822高等代数试题B答案_第1页
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2016年硕士研究生招生考试试题B参考答案及评分标准科目代码及名称：822高等代数适用专业：070104应用数学1、（20）适合什么条件时，有。解:因为所以除的余式为。由于整除的充要条件是，故由上式得即当时，2、（20）计算下列级行列式。1)2)解1)若,将第列的()倍加到第1列,------------5则有-------------------------8若有某个,不妨设,由定义或按第二行展开则有。----------------------------------------------------102)将行列式按第1列展开,那么------------------------------------------------4则,记,则,那么,------------------7则.若,由于行列式中是对称的,则也有,-----------------------------------------------------8两式联立,则解得.若,则。-----------------------------103、（20）用导出组的基础解系表出下列线性方程组的全部解，解1）对原方程组的增广矩阵作初等行变换，可得所以方程组有无穷多解，且其导出组的基础解系中含有1个线性无关的解向量，又因为原方程组的同解方程组为若令，代入原方程组的导出组，可解得，于是导出组的基础解系为且原方程组的一个特解为故园方程组的全部解为其中为任意常数.4、（15）求正交矩阵使成对角形,其中为:解：由可得的特征值为于是的特征向量为的特征向量为正交化，可得再单位化,有:于是所求正交矩阵为且解：作初等行变换：-------------7因为初等行变换不改变矩阵的列向量之间的线性关系,从知线性无关,且.因此----------------------------------10而是的一个基,。易见,与都是线性无关组,故.由维数公式得，由知且，故为的一个基。----155、（15）证明：如果，那么证明因为的两个根为，，而，由已知条件得即因为，所以，即6、（15）设是矩阵，有秩，证明：存在可逆矩阵使的后行全为零。证明秩，存在可逆矩阵使得（为阶单位矩阵）设，故7、（15）设，是线性空间的两个非平凡的子空间，证明：在中存在，使同时成立。证因为，非平凡的子空间，故存在，如果，则命题已证。设则一定存在，若，则命题也得证。下设，于是有及，，因而必有。事实上，若，又，则由是子空间，必有，这与假设矛盾，即证，同理可证，证毕。8、（15）设是有限维线性空间的线性变换，是的子空间。表示由中向量的像组成的子空间，证明：。证因为也是上的线形变换，故是设的维数为,的维数为.今在中取一组基把它扩充成的一组基,则且线性无关.所以9、（15）证明:奇数维欧氏空

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