNCFE=NGFD=90°，CF=GF,

：.丛CEF”丛GDF(SAS),

：.CE=DG1ZDGF=ZFCEf

<NDGF+NGDF=90°,

ΛZGDF+ZDCE=90o,

.β.ZDHC=90σ,

:.DGtPE,

Y点七是PC的中点，

LPE=EC,

IDG=PE;

(4)方法一、*/CF=3&+亚X=GF,£F=3√2-工

44

二ECrCF2+EF2=W+χ2，

∙."=x,AC=12,

,2

∙∙PCrAC2+AP2=yJx+i44,

VZACP=ZGC//,∕A=90°=NGHC,

：.AAPCsAHGC,

72+6x

.CHVX2+1⅜4x+12-12Y12-12-1

2

CEJ364Λχ2X+144X+I24^^-242√288-2424√2-242√2-2

√2+l

--------,

2

.∙∙C旦的最大值为返士1.

CE2

方法二、如图，过点〃作A交8C于M,

.∙.点”以CD为直径的OO上，

连接0”,并延长交AB于M

•：MH〃AB,

•.O•HOM,

ONOB

,：OH,08是定长，

.∙.ON的取最小值时，OM有最大值,

.∙.当ON_LA8时，OM有最大值，

此时MHLO”,CM有最大值，

'：DE//AB,

：.MH//DE,

•.C∙^H~~∙C=M，

CECD

.∙.当CM有最大值时，型有最大值,

CE

<AB∕∕MH,

.∙.∕HΛ∕O=∕8=45°,

"JMHLOH,

：.NHMo=NHOM=45°,

.∙.MH=H0,

.∖MO=y[2HO,

"JHO=CO=DO,

：.Mo=近CO,CD=2C0,

：.CM=(√2+l)CO,

.CH^CM^(√2+l)C0-√2+l

"CE^CD2CO2

3.(2022♦镇江)己知，点、E、RG、H分别在正方形ABCf)的边AB、BC、CD、ADl..

(1)如图1,当四边形EFG”是正方形时，求证：AE+AH=ABi

(2)如图2,已知AE=A",CF=CG,当AE、CF的大小有AE=CF关系时:四边形EFG”是矩

形；

(3)如图3,AE=DG,EG、"/相交于点O,OE-.OF=4：5,己知正方形ABCD的边长为16,FH长

为20,当a0E4的面积取最大值时，判断四边形EFG〃是怎样的四边形？证明你的结论.

图I图2图3

【分析】(1)证明AAEH丝Z∖BFE(AAS),推出A//=BE,可得结论；

(2)当AE=Ck时，四边形EFG”是矩形.根据有三个角是直角的四边形是矩形证明即可；

(3)如图3中，过点”作MWLBC于点M.,交EG于点MZM四边形AEG。是平行四边形，推出

AD//EG,EG//BC,可得过1=地，设OE=4x.Of=5x,HN=/?,则旦="且■,可得∕z=4(4-χ),

HMHF1620

可得S=工∙OE∙HN=∙lχ4χX4(4-χ)=-8(X-2)2+32,可知x=2时，AOE//的面积最大，求出

22

OE,OG,OH,OF的长，可得结论.

【解答】(1)证明：如图1中，

图I

：四边形4BCO是正方形,

ΛZA=ZB=90o,

：.NAEH+NAHE=94°,

；四边形EFG”是正方形，

J.EH=EF,EF=90°,

：.ZAEH+ZBEF^90°,

.∙.ZBEF=ZAHE,

在AAE4和FE中，

'NA=NB=90°

<ZAHE=ZBEF，

EH=FE

：.4AEH<ABFE(AAS),

：.AH=BE,

：.AE+AH^AE+BE^AB；

(2)解：当AE=CF时，四边形EFG”是矩形.

；四边形A8C。是正方形，

：.AB^CD=AD=BC,NA=∕5=∕C=NQ=90°,

'：AE=AH^CF^CG,

.".BE=BF,DH=DG,

：.ZAEH=ZBEF=45°,

二∕HEF=9Q°

同法可证，NEHG=90：NEFG=90°,

四边形EFG〃是矩形.

