人教版七年级数学易错题讲解及答案

人教版七年级数学易错题讲解及答案

初一数学易错题汇总

第一章有理数易错题练习

一.判断

⑴a与-a必有一个是负数.

⑵在数轴上，与原点0相距5个单位长度的点所表示的数是

5.

⑶在数轴上，A点表示+1,与A点距离3个单位长度的点

所表示的数是4.

⑷在数轴的原点左侧且到原点的距离等于6个单位长度的点

所表示的数的绝对值是-6.⑸绝对值小于4.5而大于3的

整数是3、4.(7)如果-x=-(-11),那么x=-11.

(8)如果四个有理数相乘，积为负数，那么负因数个数是1

个.⑼若0,a二则

0a

b

三⑩绝对值等于本身的数是1.二.填空题

⑴若la-=a-1,则a的取值范围是：.

⑵式子3-5|x|的最值是.

⑶在数轴上的A、B两点分别表示的数为-1和-15,则线段

AB的中点表示的数是.⑷水平数轴上的一个数表示的点

向右平移6个单位长度得到它的相反数，这个数是.

⑸在数轴上的A、B两点分别表示的数为5和7,将A、B两

点同时向左平移相同的单位长度，得到的两个新的点表示的

数互为相反数，则需向左平移个单位长度.

(6)已知|a|=5,|b|=3,|a+b|=a+b,则a—b的

值为；如果|a+b|=-a-b,则a-b的值为.

⑺化简-IJi-3|=.⑻如果a<b<0,那么

lalb

.⑼在数轴上表示数-113的点和表示152

-的点之间的距离为：.

⑩1

lab?

=-,则a、b的关系是.(11)若ab<0,b

c

<0,则ac0.

⑫一个数的倒数的绝对值等于这个数的相反数，这个数是.

三.解答题

⑴已知a、b互为倒数，-c与

2

d

互为相反数，且|x|=4,求2ab-2c+d+3x的值.

⑵数a、b在数轴上的对应点如图，化简：|a-b|+|b-a

I+IbI-Ia-|a||.

⑶已知Ia+5|=1,|b-2|=3,求a-b的值.⑷若|a|=4,

Ib|=2,且|a+b|=a+b,求a-b的值.

⑸把下列各式先改写成省略括号的和的形式，再求出各式的

值.①(一7)-(-4)-(+9)+(+2)-(-5)；②(-5)-(+

7)-(-6)+4.

⑹改错(用红笔，只改动横线上的部分)：⑺比较4a和-4a

的大小

①已知5.0362=25.36,那么50.362=253.6,

0.050362=0.02536；②已知7.4273=409.7,那么

74.273=4097,0.074273=0.04097；③已知3.412=11.63,

那么(34.1)2=116300；④近似数2.40X104精确到百分位,

它的有效数字是2,4；⑤已知5.4953=165.9,x3=0.0001659,

则x=0.5495.⑻在交换季节之际，商家将两种商品同时售

出，甲商品售价1500元，盈利25%,乙商品售价1500元，

但亏损25%,问：商家是盈利还是亏本？盈利，盈了多少？亏本，

亏了多少元？⑼若x、y是有理数，且|xx=0,|y|+y=0,

IyI>|x|,化简|x|-|y|-|x+y⑩已知abedWO,试

说明ac、-ad、be、bd中至少有一个取正值，并且至少

有一个取负值.(11)已知a四.计算下列各题：

⑴(-42.75)X(-27.36)-(-72.64)X(+42.75)⑵

12133344??-—+—???(3)7

7(35)9

(4)523120001999400016342????-+-++-??????⑸

221.430.57()33?-?-(6)6

(5)(6)()5

••

⑺91n8

X18(8)-15X124-6X5(9)242

21(10.5)2(3)37?--?+-—??⑩-24-(-2)4

(11)33(32)32-?+?

有理数•易错题练习

一.多种情况的问题(考虑问题要全面)

(1)已知一个数的绝对值是3,这个数为；此题用

符号表示：已知

,3=x贝4x=；,5=-x贝Ix=；

(2)绝对值不大于4的负整数是；(3)绝对值小于

4.5而大于3的整数是

⑷在数轴上，与原点相距5个单位长度的点所表示的数是

(5)在数轴上，A点表示+1,与A点距离3个单位长度的点

所表示的数是;

(6)平方得4

1

2的数是；此题用符号表示：已知,4

1

22=

x则x=；(7)若|a|二|b|,则a,b的关系是;

(8)若|a|二4,|b|=2,且|a+b|=a+b,求a—b的值.

