高考数学一轮复习 6大常考考点分练 文-人教版高三数学试题

三、考点纵横一一6大常考考点之神思妙解

常考点1最值问题的5大解法

方法1函数法

（1）利用已知函数性质求最值

根据已知函数解析式,直接利用基本初等函数的性质（单调性、奇偶性等）是函数法的主要类型之一.

典例1函数y=cos2x+2cosx的最小值是.

思路点拨利用余弦倍角公式转化为关于cosx的二次函数在闭区间上的最值.

3

答案工

解析y=cos2x+2cosx=2cos2x+2cosx-l

I1\23

cosx+--

=212）-2,

13

当且仅当cosx=-2时，函数取得最小值-2.

（2）构建函数模型求最值

很多最值问题需要先建立函数模型,然后使用函数性质求解.建立函数模型的关键是找到一个变量，

利用该变量表示求解目标,变量可以是实数,也可以是一个角度（如果使用弧度制实际上也可以看作一个

实数），还可以是一个变量不等式等,建立函数模型需要注意建立的函数模型的定义域.

3L

-BCII

典例2在4ABC中，点D满足BD=4，当点E在线段AD上移动时，若AE=AAB+口AC,则

土=（入-1）2+口2的最小值是（）

A.10B.4C.10D.8

思路点拨根据点E在线段AD上移动,利用共线向量定理设出变量X,建立求解目标关于x的函数关

系后利用函数性质求解.

答案C

解析设AE=xAD（0WxWl）,

313III31-13

IIIII-BCI-II-AB-ACI-I-I

因为AD=AB+BD=AB+4=AB+4(AC—AB)=4+4，所以AE=4xAB+4xAC,

13

IIIII-

又AE二入AB+口AC,且AB,AC不共线，所以x=4X)=4X,

[x-1V岗2122

所以t=(A-l)2+li244几[4J=8(5x2-4x+8),在x=5时取得最小值10.故选c.

方法2不等式法

(1)利用基本不等式求最值

基本不等式是求最值的常用方法之一,使用基本不等式时要注意:①基本不等式的使用条件和等号

是否能够成立;②变换已知不等式使之符合使用基本不等式的条件.

典例3已知圆0的半径为1,HM,HN为该圆的两条切线,M,N为两切点，那么HM.HN的最小值

为.

思路点拨以/0HM为变量建立求解目标的函数关系后,通过变换使用基本不等式.

答案2词-3

711

II)——

解析连接OH,0M,0N,设N0HM=N0HN=9,0<0<2,则|HMRHN[stanG,

III

所以HM•HN=|HM|•HN.cos29

1+cos20

------------,cos20

2

2

cos20COS0COS20]_cos20

=tan20=sin20=2

COS220+cos20(1-cos20)2+3(cos20-1)+2

二1一cos20=1-cos20

2

二(1-cos20)+1-cos20—322在-3,

2

当且仅当1-cos2。-cos2。,即cos2。=1-应时等号成立.

⑵建立求解目标的不等式求最值

把求解目标归入一个不等式,通过解不等式得出目标的最值,是求最值的常用方法之一.

典例4在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx+2上至少存在一点,使

得以该点为圆心,半径为1的圆与圆C有公共点,则k的最小值是.

思路点拨根据直线与圆的位置关系建立关于k的不等式,解不等式得k的取值范围即可得出其最

小值.

4

答案.

解析圆C的标准方程为(x-4)2+y2=l,

|4k+2|

由题意知只要圆C的圆心(4,0)到直线kx-y+2=o的距离不大于2即可,即出十1W2,

44

解得-3WkW0,故k的最小值为-3.

22

3L

22

典例5已知圆Cid+Zcx+yJ。，@1C2:x-2cx+y=0,椭圆C:a2+b』(a〉b>0),c>0,且心1-』若圆G,C2

都在椭圆内，则椭圆离心率的最大值为.

思路点拨根据椭圆与圆的位置关系,建立关于e的不等式即可求出e的最大值.