故答案为：AE=CF-,

(3)解：结论：四边形EFGH是平行四边形.

理由：如图3中，过点“作“MLBC于点例.，交EG于点M

图3

•••四边形ABCz)是正方形，

.∖AB∕∕CD,

"：AE=DG,AE//DG,

二四边形AEGQ是平行四边形，

.,.AD∕∕EG,

.,.EG//BC,

•⅛HO

"^≡W'

,：OE-OF=4：5,

设。E=4x.OF=5x,HN=h,则/L="®

1620

.∙.∕z=4(4-χ),

.∙.S=LθE∙HN=2∙X4χX4(4-X)=-8(X-2)2+32,

22

：-8<0,

.∙.x=2时，Z∖OE”的面积最大，

：.OE=4x=S=-EG=OG,OF=5Λ=10=-HF=OH,

22

四边形EFGH是平行四边形.

4.(2022•南通)如图，矩形ABCZ)中，AB=4,AO=3,点E在折线BC。上运动，将AE绕点A顺时针旋

转得到AF,旋转角等于NBAC,连接CF.

(1)当点E在BC上时，作FTWLAC,垂足为M,求证：AM=AB;

(2)当AE=3加时.，求CF的长；

(3)连接。凡点E从点B运动到点。的过程中，试探究。尸的最小值.

【分析】(1)如图1中，作FM_LAC,垂足为M,证明aABE丝ZSAMF(A4S),可得结论；

(2)利用勾股定理求出BE=42,利用全等三角形的性质推出FM=8E=√5,再利用勾股定理求出CF

即可；

(3)分两种情形：当点E在8C上时，如图2中，过点。作£>，_LFM于点〃.证明点尸在射线上

运动，当点尸与K重合时，力尸的值最小，求出力，即可.当点E在线段CO上时，如图3中，将线段

AQ绕点A顺时针旋转，旋转角为NABC,得到线段AK,连接FR,过点。作Z)QLAR于点Q,DKLFR

于点K.证明44)E丝△ARF(SAS),推出∕4f>E=∕4RF=90°,推出点F在直线RF上运动，当点。

与K重合时，。尸的值最小，可得结论.

【解答】(1)证明：如图1中，作尸MLAC,垂足为M,

图1

：四边形A8C。是矩形,

ΛZβ=90o,

,：FMLAC,

ΛZB=ZAΛ∕F=90o,

"：ZBAC^ZEAF,

：./BAE=NMAF,

在AABE和AAM尸中，

'NB=NAMF

<NBAE=NMAF,

AE=AF

.∖∆ABE^∕∖AMF(AASy),

：.AB=AM-.

(2)解：当点E在BC上，在RtZXABE中，AB=4,AE=3√2.

∙∙∙BE=√AE2-AB2=√(3√2)2-42^Λ^,

∙.∙∆ABE^∆AMF,

.∙.A8=AM=4,FM=BE=圾,

⅛Rt∆ABCψ,A8=4,8C=3,

；•Ac=VAB2+BC2=√42+32=5,

.∙.CM=AC-AM=5-4=1,

VZCΛ∕F=90o,

；•CF=VCM2+FM2=V12+(√2)2=F-

当点E在CQ上时，可得CF=W5.

综上所述，CF的值为√5或/运；

（3）解：当点E在BC上时，如图2中，过点D作DHl.FM于一点H.

图2

'：∆ABE^∆AMF,

.".AM=Aβ=4,

VZAMF=90o,

.∙.点尸在射线尸M卜一运动，当点F与K重合时，DF的值最小，

；/CW=NAOC=90°,NMCJ=NACD,

IXCMJsACDA,

•CM=IJ=QJ

"CDADAC'

•.•-1—_,MJ-_C—J,

435

：.MJ=3.,CJ=-,

44

：.DJ=CD-CJ=4-Hl,

44

YNCMJ=∕DHJ=90°,NCJM=NDJH,

：.丛CMJS丛DHJ,

.CMɪCJ

"DHDJ,

5

•J_=_L

"DHɪɪ

4

.∙.D∕7=11,

5

.∙.QF的最小值为旦.

5

当点E在线段C。上时，如图3中，将线段AO绕点A顺时针旋转，旋转角为NBAC,得到线段AR,连

接FR,过点。作。QL4/?于点Q,DKLFR于点、K.