二.特值法帮你解决含字母的问题(此方法只适用于选择、

填空)

有理数中的字母表示，从三类数中各取1——2个特值代入

检验，

做出正确的选择

(1)若a是负数，贝1a_a；a一是一个

数；

(2)已知

,XX-二贝|X满足；若,XX=则X满足；

若X=-X,

x满足;若=一,2aa化简；

⑶有理数a、b在数轴上的对应的位置如图所示：则()

A.a+b<0

B.a+b>0；

C.a—b=0

D.a—b>0(4)如果a、b互为倒数，c、d互为相

反数，且，

3=m,则代数式2ab-(c+d)

+m2=o(5)若abWO,则

b

b

aa+

的值为;(注意0没有倒数，不能做除数)在有理

数的乘除乘方中字母带入的数多为1,0,-1,进行检验(6)

一个数的平方是1,则这个数为;用符号表示为：

若,12

=x贝］

x=;

一个数的立方是-1,则这个数为;倒数等于它自身

的数为;三.一些易错的概念

-1

1

a

b

正数0

负数

(1)在有理数集合里，最大的负数，最

小的正数，绝对值最小的有理数.

⑵在数轴的原点左侧且到原点的距离等于6个单位长度的

点所表示的数的绝对值是.

(3)|a-11+|b+2|=0,贝Ua=;b=;(属于

“0+0=0”型)(4)下列代数式中，值一定是正数的是()

A.x2B.|—x+11C.(—x)2+2D.—x2+1

(5)现规定一种新运算“*”：a*b=ba,如3*2=23=9,

则(21

)*3=()

⑹判断：(注意0的问题)①0除以任何数都得0；()②

任何一个数的平方都是正数，()③a的倒数是

a

1

.()④两个相反的数相除商为T.()⑤0除以任何数都

得0.()⑥有理数a的平方与它的立方相等，那么a=l；

四.比较大小

3--(-4)-3.14-

兀65-

8

7-五.易错计算①6

1

)3161(12?-+-②

75.04.34

3

53.075.053.1?-?+?-

③-22-(1-51X0.2)4-(-2)3@(6

7

12743-+)X(-60)

⑤()8

1

4203

3

-4--⑥()()2010201111—-⑦

()25332301-4-???

??+—

六.应用题

1.某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出

售，如果以每套儿童

服装55元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负

数，记录如下：+2,-3,+2,+1,-2,-1,0,-2.(单位:

元)

(1)当他卖完这八套儿童服装后是盈利还是亏损？

(2)盈利(或亏损)了多少钱？

2.某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋

的质量是否符合标准，

为450克，则抽样检测的总质量是多少？

有理数-易错题整理

1.填空：

(1)当a时，a与一a必有一个是负数；

⑵在数轴上，与原点0相距5个单位长度的点所表示的数

是;

(3)在数轴上，A点表示+1,与A点距离3个单位长度的点

所表示的数是;

⑷在数轴的原点左侧且到原点的距离等于6个单位长度的

点所表示的数的绝对值是

2.用“有"、“没有”填空：

在有理数集合里，最大的负数，最小的正

数，绝对值最小的有理数.

3.用“都是”、“都不是”、“不都是”填空：

(1)所有的整数负整数；

(2)小学里学过的数正数；

(3)带有“+”号的数正数；

(4)有理数的绝对值正数；

⑸若|a|+|b|=0,贝Ua,b零；

(6)比负数大的数正数.

4.用“一定”、“不一定”、“一定不”填空：

(D-a是负数；

⑵当a>b时，有

⑶在数轴上的任意两点，距原点较近的点所表示的数

大于距原点较远的点所表示的数；

(4)|x|+|y|是正数；

⑸一个数大于它的相反数；

⑹一个数小于或等于它的绝对值；

5.把下列各数从小到大，用“V”号连接：

并用“>”连接起来.

8.填空：

(1)如果一x二—(—n),那么x=；

⑵绝对值不大于4的负整数是；

(3)绝对值小于4.5而大于3的整数是.

9.根据所给的条件列出代数式：

(Da,b两数之和除a,b两数绝对值之和；

(2)a与b的相反数的和乘以a,b两数差的绝对值；

(3)一个分数的分母是x,分子比分母的相反数大6；

(4)x,y两数和的相反数乘以x,y两数和的绝对值.

10.代数式一|x|的意义是什么？

11.用适当的符号(＞、＜、三、W)填空：

(1)若a是负数，则a—a；

⑵若a是负数，则一a0；

(3)如果a＞0,且那么ab.

12.写出绝对值不大于2的整数.

13.由|x|二a能推出x=±a吗？

14.由|a|二|b|一定能得出a=b吗?

15.绝对值小于5的偶数是几？

16.用代数式表示：比a的相反数大H的数.

17.用语言叙述代数式：一a—3.

18.算式-3+5—7+2—9如何读？

19.把下列各式先改写成省略括号的和的形式，再求出各式

的值.

(1)(—7)—(—4)—(+9)+(+2)—(—5)；

(2)(—5)—(+7)—(—6)+4.

