2023年湖南省湘西初中学业水平数学试题（附答案）

2023年湖南省湘西初中学业水平数学试题

学校:姓名：班级:考号：

一、单选题

1.-2023的相反数是（）

1

A.-2023B.2023C.------D.

20232023

2.今年五一假期，湘西州接待游客160.3万人次，实现旅游收入1673000000元，旅游

复苏形势喜人将1673000000用科学计数法表示为（）

A.16.73xl08B.1.673x10sC.1.673xl09D.1.673xlO10

3.下列运算正确的是()

A.J(-3)2=3B.(3a)2=6a2C.3+夜=3近

D.(a+b)2=a2+b2

4.已知直线ab,将一块直角三角板按如图所示的方式摆放.若4=40。，则N2的

C.140°D.150°

5.某校九年级科技创新兴趣小组的7个成员体重（单位：kg）如下：38,42,35,40,

36,42,75,则这组数据的众数和中位数分别是（）

A.42,36B.42,42C.40,40D.42,40

6.如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，其箭头所指方向为主视方向，则

这个几何体的俗现圉是（）

7-不等式组:二;的解集在数轴上表示正确的是（）

A.<i，-A*

-4-3-2-101234

B.

7-3-2T01234

C.---------1-'，1';।_►

T—3-2TO1234

D.

Y7-2-I01234

8.一个七边形的内角和是（）

A.1080°B.900°C.720°D.540°

23

9.如图，点A在函数y=*（x>0）的图象上，点8在函数y=^（x>0）的图象上，且

xx

轴，BCLx轴于点C,则四边形ABC。的面积为（）

---------------O------------------->

0CX

A.1B.2C.3D.4

10.如图，AB为。的直径，点P在AB的延长线上，RC,PD与。相切，切点分

别为C,D.若A8=10,PC=12,则sin/C4。等于（）

试卷第2页，共6页

二、填空题

11.在实数3,-2,3，2中，最小的实数是.

12.若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

13.分解因式：2X2-2=

14.在一个不透明的袋中装有5个白球和2个红球，它们除颜色不同外，其余均相同现

从袋中随机摸出一个小球，则摸到红球的概率是.

15.在平面直角坐标系中，已知点P（a,l）与点Q（2㈤关于x轴对称，则a+8=.

16.已知一元二次方程x?-4x+机=0的一个根为占=1.则另一个根％=

17.如图，在矩形A8CO中，点E在边8C上，点F是AE的中点，AB=8,AD=DE=10,

则BF的长为

18.如图，。是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4.过点B作8ELAC于点E,

点P为线段BE上一动点（点尸不与B,E重合），则+尸的最小值为.

三、解答题

19.计算：（兀+2023）°+2sin45°-（g）+2—2卜

20.先化简，再求值：其中a=0-l.

Ia-\）a-1

21.某校计划开展以弘扬“文化自信”为主题的系列才艺展示活动，要求每位学生从绘画、

合唱、朗诵、书法中自主选择其中一项参加活动为此，学校从全体学生中随机抽取了部

分学生进行同卷调查，根据统计的数据，绘制/如下图所示的条形统计图和扇形统计图

(部分信息未给出).

请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：

(1)该校此次调查共抽取了名学生；

(2)在扇形统计图中，“书法”部分所对应的圆心角的度数为.

(3)请补全条形统计图(画图后标注相应的数据)；

(4)若该校共有2000名学生，请根据此次调查结果，估计该校参加朗诵的学生人数.

22.如图，四边形ABC。是平行四边形，BMDN,且分别交对角线AC于点M,N,

连接MD8N.

(1)求证：ZDMN=ZBNM；

(2)若N8AC=/D4C.求证：四边形即〃W是菱形.

23.如图(1)所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上食堂离小明家0.6km,图

书馆离小明家0.8km.小明从家出发，匀速步行了8min去食堂吃早餐；吃完早餐后接

着匀速步行了3min去图书馆读报；读完报以后接着匀速步行了l()min回到家图(2)

反映了这个过程中，小明离家的距离)'与时间x之间的对应关系.

请根据相关信息解答下列问题:

⑴填空：

试卷第4页，共6页

①食堂离图书馆的距离为km：

②小明从图书馆回家的平均速度是km/min；

③小明读报所用的时间为min.

2

④小明离开家的距离为3km时，小明离开家的时间为min.

（2）当0VxW28时，请直接写出＞关于x的函数解析式.

