二重积分的计算

关于二重积分的计算设任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的机动目录上页下页返回结束一、利用直角坐标计算二重积分第2页,共22页，2024年2月25日，星期天同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算机动目录上页下页返回结束第3页,共22页，2024年2月25日，星期天说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则机动目录上页下页返回结束第4页,共22页，2024年2月25日，星期天例1.

计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x

所围的闭区域.解法1.

将D看作X–型区域,则解法2.

将D看作Y–型区域,

则机动目录上页下页返回结束第5页,共22页，2024年2月25日，星期天例2.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线则机动目录上页下页返回结束第6页,共22页，2024年2月25日，星期天例3.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:

由被积函数可知,因此取D为X–型域:先对x

积分不行,说明:

有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.机动目录上页下页返回结束第7页,共22页，2024年2月25日，星期天例4.交换下列积分顺序解:

积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则机动目录上页下页返回结束第8页,共22页，2024年2月25日，星期天性质：设函数D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍在D上在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有机动目录上页下页返回结束第9页,共22页，2024年2月25日，星期天例5.

计算其中D由所围成.解:

令(如图所示)显然,机动目录上页下页返回结束第10页,共22页，2024年2月25日，星期天对应有二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆ρ=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线

=常数,分划区域D为机动目录上页下页返回结束第11页,共22页，2024年2月25日，星期天即机动目录上页下页返回结束第12页,共22页，2024年2月25日，星期天设则特别,对机动目录上页下页返回结束第13页,共22页，2024年2月25日，星期天思考:

下列各图中域D

分别与x,y轴相切于原点,试答:问

的变化范围是什么?(1)(2)机动目录上页下页返回结束第14页,共22页，2024年2月25日，星期天例6.计算其中解:

在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.机动目录上页下页返回结束第15页,共22页，2024年2月25日，星期天例7.

求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:

设由对称性可知机动目录上页下页返回结束第16页,共22页，2024年2月25日，星期天内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:

若积分区域为则

若积分区域为则机动目录上页下页返回结束第17页,共22页，2024年2月25日，星期天则极坐标系情形:若积分区域为机动目录上页下页返回结束第18页,共22页，2024年2月25日，星期天(3)计算步骤及注意事项•

画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便：积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性及其他性质机动目录上页下页返回结束第19页,共22页，2024年2月25日，星期天思考与练习1.设且求提示:交换积分顺序后,x,y互换机动目录上页下页返回结束第20页,共22页，2024年2月25日，星期天解：原式