1

答案2

2c<a,i

5[e《，1

—+—<1,<2:

解析由题意得导b2可得?-3e2+lN0,结合ed(0,l),可得0〈eW2.，e的最大值为

1

2.

方法3导数法

(1)直接使用导数求最值

三次函数、含有指数、对数与其他函数综合的函数，求最值时要利用导数法.基本步骤:确定单调性

和极值,结合已知区间和区间的端点值确定最值.

典例6已知函数f(x)=-x3+ax"4在x=2处取得极值，若m,n©[T,1],则f(m)+f'(n)的最小值

是.

思路点拨分别求出f(m),f'(n)的最小值相加即可.

答案T3

解析f'(x)=-3x?+2ax,

根据已知得f'(2)=0,得a=3,

所以f'(x)=-3x?+6x,令f'(x)=0,得x=0或x=2,

当x〈0时，f'(x)<0,f(x)单调递减，

当0〈x<2时，f'(x)〉0,f(x)单调递增，

当x〉2时,f'(x)<0,f(x)单调递减，

所以f(m)在[-1,1]上的最小值为f(0)=-4,

又f'(n)=-3n，6n在aL口上单调递增,

所以f'(n)的最小值为f'(-1)=9.

故[f(m)+f'(n)](m)mi„+f'(n),.i„=-4-9=-13.

(2)构造函数利用导数求最值

不等式恒成立问题的一个基本处理方法是转化为函数最值,需要通过构造函数求函数最值,而求函

数最值中导数方法是最有效的.注意使用导数求函数最值的基本步骤.

rl

典例7已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.若存在x£,e.(e是自然对数的底数,e=2.71828…)

使不等式2f(x)(x)成立,求实数a的最大值.

3rl3

——e—

思路点拨2f(x)2g(x)可变形为aW21nx+x+x,xe[eJ,由题意可知a小于或等于21nx+x+x的最

3rl

大值，从而将问题转化为求函数h(x)=21nx+x+x,x£1e'的最大值问题.

rl3rl

—e——

解析由题意知2xlnx^-x2+ax-3,x^Le［即aW21nx+x+x,Le

3rl2£(x+3)(x-1)H、

令h(x)=21nx+x+x,x£1eJ,则h'(x)=x+『x=x，当x£【e)时,h'(x)<0,此时h(x)单

调递减；

当x£(1,e]时,h'(x)>0,此时h(x)单调递增.

(h[-lh(e)j

e

所以h(x)max=maxI\/J,

rl

因为存在x£[e'],使2f(x)2g(x)成立，

/h12

所以aWh(x)max,又hU/=-2+e+3e,h(e)=2+e+e,

所以hO-h(e)=-4+2e-e>0,

故hiJ〉h(e),所以aW：+3e-2.

1

即a的最大值为e+3e-2.

方法4数形结合法

(1)曲线上的点与直线上点的距离的最值

求与直线不相交的曲线上的点与该直线上的点的距离的最值的最直观方法就是“平行切线法”(数

形结合思想的具体体现).

典例8设点P在曲线丫=/+1&20)上，点Q在曲线y=S「(x》l)上，则|PQ|的最小值为()

思路点拨根据图象的对称性转化为求曲线上的点与直线上的点之间的最近距离.

答案B

解析在同一坐标系中分别画出两个函数的图象(图略)，可知两个函数的图象关于直线y=x对称.考

15

虑函数y=x2+l(x^0)图象上某点处斜率为1的切线的切点坐标，由y'=2x=l,得x=2,进而尸4,即函数

3

/£5x4_3^2

y=x?+l(x20)图象上在点卜力处的切线斜率等于1,该点到直线x-y=O的距离为的=g,这个距离的二倍

3出

即为所求的最小值,即|PQ|的最小值为4.故选B.

(2)根据求解目标的几何意义求最值

把求解目标的代数表达式赋予其几何意义,就可以把代数问题转化为几何问题、函数问题.常见的目

标函数的几何意义有:两点连线的斜率、两点间的距离等.

