新高考二轮复习真题导数讲义第37讲 指对函数问题之指数找基友（解析版）

第37讲指对函数问题之指数找基友

1.若关于X的不等式』一疝Μ」〃恒成立，求实数。的取值范围

2

【解答】解：当。<0时，/(幻=一—川加为((),+00)的增函数，/(χ)无最小值，不符合题意；

当α=O时，e2x-alnx..)-cι即为显然成立；

2

当α>O时，/(x)=e2χ-HnX的导数为f,(χ)=2e2x,

X

由于丫=2^*-处在(O,+∞)递增，设f'(x)=O的根为m，即有“=2松2"，，

X

当OVXVm时，Γ(x)<O,/(幻递减；当X〉加时，∕,(x)>0,/(九)递增，

可得X="处/(%)取得极小值，且为最小值-4加加,

由题意可得e2m-alnm..)-a,即———aInm..a,

22m2

化为m+2tnlnnτ,,1,设g(∕n)=m+2mlnm,g,{ιn)=1+2(1+Inni)，

当机=1时，g(1)=1,m>∖B'J',g'(∕n)>O,g(m)递增，

可得m+2mln∕n^1的解为O<1,

则〃=2勿/6£(0,2e2],

2

综上可得a∈[0,2e]f

故选：C∙

2.已知函数f(X)=，-奴，其中e为自然对数的底数，。为常数.

(1)若对函数/(x)存在极小值，且极小值为0,求。的值；

(2)若对任意工€[0,夕，不等式/(x).."(l-SinX)恒成立，求。的取值范围.

x,x

【解答】解：(1)∙/ʃ(ɪ)≈e-ax9f(x)=e-af

当凡()时，/'(x)>0,函数在R上是增函数，从而函数不存在极值，不合题意；

当〃>0时，由/"(x)>0,可得x>∕w,由X)V0,可得xv/w,.∙.x=/〃々为函数的极小值点,

由已知，f(Ina)=O»即痴=1,:.a=e；

(2)不等式/(X)..CΛ(1-Sinx),即,sinX-Or..0,

设g(x)=exsinx-ax,则g,(x)=ex(sinx+cosx)-a,gf,(x)=2e"cosx,

x∈fθ,ɪ]时，g”(x)..0,则g，(九)在％∈fθ,ɪ]时为增函数,/.g'(%)=g'(0)=∖-a.

①l-α.0,即61时，g<x)>0,g(x)在x∈[0,泉时为增函数，「.g(x)哂=g(0)=0,此时g(x)..0恒成立.；

②l-αvθ,即a>l时，存在Λ0∈(0,,，使得g'(ʌŋ)v0,从而x∈(0,面)时，g<x)vθ,g(x)在[0,XOl

上是减函数，

.∙.x∈(O,Xo)时，g(χ)vg(0)=0,不符合题意.

综上，。的取值范围是(-∞,1].

3.已知/(x)=e"+αcosx(e为自然对数的底数).

(1)若/(x)在x=0处的切线过点P(l,6),求实数。的值；

(2)当x∈[0,§时，/(x)..6恒成立，求实数〃的取值范围.

,x

【解答】解：(1)Vf(x)=e-asinχt."(O)=L/(0)=l+α,

.∙./(x)在X=O处的切线方程为y=x+l+0,

♦切线过点尸(1,6),.∙.6=2+α,.∙.0=4∙

(2)由/(x)..ox,可得(X-COSx),(*)

令g(x)=x-cosx,X∈[O,g,

.,.gr(x)=l+sinx>O,且g(0)=-1<0,^(ɪ)=>0,

.,.存在m∈(θ,ɪ),使得g(fn)=0,

当x∈(0,m)时，g(m)<0;当x∈(m,g时，g(ni)>O.

(D当X=加时，em>O，g(∕n)=m—cosm=O，

此时，对于任意a∈R(*)式恒成立；

②当x∈Q∕ι,j∣<]时，g(x)=x-COSX>0,

由ex..a(x-cosx),得α,,-----------»

X-COSX

令Λ(x)=-----------，下面研究h(x)的最小值.