20.判断下列各题是否计算正确：如有错误请加以改正；

(2)5-|-5|=10；

21.用适当的符号(>、<、三、W)填空：

(1)若b为负数，贝Ua+ba；

(2)若a>0,b<0,贝Ua—b0；

(3)若a为负数，贝13—a3.

22.若a为有理数，求a的相反数与a的绝对值的和.23.若

|a|=4,|b|=2,且|a+b|=a+b,求a—b的值.24.列式并

计算：一7与一15的绝对值的和.

25.用简便方法计算：

26.用“都”、“不都”、“都不”填空:

(1)如果abWO,那么a,b为零；

(2)如果ab>0,且a+b>0,那么a,b为正数；

⑶如果abVO,且a+b(O,那么a,b为负数；

(4)如果ab=O,且a+b=O,那么a,b为零.

27.填空：

(3)a,b为有理数，则一ab是;

(4)a,b互为相反数，则(a+b)a是.

28.填空：

⑴如果四个有理数相乘，积为负数，那么负因数个数是

29.用简便方法计算：

30.比较4a和一4a的大小：

31.计算下列各题：

(5)-15X124-6X5.

34.下列叙述是否正确？若不正确，改正过来.

⑴平方等于16的数是(±4)2；

(2)(—2)3的相反数是一23；

35.计算下列各题；

(1)-0.752；(2)2X32.

36.已知n为自然数，用“一定”、“不一定”或“一定不”

填空：

(1)(―l)n+2是负数；

(2)(-l)2n+l是负数；

(3)(―l)n+(―l)n+l是零.

37.下列各题中的横线处所填写的内容是否正确？若有误，

改正过来.

(1)有理数a的四次早是正数，那么a的奇数次早是负数；

⑵有理数a与它的立方相等，那么a=l；

⑶有理数a的平方与它的立方相等，那么a=0；

(4)若|a|=3,那么a3=9；

⑸若x2=9,且xVO,那么x3=27.

38.用“一定”、“不一定”或“一定不”填空：

⑴有理数的平方是正数；

⑵一个负数的偶次黑大于这个数的相反数；

⑶小于1的数的平方小于原数；(4)一个数的立

方小于它的平方.39.计算下列各题：

(1)(-3X2)3+3X23；(2)-24-(-2)4-4；(3)-24-(-

4)-2；

第三章整式加减易做易错题选

例1下列说法正确的是()A.b的指数是0B.b没有

系数C.—3是一次单项式D.—3是单项式

分析：正确答案应选D。这道题主要是考查学生对单项式的

次数和系数的理解。选A或B的同学忽略了b的指数或系

数1都可以省略不写，选C的同学则没有理解单项式的次数

是指字母的指数。

例2多项式267632234-+—xyxyxx的次数是()

A.15次

B.6次

C.5次

D.4次

分析：易错答A、B、D。这是由于没有理解多项式的次数

的意义造成的。正确答案应选CO

例3下列式子中正确的是（）A.527abab+=

B.770abba-二

C.45222xyxyxy-=-

D.3582

3

5

XXX十二

分析：易错答Co许多同学做题时由于马虎，看见字母相同

就误以为是同类项，轻易地就上当，学习中务必要引起重视。

正确答案选Bo

例4把多项式35242

3

xxx+--按x的降累排列后，它的第三项为（）A.—4

B.4x

C.-4x

D.-23

x

分析：易错答B和D。选B的同学是用加法交换律按x的

降基排列时没有连同“符号”考虑在内，选D的同学则完全

没有理解降累排列的意义。正确答案应选Co例5整式

--[0]abc去括号应为（）

A.一+abc

B.-+-abc

C.-++abc

D.—-abc分析：易错答A、D、C。原因有：（1）没有

正确理解去括号法则；（2）没有正确运用去括号的顺序是从

里到外，从小括号到中括号。

例6当女取（）时，多项式xkxyyxy22

331

3

8一+

一中不含xy项

A.0

B.

13

C.

19

D.