/x+y<2,

)2x-3y<9,

典例9(1)(2016山东,4,5分)若变量x,y满足Ix>0,则x'+y'的最大值是()

A.4B.9C.10D.12

a-2ea1-c

(2)已知实数a,b,c,d满足b=d-1=1,其中e是自然对数的底数，则(a-c)2+(b-d)2的最小值为

()

A.4B.8C.12D.18

思路点拨(1)点(x,y)为平面区域内的动点,/+/的几何意义是动点到坐标原点的距离的平方.

(2)将(a,b),(c,d)看作点的坐标,则这两个点各自在一条曲线与一条直线上，(a-c)2+(b-d)?的几何

意义是曲线上的点与直线上的点的距离的平方.

答案⑴C(2)B

解析(1)作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示(包括边界),

/+/表示平面区域内的点与原点的距离的平方，由图易知平面区域内的点A(3,T)与原点的距离最

大，所以x2+y2的最大值是10,故选C.

a-2ea1-c

(2)由b=d-1=1,得b=a-2e\d=-c+2.(a-c)?+(b-d)?的几何意义是曲线y=x-2e'上的点(a,b)与

直线y=-x+2上的点(c,d)的距离的平方.对y=x-2e>求导,得y=l-2ex,令『2eX=-1,解得x=0,故曲线

y=x-2e'在x=0处的切线的斜率等于-1,此时切点坐标为(0,-2),该点到直线y-x+2的距离即为曲线

4

y=x-2/与直线y=-x+2上点距离的最小值,此时的最小距离为企=2也故所求的最小值为(2企)2.

方法5构造法

(1)构造函数求最值

任意实数a,b,当bWO时,一定存在实数X，使得a=Xb,用它可以把某些以比值形式出现的二元不等

式转化为一元不等式.

典例10若不等式x?+2xyWa(x2+y2)对于一切正数x,y恒成立,则实数a的最小值为()

m+13祖+1

A.2B.2c.2D.2

思路点拨分离参数后转化为函数的最值问题,对含变量X,y的表达式构造函数,求函数最值.

答案D

x2+2xy

解析不等式x?+2xyWa(x2+y2)对于一切正数x,y恒成立等价于a》x+y恒成立,即

/x+2xy\

2inax

a*x2+y/.

x2+2xy1+2t

令尸tx,则/+y2=l+t；

m-1

令m=l+2t(m>l),则t=2,

4

1+2t4m4m5

)m一2

则1+1=4+(m-1)=m-2m+5=m.

4

41+J5

mH—-2----------

m-2=2,

1+,1+,

故a22.故a的最小值为2，选D.

(2)构造模型求最值

根据求解目标的特点，通过联想已知知识构造恰当的模型(如正方形、正方体、函数、数列等)求解

最值.

典例11函数y=/2-2X+2+&-6x+13的最小值为.

思路点拨联想两点间的距离公式,构造平面直角坐标系中的一个图形模型,根据几何意义求解.

答案屈

解析将函数化为y=J(x-1产+(0-1汽小6-3产+(0-2产,则问题可以转化为在x轴上找一

点,使它到A(1,1),B(3,2)两点距离之和最小的几何模型问题.

将点A(l,1)关于x轴对称,得A'(1,-1),连接A'B交x轴于点P,则线段A'B的长就是所求的最小值，

22

即|A'B|-3)+(-1-2)=A/i3,故填病.

常考点2范围问题的6大解题妙招

方法1构建函数模型法

选定一个变量建立求解目标的函数关系式,利用函数的性质得出其取值范围,这是求范围问题最为

基本、应用最为广泛的方法.