X-COSX

Λ,(x)=-COSX^_sirrx_1)与《幻二X-COSX-SinX-1同号，

jr

且f(x)=1+sinX-CoSX>O对x∈[0,-]成立，

2

.∙.函数”x)在(加,刍上为增函数，Wr(-)=ɪ-2<0,

222

:.X∈(〃2,—]时，t(x)<0».,.h,(x)<O,

2

ππ

：.函数A(X)在(加,-]匕为减函数，；.h(x)=Λ(-)=—,0,,-

2mill2ππ

③当X∈[0,〃7)时，g(x)=%-COSXVO,

/ex

由e”..4(x-COSX),得-------，

X-COSX

由②可知函数Mx)=」一在[0,⑼上为减函数，

X-COSX

,

当x∈[0,M时，h(x)max=Λ(0)=—1,..a..-∖»

n

2。2

综上，4∕∈[-l,-].

π

4.已知f(x)=asinx(aWR),g(x)=ex.

(1)求g(x)在X=C)处的切线方程；

(2)若α=l,证明：G*)=∕(x)+袱在(0,1)上单调递增；

(3)设F(X)=/w∙a。)(αW0)对任意XW[0,刍,尸(X)..依成立，求实数Z的取值范围.

a2

【解答】解：(1)g'(x)=e',g<O)=l,g(O)=l,

所以g(χ)在X=O处的切线方程为y-↑=χf即x-y+l=O.

(2)G(X)=sinx+∖nx,

则G，(X)=J+cosx,

X

由于X∈(0,1),故,

X

又CoSX∈[-l,1]»故8SA；,1,

故'+cosx>0,即G")>0在(0,1)上恒成立，

X

故G(X)在(0,1)递增.

(3)F(x)=exsinx,

τr

由对任意X£[0,耳],∕7(x)..Ax恒成立,

设〃(X)=e'sinX-Ax,

贝IJh,(x)=exsinx+e"cosx-k,

再设m(x)=exsinx÷excosx-k,

则ni{x}=exsinx+excosx+excosx-exsinx=2excosx,

x∈［0,g,.∙.πZ(x)..0

因此∕n(x)在［0,刍上递增，

2

故m(x)..∕n(0)=∖-k,

①当匕,1时,∕n(x)..0BpΛ,(x)..0,%(x)在［0,刍递增,故∕z(x).∕(O)=O,

2

即鼠1适合题意,

π£

②当无>1时，m(0)=l-Z<0,m(-)=e2-k,

2

Ξπ

若"一女<0,则取为二万，X∈(O,AO)时，m(x)<0,

若海-人..0,则在(0,&］上皿X)存在唯一零点，记为用,

当X∈(O,xo)时,m{x)<0,

JT

总之，存在χo∈(0q］使K∈(O,ΛO)时MX)<0,

即〃(X)V0,故MX)递减，力(X)<Zz(O)=O,

故左>1时，存在(0,玉))使∕z(x)<O,不合题意，

综上，⅛,,1.

所以Z的取值范围为(-00,1］.

5.已知函数/(x)=Ox2-ex~i.

(1)当时，证明：/(x)在R上为减函数.

(2)当xe［0g］时，/(x),,αcosx,求实数”的取值范围.

【解答】(1)证明：当“=」时，f(x)=-x2-eχ-',贝Uf'(x)=x-e*τ,

22

令g(x)=x-ex~x,贝IJg,(x)=1-ex~l,

当x∈(-∞,l)时，g'(x)>0,当x∈(l,+∞)时，g'(x)<0,

所以g(x)在(-8,1)上单调递增，在(1,+00)上单调递减，

贝IJg(X)”g(1)=0,/'(x),,0,故/(x)在A上为减函数.

(2)解：f(x),,“cosX等价于e*τ..”(χ2-cosx)对于xe［O,g恒成立，

设力(X)=X2-cos》,则"(X)=2x+sinx,易知〃'(x)在［0,匹］上为增函数，

2

所以/?'(X)..Λ,(0)=0,所以h(x)在［0,-］上为增函数，

2

因为〃(O)=T<0,〃(g=9>0,所以存在唯•的Λoe(0,g,使得∕z(Λo)=O,

eʌ--］

2xl2

当x∈［0，x0)时，Λ(x)=X-cosx<0,由e~..a(x-CoSX)得a..—-------,

X-COSX

令S(X)==J,则"⑴=5⅛丝W二包R<0,

X-COSX(尸一CC)SJt)