：.ZDAE^ΛRAF,

'：AE=AF,AD=ARf

：.∕∖ADE^∕∖ARF(SAS),

ΛZADE=ZARF=90o,

・•・点b在直线R尸上运动，当点。与K重合时，。尸的值最小，

'：DQLAR,DK工RF,

；・/R=NDQR=/DKR=W,

・・・四边形DKRQ是矩形，

IDK=QR,

.∙∙A0=AD∙cosN5AC=3xV=当,

∖*AR=AD=3f

：.DK=QR=AR-A0=∙∣∙,

・・・。尸的最小值为3,

5

••旦<11

,^5~5,

DF的最小值为旦.

5

解法二：当点E在BC上时，如图，将线段Ao绕点A逆时针旋转，旋转角的度数=∕BAC,得到AT,

证明aD4F也△?；<£：,推出DF=TE,

当7E_L5C时，Z)F的值最小，可得QF的最小值为旦.

5

当点E在CQ上时，同法可得。F的最小值为旦.

5

5.(2022•泰州)己知：Z∖4BC中，。为BC边上的一点.

(1)如图①，过点。作。E〃A8交AC边于点E.若AB=5,BO=9,DC=6,求。E的长;

(2)在图②中，用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点尸，使∕OM=∕A;(保留作图痕迹，不要求写

作法)

(3)如图③，点尸在AC边上，连接8尸、DF.若/。项=乙4,△尸BC的面积等于2C0∙AB,以FD

2

为半径作OE试判断直线BC与OF的位置关系，并说明理由.

【分析】(1)利用相似三角形的性质求解即可；

(2)作。T〃AC交AB于点7,作NTT)F=NATD,射线。F交AC于点F,点F即为所求；

(3)作BR//CF交FD的延长线于点R,连接CR.证明四边形ABRF是等腰梯形，推出AB=FR,由

CF//BR,推出SΔCEB=SΔCFR^-∙AB∙CD=^∙FR∙CD,推出CDLDF,可得结论.

22

【解答】解：(I)如图①中，；OE〃A8,

：.XCDEsXCBA,

•.•—D—―E-.'CD,

ABCB

.DE=6

6+9,

：.DE=I-,

(2)如图②中，点尸即为所求.

解法二：过点Q作AB的平行线交AC于点G,再以点。为圆心，QG长为半径画弧，交AC于点F(异

于点G).

`:AB//DG,

：.ZA=ZDGC,

•：DG=DF,

：.ZDGF=ZDFG,

.∖ZDGC=ZDFA=ZA.

(3)结论：直线3C与以尸。为半径作QF相切.

理由：作由?〃CT交FQ的延长线于点/?,连接CR

A

Z>T>c

③

u

∖AF∕∕BRfZA=ZAFR,

・・・四边形ABR/是等腰梯形，

IAB=FR,

*：CF〃BR,

.,.SACFB=SMFR=工∙AB∙CD=工・FR∙CD,

22

：.CDLDF,

・,・直线5C与以FD为半径作OF相切.

解法二：过点。作£>E〃A〃交AC于点£设43CF的3C边上的高为力.

DE//ABi

：.ZCED=ZA9

'：ZA=ZAFD9

：.ZAFD=ZCEDf

：,/DFE=NDEF,

：,DE=DF,

VDE：AB=CD:CB,

.∙.QE=QF=AB,CD,

CB

".'SΛBCF=-∙BC∙II=-∙CD∙AB,

22

.∖h=DF,

：.DFlBC,

.∙.直线BC与以FD为半径作。尸相切.

6.（2022∙无锡）如图，Z∖A8C为锐角三角形.

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点。，使∕D4C=N4CB,且CDUr＞；

（不写作法，保留作图痕迹）

BC=3,则四边形ABC。的面积为反应

（2）在（1）的条件下，若NB=60°,A8=2,

—2—

AΛ

ʌ

BCBC

（图1）（图2）

【分析】（1）根据要求作出图形即可；

（2）过点A作4〃_LBC于点H.求出AH,AD,利用梯形面积公式求解.