典例1(1)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为件,F2,两曲线在第一

象限的交点记为P,4PFFz是以PFi为底边的等腰三角形.若|PF」=10,椭圆与双曲线的离心率分别为&,e2,

则e©的取值范围是()

/一,+oo\（一,+oo

C.【3）D.b

⑵在锐角4ABC中,AC=6,B=2A,则BC的取值范围是

思路点拨（1）椭圆和双曲线的公共元素为半焦距C,以其为变量建立求解目标的函数关系式,然后

求解；（2）求出角A的取值范围，以其为变量表示出BC,利用三角函数性质得出其范围.

答案（1）C⑵（2也3也）

C

解析（1）根据已知可知|PF2]=2C,在椭圆中，根据定义知2c+10=2ai,ai=c+5,则离心率ei=c+5,在双

c

曲线中，根据定义知10-2c=2az,a2=5-c,则离心率e2=5-c.由于p,F2三点构成三角形,所以2c+2c>10,

5525

——7

即c>2,根据10-2c=2&〉0可得0<c<5,故2〈c〈5,所以0〈c*3,

1

c2251

------2~1~

所以e.=25-c'=c2〉3.故选C.

ACBC

（2）根据正弦定理，得sinB=smA,又B=2A,

6BC3

所以sin2A=sinA,所以BC=cosA.

兀兀

由于4ABC为锐角三角形,所以B=2A<2,即A〈4,

兀兀兀兀

又A+B=3A〉2,所以A〉6,所以6〈A〈4,

在由241

所以2〈cosA〈2,所以3<cosA<^

3

所以2g〈cosA〈3也即BC的取值范围为（2由,3伪.

方法2分离参数法

在方程有解、不等式恒成立等问题中求参数取值范围时,如果参数能够分离出来,即方程或不等式的

一端为参数，另一端为某个变量的代数式,则只要研究其相应函数的性质即可根据问题的具体设问得出

参数的取值范围.

11

典例2已知f(x)=(-x2+xT)e；g(x)=3x3+2x2+ni,若y=f(x)与y=g(x)的图象有三个不同的交点,求实

数m的取值范围.

思路点拨函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)=g(x)有三个不同的实根,分离参

数之后，即可以将所求解的问题转化为直线y=-m与某函数图象的交点问题进行求解.

解析函数y=f(x)与y=g(x)的图象有三个不同的交点等价于方程f(x)=g(x)有三个不同的实根,即

1111

-mXx'-x+De'+Bx'+Zx。有三个不同的实根,亦即直线y=-m与函数h(x)=(xJx+l)e*+3x3+2x2的图象有三个

不同的交点.

11

对h(x)=(x-x+1)4+3/+2*2求导,得h'(x)=x(x+1)(ex+l)，则函数h(x)在(—,-1］上单调递增,在

(-1.0)上单调递减,在［0,+8)上单调递增.

31

所以h(x)极大值=h(-1)=e+6,h(x)极小值=h(0)=1,

3131

结合图象知l〈-m〈e+6,解得

1

故实数m的取值范围为Ie6').

1

典例3已知函数f(x)=2x2+a］nx(a£R).当x>l时，f(x)>lnx恒成立，求实数a的取值范围.

思路点拨分离参数后,转化为求函数的最值问题.

1

解析依题意知f(x)-lnx>0,即Zx'alnx-lnx>0,

(a-1)Inx>-2x2,Vx>l,/.Inx>0,Inx,

a_l>\/.

1.1

----2xlnx+-x1

22

令g(x)=Inx,则g，(x)=(Inx)2,

1

2

令g(x)=0,解得X二e,

11

当l〈x«22时,g，(x)>0,g(x)在(1,e72)上单调递增；

11

当x>e2时,g'(x)<0,g(x)在(e22,+-)上单调递减.

1

2

••g(x)max-g(e)--e,

/.a-l>-e,即a>l-e,即a的取值范围是(be,+8).

方法3参数与变量整体处理法

当参数与变量交织在一起,分离参数不方便时,把参数作为常数,构成一个含参数的函数、不等式、

方程等,根据问题的实际情况从整体上得出参数满足的条件,得出其取值范围.

