新高考数学复习 数列中的通项公式（教师版）

专题38数列中的通项公式

一、题型选讲

题型一、由与s“的关系求通项公式

例1、(2020届山东省烟台市高三上期末)已知数列｛4｝的前〃项和S“满足2s“=(〃+l)a.("eN*),且

q=2.

求数列｛6,｝的通项公式；

【解析】因为2与=(〃+1)%,“62,

所以2s,+|=(〃+2)a„+1,〃eN*,

两式相减得2aliM=(〃+2)a“+]-(〃+l)a„,

整理得nan+l=(〃+l)a“，

即&L=",〃eN*,所以[巴4为常数列，

n+1n[nJ

所以殳=幺=2,

n1

所以a“=2〃

例2、(2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末)己知等比数列｛a,J满足成等差数列，且

%%=%；等差数列也｝的前〃项和5„=(〃+1)署2%.求：

⑴瓦；

【解析】设｛4｝的公比为。.

因为4,小，9-4成等差数列，

所以2%=4+3.4)，即2。2=。3・

因为华工0，所以4=」=2.

因为4%=44，所以4=£=4=2.

因此％=%q"T=2".

由题意，s,=(〃+i)U=妇也

所以4=*=1,

bt+b2=S2=3,从而b2=2.

所以｛4｝的公差d="一4=2-1=1.

所以2=4+—l)d=1+(〃-1)•1=〃.

例3、(2020届山东省德州市高三上期末)已知数列｛q｝的前〃项和为S.,且%>0,4s“=a；+2”“.求

数列｛%｝的通项公式；

【解析】当〃=1时，4q=a；+2q,整理得a：=2%,a]>0,解得q=2；

当〃N2时，4S“=a：+2a“①，可得4S“_]+2a，―②，

①一②得4an=a；,-a"2an-2%,即(屋-<1)-2(a„+%)=0,

化简得(a„+%)(4-%-2)=0,

因为a“>0,.•.a“+a“T>0,所以a“—a“_|=2,

从而｛%｝是以2为首项，公差为2的等差数列，所以q=2+2(〃-1)=2〃；

题型二、由Q,用与〃“的递推关系求通项公式

例3、【2019年高考全国H卷理数】已知数列｛4｝和/｝满足a=1,例0,4a„+l=3an-bn+4,

4%=3〃-。“-4.

(1)证明：｛&+"｝是等比数列，｛&-&｝是等差数列；

(2)求｛&｝和伉｝的通项公式.

【解析】⑴由题设得4(。向+bn+l)=2(an+b„),即an+｝+"用=1(4+2).

乂因为国+”=1,所以｛牝+2｝是首项为1,公比为;的等比数列.

由题设得4（%->+1）=4（%-2）+8,即4+i-〃+2.

又因为a-4=1,所以｛4一包｝是首项为1,公差为2的等差数列.

⑵由⑴知，&+勿=击，an-hn=2n-\.

所以4=g【（4+么）+（4，—2）］=£+〃_（，

%=：K4+%）—（。“一么）］=J-.

例4、（2020届山东省德州市高三上期末）对于数列｛4｝,规定｛4/“｝为数列｛4｝的一阶差分数列，其中

△%=M+「4（"eN"）,对自然数人小之2）,规定｛整4｝为数列｛4｝的上阶差分数列,其中

2

N%=△“&川一/-4.若弓=1,且A«„-Aa„+1+an=-T（nGN*）,则数列｛《,｝的通项公式为（）

2/,_|

A.an=nx.2〃TB.an=nx2

C.=（〃+1）X2”2D.4〃=（2〃—1）X2"T

【答案】B

【解析】根据题中定义可得△%"一瓯"+i+=（原用一△«„）-△a“+i+%=-2"（neN*）,

a

即n-M,=4,一（4用一4）=24—一=一2"，即a„+1=2an+2",

等式两边同时除以2用，得需=务+:，二需一务=<且g=:，

22222222

所以，数列［袅］是以，为首项，以L为公差的等差数列，，%=」+!（〃-1）=已，

［2"J222"22'，2

因此，an=n-2''-'.

故选：B.

例5、【2019年高考天津卷理数】设｛4｝是等差数列，｛2｝是等比数列.已知

a｝—4,/?!=6也=2%—2也=2a§+4.

（I）求｛q｝和也｝的通项公式；

1.<yk+l

（II）设数列｛%｝满足q=l,c"=<'k'其中々GN*.