24.2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成

本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者

的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电

器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台8种品牌小电器，共需要65元销售

一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元.

（1）求购买1台A种品牌小电器和1台8种品牌小电器各需要多少元？

（2）甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150

台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围.

（3）在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少

于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最

大利润是多少？

25.如图，点D,E在以AC为直径的。上，/ADC的平分线交。于点B,连接54,

EC,EA,过点E作垂足为H,交AO于点?

(1)求证：AE2=AFADi

(2)若sinNAB。=学,AB=5,求的长.

26.如图（1）,二次函数y=a?-5x+c的图像与x轴交于A（Y,0）,Bp,0）两点，与y

轴交于点C（0,T）.

图⑵

(1)求二次函数的解析式和6的值.

(2)在二次函数位于X轴上方的图像上是否存在点使S谶wngsapc?若存在，请

求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

⑶如图(2),作点A关于原点。的对称点E,连接CE,作以CE为直径的圆.点£是

圆在x轴上方圆弧上的动点(点E'不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以

重合),平移线段AE，使点E移动到点E',线段AE的对应线段为AE',连接EC,

AA的延长线交直线£C于点N,求勺的值.

试卷第6页，共6页

参考答案:

I.B

【分析】根据相反数的定义直接求解即可.

【详解】解：-2023的相反数是2023,

故选：B.

【点睛】本题考查相反数的求解，理解相反数的定义是解题关键.

2.C

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为axlO",其中141al<10,"为整数，且

“比原来的整数位数少1,据此判断即可.

【详解】解：1673000000=1.673xlO9,

故选：C.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlO”的形式，其中

1<1«1<10,〃为整数，表示时关键要正确确定“的值以及〃的值.

3.A

【分析】根据二次根式的性质、积的乘方、合并同类项法则、完全平方公式进行化简计算即

可.

【详解】解：A.而尸=3,原计算正确，符合题意；

B.（3a）2=9a2,原计算错误，不符合题意；

C.3与血不是同类二次根式，不可以合并，原计算错误，不符合题意；

D.（a+b^=a2+2ab+b2,原计算错误，不符合题意;

故选：A.

【点睛】本题考查了二次根式的性质、积的乘方、合并同类项法则、完全平方公式，掌握相

关性质与法则是解题的关键.

4.C

【分析】由。b,Zl=40°,得N3=40。，进而得到N2的度数.

【详解】b,Zl=40°,

/.Z3=Z1=4O°.

VZ3+Z2=180°,

・•・Z2=180°-40°=140°.

答案第1页，共18页

故选c.

【点睛】本题主要考查平行线的性质和邻补角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键.

5.D

【分析】根据众数是出现次数最多的数据，以及中位数是将数据排序后，位于中间位置的数

据为中位数进行求解即可.

【详解】解：出现次数最多的数据为42,

二众数为42,

排序后，位于中间位置的数据为40,

...中位数为40；

故选D.

【点睛】本题考查求众数和中位数.熟练掌握众数和中位数的确定方法是解题的关键.

6.C

【分析】根据俯视图是从上往下看，得到的图形，进行判断即可.

【点睛】本题考查三视图.熟练掌握三视图的确定方法，是解题的关键.

7.A

【分析】分别求出每一个不等式的解集,确定不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可.

【详解】解：由x-l<2,得：x<3；

由1—x<4,得：x>—3；

不等式组的解集为：-3<x<3；

在数轴上表示如下：

4-3-2-I01234

答案第2页，共18页

故选A.

【点睛】本题考查求不等式组的解集，并在数轴上表示出解集.解题的关键是正确的求出每

一个不等式的解集.

8.B

【分析】根据多边形的内角和公式(〃-。列式计算即可得解.

【详解】解：(7-2)x180°=900°

.故选B.

【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，熟记内角和公式是解题的关键.

9.B

【分析】延长附交y轴于点。，根据反比例函数％值的几何意义得到s△皿>=92=1,

S矩形0C5Q=3,根据四边形ABC。的面积等于S矩形0c8。-SADO,即可得解.

【详解】解：延长胡交y轴于点。，

/.D4_Ly轴，

2

•.•点A在函数y=-(1>0)的图象上，

x

=/2=1,

3

・・・8。，工轴于点。，轴，点8在函数y=—(x>0)的图象上,

x

••S矩形0cso=3,

**•四边形ABCO的面积等于S矩形gjo-SADO=3-1=2；

故选B.

【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用.熟练掌握反比例函数中z的几何意义,

答案第3页，共18页

是解题的关键.

