广东省深圳市南山区2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷

南山区2023-2024学年第一学期九年级期中考试数学试卷

一.选择题(每题3分，共30分)

1.下列几何体中，左视图是圆的是()

2.人类的性别是由一对性染色体(X,y)决定，当染色体为XY时，是女性；当染色体为XY时，是

男性.如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，如果这位女士怀上了一个小孩，该小孩为女孩的概率是

3.如果关于x的一元二次方程62+2x-1=0有两个不相等的实数根，则。的取值范围是()

A.a>-1B.-1C.as2-1且aWOD.a>-1且aWO

4.如图，四边形是菱形，顶点4C的坐标分别是(0,2),(8,2),点。在x轴的正半轴上，

则顶点8的坐标是()

卜

~~O\DX

A.(4,4)B.(5,4)C.(2,4)D.(4,2)

5.若旦=£=旦=工且6-3d+2/W0,则a-3c+2e的值为()

bdf3b-3d+2f

A.—B.—C.—D.—

6263

6.如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量灯塔的高度,他调整自己的位置，设法使斜边DF保

持水平，边QE与点3在同一直线上.已知直角三角纸板中OE=18c/»,EF=l2cm,测得眼睛。离地

面的高度为18*,他与灯塔的水平距离CD为114〃?，则灯塔的高度是（）

B

A.74.2加B.77.8/nC.79.6mD.79.8m

7.如图，在正方形/3C。中，AB=3,点、E,尸分别在边CD±,NEFD=60°,若将四边形

EBC户沿/'折叠，点9恰好落在/。边上，则的长度为（）

8.若a、6是关于x的一元二次方程f-6x+〃+l=0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4,

则n的值为（）

A.8B.7C.8或7D.9或8

9.下列命题是真命题的是（）

A.四边相等的四边形是正方形

B.物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的

C.如果2a=36,则曳上

b3

D.有一个角为120。的两个等腰三角形相似

10.如图，点尸是边长为我的正方形458的对角线8。上的动点，过点尸分别作PEL5c于点E,

PF工DC于点F,连接力尸并延长，交射线8C于点〃，交射线。C于点连接EF交/〃于点G,

当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①儿0=MC；②4H_LEF；③

A.①③B.②③C.②③④D.②④

二.填空题（每题3分，共15分）

ii.若旦=2,则』=__________________.

abb

12.如图，己知ABHCD"EF,AD：AF=3：5,BC=6,则CE的长为

13.如图，在某校的2023年新年晚会中，舞台的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知

点C是线段上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点”的距离为米.

•---------•----•

ACB

14.对于实数加，n,先定义一种运算"。"如下：m®n='4r当m^n时，，若x®（-2）=10,

n2-4n+n.当m<n时

则实数x的值为.

15.如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，若N8EC=45°且AE=4,ED=2,贝ijAB的长

16.（8分）解下列方程:

⑴/+2x-1=0；(2)(x-2)(x-3)=12.

17.（6分）为全面增强中学生的体质健康，七中育才学校开展“阳光体育活动”，开设了足球、篮球、

乒乓球、羽毛球、排球等球类活动.为了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每

名学生必选且只能选择这五项活动中的一种），根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：

(2)扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是；

(3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生排球比赛，请用列表法或树状图

法分析甲和乙同学同时被选中的概率.

18.(6分)如图，在平面直角坐标系中，点N、点8的坐标分别为(1,3),(3,2).

(1)画出△0/3绕点8顺时针旋转90。后的△◊'A'B；

(2)以点8为位似中心，相似比为2：I,在x轴的上方画出△(?'A'B放大后的△€>"4"B；

(3)点M是。/的中点，在(1)和(2)的条件下，〃的对应点M'的坐标为

19.(8分)如图，己知△/8C中，。是BC边上一点，过点力分别作。E〃/C交/8于点E,作。尸

〃/8交/C于点尸，连接ZD

(1)下列条件：

①。是8c边的中点；②/。是△/BC的角平分线；③点£与点尸关于直线对称.

请从中选择一个能证明四边形AEDF是菱形的条件，并写出证明过程；

(2)若四边形尸是菱形，且/E=4,CF=2,求5E的长.

A

/\

F

BD

20.（8分）“双十一”期间，某网店直接从工厂购进48两款保温杯，进货价和销售价如表：（注:

利润=销售价-进货价）

A款保温杯B款保温杯

进货价（元/个）

销售价（元/个）

（1）若该网店用1540元购进/,8两款保温杯共50个，求两款保温杯分别购进的个数.

