北师大版高一数学必修第二册第二章复习及测试题

北师大版高一数学必修第二册第二章复习及测试题第二章平面向量及其应用1平面向量的概念及其线性运算【知识梳理】一、向量的概念及其表示(1)向量的概念：既有大小，又有方向的量．(2)向量的表示：①有向线段：具有方向和长度的线段叫作有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作eq\o(AB,\s\up6(→))，线段AB的长度也叫作有向线段eq\o(AB,\s\up6(→))的长度，记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.②向量的表示(3)向量的模：|eq\o(AB,\s\up6(→))|(或|a|)表示向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小，即长度(也称模)．二、四种重要的向量(1)长度为零的向量叫作零向量，记作0或eq\o(0,\s\up6(→))，它的方向与任一向量平行．(2)与向量a同方向，且长度为单位1的向量，叫作a方向上的单位向量，记作a0.(3)长度相等且方向相同的向量叫作相等向量，向量a与b相等，记作a＝b.规定所有的零向量相等．(4)如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这些向量平行或共线，a与b平行或共线，记作a∥b.三、向量的加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示：．规定：零向量与任一向量，都有．说明：①共线向量的加法：②不共线向量的加法：如图（1），已知向量，，求作向量.作法：在平面内任取一点（如图（2）），作，，则.（1）（2）四、向量加法的法则（1）三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。表示：．（2）平行四边形法则：以同一点为起点的两个已知向量，为邻边作，则则以为起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。五、向量的加法运算律交换律：． 结合律：．相反向量与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作。说明：（1）规定：零向量的相反向量是零向量。（2）性质：；．七、向量的减法求两个向量差的运算，叫做向量的减法。表示．八、向量减法的法则 已知如图有，，求作．（1）三角形法则：在平面内任取一点，作，，则． 说明：可以表示为从的终点指向的终点的向量（，有共同起点）．（2）平行四边形：在平面内任取一点，作，，则．2平面向量基本定理应用【知识梳理】平面向量基本定理如果是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使，其中，不共线的这两个向量叫做表示这一平面内所有向量的基底。(1)我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底，的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一，，是被，，唯一确定的数量二、平面向量基本定理唯一性设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则3平面向量的数量积【知识梳理】1．两向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．(2)特例：①当θ＝0时，向量a，b同向．②当θ＝π时，向量a，b反向．③当θ＝eq\f(π,2)时，向量a，b垂直，记作a⊥b.2．平面向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.特别地，零向量与任何向量的数量积等于0.3．投影向量设a，b是两个非零向量，eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(CD,\s\up14(→))＝b，过eq\o(AB,\s\up14(→))的起点A和终点B，分别作eq\o(CD,\s\up14(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up14(→))，这种变换为向量a向向量b投影，eq\o(A1B1,\s\up14(→))叫做向量a在向量b上的投影向量．4.平面向量的运算性质：（2）.0**，（≠0）5．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.6.