19

分析：这道题首先要对同类项作出正确的判断，然后进行合

并。合并后不含xy项（即缺xy项）的意义是xy项的系数

为0,从而正确求解。正确答案应选Co

例7若A与B都是二次多项式，则A-B：（1）一定是二

次式；（2）可能是四次式；（3）可能是一次式；（4）可能是

非零常数；（5）不可能是零。上述结论中，不正确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

分析：易错答A、C、D。解这道题时，尽量从每一个结论

的反面入手。如果能够举出反例即可说明原结论不成立，从

而得以正确的求解。例8在（）（）［（）］［（）］abcabcaa

-++-=+-的括号内填入的代数式是

（）

A.cbcb一,

B.bcbc++,

C.bcbc+-,

D.cbcb-+,

分析：易错答Do添后一个括号里的代数式时，括号前添的

是“一”号，那么bc、-这两项都要变号，正确的是Ao

例9求加上一35a等于22

aa+的多项式是多少？错解：2352

aaa++-

=+-2452aa

这道题解错的原因在哪里呢？分析：错误的原因在第一步,

它没有把减数（-35a）看成一个整体，而是拆开来解。正

解：（）（）2352a,aaH---

=+++=++235245

22

aaaaa

答：这个多项式是2452

aa++

例10化简-++-323132222

（）（）abbabb错解:原式=-++-323132

2

2

2

abbabb=-112

b

分析：错误的原因在第一步应用乘法分配律时，22

b这一■项漏乘了一3o正解：原式二—363132

2

2

2

abbabb=-192

b巩固练习

1.下列整式中，不是同类项的是（）

A.313

2

2

xyyx和一

B.1与一2

C.mn2

与3102

2

?nm

D.

131

3

22abba与2.下列式子中，二次三项式是（）A

1

3222

2x

xyy++B.xx2

2-C.xxyy222-+

D.43+-xy

3.下列说法正确的是（）A.35a-的项是35a和

B.

ac

aa

bb+++82322与是多项式C.32233xyxyz++是三次多项

式D.xxyx

818161

++禾口

都是整式4.一xx合并同类项得（）

A.-2x

B.0

C.-22

x

D.-2

5.下列运算正确的是（）A.322

2

2

aaa——

B.3212

2

aa-=

C.3322

aa-=

D.3222

aaa-=

6.()abc-+的相反数是()A.()abc+-

B.()abc--

C.()-+-abc

D.()abc++

7.一个多项式减去xy3

3

2-等于xy3

3

+,求这个多项式。

参考答案1.D2.C

3.B

4.A

5.A

6.C

7.23

3

xy-

初一数学因式分解易错题

例1.18x3y-21

xy3错解:原式=)36(2

12

2yx-

分析：提取公因式后，括号里能分解的要继续分解。

正解：原式二

21

xy(36x2-y2)=2

1

xy(6x+y)(6x-y)

例2.3m2n(m-2n)[]

)2(62nmmn一错解:原式=3mn(m-2n)(m-2n)分析：

相同的公因式要写成嘉的形式。正解：原式=3mn(m-2n)

(m-2n)=3mn(m-2n)2

例3.2x+x+

41错解:原式二)14

1

21（41++xx

分析：系数为2的x提出公因数

41后，系数变为8,并非2

1

;同理，系数为1的x的系数应变为4。

正解：原式二

）148（41

++xx=）112（41

+x

例4.4

12

++xx

错解:原式=）141

41（412++xx

=2

）12

l（41+x

分析：系数为1的x提出公因数

41后，系数变为4,并非4

lo正解：原式二

）144（41

2++xx=2

)12(4

1+x

例5.6x()2

yx-+3()3

xy-

错解：原式=3

()01]xxyxy22+-+-

分析：3()3

xy-表示三个()xy-相乘，故括号中2)(xy-与)(xy-

之间应用乘号而非加号。正解：原式=6x()2

xy-+()2

xy-=3()2

xy-()[]xyx-+2

=3()

2

xy-()yx+

例6.()8422

~+xx错解:原式=()口2

42-+x

=02

2-x

分析：8并非4的平方，且完全平方公式中b的系数一定为

正数。正解：原式=()2

2+x—4(x+2)

=(x+2)()[]42-+x=(x+2)(x-2)例7.()()2

2

3597nmnm一十

错解:原式=()0口2

3597nmnm一+

=02

122nm+

分析：题目中两二次单项式的底数不同，不可直接加减。正

解：原式=()()[]()()[]nnnmnmnm35973597一+-++

=()()nmnm122612++=12(2m+n)(m+6n)

例8.14

-a

错解:原式=012

2

-a

=(a2+1)(a2-1)

分析：分解因式时应注意是否化到最简。正解：原式=()

12

2

-a

=(a2+1)(a2—1)=(a2+1)(a+1)(a—1)

例9.()()142

-+-+yxyx

错解：原式二(x+y)(x+y—4)

分析：题目中两单项式底数不同，不可直接加减。正解:

原式=0()442

++—+yxyX

=02

2-+yx

例10.181624+-Xx错解:原式二()2

214-x

分析：分解因式时应注意是否化到最简。正解：原式=(

)

2

214-x=()()[]2

1212-+xx

=0()2

2

1212-+xx

因式分解错题

例1.81(a-b)2-16(a+b)2错解：81(a-b)2T6(a+b)

2=(a-b)2(81-16)=65(a-b)2

分析：做题前仔细分析题目，看有没有公式，此题运用平方

差公式正解：81(a-b)2-16(a+b)2=[9(a-b)]2

[4(a+b)]2

=[9(a-b)+4(a+b)][9(a-b)-4(a+b)]=(9a-9b+4a+4b)

