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文档简介

§4最大公因式§5因式分解§6重因式§10多元多项式§11对称多项式§3整除的概念§2一元多项式§1数域§7多项式函数§9有理系数多项式§8复、实系数多项式的因式分解第一章多项式一、公因式最大公式二、最大公因式的存在性与求法§1.4最大公因式三、互素四、多个多项式的最大公因式i)

1．公因式:若满足:且2．最大公因式:若满足：ii)若，且，则则称为的最大公因式．

则称为的公因式．一、公因式最大公因式定理2对，在中存在一个最大公因式，且可表成的一个组合，即，使．

若有一为0，如，则就是一个最大公因式．且

考虑一般情形：

用除得：

其中或.

若，用除，得：

证：若，用除，得

如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低，因此，有限次后，必然有余式为0．设其中或．

即

于是我们有一串等式

从而有再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去再并项就得到说明:①定理２中用来求最大公因式的方法，通常称为辗转相除法．②定理２中最大公因式中的不唯一.

③对于，使,但是未必是的最大公因式.

如:

，则

取，有

取，也有

取,也有

成立．事实上,若则对，④若，且则为的最公因式．设为的任一公因式，则证：从而即∴为的最大公因式．

例1求，并求使

解:

且由

得

例2.设

求，并求使

因式，即就可以)，这是因为和具有完全相同的若仅求，为了避免辗转相除时出现注:分数运算，可用一个数乘以除式或被除式(从一开始为非零常数．则称为互素的(或互质的)．1．定义:三、互素若互素

除去零次多项式外无说明:由定义，其它公因式．

定理3

互素

，使

2．互素的判定与性质证：显然．设为的任一公因式，则从而又故定理4若，且，则证：使于是有又推论若

，且又，则证:，使于是，使而由定理4有从而若满足:

定义i)

则称为的最大公因式．

ii)若则四、多个多项式的最大公因式注：

表示首1最大公因式．②，使

③

的最大公因式一定存在．④互素使附:最小公倍式设，若

i)ii

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