（2）“双十一”后，该网店打算把8款保温杯降价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出4个,

经调查发现，每降价1元，平均每天可多售出2个，则将8款保温杯的销售价定为每个多少元时，才

能使B款保温杯平均每天的销售利润为96元？

21.（9分）定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和

谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边.

【概念理解】（1）如图1,四边形/8CD是和谐四边形，对角线/C与8。交于点G,8。是和谐对角

线，是和谐边.①ABCG是三角形.②若，。=4,贝|J8D=；

【问题探究】（2）如图2,四边形Z8C。是矩形，过点8作交。C的延长线于点E,连接/E

交BC于点F,AD=4,AB=k,是否存在实数上,使得四边形/8EC是和谐四边形，若存在，求出力

的值，若不存在，请说明理由；

【应用拓展】（3）如图3,四边形与四边形/5EC都是和谐四边形，其中8D与/E分别是和

谐对角线，与/C分别是和谐边，/8=4,AD=k,请求出人的值.

图1图2怪13

22.（10分）【探究发现】如图1,正方形/BCD的对角线交于点O,E是/。边上一点，作。尸_LOE

交4B于点F.学习小队发现，不论点E在/。边上运动过程中，△/OE与AB。尸恒全等.请你证明

这个结论；

【类比迁移】如图2,矩形月88的对角线交于点。，ZABD=30°,E是以延长线上一点，将OE

绕点。逆时针旋转60°得到OR点尸恰好落在N的延长线上，求空■的值；

AF

【拓展提升】如图3,等腰△NBC中，AB=AC,ZBAC=12OQ,3c=12,点E是8C边上一点，以

8E为边在8c的上方作等边abE凡连接C凡取6的中点连接/〃，当/〃=小时，直接写出

BE的长.

图3

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.下列几何体中，左视图是圆的是（）

【解答】解：/、球的三视图都是圆，符合题意;

8、圆柱的左视图是矩形，不符合题意;

C、圆锥的左视图是等腰三角形，不符合题意;

。、圆台的左视图是等腰梯形，不符合题意;

故选：A.

2.人类的性别是由一对性染色体（X,丫）决定，当染色体为无¥时，是女性；当染色体为XT时，是

男性.如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，如果这位女士怀上了一个小孩，该小孩为女孩的概率是

c

43-iD-i

【解答】解:画树状图如下:

共有4种等可能的结果，其中该小孩为女孩的结果有2种,

*,•该小孩为女孩的概率为

42

故选：C.

丈夫XY

AA

妻子XXXX

3.如果关于x的一元二次方程。/+公-1=0有两个不相等的实数根，则。的取值范围是（）

A.a>-1B.a2-1C.ae-1且aWOD.a>-1且aWO

【解答】解：•.•关于X的一元二次方程加+2x-1=0有两个不相等的实数根,

：.a^0,A=22-4aX(-1)=4+4a>0,

解得：a>-1且aWO,

故选：D.

4.如图，四边形Z8CD是菱形，顶点4C的坐标分别是(0,2),(8,2),点。在x轴的正半轴上,

D.(4,

：四边形/3CD是菱形，

J.ACLBD,AE=EC,BE=DE,

C的坐标分别是(0,2),(8,2),

：.E(4,2),

：.B(4,4).

故选：A.

5.若至=£=旦=工且6-3d+〃W0,则里区@•的值为()

bdf3b-3d+2f

A.—B.—C.—D

626-1

【解答】解：•••3=£=旦=5，

bdf3

:.b=3a,d=3c,f=3e.

.a~3c+2巳a-3c+2ea-3c+2a_1

b-3d+2f3a-9c+63(a-3c+2e)3

故选：D.

6.如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量灯塔的高度，他调整自己的位置，设法使斜边。尸保

持水平，边QE与点8在同一直线上.已知直角三角纸板中DE=18cm,EF=\2cmf测得眼睛。离地

面的高度为1.8〃?，他与灯塔的水平距离8为114〃?，则灯塔的高度力8是()

A.74.2mB.77.8〃？C.79.6mD.798%

【解答】解：在△OEF和△DCS中，

•：2D=ND,NDEF=NDCB=90°,

:.△DEFs^DCB,

.DE=CD

••而一而‘

即殁=生，

12BC

解得：8c=76（加），

V^C=1.8w,

；./8=/C+8c=1.8+76=77.8Cm）,

即步云阁77.8m,

故选：B.