(9a-9b-4a-4b)=(13a-5b)(5a-13b)例2.x4-x2错

解：x4-x2

=(x2)2-x2

=(x2+x)(x2-x)

分析：括号里能继续分解的要继续分解正解：x4-x2

=(x2)2-x2

=(x2+x)(x2-x)

=(x2+x)(x+1)(x-1)例3.a4-2a2b2+b4错解：a

4-2a2b2+b4

=(a2)2-2Xa2b2+(b2)2=(a2+b2)2

分析：仔细看清题目，不难发现这儿可以运用完全平方公式，

括号里能继续分解的要继续分解正解：a4-2a2b2+b4

=(a2)2-2Xa2b2+(b2)2=(a2+b2)2

=(a-b)2(a+b)2例4.(a2-a)2-(aT)2错解：

(a2_a)2-(a-l)2

=[(a2_a)+(a-l)][(a2_a)—(a-l)]=(a2~a+a~l)

(a2_a_a_l)=(a2-1)(a2_2a_l)

分析：做题前仔细分析题目，看有没有公式，此题运用平方

差公式，去括号要变号，括号里能继续分解的要继续分解正

解：(a2_a)2~(a-1)2

=[(a2_a)+(a-l)][(a2_a)-(a_l)]=(a2_a+a_l)

(a2_a_a_l)=(a2-1)(a2_2a+l)=(a+1)(a-l)3

例5.21

x2y3-2x2+3xy2

错解：21

x2y3-2x2+3xy2

=21xy(x2y3-x+2

3

y)

分析：多项式中系数是分数时，通常把分数提取出来，使括

号内各项的系数是整数，还要注意分数的运算

正解:21

x2y3-2x2+3xy2

二2

1

xy(x2y3-4x+6y)

例6.-15a2b3+6a2b2-3a2b错解：-15a2b3+6a2b2-3a

2b

=-(15a2b3-6a2b2+3a2b)

=-(3a2bX5b2-3a2bX2b+3a2bX1)

=-3a2b(5b2-2b)

分析：多项式首项是负的，一般要提出负号，如果提取的公

因式与多项式中的某项相同，那么提取后多项式中的这一项

剩下“1”，结果中的“1”不能漏些

正解：-15a2b3+6a2b2-3a2b

=-(15a2b3-6a2b2+3a2b)

=-(3a2bX5b2-3a2bX2b+3a2bX1)

=-3a2b(5b2-2b+l)

例7.m2(a-2)+m(2-a)

错解：m2(a-2)+m(2-a)

=m2(a-2)-m(a-2)

=(a-2)(m2-m)

分析：当多项式中有相同的整体(多项式)时，不要把它拆

开，提取公因式是把它整体提出来，有的还需要作适当变形,

括号里能继续分解的要继续分解

正解：m2(a-2)+m(2-a)

=m2(a-2)-m(a-2)

=(a-2)(m2-m)

=m(a-2)(m-1)

例8.a2-16

错解:a2-16

=(a+4)(a+4)

分析：要熟练的掌握平方差公式

正解:a2T6

=(a-4)(a+4)

例9.-4x2+9

错解：-4x2+9

=-(4x2+32)

分析：加括号要变符号

正解：-4x2+9

=-[(2x)2-32]

=-(2x+3)(2x-3)

=(3+2x)(3-2x)

例10.(m+n)2~4n2

错解:(m+n)2~4n2

=(m+n)2Xl-4Xn2

=(x+y)2(1-n)

分析：做题前仔细分析题目，看有没有公式，此题运用平方

差公式

正解:(m+n)2-4n2

=(m+n)2-(2n2)

二](m+n)+2n][(m+n)-2n]

=[m+n+2n][m+n-2n]

=(m+3n)(m-n)

因式分解错题

例1.a2~6a+9

错解:a2-6a+9

=a2-2X3Xa+32

=(a+3)2

分析：完全平方公式括号里的符号根据2倍多项式的符号来

定正解：a2-6a+9

=a2-2X3Xa+32

=(a-3)2

例2.4m2+n2-4mn

错解：4m2+n2-4mn

二(2m+n)2

分析：要先将位置调换，才能再利用完全平方公式

正解：4m2+n2-4mn

=4m2-4mn+n2

=(2m)2-2X2mn+n2

=(2m-n)2

例3.(a+2b)2-10(a+2b)+25

错解:(a+2b)2-10(a+2b)+25

=(a+2b)2-10(a+2b)+52

=(a+2b+5)2

分析：要把a+2b看成一个整体，再运用完全平方公式

正解：(a+2b)2-10(a+2b)+25

=(a+2b)2-2X5X(a+2b)+52

=(a+2b-5)2

例4.2x2-32

错解:2x2-32

=2(x2-16)