所以C(X)在［0,x0)上为减函数，则0(x),S=奴0)=」，所以α..-L

ee

x,2

当X=X0时，Λ(x0)=xθ-COSx0=0,对于任意实数α∈R,e~..a(x一CoSx)恒成立,

e>v-］

当x∈(/,工］时，∕z(x)=x2-COSX>0,由/T..α(χ2-COSX)得6—--------,

2X2-COSX

由上可矢口φ,(x)=--"-ys"-2：-sinx),令加。)=产一©()$χ—2x—sinɪ,

(X-COSX)

则m,(x)=2x+sinX-2-cosɪ,易知加(X)在(X0,自上为增函数，

又加(%)=2x0+sinx0-2-cosx0,因为∕Z(A0)=片-cosx0=O,x0∈(θ,ɪ),

,2

所以m(x0)=2x0+sinx0-2-xθ=-1+sinx0-(x0-1)<-l+sinx0<0,

乂加弓)=乃-1>0,所以存在唯一万∈(Λ⅛,∙∣0,使得加(N)=0,

JT

当XW(X0,%)时，加(X)V0；当x∈(χ,5］时，tn,(x)>0,

所以加(X)在(%,XJ上递减，在(XI,g上递增，

2

因为∏7(Λ0)=X-COSX0-2X0-sin¾=-2AO-sinx0<0,/n(ɪ)=--π-∖<0,

所以M(X)<0,即0'(x)vθ,所以火x)在C%,g∙］为减函数，

C(X)而〃=(Pq=号一，所以6,若一，

综上可知，实数”的取值范围为[-1,埠].

eπ一

6.已知函数/(x)=gχ3-sinx.

(1)证明：函数/(x)有三个零点；

(2)若对VXe[0,勺，不等式e"+αcosx..or?恒成立，求实数"的取值范围.

2

【解答】解：(1)证明：因为f(x)为奇函数，且/(0)=0，

只需证/(X)在(0,”)上有且只有一个零点即可.

当x∈[0,+8),记g(x)=/'(X)=X2-cos%,g'(x)=2x+sinx,

g"(x)=2+cosx>0,.∙.g'(x)在(0,+∞)上递增，

又∙g'(x)>g'(O)=O,.∙.g(x)在(0,3)上递增，

2

又∙g(0)=T<0,g(])=9>0,

所以存在唯,实数七)∈(o,j∣),使得gc⅞)=o,

当X∈(O,Xθ)时，g(x)<O,当X£(局，∙κo)时，g(x)>O,

所以函数/(x)在(O,Z)上单调递减，在(%)，+∞)上单调递增.

/(0)=0,Λ∕(X0)<0,又/(乃)>0,

所以函数/(九)在(X0，t)上有且只有一个零点，

所以函数/(X)有二个零点.

(2)法一：由ex+acosX..ax2,可得"..ɑ(f-cosx),

由(1)知：①当元=Xo时，e%>0,^(x0)=xθ-Cosx0=0,

此时，对于任意α∈R,ex..a(x2-cosx)恒成立.

②当XW(Xo时，g(x)>O，

由ex..a(x2-cosx),得a,-----------

X-COSX

——，下面研究Zz(X)的最小值,

令h(x)=

X~-COSX

ex(x2-cosX-2x-sinx)

hf(x)=

(χ2-COSX)2

令/(x)=/-cosx-2x-sinx,t,(x)=2x+sinx-2-cosx，

JT

tn(x)=2+cosx+sinx>0)⅛x∈[0,-]成立，

2

.∙.函数r'(x)在(XO,g上为增函数，

而Fa)=2x0+sinΛ0-2-cos¾=-xθ+2XQ+sin/-2<-l+sinx0<O(Ov玉J<1),

乂f'C∣O=万一1>。，「•存在唯一实数加£(玉)，§，使得「(m)=0,

JT

当x∈C¾,M时，t∖ιτi)<0；当x∈(九耳)时't∖m)>0.

.∙.函数f(x)在(X0,咐上递减，在(WI,刍递增,

:.t(x0)=ΛJ-COsx0-2x0-sinΛ0=-2XG-sinx0<0,z(ɪ)=ɪ--π-∖<0»

π

函数〃(X)在(与,ɪ)上递减，；./I(X)MM=〃(］)=牛4潟

6-7"

π“

③当xw[0,XO)时，^(x)=x2-cosx<0,

由ex..a(x1-cosx),得久.三------，

X-COSX

由②可知∕z,(x)=r工-2常疝吟<0,

(x-cosx)

所以函数〃(X)=Te—在[0,X”)上为减函数,

X-COSX

当x∈[0,XO)时，〃(乩OV=〃⑼=T，

.,.Q,..—\>综上，Cl∈[-1,---∑-].