1.如图，在正方形/BCD中，AB=3,点、E,尸分别在边Z8,CD±,NEFD=60°,若将四边形

E8CF沿E尸折叠，点8恰好落在/。边上，则8E的长度为（）

B.&C.V3D.2

【解答】解：；四边形是正方形,

：.AB//CD,N/=90°,

:.NEFD=NBEF=6Q°,

•.•将四边形EBCF沿EF折叠，点、夕恰好落在力。边上,

:./BEF=NFEB'=6Q°,BE=B'E,

：.ZAEB'=ISOQ-NBEF-NFEB'=60°,

E=30°,

：.B'E=2AE,

设BE=x,则B'E=x,AE=3-xf

.'.2(3-x)=xf

解得x=2.

故选：D.

8.若a、6是关于x的一元二次方程x2-6户〃+1=0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、6、4,

则n的值为（）

A.8B.7C.8或7D.9或8

【解答】解：•..等腰三角形三边长分别为a、b、4,

：.a=b,或a、6中有一个数为4.

当a=b时，有/-4ac—（-6）2-4（〃+1）=0,

解得：〃=8；

当a、6中有一个数为4时，有42-6X4+/+l=0,

解得：〃=7,

此时三角形的边长为2,4,4,舍去；

故选：B.

9.下列命题是真命题的是（）

A.四边相等的四边形是正方形

B.物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的

C.如果2a=36,贝卢号

b3

D.有一个角为120°的两个等腰三角形相似

【解答】解：4四边相等的矩形是正方形，故本选项中的命题是假命题，不符合题意；

8、物体在太阳光线照射下影子的方向都是相同的，在灯光的照射下影子的方向与物体的位置有关，

故本选项中的命题是假命题，不符合题意；

C、如果2“=36,则?=•!，故本选项中的命题是假命题，不符合题意；

b2

。、有一个角为120°的等腰三角形底角为30°,所以有一个角为120°的两个等腰三角形一定相似，

故本选项中的命题是真命题，符合题意；

故选：D.

10.如图，点尸是边长为企的正方形”8的对角线3。上的动点，过点尸分别作于点E,

PF_LDC于点、F,连接/P并延长，交射线5C于点，，交射线。C于点M,连接E尸交/〃于点G,

当点P在3。上运动时（不包括8、。两点），以下结论中：①®AH±EF；③//

PH;④跖的最小值是券.其中正确结论是（）

A.①③B.②③C.②③④D.②④

【解答】解：①错误.因为当点P与8。中点重合时，CM=O,显然尸

②正确.连接尸C交"'于0.根据对称性可知ND4P=NOCP,

：四边形PECF是矩形，

：.OF=OC,

:.NOCF=NOFC,

:.NOFC=NDAP,

,：ZDAP+ZAMD=90°,

A^GFM+ZAMD=90°,

：.ZFGM=90°,

：.AHLEF.

③正确.'：AD//BH,

二/DAP=ZH,

■:NDAP=NPCM,

NPCM=NH,

：ZCPM=NHPC,

:.XCPMSXHPC,

.PC_PM

-pc）

:.PC=PM・PH,

根据对称性可知：*PC,

：.R42^PM'PH.

④错误四边形PECr是矩形，

：.EF=PC,

.•.当CPL8Z）时，PC的值最小，此时/、P、C共线，

'：AC=2,

；.PC的最小值为1,

.•.Eb的最小值为1；

故选：B.

二.填空题（共5小题）

m若:曰则呼

【解答】解：•••3=2,

•.•-a--_-3

b2

,ab321

b22

故答案为：-1.

12.如图，已知AB//CDI/EF,AD-.AF=3：5,BC=6,则CE的长为4

【解答】,：AB//CD//EF,

.AD=BC

'*AF-BE'

.3_6

••~，

5BE

：.BE=\O,

：.CE=BE-BC=\O-6=4,

故答案为：4.

13.如图，在某校的2023年新年晚会中，舞台Z5的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知

点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为（10、乐-10）米.

•-----•---•

ACB

【解答】解：•••点C是线段Z3上靠近点8的黄金分割点，/8=20米，

：.AC=20=（10代-10）（米），

故答案为：（10遥-10）.

ni^+in+n,当

14.对于实数m,n,先定义一种运算“③"如下：m®n=<^.2..，若烬（-2）=10,

则实数x的值为二

【解答】解：分两种情况:

当-2时,

Vx0(-2)=10,

.\x2+x-2=10,

x2+x-12=0,

(x+4)(x-3)=0,

x+4=0或x-3=0,

xi=-4(舍去)，X2=3,

当x<-2时，

".'x®(-2)=10,

/.(-2)2+X-2=10,

x=8（舍去）,

综上所述：x=3,

故答案为：3.