平面两向量数量积的坐标表示（1）设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j，则：ii=1，jj=1，ij=ji=0（2）推导坐标公式：∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j∴ab=(x1i+y1j)(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y1ij+x2y1ij+y1y2j2=x1x2+y1y2从而获得公式：ab=x1x2+y1y2（3）长度、角度、垂直的坐标表示1a=(x,y)|a|2=x2+y2|a|=2若A=(x1,y1)，B=(x2,y2)，则=3cos=4∵abab=0即x1x2+y1y2=0（注意与向量共线的坐标表示原则）4平面向量的垂直平行【知识梳理】一、向量共线的判定定理和性质定理1、判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．2、性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa.3、若，则⇔.二、拓展（1）⇔.（2）若，则⇔.当涉及到向量或点的坐标问题时，应用（2）解题较为方便.（3）两向量相等⇔它们的对应坐标相等.三、平面向量垂直的坐标形式若向量，，则．四、平面向量垂直的非坐标形式若向量为两个非零向量，则．正弦定理余弦定理在解三角形中的应用【知识梳理】知识要点正弦定理，余弦定理是重要知识点，也是考试常考必考内容，作为概念性知识点，首先介绍定理内容：正弦定理概述：已知三边长分别为，外接圆半径为,则有.余弦定理概述：已知三边长分别为，外接圆半径为,则有其次介绍定理的应用领域：已知三角形两角与一边，解三角形；已知三角形的两边与其中一边所对的角，解三角形；应用a:b:c=sinA:sinB:sinC.公式的变形应用，如5.三角形的解的个数讨论情况： 第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知在▱ABCD中,AD=(2,8),AB=(-3,4),则AC=()A.(-1,-12) B.(-1,12)C.(1,-12) D.(1,12)解析因为四边形ABCD是平行四边形,所以AC=AB+AD=答案B2.如果a,b是两个单位向量,那么下列四个结论中正确的是()A.a=b B.a·b=1C.a=-b D.|a|=|b|解析两个单位向量的方向不一定相同或相反,所以选项A,C不正确;由于两个单位向量的夹角不确定,则a·b=1不成立,所以选项B不正确;|a|=|b|=1,则选项D正确.答案D3.如图,a-b等于()A.2e1-4e2 B.-4e1-2e2C.e1-3e2 D.3e1-e2解析a-b=e1-3e2.答案C4.如图,正方形ABCD中,点E,F分别是DC,BC的中点,那么EF=()A.12B.-1C.-1D.1解析EF=1答案D5.已知A船在灯塔C北偏东70°方向2km处,B船在灯塔C北偏西50°方向3km处,则A,B两船的距离为()A.19kmB.7kmC.(6+1)kmD.(6-1)km解析根据题意,在平面直角坐标系中作示意图,如图所示,易知在△ABC中,BC=3,AC=2,∠BCA=120°,故由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠BCA,解得AB2=19,则AB=19.故选A.答案A6.已知a,b,c是共起点的向量,a,b不共线,且存在m,n∈R使c=ma+nb成立,若a,b,c的终点共线,则必有()A.m+n=0 B.m-n=1C.m+n=1 D.m+n=-1解析设OA=a,OB=b,OC=c,因为a、b、c的终点共线,所以设AC=λAB,即OC-OA=λ(所以OC=(1-λ)OA+λOB,即c=(1-λ)a+λb.又c=ma+nb,所以1所以m+n=1.答案C7.在100m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°和60°,则塔高是()A.4003m B.400C.20033m D.解析如图所示,山高为AB=100m,塔高为CD,根据题意可知∠BCA=60°,∠CBD=30°.在Rt△ABC中,BC=ABsin在△BCD中,∠CBD=∠BCD=30°,∠BDC=120°,由正弦定理得CDsin30°=BCsin120°,答案D8.已知|OA|=|OB|=|OC|=1,D为BC的中点,且|BC|=3,则AD·BC的最大值为(A.32 B.32 C.3 D解析因为|OA|=|OB|=|OC|=1,所以A,B,C在以O为圆心半径为1的圆上.以O为原点,OD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,因为|BC|=3,|OB|=1,D为BC的中点,所以|OD|=12则B-32,-12,C32,-12,D0,-12,设A(x,y),则AD=-x,-12-y,BC=(3,0),所以AD·BC=-3x,因为-1≤x≤1,当A与E重合,即x=-1时,AD·BC的最大值为3.故选答案C二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分)9.已知△ABC的面积为32,且b=2,c=3,则A=()A.30° B.60° C.150° D.120°解析因为S=12bcsinA=3所以12×2×3sinA=3所以sinA=32,因为0°<A<180°所以A=60°或120°.