3a2

典例4已知函数f(x)=x+x-2alnx在区间(1,2)内是增函数,则实数a的取值范围是.

思路点拨由题意知f;(x)在(1,2)上恒成立，化为一元二次不等式在(1,2)上恒成立,结合函数

图象分类讨论其成立时a的取值范围.

b

-1,-

答案3]

3a22ax?-2ax-3a2

解析f'(x)=l-x2-―x=2X.

函数f(X)在区间(1,2)内是增函数等价于f'(x)，。在(1,2)上恒成立,即x?-2ax-3a在(1,2)±

恒成立.

1

令g(x)=x2-2ax-3a2.当aWl时,g(x)在(1,2)上单调递增，只要g⑴=l-2a-3a峰0,解得TWaW3；

当Ka<2时,只要g(a)=-4a2^0,无解；

2

当a》2时,g(x)在(1,2)上单调递减,只要8(2)=4-42-3120,即3a+4a-4^0,解得-2WaW3,与a22

矛盾.

b

-11-

综上可知,函数f(x)在区间(1,2)内是增函数时,a的取值范围是I3]

方法4数形结合法

(1)直接使用数形结合法

数形结合法是广泛使用的一种数学方法.在求参数范围问题中，使用数形结合的思想就是通过图形

位置的变化找到满足题意的参数所需要的条件,进而得出参数的取值范围.

(x2+3,x>0,

典例5已知函数f(x)=[l+4xcos(2兀-Tix),x<0,g(x)=kx+l(xWR),若函数y=f(x)-g(x)在

xe[-2,3]内有4个零点，则实数k的取值范围是()

思路点拨已知函数的零点个数求参数的取值范围,主要考查考生的数形结合思想和分类讨论思想.

本题先考虑x=0时的情形,再考虑xWO时的情形:把函数有四个零点转化为方程有四个实根,化简,构造

两个新函数,它们的图象有四个交点,画图得结论.

答案C

解析当x=0时,显然有f(x)Wg(x),即x=0不是y=f(x)-g(x)的零点.

当xWO时,y=f(x)-g(x)在xG[-2,3]内的零点个数即方程f(x)=g(x)(-2WxW3)的实根的个数.

2

当0〈xW3时,有kx+l=x2+3,即k=x+x；

当-2Wx<0时，有kx+l=l+4xcos兀x,

即k=4cos兀x.

2

x+0<x<3,

■X

所以y二f(x)-g(x)(-2WxW3)的零点个数等价于函数尸k与4cos兀x,-2<x<0的图象的交点

个数，作出这两个函数的图象,如图所示，

11

由图知2施〈kW3,故选C.

(2)根据几何意义构造图形

给数学表达式赋予一定的几何意义，把"式”的问题转化为“几何图形”的问题，以形助数是数形

结合法的一个重要方面,其关键是熟悉一些数学公式、法则的几何意义.

典例6若不等式(x-a)2+(x-Lna)2>m对任意xdR,ae(0,+8)恒成立，则实数m的取值范围是()

A.!12)B.('2)c.(-°°,A/2)D.(-8,2)

思路点拨根据两点间的距离公式得出(x-aV+GTna)2的几何意义，然后求解.

答案A

解析式子(x-a)2+(x-ln@)2的几何意义是直线尸*上的点仪,*)到曲线尸1口x上的点(a,Ina)距

11

离的平方.y=lnx的导函数为y'=%令x」,得x=l,即曲线y=lnx上横坐标为1的点处的切线平行于直线

皿

y二x,此时切点(1,0)到直线y二x的距离最小,最小值为2,此即为曲线y=lnx上的点与直线y二x上点的距

1

22

离的最小值,所以[(x-a)2+(xTna)]min=,不等式(x-a)2+(xTna)”m对任意x£R,(0,+8)恒成立，

只需m〈;，故m的取值范围是(一8'；【故选A.