【解答】解：（I）如图I中，点。即为所求；

（图1）

（2）过点A作A”,BC于点H.

在RtZSABH中，Λδ=2,NB=60°,

Λβ∕7=AB∙cos60o=1,A∕∕=AB∙sin60o=√3,

：.CH=BC-BH=I,

VZDAC=ZACB9

.∖AD∕∕BC,

λ:AHLCB,CD1.AD,

：.NAHC=ZADC=NZ）C”=90°,

，四边形AaCO是矩形，

：•AD=CH=2,

r

，S西边形八BCQ=』X（2+3）χ^g--5V3,

22

故答案为：反叵.

2

7.（2022•苏州）（1）如图1,在aABC中，ZACB=2ZB,C。平分NAC8,交AB于点。，DE//AC,交

BC于点E.

①若DE=1,BD=3,求BC的长；

2

②试探究地一些是否为定值.如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

ADDE

（2）如图2,NCBG和NBeF是AABC的2个外角，NBCF=2NCBG,CZ）平分NBCF,交AB的延长

线于点/）,DE//AC,交CB的延长线于点E.记AACD的面积为Si,Z∖COE的面积为52,Z∖8DE的面

积为S3.若SI∙S3=-2S22,求CoSNCBD的值.

16

【分析】（1）①证出N4CO=NQC8=∕8,由等腰三角形的判定得出CO=8O=3,求出CE=OE=I,

2

证明aCEDs∕∖CD8,由相似三角形的性质可求出BC的长；

②由平行线分线段成比例定理得出他芈，同①可得，CE=DE,证出屈■里，则可得出答案；

ADCEADDE

(2)证出绘,由题意可得出照hɪ,设8C=9χ,则CE=16x,证明ACOBS∕∖CEZλ由相

S2CECE16

»2

似三角形的性质得出里0,求出CO=I2%,过点。作OHL8C于点，，则8H=』8C=2X,根据锐

CECD22

角三角函数的定义可得出答案.

【解答】W.：(1)①：C。平分NACB,

ZACD=NDCB=工NACB,

2

,.∙NACB=2/B,

.∙.ZACD=NDCB=ZB,

；.CD=BD=3,

2

∖,DE∕∕AC,

：.NACD=NEDC,

:.NEDC=NDCB=NB,

.'.CE=DE=I,

.∙.∕∖CEDs∕∖CDB,

•.•CE二CD，

CDCB

3

,1~2

"3__CB,

~2

.∙.BC=2;

4

②空-理是定值.

ADDE

'CDE//AC,

•.•-A-B-二BC,

ADCE

同①可得，CE=DE,

•.∙∙~A~B~≡-B一C■一,

ADDE

.ABBE⊂BCBE^CE,ɪ

,•而而=Tif而同‘

.∙.迪-些是定值，定值为1：

ADDE

(2)∖,DE∕∕AC,

.£1__AC_BC

'"s7^DE"BE'

..s3BE

•---->

S2CE

.Si£=BC

Q2^CE,

»2

又∙.∙S1∙S3=X-S22,

16

•.B∙-C--91

CE16

设BC=9x,则CE=I6X,

YCO平分NBeR

：•ZECD=NFCD=工NBCF,

2

•：NBCF=2/CBG,

：,/ECD=ZFCD=ACBD,

：•BD=CD,

*：DE//AC,

(EDC=NFCD,

：・NEDC=NCBD=/ECD,

ICE=DE,

•：NDCB=NECD,

ΛΔCDB^ΔCED,

•,C•­DC=B一，

CECD

.∙.Cr>2=C8∙CE=144Λ2,

：.CD=\2x,

过点D作DHVBC于点H,

：.BH=LBC=殳κ,

22

_9

-RnBH^2x3

…SNCBD=而F=T

8.（2022•扬州）如图1,在AABC中，NBAC=90°,∕C=60°,点。在5C边上由点C向点2运动（不

与点B、C重合），过点。作。EJ_A。，交射线AB于点E.

（1）分别探索以下两种特殊情形时线段AE与BE的数量关系，并说明理由；

①点E在线段AB的延长线上且BE=BD;

②点E在线段AB上且EB=ED.

（2）若AB=6.