10.D

【分析】连接。C、OD.CD,CD交小于E,如图，利用切线的性质和切线长定理得到

OCYCP,PC=PD,OP平分NCPD,根据等腰三角形的性质得到OPJ.CD,则

NCOB=NDOB,根据圆周角定理得到NC4O=《NCOO,所以NCOB=NC4O,然后求出

sin/COP即可.

【详解】解：连接。。、OD、CD,CD交PA于E,如图，

PC,PO与CO相切，切点分别为C,D,

:.OCLCP,PC=PD,OP平分NC。。，

..OPLCD,

•二CB=DB，

:"COB=/DOB,

ZCAD=-ZCOD,

2

:"COB=/CAD,

•.・AB=10,

:.AO=OC=OB=5,

・.・oc=5,pc=n

・••在RtOCP中，。0=JaF+PC?=6+122=13,

PC12

sinZCOP=—=—

OP13

.■.sinZC4D=—

13

故选：D.

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理和

解直角三角形.

答案第4页，共18页

11.-2

【分析】根据负数小于。小于正数，即可得出结果.

【详解】解：

...最小的实数是-2；

故答案为：-2

【点睛】本题考查实数比较大小.熟练掌握负数小于0小于正数，是解题的关键.

12.x>5

【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解.

【详解】解：由二次根式5/ST二正在实数范围内有意义可得：

2x-10>0，

解得：x>5；

故答案为x25.

【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关

键.

13.2（x-

【分析】先提公因式再利用平方差公式法进行因式分解即可.

22

【详解】解：2X-2=2（X-1）=2（X-1）（X+1）;

故答案为：2（x-l）（x+l）.

【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键.

14.1

【分析】用红球个数除以白球与红球数量之和即可.

【详解】解：摸到红球的概率为2黑=：2.

答案为：--

【点睛】本题考查概率的计算，掌握简单概率计算公式是解题的关键.概率=所求情况数与

总情况数之比.

15.1

【分析】根据题意可知点尸（。,1）与点Q（2,b）的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此回答

答案第5页，共18页

问题即可.

【详解】解：.•点尸（。,1）与点。（2力）关于x轴对称,

•・•点尸（4,1）与点Q（2,"）的横坐标相同，纵坐标互为相反数，

•**a=2,0+b=,

解得人=—1,

a+b=\，

故答案为：1.

【点睛】本题主要考查关于x轴对称的两点，属于基础题，明白关于x轴对称的点横坐标相

同，纵坐标互为相反数是解题关键.

16.3

【分析】根据根与系数的关系得：/+1=4,求出即可.

【详解】解：则根据根与系数的关系得：x,+l=--=4,

a

解得：x?=3,

即方程的另一个根为3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是

解此题的关键，注意：当玉和巧是一元二次方程江+云+。=0（°、b、c为常数，。20）的两

"bc

个根时，那么X1+w=,X,-Xj=—.

aa

17.2A/5

【分析】利用矩形的性质和勾股定理求出CE,进而求出8E,然后在RtAABE中利用勾股

定理求出AE,最后利用直角三角形斜边中线的性质即可求解.

【详解】解：在矩形A3C。中，AB=S,AD=DE=IO,

：.ZABC=ZC=（X）°,BC=AD=W,AB=CD=8,

•*-CE=yjDE2-CD2=6>

BE=BC-CE=4,

答案第6页，共18页

•*-AE=dAB。+BE2=46，

,:氤二是AE的中点,

BF=[AE=2君.

2

故答案为：2石.

【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是

灵活运用所学知识解决问题

18.6

【分析】过点P作即，4?，连接CO并延长交A3于点F,连接AO,根据等边三角形的性

质和圆内接三角形的性质得到。4=03=4,CF1AB,然后利用含30。角直角三角形的性

质得到OE=，OA=2,进而求出BE=8O+EO=6,然后利用C尸+』B尸=C尸+P。4C尸代

22

入求解即可.

【详解】如图所示，过点P作叨_LA8,连接CO并延长交AB于点F,连接AO

♦.」ABC是等边三角形，BEVAC

：.ZABE=ZCBE=-ZABC=30°

2

。是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4

.•.04=03=4,CFJ.AB,

：.ZOBA=ZOAB=30°

：.NOAE=ZOAB=-NBAC=30°

2

BELAC

：.OE=-OA^2

2

BE=BO+EO=6

VPD±AB,ZABE=30°

答案第7页，共18页

PD=LPB

2

，CP+-BP=CP+PD<CF

2

CP+:8尸的最小值为CF的长度

2

ABC是等边三角形，BELAC,CF1AB

:.CF=BE=6

••.CP+』BP的最小值为6.