15.如图，在矩形/8C。中，点E在/。上，若N5£C=45°且NE=4,EO=2,则Z8的长为_3+\/77.

【解答】解法一：如图，分别以CD为直角边作等腰Rta/IBR和等腰RtZiDCG,

依题意得/尸=NG=/8EC=45°,

:.ZFBE+ZBEF=NCEG+NBEF=135°,

：.ZFBE=ZCEG,

:ABEFSAECG,

.FB=GE

,•而一而‘

即&AB_2+AB

AB+4&AB，

解得48=3WI7或3-JTF(舍去),

：.AB的长为3+717，

故答案为：3-*V17-

解法二：如图，过C作CFJ_8E于尸，过/作尸G_L8C于G,交4D于〃，则/CFE=90°,NECF

=ZCEF=45°,

...△CEE是等腰直角三角形，

:.EF=CF,

又ZEFH+ZCFG=ZFCG+ZCFG=90°,

/EFH=NFCG,

:./\EFHs/\FCG,

•煦=度=更=1

•*FGFCGC'

设EH=x,则FG=x,BG=AH=4-x,HF=GC=DH=x+2,

VRtASCF^,FGLBNG,

:.FG?=BGXCG,

.'.x2—(4-x)X(x+2),

解得X=*2®或X=上平工(舍去)，

22

：.AB=HG=HF+FG=x+2+x=3.K/17.

故答案为：3+717.

三.解答题(共7小题)

16.解下列方程：

(1)x2+2x-1=0；

(2)(x-2)(x-3)=12.

【解答】解：(1)xi=-1+夜，X2=-1—72;

(2)(x-2)(x-3)=12.

整理得，x2-5x-6=0,

(x-6)(x+l)=0,

.,.x-6=0,x+1=0,

解得XI=6,X2=-1.

17.为全面增强中学生的体质健康，七中育才学校开展“阳光体育活动”，开设了足球、篮球、乒乓球、

羽毛球、排球等球类活动.为了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生(每名学生必

选且只能选择这五项活动中的一种)，根据以下统计图提供的信息、，请解答下列问题：

(1)本次被调查的学生有100名；

(2)扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是18°；

(3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生排球比赛，请用列表法或树状图

法分析甲和乙同学同时被选中的概率.

【解答】解：(1)本次被调查的学生人数为30・30%=100(名).

故答案为：100.

(2)扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是360°X岛=18°.

100

故答案为：18。.

(3)画树状图如下：

开始

共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，

，甲和乙同学同时被选中的概率为3=《.

120

18.如图，在平面直角坐标系中，点力、点8的坐标分别为(1,3),(3,2).

(1)画出△043绕点8顺时针旋转90°后的△(?'A'B；

(2)以点8为位似中心，相似比为2：I,在x轴的上方画出a。'A'B放大后的△()"A"B；

⑶点M是。力的中点，在⑴和⑵的条件下，用的对应点M'的坐标为(旦，4)，(2,

------2-2-----------

【解答】解：(1)如图，△<?'，8即为所求;

，历的对应点”的坐标为(5，-1),M"(2,7).

故答案为：(号,当，(2,7).

22

19.如图，已知△/BC中，。是8c边上一点，过点。分别作。£C交Z8于点£,作。尸〃Z8交

4c于点、F,连接，。.

(1)下列条件：

①。是8C边的中点；

②是△ZBC的角平分线；

③点E与点F关于直线AD对称.

请从中选择一个能证明四边形尸是菱形的条件，并写出证明过程；

(2)若四边形NEQF是菱形，且/E=4,CF=2,求BE的长.

【解答】解：(1)选择条件②:

是△/8C的角平分线，

:./EAD=NE4D,

,JDE//AC,DF//AB,

，四边形/EDE是平行四边形，NEAD=NFDA,

:.AF=DF,

.•.平行四边形/万DE是菱形；

选择条件③：

,JDE//AC,DF//AB,

，四边形AFDE是平行四边形，

•.•点E与点/关于直线力。对称，

：.DE=DF,

，平行四边形/EDE是菱形；

（2）.四边形NEDE是菱形，AE=4,

：.AE=AF=DE=4,

：.AC^AF+CF=6,

■:DE//AC,

:.△BDEsgCA,

•.•~BE~DE,

ABAC

:.BE=8.