①当些=退_时，求AE的长；

AD2

②直接写出运动过程中线段AE长度的最小值.

②由∕ft4C=90°,ZC=60o,EB=ED,可得NEoB=N8=30°,即得NAEf>=N£08+/B=6()°,

根据。E_LA。，可得AE=2ED,故AE=2E8;

(2)①过。作。于凡证明AAFOSAADE,由些=*3,可得JL=Y豆，设Z)F=√ξm,则

AD2AF2

ΛF=2mf在RtZ∖8O/中，BF=6DF=3m,而A8=6,可得加=旦，有Ab=理，。/=里三，AD=

555

又更也，即可得

√AF2+DF2=6√L,I=AE=21；

②作AE的中点G,连接DG,根据N4DE=90°,DG是斜边上的中线，得AE=2OG,即知当AE最小

时，DG最小,此时。G_L8C,可证AG=EG=BE,从而得线段AE长度的最小值为4.

【解答】解：(1)①4E=28E,理由如下：

*：DELAD,

：.ZAED+ZEAD=90Q=NADE=NBDE+NBDA,

YBE=BD,

：.ZAED=ZBDE9

：.AEAD=ABDA,

：.AB=BD,

LBE=BD=AB,

：.AE=2BE；

②AE=2EB,理由如下：

如图：

VZBAC=90o,ZC=60o,

ΛZB=30o,

YEB=ED,

；・NEDB=NB=30°,

；・NAED=NEDB+NB=60°,

∙/DElADf

.∙.NEDA=90°，NEAD=30°，

.'.AE=2ED1

：.AE=2EB；

；NFAD=NDAE,ZAm=90°-ZADE,

.".∕∖AFD^ΛADE,

研

DF即迈=更

AD,DEADAF

DE

而√23

DF√3

AF2

则AF=2m,

在RtZ∖8O尸中，BF=yj3DF=3m,

VΛB=6,

∙,∙BF+AF=6,即3/77+2/«=6»

Ja=2，

5

.,.4F=-,DF=鼠反,

55

/.AD=√AF2+DF2=6^1,

5

•：XAFDS>ADE,

126√7

.∙.空=皎，即一^一=5

ADAEAE

5

.∙.4E=驾

5

②作AE的中点G,连接。G,如图:

G

E.

B-

D

∙.∙NAZ)E=90°,。G是斜边上的中线,

：.AE=2DG,OG=AG=EG,

当AE最小时，OG最小，止匕时OG_LBC,

VZB=30o,

.∖BG=2DG,

：.AE=IDG=BG,

：.BE=AG,

：.AG=EG=BE,

此时AE=ZAB=4,

3

答：线段AE长度的最小值为4,

法2：作AE的中点G,连接。G,过G作GHLBC于"，如图:

VZADE=90°,OG是斜边上的中线,

J.AE=2DG,DG=AG=EG,

设DG=AG=EG=m,则BG=6-m,

；.GH=-BG=-(6-w),

22

•：GHWDG,即▲(6-/n)Wm,

2

.∙.当m=2,即G”与。G重合时，AE取最小值,最小值为2,〃=4,

.∙.答:线段AE长度的最小值为4.

法3：

过A做AG_L8C于G,过E做E，_L8C于"，如图:

/.NEDH=90°-NADG=ZDAG,

'：ZEHD=ZAGD=90°,

.AG=DG

"DHEH'

.,.AG∙EH=DH∙DG,

VZBAC=90o,NC=60°,

.∙.∕B=3O°,

.∙.4G=∙1AB=3,EH=工BE=工(6-AE),

222

∖DH∙DG=3EH,

：.AErADr+DE2-=AG2+DG2+DH2+EH2=9+DG2+DH2+EH2,

∖,DG2+DH2^2DH∙DG,

：.AE1^9+2DH∙DG+EH1,即AE1^9+6EH+EH2,

(3+EH)2,

VAE>0,EH>0,

.∖AE^3+EH,

YEH=工C6-AE),

2

.∙.AE23+工(6-AE),

2

：.AE^4.

答：线段AE长度的最小值为4.

9.(2021•淮安)【知识再现】

学完《全等三角形》一章后，我们知道''斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简称iHL'

定理)”是判定直角三角形全等的特有方法.