方法5转化为参数与函数值比较法

(1)参数与函数的最值比较

求不等式恒成立、等式恒成立等问题中参数范围的主要方法之一就是化为参数与函数最值的比较，

得出参数满足的不等式求得其范围.

X2-x,x£(0,1),

1

Xe[1,2],

典例7定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)-2,当x£(0,2]时，f(x)=1x

7t

当x£(0,4]时,t?-2Wf(x)W3-t恒成立,则实数t的取值范围是()

5]5]

2,-1,-

A.[1,2]B.2]c.2]D.[2,+8)

7

思路点拨由题意知F-ZtWf(X)min且f(x)maxW3-1.

答案A

1\rlI

-一,0|1

解析易知函数f(x)在(0,2]上的值域为[4白12[.当乂金⑵组时，f(x)=2f(x-2)-2,其中

[-—2)

乂-26(0,2],故函数£&)在出4]上的值域为[2

57t

综上可知，函数f(x)在(0,4]上的最小值为-2,最大值为1.不等式t2-2^f(x)W3-t对xe(0,4]恒成

7

立等价于/-2tWf(X)min且f(x)maxW3-t,

75

即2且1^3-t,

5

即lWtW2且tW2,即lWtW2.

故实数t的取值范围是[1,2].故选A.

⑵参数与函数值域的端点值比较

在函数、数列问题中有些函数不存在最值,该类问题中参数值就要与值域的端点值进行比较，值得注

意的是“等号”能否取得.

典例8已知数列区｝的通项公式为a„=2n-l,记数列tanan+1J的前n项和为T„,若对任意的nGN*,不

等式4T„<a2-a恒成立,则实数a的取值范围为.

思路点拨求出4T„的范围,解不等式即可.

答案(-00,-1]U[2,+oo)

1

—aa——

解析nn+u(2n-1)(2n+l)=2\2n-12n+1/,

1/11111\1/1\1

所以Tn=213352n-12n+l/=212n+l/<2；4Tn<2,

<_

由4TnCa-a,得2Wa"-a,

解得aWT或a》2,

即所求实数a的取值范围为(-8,-1]u[2,+8).

(3)参数与临界值比较

已知函数零点个数求参数取值范围时,把函数分解为两个函数(其中一个不含参数,另一个含参数)，

利用数形结合法确定含参数的函数图象与不含参数的函数图象的位置，通过临界位置得出参数满足的条

件，即可得出参数的取值范围.

典例9设f(x)=11gx|,若函数g(x)=f(x)-ax在区间(0,4)上有三个零点,则实数a的取值范围是

()

EH与

思路点拨问题转化为函数y=f(x),y=ax的图象在(0,4)上有三个不同交点，作出图象,根据图象确

定实数a满足的条件.

答案B

解析在同一坐标系中分别作出函数y=f(x),y=ax的图象(如图)，函数g(x)=f(x)-ax在区间(0,4)

上有三个零点等价于上述两个函数的图象在区间(0,4)上有三个交点,结合函数图象可知，只要直线y=ax

的斜率a介于直线0A(A(4,21g2))与直线OB(B为切点)之间即可.

lg2lge

直线OA的斜率为2,当xd(1,4)时，f'(x)=x,设B(x。,lgx。)，则直线0B的方程为y-lg

lgelge

Xo=x0(X-Xo),该直线过坐标原点,所以0-lgXo=X。(O-Xo),解得Xo=e,

lge

即直线OB的斜率为e,

/lg2lg_e\

所以实数a的取值范围是12'e|故选B.

方法6不等式法

(1)利用二次函数、二次不等式

在导数中有一类问题可以化归为二次函数是否存在零点、二次不等式在某区间上恒成立等,可以利

用“二次”函数问题得出参数满足的条件，求得参数的取值范围.

11

2

典例10已知|a|二2|b|,|b|W0,且关于x的函数f(x)=3乂421a|x+a•bx在R上有极值,则a与b的

夹角的范围为()

7l\/7l/7T2兀1/71

0,--71---71

A.I。B,\31C.\33]D.\6

思路点拨f'(x)存在变号零点.

