指数函数与对数函数的关系反函数

关于指数函数与对数函数的关系反函数问题1：指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,a≠1)有什么关系?对应法则互逆y=axx=logayy=logax指数换对数交换x,y第2页,共25页，2024年2月25日，星期天指数函数y=ax与对数函数x=logay(a>0,a≠1)有什么关系?函数自变量因变量定义域值域y=axxyR(0,+∞)x=logayyx(0,+∞)R称这两个函数互为反函数对应法则互逆指数函数y=ax是对数函数x=logay(a>0,a≠1)的反函数第3页,共25页，2024年2月25日，星期天指数函数y=ax(a>0,a≠1)对数函数y=logax(a>0,a≠1)反函数第4页,共25页，2024年2月25日，星期天第5页,共25页，2024年2月25日，星期天第6页,共25页，2024年2月25日，星期天第7页,共25页，2024年2月25日，星期天第8页,共25页，2024年2月25日，星期天观察在同一坐标系内函数y=log2x与函数y=2x的图像,分析它们之间的关系.函数y=log2x的图像与函数y=2x的图像关于直线y=x对称(1,0)(0,1)Oxyy=log2xy=2xy=xP(a,b)Q(a,b)函数y=f(x)的图像和它的反函数的图像关于直线y=x对称第9页,共25页，2024年2月25日，星期天1．当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。2．对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数，图象关于直线y=x对称。3．函数y＝f(x)的反函数通常用y＝f－1(x)

表示。注意：y＝f－1(x)

读作：“f逆x”表示反函数，不是-1次幂（倒数）的意思第10页,共25页，2024年2月25日，星期天例1写出下列对数函数的反函数:(1)y=lgx;

解(1)对数函数y=lgx,它的底数是它的反函数是指数函数10y=10x(2)对数函数它的底数是它的反函数是指数函数第11页,共25页，2024年2月25日，星期天例2写出下列指数函数的反函数:(1)y=5x

解(1)指数函数y=5x,它的底数是5它的反函数是对数函数y=log5x;(2)指数函数,它的底数是,它的反函数是对数函数

第12页,共25页，2024年2月25日，星期天练习1.说出下列各组函数之间的关系:(1)y=10x和y=lgx；(2)y=2x和y=log2x;(3)y=ex和y=lnx.互为反函数,定义域和值域互换,对应法则互逆第13页,共25页，2024年2月25日，星期天练习2.写出下列对数函数的反函数:(1)y=log2.5x;(2)y=logπx;3.写出下列指数函数的反函数:(1)y=4x;

(2)y=1.4x;(1)y=2.5x(2)y=πx(1)y=log4x(2)y=log1.4x第14页,共25页，2024年2月25日，星期天例3求函数ｙ＝3ｘ－2（ｘ∈R）反函数，并在同一直角坐标系中作出函数及其反函数的图象。解：由ｙ＝3ｘ－2（ｘ∈R

）得所以ｙ＝2ｘ－1（ｘ∈R）的反函数是（ｘ∈R

）ｙ＝3ｘ－2经过两点（0，－2），（2/3，0）

经过两点（－2，0），（0，2/3）做一做第15页,共25页，2024年2月25日，星期天0xyｙ＝3ｘ－2ｙ＝ｘ想一想：函数ｙ＝3ｘ－2的图象和它的反函数

的图象之间有什么关系？第16页,共25页，2024年2月25日，星期天求函数反函数的步骤:3

求原函数的值域1

反解2

x与y互换4

写出反函数及它的定义域第17页,共25页，2024年2月25日，星期天b＝f(a)a＝f－1(b)点（b,a）在反函数y＝f－1(x)的图像上点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上(1,0)(0,1)Oxyy=log2xy=2xy=xP(b,a)Q(a,b)结论:第18页,共25页，2024年2月25日，星期天[例4]函数f(x)＝loga(x－1)(a＞0且a≠1)的反函数的图象经过点(1,4)，求a的值.解:依题意,得b＝f(a)a＝f－1(b)点（b,a）在反函数y＝f－1(x)的图像上点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上第19页,共25页，2024年2月25日，星期天b＝f(a)a＝f－1(b)点（b,a）在反函数y＝f－1(x)的图像上点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上第20页,共25页，2024年2月25日，星期天理论迁移

例4已知函数.（1）求函数f(x)的定义域和值域；（2）求证函数y=f(x)的图象关于直线

y=x对称.

第21页,共25页，2024年2月25日，星期天小结反函数的概念定义域和值域互换对应法则互逆图像关于直线y=x对称指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1)互为反函数第22页,共25页，2024年2月