【简单应用】

如图(1),在AABC中，NBAC=90°,AB=4C,点。、E分别在边AC、AB上.若CE=BD,则线段

AE和线段AD的数量关系是AE=An.

【拓展延伸】

在AABC中，ABAC=a(90o<α<180o),AB=AC=m,点。在边AC上.

(1)若点E在边A8上，且CE=BD,如图(2)所示，则线段AE与线段Az)相等吗？如果相等，请给

出证明；如果不相等，请说明理由.

(2)若点E在BA的延长线上，且CE=Bn试探究线段AE与线段AD的数量关系(用含有a、机的式

子表示)，并说明理由.

【分析】【简单应用】证明RtZXA8。丝Rt△ACE(〃乙)，可得结论.

【拓展延伸】(I)结论：AE=AD.如图(2)中，过点C作CMJ_区4交BA的延长线于M,过点B作

BNLCA交CA的延长线于N.证明ACAW丝Z∖BAN(AAS推出CM=BN,AM=AN,证明RtACMf

gRtABND(HA),推出EM=DN,可得结论.

(2)如图(3)中，结论：AE-AD=2"z∙cos(180o-a).在AB上取一点E',使得BO=CE',则

AD=AE1.过点C作CTLAE于T.证明7E=ΓE',求出A7,可得结论.

【解答】【简单应用】解：如图(1)中，结论：AE^AD.

图⑴

理由：∙.∙NA=NA=90°,AB=AC,BD=CE,

.,.Rt∆ABD^Rt∆ACE(HL),

'.AD=AE.

故答案为：AE=AD.

【拓展延伸】解：（I）结论：AE=AD.

图⑵

理由：如图(2)中，过点C作CMJ交BA的延长线于M,过点3作3N_LCA交CA的延长线于M

；NM=/N=90°,/CAM=NBAN,CA^BA,

：.IXCAMt2XBAN(Λ4S),

：.CM=BN,AM=AN,

∙.'∕M=∕N=90°,CE=BD,CM=BN,

：.RtACMEmRtABND(HL),

C,EM=DN,

∖'AM^AN,

：.AE=AD.

(2)如图(3)中，结论：AE-AD^2m∙cos(180o-α).

图(3)

理由：在AB上取一点E',使得BO=CE',则4D=AE'.过点C作C7∖L4E于T.

'：CE'=BD,CE=BD,

：.CE=CE',

VCTLEE',

IET=TE',

∙.NT=AC∙cos(180°-α)=%∙cos(180o-a),

：.AE-AD^AE-AE1=2A7=2/??*cos(1800-a).

10.(2021•南通)如图，正方形ABCD中，点E在边4。上(不与端点4,。重合)，点A关于直线BE的

(1)求/BCF的大小(用含α的式子表示)；

(2)过点C作CGL直线AR垂足为G,连接。G.判断OG与CF的位置关系，并说明理由；

(3)将aABE绕点B顺时针旋转90°得到aCB”,点E的对应点为点H,连接BRHF.当ABFH为

等腰三角形时，求Sina的值.

【分析】(1)由轴对称的性质可得AB=BF,BELAF,可求NCBF=90°-2a,由等腰三角形的性质可

求解；

(2)通过证明点4,点。，点G,点C四点共圆，可得N4GO=/ACD=45°,由等腰三角形的性质可

得NA尸8=90°-a,可得NCFG=45°=ZDGA,可证。G〃C尸；

(3)分三种情况讨论，由旋转的性质可得AE=CH,BE=BH,NABE=NCBH=(I=NFBE,AB=BC,

由“AS4"pJiiE∆ABE^∆NHB,可得BN=AE=上48,即可求解.