π

法二：原命题等价于Wx*^c°sx),,l在xe[0,马上恒成立,

ex2

令心)="(χ2一8sx),则〃(©—Qx—f+sinx+cosx),

exex

当x∈[0,勺时，2X-%2..0,SinX+8S%>0,ex>O,

2

①当Q=O时，原命题成立，

π

②当时，〃在［∣上单调递增，∣由〃可得4〉

a>0(x)O,JA(x)„∕z(),(1),,1,O<④-τ^»

π“

③当"0时,依尤)在［0,二］上单调递减，∕z(x),,Zz(O),由∕ι(0),<，可得—li,α<O,

2

综上，。的取值范围是[-1,⅛.

π~

7.已知函数/(x)=ex÷ɑcosX-√f2x-2,f,(x)为ʃ(ɪ)的导函数.

(1)讨论/(幻在区间(0,9内极值点的个数；

(2)若x∈[-],0]时，/(X)..0恒成立，求实数。的取值范围.

【解答】解：(1)由/(x)=e'+αCoSX—0工一2,得/(幻=/—αsinx-V∑,

令g(X)=e"-6rsinx-λ∕2，则g<x)=ex-«cosx，

x∈(θ,ɪ)»ex>1,O<cosx<l»

2

当",,l时，gd)>0,g(x)单调递增，即/(%)在区间(0,9内无极值点，

当α>l时，g,,(x)=ex+6tsinx,ɪe(θ,ɪ),故g"(x)>O,

故g，(x)在(0弓)单调递增，又g<O)=l-。<0,g,(^)=e1>0,

故存在/∈(0,g,使得夕(XO)=O,且x∈(0,%)时，g<x)<0,g(x)递减,

XW(X0,时，g'")>0,g(x)单调递增，故X=Xo为g(x)的极小值点，

此时广⑴在区间(O,Jl)内存在1个极小值点，无极大值点；

综上：当ɑ,,l时，/⑴在区间(04)内无极值点，

当α>l时，r(x)在区间(0,乡内存在1个极小值点，无极大值点.

(2)若x∈[-],0]Hl,/(x)..0恒成立，则/(0)=l+α-Z.0,故α..l,

下面证明a..1时，/(九)..0在工€[-],0]恒成立，

xe[--,0]时，怎⅛x>sx1,故α.l时，f(x)=ex+acosx-y∕2x-2..ex+COSX-Λ∕2Λ∙-2,

2

⅜⅛(Λ)=ex+cosX—∖∕2x-2,xe[--,0],½hf(x)=ex-sinx-V2,

2

^φ(x)=ex-sinx-∖∕2，则”(x)=e"-cosx,"(x)=e'+sinx在区间[一工，0]单调递增,

2

又吠，(-二)=eV-走<"∣-且<0,故^(X)在[-2，一工]上单调递减，

32223

7

π_£π-Lιι

1

乂φ'(----)=€~>O♦/(----)=e3—<e—<O»

2322

故存在XIW(-∙^∙,—1∙),使得w'(X1)=O,且xe(-1,x∣)时，φ'{x}>O>∕f(x)递增，

Xe(X1,0)时，8(x)<O,//(X)单调递减，故X=Xl时，∕f(x)取得最大值，且“(X)WK„="(Λ1),

x,

*'(x∣)=0,e'=cos玉，.∙.∕J(X),,WV=〃'(XI)=cosXl-SinXl—应=0CoS(Xl+；)一五，θ，

故/!(X)单调递减，故xe[—0]时，∕z(x)..∕z(O)=O即/(x)..0成立，

综上，若x∈[-],0]时，/(x)..0恒成立，则。的取值范围是[1,+8).

8.设函数f(x)=e*COSx,g(x)=e2x-Iax.

(1)当xw[0,(]时，求/(x)的值域；

(2)当xe[0,+8)时，不等式g(x)∙.小恒成立(尸(X)是/(x)的导函数)，求实数α的取值范围.

e2x

【解答】解:(I)由题可得广(X)=∕cosx-e*sinx=e"(cosx-SinX).

令frW=e'(cosX-SinX)=0，得X=工∈[0,马.

43

当x∈(O,f)时，∕,(x)>0,当xe(f,g)时，∕,(x)<0,

443

所以fMmκ=/(ɪ)=等，=欣，”/(O),吗)}.