分析：要先提取2,在运用平方差公式括号里能继续分解的

要继续分解

正解:2x2-32

=2(x-16)

=2(x2+4)(x2-4)

=2(x2+4)(x+2)(x-2)

例5.(x2-x)2-(x-1)2

错解:(x2-x)2-(x-1)2

=[(x21x)+(x-1)][(x2-x)-(x-1)]

=(x2-x+xT)(x2-x-x-l)

=(x2-l)(x2-2xT)

分析：做题前仔细分析题目，看有没有公式，此题运用平方

差公式，去括号要变号，括号里能继续分解的要继续分解

正解：(x2-x)2-(x-1)2

=[(x21x)+(x-1)][(x21x)-(xT)]

=(x2-x+xT)(x2-x-x-l)

=(x2-l)(x2-2x+l)

=(x+1)(x-1)3

例6.-2a2b2+ab3+a3b

错解：-2a2b2+ab3+a3b

=-ab(-2ab+b2+a2)

=-ab(a-b)2

分析：先提公因式才能再用完全平方公式

正解：-2a2b2+ab3+a3b

=-(2a2b2-ab3-a3b)

=-(abX2ab-abXb2-abXa2)

=-ab(2ab-b2-a2)

=ab(b2+a2-2ab)

=ab(a-b)2

例7.24a(a-b)2-18(a-b)3

错解:24a(a-b)2-18(a-b)3

=(a-b)2[24a-18(a-b)]

=(a-b)2(24a-18a+18b)

分析：把a-b看做一个整体再继续分解

正解：24a(a-b)2T8a-b)

=6(a-b)2X4a-6(a-b)2X3(a-b)

=6(a-b)2[4a-3(a-b)]

二6(a-b)2(4a-3a+3b)

=6(a-b)2(a+3b)

例8.(x-1)(x-3)+1

错解:(x-1)(x-3)+1

=x2+4x+3+l

=x2+4x+4

=(x+2)2

分析：无法直接分解时，可先乘开再分解

正解：(x-1)(x-3)+1

=x2-4x+3+l

=x2-4x+4

=(x-2)2

例9.2(a-b)3+8(b-a)

错解：2(a-b)3+8(b-a)

=2(b-a)3+8(b-a)

=2(b-a)[(b-a)2+4]

分析：要先找出公因式再进行因式分解

正解：2(a~b)3+8(b-a)

=2(a-b)3-8(a-b)

=2(a-b)X(a-b)2-2(a-b)

=2(a-b)[(a-b)2-4]

=2(a-b)(a-b+2)(a_b-2)

例10.(x+y)2-4(x+y-1)

错解:(x+y)2-4(x+y-1)

=(x+y)2-(4x-4y+4)

=(x2+2xy+y2)-(4x-4y+4)

分析：无法直接分解时，要仔细观察，找出特点，再进行分

解正解:(x+y)2-4(x+y-1)

=(x+y)2-4(x+y)+4

=(x+y-2)2

因式分解错题

例1.-8m+2n13

错解：-8m+2n13

=-2mX4+(-2m)X(-m2)

=-2m(4-m2)

分析：这道题错在于没有把它继续分解完，很多同学都疏忽

大意了，在完成到这

一步时都认为已经做完，便不再仔细审题了

正解：-8m+2ni3

=-2mX4+(-2m)X(-m2)

=-2m(4-m2)

=-2m(2+m)(2-m)

例2.-x2y+4xy-5y

错解：-x2y+4xy-5y

=yX(-x2)+4xXy-5xXy

=y(-x2+4x-5)

分析：括号里的负号需要提到外面，这道题就因为一开始的

提取公因式混乱，才会有后面的y(-x2+4x-5)没有提负号。

正解：-x2y+4xy-5y

=-yXx2+(-4x)X(-y)-(-5x)X(-y)

=-y(x2-4x+5)

例3.m2(a-3)+m(3-a)

错解：m2(a-3)+m(3-a)

=m2(a-3)-m(a-3)

=(m2-m)(a-3)

分析：括号里还能提取公因式的要全部提取出来

正解：m2(a-3)+m(3-a)

=m2(a-3)-m(a-3)

=(m2-m)(a-3)

=m(m-1)(a-3)

例4.5ax+5bx+3ay+3by

错解：=5(ax+bx)+3(ay+by)

分析：系数不一样一样可以做分组分解，把5ax和5bx看成

整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解

出。

正解：5ax+5bx+3ay+3by

=5x(a+b)+3y(a+b)

=(5x+3y)(a+b)

例5.-xy3+x3y

错解：-xy3+x3y

=-xyXy2+(-xy)X(-x2)

=-xy(y21x2)