(i)求数列｛%，，卜2”-1)｝的通项公式;

64=6+2d,

【解析】(1)设等差数列｛%｝的公差为。，等比数列｛2｝的公比为q.依题意得<

6q~=12+4d,

,I<7=3,

得《故。〃=4+(〃—1)x3=3〃+1,勿=6x2"-=3x2".

q=2,

所以，｛4｝的通项公式为。〃=3〃+1,｛〃｝的通项公式为2=3x2〃.

nn

(2)(i)a2„(c2„-l)=a2„(bn-1)=(3x2"+l)(3x2-l)=9x4-1.

所以，数列｛。2“(。2,-1)｝的通项公式为％“卜2”-1)=9X4"—1.

题型三、新定义题型中通项公式的求法

例6、【2020年高考江苏】已知数列｛%｝(〃eN*)的首项团=1,前〃项和为S.设4与4是常数，若对一

切正整数〃，均有［成立，则称此数列为“八〜*'数列.

°/:+1-一

(1)若等差数列｛/｝是“4-1”数列，求4的值；

(2)若数列｛%｝是“4~2”数列，且%>0,求数列｛%｝的通项公式；

【解析】⑴因为等差数列｛6,｝是“入〜1”数列,则Sn+l-Sn=4+i,即%=--,

也即(2-=0,此式对一切正整数〃均成立.

若则4+1=0恒成立，故”3-a2=0，而

这与｛4｝是等差数列矛盾.

所以；1=1.(此时，任意首项为1的等差数列都是“1〜1”数列)

(2)因为数列｛/｝5eN*)是“与~2”数歹U，

"斤以JS“+i-厄=亭疯^，即K+i-庖=^js,+「s”.

因为4>0,所以S.M>S”>0,则屋T=g,包T.

S.,3

令、学=〃，则y1=乌亚丁,即收一1)2=；断一1)电>1).

V，33

解得b,=2,即假，=2,也即率=4,

所以数列｛S“｝是公比为4的等比数列.

因为耳=2,所以S—I贝"%(1(〃=―1),

例7、【2019年高考北京卷理数】已知数列｛4｝,从中选取第力项、第7项、…、第九项(水水“3,

若%<%<••<”,则称新数列%，%'…，q”为｛4｝的长度为0的递增子列.规定：数列｛&｝的任

意一项都是｛a｝的长度为1的递增子列.

(1)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列；

(2)己知数列｛a｝的长度为p的递增子列的末项的最小值为。恤，长度为q的递增子列的末项的最小值

为a1to.若Kg求证：<%；

(3)设无穷数列｛a｝的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若｛a｝的长度为s的递增子列末项的最

小值为2s-1,且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2'7个(畀1,2,…)，求数列｛aj的通项公式.

【解析】(1)1,3,5,6.(答案不唯一)

(2)设长度为q末项为4no的一个递增子列为4,

由p<q,得%

因为｛q｝的长度为O的递增子列末项的最小值为%」

又％,可,,,,4是｛q｝的长度为0的递增子列，

所以a,,“<a,

所以<4•

(3)由题设知，所有正奇数都是｛4｝中的项.

先证明：若2m是｛4｝中的项，则2勿必排在221之前(以为正整数).

假设2/洲F在2mT之后.

设ap,ap,,ap,2m-l是数列｛凡｝的长度为加末项为2片1的递增子列，则

api,ap2,,apn,2m-1,2m是数列｛4｝的长度为小1末项为2〃的递增子列.与已知矛盾.

再证明：所有正偶数都是｛a,,｝中的项.

假设存在正偶数不是｛q｝中的项，设不在｛qj中的最小的正偶数为2加

因为24排在2"T之前"1,2,…，mT）,所以2A和2左-1不可能在｛4｝的同个递增子列中.

又｛叫中不超过2/1的数为1,2,…，2m22柿，2相，所以｛4｝的长度为加1且末项为2相的递增

子列个数至多为2x2x2x2<2xlxl=2m-'<2m.

（〃L1）个

与已知矛盾.

最后证明：2屈•非在2z»T之后（山22为整数）.

假设存在2成卬22）,使得2渊F在2加T之前，则｛4｝的长度为且末项为2加1的递增子列的个数小于2"'.

与已知矛盾.

综上,数列｛叫只可能为2,1,4,3,2/0-3,2m,2M….

经验证，数列2,1,4,3,…，2/77-3,2m,2z»T,…符合条件.