故答案为：6.

【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含30。角直角三角形的性质

等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点.

19.1

【分析】先计算零次累，特殊角的正弦值，负指数累，求解绝对值，再合并即可.

【详解】解：(jr+2023)(，+2sin45o-f!'|+|>/2-2|

=l+2x—-2+2-V2

2

=1+72-2+2-72

=1.

【点睛】本题考查实数的运算，实数的相关运算法则是基础也是重要知识点，必须熟练掌握，

同时考查了特殊角的三角函数值，零次基的含义，熟练掌握零次累，特殊角的正弦值以及负

指数嘉的运算法则是解题的关键.

20.<2+1>>/2

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形,

约分得到最简结果，最后把。的值代入计算即可.

【详解】解：+jr[

Ia-\)a-1

+1(Q+1)(〃-1)

a-\a

_a(〃+1)(〃一1)

a-\a

=a+\

当〃=血-1时，原式=0-1+1=a・

答案第8页，共18页

【点睛】本题考查了分式的化筒求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

21.(1)200；

(2)36°；

(3)见解析；

(4)该校参加朗诵的学生有800名.

【分析XI)根据选择合唱的人数除以所占的百分比，可以计算出本次调查共抽取的学生数;

(2)用360。乘以“书法”部分的百分比即可得解;

(3)根据(1)的结果及图中的数据可以计算出朗诵的人数，从而可以将条形统计图补充完

整.

(4)用2000乘以朗诵人数所占百分比即可得解.

【详解】(1)解：该校此次调查共抽取的学生数为：76+38%=200(名),

故答案为:200：

20

(2)解：“书法”部分所对应的圆心角的度数为：360°X—=36°,

绘回

QH

(4)解：2000x——=800(名)，

200

答：该校参加朗诵的学生有800名.

【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图

中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统

计图直接反映部分占总体的百分比大小，利用数形相结合的思想是解题的关键.

22.(1)见解析

答案第9页，共18页

(2)见解析

【分析】(1)连接80,交AC于点。，证明△3QW也△OQV,推出四边形为平行

四边形，得到BNDM,即可得证；

(2)先证明四边形A8C0是菱形，得到AC/5O,进而得到MV_L3O,即可得证.

【详解】(1)证明：连接8。，交AC于点。，

・・・四边形ABCQ是平行四边形，

：.OB=OD,

・.・BMDN,

:./MBO=NNDO,

又4BOM=/DON,

:.4BOM9ADON,

:.BM=DN,

・・・四边形为平行四边形，

:.BNDM,

:,ZDMN=4BNM、

(2)•・,四边形A3CQ是平行四边形,

・・・BC//AD,

:.ZBCA=ZDACf

ABAC=ZDACf

：.ZBAC=ZBCA,

：.AB=BC,

・・・四边形ABCQ是菱形，

:.AC1BD,

：.MN工BD,

答案第1()页，共18页

平行四边形BMDN是菱形.

【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质.熟练掌握相关知识点，是

解题的关键.

179

23.（1）①0.2；②0.08；③30；④26或亍.

—x（0<x<8）

⑵y=<0.6（8<x<25）

L*（254X428）

（1515''

【分析】（1）①由图象中的数据，可以直接写出食堂离小明家的距离和小明从家到食堂用

的时间；②根据图象中的数据，用路程除以时间即可得解；③用58减去28即可得解；④设

2一

小明离开家的距离为5km时•，小明离开家的时间为xmin,分小明去时和小明返回时两种情

况构造一元一次方程求解即可；

（2）根据图象中的数据，利用待定系数法分别求出当04x48、8<x<25和254x428时

三段对应的函数解析式即可.

【详解】（1）解：①0.8-0.6=0.2（km）,

.♦•小食堂离图书馆的距离为0.2km,

故答案为：0.2；

②根据题意，68-58-10（min）

AQ

•••小明从图书馆回家的平均速度是希=0O8km/min,

故答案为:0.08；

③58-28=30（min）,

故答案为：30；

2

④设小明离开家的距离为3km时，小明离开家的时间为xmin,

2

当去时，小明离开家的距离为耳km时，

2

*.*—km>0.6km,

3

2

•••小明到食堂时，小明离开家的距离为不足3km,

答案第II页，共18页

由题意得尹0.6=若”(*-25),

解得x=26,

29

当返回时，离家的距离为5km时，根据题意，得]=。.08(68-力,

179

解得“二行-g。)；

故答案为：26或1手79.