答案B

11

金解析函数f(x)=3x^+2ax2+abx有极值的充要条件是其导数存在变号零点.

f(x)=x2+1a|x+a,b,则△二|a12-4a•b>0,设a,b的夹角为。，则41bl?-4X2|b|•|b|•cos0>0,

1/7l

一I-,兀

即cos。<2,由于。£[0,兀],所以9金[3J.故选B.

典例11若函数f(x)=x4-ax3+x2-2有且仅有一个极值点,则实数a的取值范围是.

思路点拨f'(x)有且只有一个变号零点.

[一屹当

答案I3’3]

解析f'(x)=4x3-3ax?+2x=x(4x2-3ax+2),函数f(xAx'-ax'+x'-Z有且只有一个极值点的充要条件是

4在4在

函数y=4x2-3ax+2不存在变号零点，即9a2-32^0,解得-3WaW3.

(2)利用基本不等式

基本不等式是求最值和范围问题最常用的工具之一，在使用时注意使用条件(一正、二定、三相等).

11

典例12若a>l,设函数f(x)=a*+x-4的零点为m,g(x)=logax+x-4的零点为n,则m+n的取值范围是

()

A.(3.5,+8)B.[1,+8)

C.(4,+8)D.(4.5,+8)

思路点拨利用指数函数与对数函数图象的特点,得出m+n=4,进行常数代换后利用基本不等式求

解.

答案B

x

解析直线y=x与直线y=4-x的交点坐标为(2,2),函数y=a,y=logax与直线y=4-x的交点关于点

111/I1\1/nm\1

——_I—H—I-12H------11-

(2,2)对称,所以两个函数零点之和为4,即111+11=4,所以1口+畦4(111+11)・[111n/=4\mn/^4x(2+2)=1,

11

其中当a=加时可以使m=n=2,故可以取得等号，即m+n的取值范围是[1,+8).故选B.

(3)建立求解目标的不等式(组)

建立求解目标的不等式(组)，通过解不等式(组)得出求解目标的取值范围是求解范围问题的一个基

本方法,很多问题均可使用这个方法解决,如一元二次方程的实根问题、直线与圆锥曲线的位置关系问题

<X>1,

x+y<2,

典例13(1)已知实数X,y满足(x-yS2,若不等式ax-yW3恒成立,则实数a的取值范围为

()

(3-

I—00—

A.(-8,4]B.\2.

「3

一、2

C」2D.[2,4]

(2)双曲线a?-b?=i心>0,b>0)的右焦点为F,左顶点为A,以F为圆心,过点A的圆交双曲线的一条渐近

线于P,Q两点，若|PQ|不小于双曲线的虚轴长,则该双曲线离心率的取值范围是.

思路点拨(1)只要ax-y在不等式组表示的平面区域的顶点处的取值不大于3即可；(2)建立关于双

曲线离心率的不等式求解即可.

答案(1)B(2)(1,3]

/X>1,

x+y<2,

解析(1)不等式组k-yS2表示的是平面直角坐标系中以点(1,1),(2,0)为顶点的三角

p-1<3,

a+1<3,

形及其内部，由题意知，只要ax-y在上述三点处均不大于3即可,所以实数a满足不等式组I2a<3,

3

解得aW2,

31

3.故选B.

即实数a的取值范围为

(2)设F(c,0),则圆心坐标为(c,0),因为圆F过点A,所以半径为a+c,取双曲线的一条渐近线方程

|bc|

bx+ay=0,则圆心到该直线的距离d=N+a?』，

则|PQ|=2,(a+c)2-b?22b,

故(a+c)2》2b；

BPc2-2ac-3a2^0,

即e；2e-3W0,

解得TWeW3,

又e>l,所以所求的双曲线的离心率的取值范围是(1,3],

常考点3数列问题的5大常用技巧

技巧1整体利用数列的性质

等差数列、等比数列的通项公式与求和公式中均涉及多个量，解题中可以不必求出每个量,从整体上

使用公式.