2

【解答】解：(1)如图1,连接BF,

：点A关于直线BE的对称点为点F,

.∖AB^BF,BElAF,

.∙.NABE=NEBF=a,

INCBF=90°-2a,

：四边形ABCn是正方形，

：.AB=BC,

：.BF=BC9

：.ZBCF=-—~Yα)-=45。+α

2

(2)DG//CFf

理由如下：如图2,连接Ac

图2

Y四边形A3CO是正方形，

ΛZACD=45o,ZADC=90°，

•：CG上AF,

：.ZCGA=ZADC=90Q,

・・・点A,点。，点G,点C四点共圆,

.∖ZAGD=ZACD=450,

•：AB=BF,ZABF=2a,

：.ZAFB=1^"2α=90°-α,

2

ΛZAFC=135°,

ΛZCFG=45o=NOG4,

：.DG//CF；

(3)VBE>AB,

：•BH>BF,

：.BH≠BF;

如图3,当BH=FH时,过点H作HNLBF于M

ED

V^∆ΛBE绕点B顺时针旋转90°得到aC8”,

：.丛ABE9XCBH,NEBH=90°=ZABC,

.ME=CH,BE=BH,NABE=NCBH=a=NFBE,AB=BC,

：.NHBF=9Q°-a,

VBH=FH,HNlBF,

：.BN=NF=工BF=工AB,NBNH=90°=NBAE,

22

：.NBHN=a,

：.NABE=NBHN,

1△ABE当ANHB(ΛSA),

：.BN=AE=^AB,

2

,BE=Y"+/=遥AE,

当BF=FH时,

：.NFBH=∕FHB=90°-a,

.".ZBFH=Ia=ZABF,

:,AB//FH,

即点尸与点C重合，则点E与点。重合，

:点E在边AD上（不与端点A,。重合），

BF=/7/不成立，

综上所述：Sina的值为近∙.

5

11.（2021•徐州）如图1,正方形ABS的边长为4,点尸在边AC上（尸不与A、。重合），连接P8、PC.将

线段PB绕点P顺时针旋转90°得到PE,将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到PR连接EF、EA.

FD.

(1)求证：

①APDF的面积S=-PD2;

2

②EA=FD；

(2)如图2,EA、F7)的延长线交于点取EF的中点M连接MM求MV的取值范围.

图1图2

【分析】(1)①作FGL4O,交AD的延长线于点G,作EHLAC,交D4的延长线于点H,由旋转及正

方形的性质证明AFPGgzSPCQ,可得尸G=Pr>,可得结论；

②证明Z∖EP"g∕∖P84,再证明Z△。尸G,即可得出结论；

(2)在(1)的基础上，作FZAE”于点L,设PQ=nn则可证明设立=〃，用含的

代数式表示”，用含〃的代数式表示EF,可先求出EF的取值范围，再证明NEMF=90°,根据直角三

角形斜边上的中线等于斜边的一半求出MN的取值范围.

【解答】(1)证明：如图1，作FGLAD,交AD的延长线于点G,作EHA.AD,交DA的延长线于点

H.

①由旋转得，PF=CP,ZCPF=90Q,

：四边形ABe。是正方形，

.∙.ZPDC=90a,

：/FPG+/OPC=90°,∕PCE>+∕OPC=90°,

.".ZFPG=ZPCD,

∙.∙∕G=NPOC=90°,

：.AFPGQAPCD(AAS),

.".FG=PD,

1△PDF的面积^PD∙FG=^PD2.

22

②由①得，AFPGqAPCD,

IPD=FG,PG=CD=4,

同理，XEPgAPBN

：.EH=AP,PH=BA=4,

∖,AH=4-AP=PD,

,AH=FG;

∙.'AP=4-PD=DG,

,EH=DG;

VZ∕∕=ZG=90o,

:∙XEAHWXDFG(SAS),

∙∖EA=FD.

(2)如图2,在图1的基础上，作FLLEH于点L,则NFLE=NFU/=90°,

J四边形"AFG是矩形，

ILH=FG=AH,EL=G”=4+4=8；

YEH=PA,AH=PD,

：.EH+AH=%+尸。=Ao=4；

设PO=m,EL=n,(∕n>0,九20),则L"=A"=m,

Λn=4-2m；

•；EF1=EL1+FL1=H2+82=n2+64,

∙,∙^=Vn2+64,

.∙.EF随"的增大而增大；

由π=4-2m可知，n随m的增大而减小，

当∕n=2时，nSΦ=O,此时，E尸及小=ΛI∕^=8;

若加=0,则〃城大=4,此时，EF⅛⅛=√42+82=4Vδ