(2)解：设04工48时>=履，

・・・>="过(8,0.6),

0.6=8k,

3

解得而，

•••04x48时>x,

由图可知，当8Vx<25时y=0.6,

设254x428时，y=nvc+n,

；。=侬+〃过(25,0.6),(28,0.8),

0.6=25m+n

0.8=28/H+n

解得

3

—x(O<x<8)

40''

综上所述，当04x428时，V关于x的函数解析式为y=(0.6(8<x<25).

—x-—(25<x<28)

[1515v'

【点睛】本题考查函数的图象、一元一次方程的应用以及待定系数法求一次函数的解析式,

解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

24.(1)A、8型品牌小电器每台进价分别为15元、20元

(2)30<a<50

(3)A型30台，B型120台,最大利润是570元.

答案第12页，共18页

【分析】（1）列方程组即可求出两种风扇的进价，

（2）列一元一次不等式组求出取值范围即可，

（3）再求出利润和自变量之间的函数关系式，根据函数的增减性确定当自变量为何值时,

利润最大，由关系式求出最大利润.

【详解】（1）设A、8型品牌小电器每台的进价分别为x元、y元，根据题意得：

f2x+3y=90[x=15

[工）内，解得：的，

[3x+y=65[y=20

答：A、B型品牌小电器每台进价分别为15元、20元.

（2）设购进A型品牌小电器“台

15a+20(150-a)<2850

由题意得:

15a+20(150-a)>2750

解得304a450,

答：购进A种品牌小电器数量的取值范围304aV50.

（3）设获利为w元，由题意得：w=3a+4（150-a）=-a+600,

•••所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元

，-a+6002565

解得：a<35

30<a<35

.w随。的增大而减小，

二当。=30台时获利最大，w最大=-30+600=570元，

答：A型30台，B型120台，最大利润是570元.

【点睛】考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组解法和应用以及一次函数的图象和

性质等知识，搞清这些知识之间的相互联系是解决问题的前提和必要条件.

25.（1）见解析

（2）AD=2痴

【分析】（1）先证明NADEnNAEH,再利用两角分别相等的两个三角形相似证明

EAF^.DAE,利用相似三角形的性质即可求证；

答案第13页，共18页

(2)先利用勾股定理求出AC,再利用WD=ZACD和正弦值即可求出AO.

【详解】(1)连接EO,

•.*EH1.AC,

：.NEAH+ZAEH=琳,

•・,AC是直径，

AZA£C=90°,

・・・ZEAH+ZACE=90°9

ZACE=ZAEH9

:.ZADE=ZAEH,

又・・・NE4F=ZmE,

A.EAF^DAE,

.AEAF

•・茄一正‘

：♦AE2=AFAD；

(2)如图,连接BC,

•・・/AD。的平分线交。于点B,

ZA£)B=ZBDC,

：•AB=BC，

：.AB=BC,

・・・AC是直径，

/.ZABC=ZADC=90°,

2fc

VsinZABD=^y-,AB=5,ZABD=ZACD

答案第14页，共18页

•*-AC=A/52+52=5A/2，=sinZ.A.CD=sinZABD=，

AD=2M.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正弦函数、圆周角定理的推论和勾股定理等

知识，学生应理解与掌握正弦的定义、两角分别相等的两个三角形相似和相似三角形的对应

边成比例、圆周角定理的推论，即同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角

等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

26.(l)y=-x2-5x-4,b=-\

(2)不存在，理由见解析

(3)1

【分析】(1)将点A,C的坐标代入y=a^-5x+c得到二元一次方程组求解可得。，c的

值，可确定二次函数的解析式，再令，=0,解关于x的一元二次方程可得点B的坐标，从而

确定b的值；

(2)不存在.设加(利-病—5加—4),根据%。”=夕5「可得京+5优+8=0,根据

A=52-4X8=-7<0,可确定方程无实数根，即可作出判断；

(3)根据对称的性质和点的坐标可得OE=Q4=OC=4,根据等腰三角形的性质及判定可

WZOAC=ZOCA=45°=ZOCE=ZOEC,AC=EC,再根据CE为圆的直径，可得

NCE£=90。，然后分两种情况：①当点E与点。不重合时，由平移的性质可