故选BD.答案BD10.下列命题中,正确的是()A.对于任意向量a,b,有|a+b|≤|a|+|b|B.若a·b=0,则a=0或b=0C.对于任意向量a,b,有|a·b|≤|a||b|D.若a,b共线,则a·b=±|a||b|解析由向量加法的三角形法则可知A正确;当a⊥b时,a·b=0,故B错误;因为|a·b|=|a||b||cosθ|≤|a||b|,故C正确;当a,b共线同向时,a·b=|a||b|cos0°=|a||b|,当a,b共线反向时,a·b=|a||b|cos180°=-|a||b|,故D正确.故选ACD.答案ACD11.在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中恰有一解的是()A.b=7,c=3,C=πB.b=5,c=6,C=πC.a=6,b=33,B=πD.a=20,b=15,B=π解析A选项,因为C=π6,为锐角,c=3<bsinC=72,B选项,因为C=π4,为锐角,c=6>b=5,所以三角形有一解C选项,因为B=π3,为锐角,b=33=asinB=33,所以三角形有一解D选项,因为B=π6,为锐角,b=15>asinB=10,所以三角形有两解.故选BC答案BC12.在△ABC中,下列结论正确的是()A.ABB.AB·BC<|AB|·|C.若(AB+AC)·(AB-AC)=0,D.若AC·AB>0,则△解析AB-AC=CB,设θ为向量AB与BC的夹角,因为AB·BC=|AB|·|BC|·cosθ,而cosθ<1,故AB·BC<|AB|·|BC(AB+AC)·(AB-AC)=AB2-AC2=所以△ABC为等腰三角形,故C正确;取A=B=π6,C=2满足AC·AB=|AC||AB|cosA>0,但△ABC为钝角三角形,故D错误.故选答案BC三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则m=,|b+c|=.

解析因为a=(2,-1),b=(-1,m),所以a+b=(1,m-1).因为(a+b)∥c,c=(-1,2),所以2-(-1)·(m-1)=0.所以m=-1.则b+c=(-2,1),则|b+c|=(-2答案-1514.在△ABC中,若B=60°,2b=a+c,则△ABC的形状是.

解析根据余弦定理得b2=a2+c2-2accosB.因为B=60°,2b=a+c,所以a+c22=a2+c2-2整理得(a-c)2=0,故a=c.又B=60°,所以△ABC是等边三角形.答案等边三角形15.如图是以C为圆心的一个圆,其中弦AB的长为2,则AC·AB=解析如图,作CD⊥AB交AB于点D,则AC=则AC·AB=12AB=12|AB|2答案216.在△ABC中,A=30°,AB=23,4≤BC2≤12,则△ABC面积的范围是.

解析因为在△ABC中,A=30°,AB=23,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos30°=12+AC2-6AC,又因为4≤BC2≤12,4≤12+AC2-6AC≤12,解得0<AC≤2,或4≤AC≤6,而S△ABC=12AB·AC·sin30°=32所以0<S△ABC≤3或23≤S△ABC≤33,故△ABC面积的范围是(0,3]∪[23,33].答案(0,3]∪[23,33]四、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知a=(1,0),b=(2,1).(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线?(2)若AB=2a+3b,BC=a+mb且A,B,C三点共线,求m的值.解(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).因为ka-b与a+2b共线,所以2(k-2)-(-1)×5=0,解得k=-12(2)因为A,B,C三点共线,a与b不共线,所以存在实数λ,使得AB=λBC(λ∈R),即2a+3b=λ(a+mb),整理得(8,3)=(λ+2mλ,mλ),所以λ+2mλ=8,18.(12分)已知O,A,B是平面上不共线的三点,直线AB上有一点C,满足2AC+CB=(1)用OA,OB表示(2)若点D是OB的中点,证明四边形OCAD是梯形.(1)解因为2AC+CB=所以2(OC-OA)+(OB-OC2OC-2OA+OB-所以OC=2OA-(2)证明如图,DA=DO=12(2OA-故DA=12OC.即DA∥OC,且故四边形OCAD为梯形.19.(12分)已知长方形AOCD中,OA=3,OC=2,E为OC中点,P为AO上一点,利用向量知识判断当点P在什么位置时,∠PED=45°.解如图,建立平面直角坐标系,则O(0,0),C(2,0),D(2,3),E(1,0).设P(0,y),则ED=(1,3),EP=(-1,y),所以|ED|=10,|EP|=y2+1,ED·代入cos45°=ED·解得y=2y=-12舍去.所以当点P在靠近点A的AB的三等分处时,∠PED=45°.20.(12分)