π3

33

因为∕g)=y>y=f>l=./'(O)>所以fMmin

F)工

所以/(X)的值域为[1,券资].

(2)由8⑴…安得宴-2-COSksinx.

*ex

nιlSinX-COSXl2xrC八

艮J----------------------------+e-2ax..0.

.n,ʌsinx-cosxχC),Hir、2cos%ʌ_

设h(zx)=---------+e22'-2ax,则hf(xz)=------+2e2x2r-2a.

4e3λ-2√2sin(x+^)

设0(x)=⅛r(x)，贝(jφ,(x)=------------------------—・

ex

3x

当x∈[0,+8)时，4e..4,2√2sin(x+-,,2λ^),所以“(x)>O.

4

所以奴x)即“(X)在[0,+8)上单调递增,则∕α)..>'(0)=4-2”.

若4,2,则赠'(0)=4-200,所以〃(%)在[0,+8)上单调递增.

所以〃(M>2)..〃(O)=O恒成立，符合题意.

若，则”(0)=4-2αv0,必存在正实数与,满足：当x∈(0,x0)时，"(x)<0,〃(无)单调递减,此时〃(X)V力(O)=O，

不符合题意

综上所述，”的取值范围是(-OO,2].

9.已知函数y=∕(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=∣nx+k,曲线y=∕(χ)在点(1,f(1)

ex

)的切线与X轴平行，T(X)是/(X)的导函数.

(I)求女的值及当XVO时.，函数/(x)的单调区间；

(II)设g(x)=(d+x)∙r(%)对于任意x>0,证明g(x)<l+e~2.

•ex-(IlVC+k).ex

【解答】(I)解：由/(X)=螭¥

得r(X)=------------&-----------

•••八1)=宏=0,

即A:=1.

1

——llnx-ι1

∕,(X)=Λ~~--(x>0),

e

g(x)=L-阮V-1为减函数，且g(I)=0,

X

二.当工£(0,1)时，g(κ)>O,f,(x)>O.

当％∈(l,+oo)时，g(x)<O,f∖x)<0.

∙.f(x)的增区间为(0,1),减区间为(1,+8)；

1_i_Y

(II)证明：g(x)=(x^+x)∙f,(x)=——•(1-xlnx-x).

记〃(X)=I-x∕mx(x>O),

z,2

Λ(x)=-InX-2,令h(x)=O,W∙x=e~f

当x∈(0,∕)∏寸，"(χ)>0,A(x)单调递增；

当x∈(e",+00)时，Zf(X)<0,∕z(x)单调递减.

；・h(x)max=)=1+I,

.,.1-xlnx一天,1+e2.

I-Lyγ

令f(x)=-j-(x>O)，f'(x)=---<0.

eze

：./(x)在(O,-KΛ)上单调递减，

.,.t(x)</(O)=1.

1_1_ɪ

g(x)=——∙(1-xlnx-↑)<l+e^2.

10.已知函数f(x)=e*-ar?,α∈R.

(/)当α=1时，求过点(0,1)且和曲线y=/(x)相切的直线方程；

(2)若函数/(x)在(O,+∞)上有两个不同的零点，求实数α的取值范围.

【解答】解(1)当a=l时，f(x)=ex-x2,f∖x)=ex-Ix,

当点(0,1)为切点时，所求直线的斜率为/'(0)=1，则过点(0,1)且和曲线y=∕(x)相切的直线方程为

X-y+1=O,

当点(0,1)不是切点时，设切点坐标为(⅞,>,0),x0≠O,

则所求直线的斜率为/'(%)=/°-2%,所以*一2XO=比二ɪ,①易知为=小—片，②

⅞

由①②可得/°-2Λ0=--

⅞

Aox0r0

即Xoe—2XQ=e—ɪθ—1,(x0—1)(^—X0-1)=O»

ιSLg(x)=ex-x-∖,则gXx)=e'-l,

所以当x>0时，g'(x)>O,当x<0时，g'(x)vθ,

所以g(χ)=产一X一1在(0,÷x))上单调递增,在(-oo,0)上单调递减,

又g(O)=e°-O-l=O,

所以g(x)=e'-x-∖有唯一的零点x=0,

因为XOX0,所以方程(X(J-I)(*-x°-l)=0的根为%=1,即切点坐标为(l,e-l),

故所求切线的斜率为/(1)=e—2,则过点(0,1)且和曲线y=∕(x)相切的直线方程为(e-2)x-y+l=0,

综上，所求直线的方程为x-y+l=0或(e-2)x-y+l=0,

(2)解法一、/(x)=e'-ax2-e'f1-,令=I-色匚,

Iexe'

因为e*>0,所以函数f(x)的零点就是函数∕z(x)的零点，

当4,0时，Λ(x)>O,∕ι(x)没有零点，所以f(x)没有零点.