20.“双十一”期间，某网店直接从工厂购进X,8两款保温杯，进货价和销售价如表：（注：利润=

销售价-进货价）

A款保温杯B款保温杯

进货价（元/个）

销售价（元/个）

（1）若该网店用1540元购进/,8两款保温杯共50个，求两款保温杯分别购进的个数.

（2）“双十一”后，该网店打算把8款保温杯降价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出4个,

经调查发现，每降价1元，平均每天可多售出2个，则将8款保温杯的销售价定为每个多少元时，才

能使B款保温杯平均每天的销售利润为96元？

【解答】解：（1）设购进力款保温杯x个，8款保温杯y个，

依题意得：不旷5。，解得卜=马

]35x+28y=1540ly=30

答：购进/款保温杯20个，8款保温杯30个；

（2）设8款保温杯的销售价定为a元，则每个的销售利润为（a-28）元，

•.•经调查发现，每降价1元，平均每天可多售出2个，

.•.平均每天可售出4+2X里产~=(84-2a)个，

依题意得:(a-28)(84-2a)=96,BPa2-70a+1224=0,

(a-34)(a-36)=0,解得ai=34,cn=36,

答：将B款保温杯的销售价定为每个34元或36元时，才能使B款保温杯平均每天的销售利润为96

元.

21.定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边

形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边.

【概念理解】(1)如图1，四边形是和谐四边形，对角线ZC与8。交于点G,8。是和谐对角

线，是和谐边.①&BCG是等腰三角形.②若/。=4,则BD=8；

【问题探究】(2)如图2,四边形/3CD是矩形，过点8作8E〃4C交。C的延长线于点E,连接/E

交BC于点F,/。=4,AB=k,是否存在实数%,使得四边形/8EC是和谐四边形，若存在，求出左

的值，若不存在，请说明理由；

【应用拓展】(3)如图3,四边形与四边形N8EC都是和谐四边形，其中8。与NE分别是和

谐对角线，X。与/C分别是和谐边，Z8=4,AD=k,请求出％的值.

图1图2图3

【解答】解：(1)①•••四边形是和谐四边形，对角线AC与8。交于点G,8。是和谐对角线,

AD是和谐边,

:.BG=DG=AD=BC,

：.AADG与ABCG是等腰三角形;

：.BD=2AD=S,

故答案为：等腰；8；

(2)存在实数%,使得四边形Z8EC是和谐四边形.理由如下:

当5c=2/8时，四边形/3EC是和谐四边形，

\9BC=AD=4,AB=k,

:・BC=2k,

:・k=2；

当6C=24C时，不满足直角三角形的斜边大于直角边.

当4E=2Z。时，742+(2k)2=2742+k2,无解.

当AE=2AB时，742+(2k)2=2k，无解.

・•"的值为2时，四边形力8EC是和谐四边形；

(3),・,四边形Z3C。是和谐四边形，8。为和谐对角线，4。为和谐边,

：.AD=DGf

；・/DAG=/AGD,

・・,四边形44EC是和谐四边形，4E为和谐对角线，/C为和谐边，

：.AC=AF,

：.ZACF=ZAFC,

-：AD//BC,

：.ZDAG=ZACF,

：.ZDAG=ZAGD=NACF=/AFC,

：.ZADG=ZCAF,

..ADAC

•丽方AE

,ADAC

••—,

BDAE

AADB〜4ACE,

・：AB=CE,

・•・相似比为1,

:4DB义AACE,

：.AC=ADf

作DMLAC于M,如图3所示：

A,

图3

•：AD=DG,

：.AM=GM,

设AM=x,则AG=2x,

.\AC=2AG=AD=4xf

：.CM=3x,

在RtZkZQM中，由勾股定理得：

DM=7AD2-AM2=V15X'

在Rt△。必C中，由勾股定理得：

CD=VDM2<M2=V15X2+9X2=2^，

'：CD=AB^4,

2A/6x=4>

•2476

■・AD=4x=一~—，

O

，AD=kW

o

故答案为：生⑥.

3

22.【探究发现】如图1,正方形Z8C。的对角线交于点O,E是4D边上一点,作。/，0E交于

点凡学习小队发现，不论点E在力。边上运动过程中，△/OE与ABO尸恒全等.请你证明这个结

论；

【类比迁移】如图2,矩形/BCD的对角线交于点。，480=30°,E是A4延长线上一点