分析：括号里能继续分解的要继续分解

正解：-xy3+x3y

二-xyXy2+(-xy)X(-x2)=-xy(y2-x2)

=-xy(x-y)(x+y)例6.(x+y)2~4Cx-y)2错解:

(x+y)2-4(x-y)2

=(x+y)2X1-4X(x-y)2=(x+y)2(1-4)=-3(x+y)

2

分析：做题前仔细分析题目，看有没有公式，此题运用平方

差公式正解：(x+y)2~4(x-y)2

=(x+y)2-[2(x-y)2]

二](x+y)+2(x-y)][(x+y)-2(x-y)]

=[x+y+2x-2y][x+y-2x+2y]=(3x-y)(3y-x)例7.x2

(a-1)+4(1-a)错解：x2(aT)+4(l-a)=x2

(a-1)-4(a-1)=(a-1)(x2-4)

分析：括号里能继续分解的要继续分解正解：x2(a-1)

+4(1-a)=x2(a-1)-4(aT)=(a-1)(x2-4)=

(a-1)(x-4)(x+4)例8.4(x+1)2-9错解:4(x+1)2-9

=4(x+1)2-8-1=4X(x+1)2-4X2-4X4

1=4[(x+1)2-2-4

1]=4(x2+2x-4

5)分析：做题前仔细分析题目，看有没有公式，此题运用

平方差公式正解：4(x+1)2-9=[2(x+1)]2-32

=[2(x+1)+3][2(x+1)-3]=[2x+2+3][2x+2-3]=(2x+5)

(2x-l)

例9.x(x+y)(x-y)-x(x+y)2

错解：x(x+y)(x-y)-x(x+y)2

=x(x2-y2)-x(x+y)2

=x(x2-y2-x2~2xy-y2)

=x(~2y2~2xy)

=-x(2y2+2xy)

分析：提取公因式错误，要仔细看题，准确找出公因式

正解：x(x+y)(x-y)-x(x+y)2

=x(x+y)(x-y)-x(x+y)(x+y)

=x(x+y)[(x-y)-(x+y)]

=~2xy(x+y)

例10.(x2-2)2-14(x2-2)2+49

错解：(x2-2)2-14(x2-2)2+49

=(x2-2)2-2X7(x2-2)2+72

=(x2+5)2

分析：仔细看清题目，不难发现这儿可以运用完全平方公式

正解：(x2-2)2-14(x2-2)2+49

=(x2-2)2-2X7(x2-2)2+72

=(x2-9)2

=(x-3)2(x+3)2

第五章《一元一次方程》查漏补缺题

供题：宁波七中杨慧

一、解方程和方程的解的易错题

一元一次方程的解法：

重点：等式的性质，同类项的概念及正确合并同类项，各种

情形的一元一次方程的解法；难点：准确运用等式的性质进

行方程同解变形(即进行移项，去分母，去括号，系数化一

等步骤的符号问题，遗漏问题)；

学习要点评述：对初学的同学来讲，解一元一次方程的方法

很容易掌握，但此处有点类似于前面的有理数混合运算，每

个题都感觉会做，但就是不能保证全对。从而在学习时一方

面要反复关注方程变形的法则依据，用法则指导变形步骤,

另一方面还需不断关注易错点和追求计算过程的简捷。

易错范例分析：

例1.

(1)下列结论中正确的是()

A.在等式3a-6=3b+5的两边都除以3,可得等式a-2=b+5

B.在等式7x=5x+3的两边都减去x-3,可以得等式6x_3=4x+6

C.在等式-5=0.lx的两边都除以0.1,可以得等式x=0.5

D.如果-2=x,那么x=_2

(2)解方程20-3x=5,移项后正确的是O

A.-3x=5+20

B.20-5=3x

C.3x=5-20

D.-3x=-5-20

⑶解方程-x=-30,系数化为1正确的是()

A.-x=30

B.x=-30

C.x=30

D.

(4)解方程，下列变形较简便的是()