典例1⑴等比数歹U｛a„｝中，已知ai+a3=8,a5+a7=4,则ag+an+an+ais的值为()

A.1B.2C.3D.5

(2)设等差数列｛aj的前n项和为S„,若S6>S7>S5,则满足SkSk+1<0的正整数k=.

思路点拨(1)可直接把a1+a3看作一个整体,利用等比数列的性质求解公比,然后代入即可;也可直

接将已知转化为首项和公比所满足的方程,求出公比后再求和.(2)利用等差数列的前n项和的性质.

答案(DC(2)12

解析(1)解法一：因为｛a„｝为等比数列，所以a5+a7是ai+a3与a9+an的等比中项，所以

(as+a7)(ai+as)(ag+an),

a+a)2

(5742

a+a

故a9+an=l3=8=2.

同理雨+配是as+a7与ai3+ai5的等比中项，

所以(ag+aii)—(—5+37)(813+^15),

2

(a9+aH)心

a+a，7

故ai3+ai5=5=4=1.

所以a9+au+ai3+ai5=2+l=3.

解法二:设等比数列｛an｝的公比为q,

贝！jas—HiQ4,a?—asq4,

a5+a741

所以q，=ai+a3=8=2.

件

又ag+dn—diQ+&3Q=(@1+@3)Q_8X\2/=2,

1212件

ai3+ai5=aiq+@3q=(ai+83)q—8X\2/=1,

所以a9+an+ai3+ai5=2+l=3.

(2)依题意得a6=S6-S5>0,

a7=S7-S6<0,

=z

a6+a7S7-S5>0,

116]+an)

则Su=2=lla6>0,

12(aj+a12)12(a6+a7)

S12=2=2>o,

13(a1+a13)

S13=2=13a7<0,

所以Si2Si3<0,即满足SkSk+KO的正整数k=12.

技巧2奇偶项分类

当题中涉及(-1尸或数列的奇数项和偶数项具有不同的规律时,按照n为奇数和偶数分别求解,最后

再整合求解结果.

n

典例2(1)已知数列｛③｝满足a尸1,an+i•an=2(neN*),则S2ok.

4(n+1)

⑵若数列E｝的通项公式为a0=2”令b„=(-1严.+1,则数列加｝的前n项和

Tn=.

思路点拨(1)由已知数列的递推关系,利用累加法求出数列的通项公式,然后利用分组求和法进行

求和.(2)分n为奇数和偶数分别求和.

11

答案(1)3X21008-3(2)3-(-l)n2n+3

nn+1

解析⑴由an+i•an=2,得an+i,an+2=2,

an+1*an+2an+2

则a^F+i=2,即an=2,

所以数列池a3,比,・•・,a2k+i,…是以以二1为首项，2为公比的等比数列；数列的a4,a6,…，弧，…是以④=2

为首项,2为公比的等比数列，则S2016=(@1+@3+a5+…+@2015)+(@2+@4+注+…+@2

1-210082(1-21008)

1008

016)=1-2+一—一二3X2-3.

4(n+1)

⑵由题意得b„=(-i)»-'log2anlog2an+1

4(n+1)/11]

=(-l)"-1(2n+1)(2n+3)=(-i)°42n+12n+3),

/Ih/Ih/11\/11A11

当n为偶数时,T」35M57/+...+\2n-12n+l/-\2n+12n+3上3-2n+3,

当n为奇数时,T”=135H57/+..-Un-12n+U+[2n+l2n+3b3+2n+3,

11

所以T“=3-(-，2n+3.

技巧3分裂通项

裂项相消法是数列求和的基本方法之一,在通项为分式的情况下,注意尝试裂项,裂项的基本原则是

a„=f(n)-f(n+1).

典例3已知数列｛aj的前n项和为S„,④=3,若数列£”+1｝是公比为4的等比数列.

(1)求数列｛aj的通项公式；

an+1