「何+1,”为奇数，

所以4=4,位/由幼

〃一为偶数.

二、达标训练

<、[2n<5.、

1、（2020届浙江省温州市高三4月二模）己知数列｛4｝满足：4=｛,,（〃eN*））若正

⑼生an_｝—1,H..D

整数%（左之5）使得。；+a；+…+a；=4的…为成立，则左=（）

A.16B.17C.18D.19

【答案】B

【解析】当〃26时，4+]=q%即=。〃+1-%+1，且。6=31.

故+%-+…+a；=（%一"）+（4—%）+-+（%+]一凡）+九—5=4+]—%—5,

a「+?+…+4=4+i+左一16=q+]+1,故攵=17.

故选：B.

2、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）设数列｛%｝的前〃项和为S〃，且S〃=/-"+l,在正项等比

数列也｝中4=%，"=%.求｛4｝和｛我｝的通项公式;

【解析】当〃=1时，/=号=1,

当〃22时，%=S“-S,i

=(H2-H+1)-[(/?-1)2-(/?-1)+!]

2〃一2,

15=1)

2n-2(〃>2)

所以％=2,a=8

4

H一2或4=一2（舍）

所以b“=%V=2"7•

3、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知数列｛4｝,也｝满足：见+|+1=2%+〃也一4=2.

（1）证明数列也｝是等比数列，并求数列也｝的通项；

【解析】证明：因为“一见=〃，

所以〃.

因为4什1=24+〃-1

所以。“+1+（"+1）=2（。“+〃）

所以仇+i=2〃.

又4=2,

所以｛bn｝是首项为瓦=2,公比为2的等比数列，

所以2=2X2"T=2".

4、（2020•山东省淄博实验中学高三上期末）已知数列｛%｝的各项均为正数，对任意“cN*，它的前〃项

和S“满足5“=”“+1)(%+2),并且电，%，为｛凡｝的通项公式；

【解析】•・•对任意〃£N"有S〃=：(a〃+l)(a〃+2),①

・二当。=1时，有S]=4=—(弓+1)(4+2),解得q=l或2.

当〃N2时，有S,i=为“t+1)(%+2).②

①-②并整理得(q,+«„-,)(«„-«n-i-3)=0.

而数列｛4｝的各项均为正数，；.an-an_x=3.

"1%=1时，a”=1+3("-1)=3"-2,

此时片=生。9成立：

当4=2时，a“=2+3("-1)=3〃-1,此时编二的名，不成立，舍去.

二a“=3〃-2,〃eN”.

5、(2020届山东师范大学附中高三月考)设等差数列｛4｝前〃项和为S“，满足S4=4S2，%=17.

(1)求数列｛4｝的通项公式;

b.b、b1

(2)设数列｛4｝满足,+一+…+N=1-懑，求数列仍“｝的通项公式

a\a2an2

【解析】(1)设等差数列｛%｝首项为q，公差为d.

4q+6d=8q+4dq=1

由已知得,,解得《

=17d=2

于是4=1+2(〃-1)=2〃一1.

4।11

(2)当九=1时，—=1--=T.

a,22

bn..IXZ1I、I

当〃n2时，7=a—吩)一(1一F=环

一当〃=1时上式也成立.

,b1

于是—n二—

%2"

…12〃一1

故a=诞

6、（2020•浙江温州中学3月高考模拟）已知各项均为正数的数列｛《,｝的前〃项和为s“，且4=1,

a”=7^+JS“T（〃eN*,且）求数列｛%｝的通项公式；

【解析】由。“=£+瓦，得，一5,1=后+瓦，即底一瓦=1（〃之2）,

所以数列｛后｝是以店=府=1为首项，以1为公差的等差数列，

所以V^T=l+（〃-1）x1=〃，即S“=〃2,

当”之2时，an=Sn-S,I=2〃-1,

当〃=1时，q=S=l,也满足上式，所以-

7、【2019年高考浙江卷】设等差数列仅“｝的前〃项和为S,，％=4，%=S3,数列｛〃｝满足：对每个

«eN*,S„+b„,S„+I+bn,Sn+2+bn成等比数列•

（1）求数列他］｛b｝的通项公式；

【解析】（1）设数列｛%｝的公差为必由题意得

q+2〃=4,0+31=34+3d,

解得q=O,d=2.

从而an-2n-2,neN".

所以S“=-〃，n6N*,

由S„+d，S“M+bn,Sn+2+一成