A.方程两边都乘以20,得4(5x-120)=140

B.方程两边都除以，得

C.去括号，得x-24=7

D.方程整理，得

解析：

(1)正确选项Do方程同解变形的理论依据一为数的运算法

则，运算性质；一为等式性质(1)、

(2)、(3),通常都用后者，性质中的关键词是“两边都”和

“同一个”，即对等式变形必须两边

同时进行加或减或乘或除以，不可漏掉一边、一项，并且加

减乘或除以的数或式完全相同。选项A错误，原因是没有将

“等号”右边的每一项都除以3；选项B错误，原因是左边

减去x-3时，应写作“-(x-3)”而不“-x-3”，这里有一个

去括号的问题；C亦错误，原因是思维跳跃短路，一边记着

是除以而到另一边变为乘以了，对一般象这样小数的除法可

以运用有理数运算法则变成乘以其倒数较为简捷，选项D正

确，这恰好是等式性质③对称性即a=bb=ao

(2)正确选项Bo解方程的“移项”步骤其实质就是在“等

式的两边同加或减同一个数或式”性质①，运用该性质且化

简后恰相当于将等式一边的一项变号后移到另一边，简单概

括就成了“移项”步骤，此外最易错的就是“变号”的问题，

如此题选项A、C、D均出错在此处。解决这类易错点的办法

是：或记牢移项过程中的符号法则，操作此步骤时就予以关

注；或明析其原理，移项就是两边同加或减该项的相反数,

使该项原所在的这边不再含该项----即代数和为Oo

(3)正确选项C。选项B、D错误的原因虽为计算出错，但细

究原因都是在变形时，法则等式性质指导变形意识淡，造成

思维短路所致。

(4)等式性质及方程同解变形的法则虽精炼，但也很宏观，

具体到每一个题还需视题目的具体特点灵活运用，解一道题

目我们不光追求解出，还应有些简捷意识，如此处的选项A、

B、D所提供方法虽然都是可行方法，但与选项C相比，都显

得繁。

例2.

(1)若式子3nxm+2y4和-mx5yn-1能够合并成一项，试求

m+n的值。

⑵下列合并错误的个数是()

①5x6+8x6=13x12②3a+2b=5ab③8y2-3丫2=5④6anb2n-6a2n

bn=0

(A)l个⑻2个(C)3个(D)4个

解析：

(1)3nxm+2y4和-mx5yn-1能够合并，则说明它们是同类项,

即所含字母相同，且相同字母的指数也相同。此题两式均各

含三个字母n、x、y和m、x、y,若把m、n分别看成2个字

母，则此题显然与概念题设不合，故应该把m、n看作是可

由已知条件求出的常数，从而该归并

为单项式的系数，再从同类项的概念出发，有：

解得m=3,n=5从而m+n=8

评述：运用概念定义解决问题是数学中常用的方法之一，本

题就是准确地理解了“同类项”、“合并”的概念，认真进行

了逻辑判断；确定了m、n为可确定值的系数。

(2)“合并”只能在同类项之间进行，且只对同类项间的系

数进行加减运算化简，这里的实质是逆用乘法对加法的分配

律，所以4个合并运算，全部错误，其中②、④就不是同类

项,不可合并,①、②分别应为:5x6+8x6=13x68y2-3y2=5y2

例3.解下列方程

(l)8-9x=9-8x

(2)

(3)

(4)

解：

(l)8-9x=9-8x

-9x+8x=9-8

-x=l

x=l

易错点关注：移项时忘了变号；

(2)

法一：

4(2x-l)-3(5x+l)=24

8x-4-15x-3=24

-7x=31

易错点关注：两边同乘兼约分去括号，有同学跳步急赶忘了，

4(2xT)化为8xT,分配需逐项分配，

-3(5x+l)化为T5x+3忘了去括号变号;

法二：(就用分数算)

此处易错点是第一步拆分式时将，忽略此处有一个括号前面

是负号，去掉括号要变号的问题，即；

(3)

6x-3(3-2x)=6-(x+2)

6x-9+6x=6-x-2

12x+x=4+9

13x=13

x=l易错点关注：两边同乘，每项均乘到，去括号注意变号；

(4)

2(4x-l.5)-5(5x-0.8)=10(1.2-x)

8x-3-25x+4=12-10x

-7x=ll

评述：此题首先需面对分母中的小数，有同学会忘了小数运

算的细则，不能发现

,而是两边同乘以0.5X0.2进行去分母变形，更有思维跳

跃的同学认为0.5X0.2n，两边同乘以1,将方程变形为：

0.2(4x-l.5)-0.5(5x-0.8)=10(1.2-x)

概述：无论什么样的一元一次方程，其解题步骤概括无非就

是“移项，合并，未知数系数化1”这几个步骤，从操作步

骤上来讲很容易掌握，但由于进行每个步骤时都有些需注意

的细节，许多都是我们认识问题的思维瑕点，需反复关注，

并落实理解记忆才能保证解方程问题一一做的正确率。若仍

不够自信，还可以用检验步骤予以辅助，理解方程“解”的

概念。

例4.下列方程后面括号内的数，都是该方程的解的是()

A.4x-l=9

B.

C.x2+2=3x(-1,2)

D.(x-2)(x+5)=0(2,-5)

分析：依据方程解的概念，解就是代入方程能使等式成立的

值，分别将括号内的数代入方程两边，求方程两边代数式的

值，只有选项D中的方程式成立，故选D。

评述：依据方程解的概念，解完方程后，若能有将解代入方

程检验的习惯将有助于促使发现易错点，提高解题的正确率。

例5.根据以下两个方程解的情况讨论关于x