当α>0时，〃(X)=丝注二④，当Xe(0,2)时，Λ,(x)<O,当x∈(2,+∞)时，A,(x)>O,

ex

所以〃(X)在(0,2)上单调递减，在(2,-H»)上单调递增，

故Λ(2)=l-⅛是函数∕ι(x)在(0,田)上的最小值，

e^

2

当∕z(2)>0,即a<(,∕7(x)在(0,+∞)上没有零点，即f(x)在(0,田)上没有零点：

当∕z(2)=0,即α=J,∕z(x)在(0,+∞)上只有一个零点，即/(x)在(0,+∞)上只有一个零点；

易知对任意的XGR，都有∕>x,即)>-,所以e">£,即上<1,4X=27o,则空］=乌£<1,

327TlexTleilae27a

3

所以∕z(27α)=l—三/->0,

故h(x)在(2,27a)上有一个零点，

因此〃(X)在(O,E)上有两个不同的零点，即/(X)在(0,+∞)上有两个不同的零点；

2

综上，若函数F(X)在(0,+∞)上有两个不同的零点，则实数α的取值范围是6,+∞).

解法二、由〃X)=O可得，=看，

aex

2

令人(幻=Ξ^-(X∈(0,÷∞)),

e

则函数/(X)在(0,-w)上有两个不同的零点，即直线y=2与函数k{x)的图象在(0,-κo)上有两个不同的交点),

a

k∖x∖=2"X='O，),令人,(χ)=。得X=2,

exex

当X£(0,2)时，⅛,(x)>0,当x∈(2,+∞)时，/(x)vθ,所以A(X)在(0,2)上单调递增，在(2,”)上单调递减,

A

所以k(x)在(0,÷∞)上的最大值为攵(2)=；,

e

因为Ar(O)=O,并且当χ>2时:—>0,

ex

所以当O<L<W时，A(X)在(0,+00)上的图象与直线y=L有两个不同的交点，

aea

即当时，函数ya)在(0,+∞)上有两个不同的零点.

4

所以，若函数f(x)在OM)匕有两个不同的零点，则实数α的取值范围是(U+∞)∙

4

11.已知函数f(x)={x-Y)ex-X2,g(x)=aex-2ax+a2一10(α∈R).

(I)求曲线y=∕(x)在(1,f(I))处的切线方程；

(II)当x>0时，/(x)>g(x)恒成立，求实数。的取值范围.

【解答】解：(1)fXx)=ex+(x-↑)ex-2x,f,(1)=e-2,

f(1)=-1，

所求切线方程为y=(e-2)x+l-e...........(4分)

(∏)令Λ(x)=f(x)-g(x)=(x-a-l)ex-x2÷2ax-a2+Io(X>0)

Λr(x)=ex+(x-a-∖)ex-2x+2a=(x-a)(ex-2)

(D当小O时，x-a>0^OVXV/〃2时，h,(x)<O；x>/〃2时，h,(x)>O

.∙.∕2(x)在(0,加2)上是减函数，在(方2,+oo)上是增函数，\

A(x)..h(ln2)=-a2+(2ln2-2)。-In22+2ln2+8>0

.,.(a-Inl-2)(a-ln2÷4)<O,即/〃2—4<《，O...........(7分)

②当OVaV例2时，h(x)在(OM)上是增函数，在(a,ln2)上是减函数，

在(加2,+8)上是增函数，

要使〃(x)>0,

L.[h(ln2)>O/力'口/..、

则《，解得0<α<∕/2...........(9分)

M(O)..O

③当。=/〃2时，//(%)..O,∕z(x)在(0,+∞)上是增函数，

Λ(0)=9-∕n2-∕n22>0,J⅛⅛_____(10分)

④当α>∕“2时，/?(x)在(0,/〃2)上是增函数,

在(/〃2,a)上是减函数，在(a,”)上是增函数，

要使〃(x)>0,

r.[h(d)>0..,

则1,解τ1得tl加2v4<∕H0

[Λ(0)..0

综上，实数α