小学数学典型错题分析及教学对策

PAGEPAGE2◎本文系2010年浙江省教研课题《小学数学一至六年级典型错题资源库的建设与应用》成果，课题流水号177◎本文系2010年浙江省教研课题《小学数学一至六年级典型错题资源库的建设与应用》成果，课题流水号177，编号062006，课题负责人绍兴市教育教学研究院汤春燕。——小学数学典型错例分析及教学对策【摘要】课堂就是让学生出错的地方，学生的错例是教学的巨大财富。本文列举了学生数学学习过程中常见的几个典型错例，并对其进行了深入地分析与思考，旨在促使教师们对学生的错例进行理性反思、辨别异同、探寻“病根”，对症下药，让学生在正确与错误的探索中不仅“知其错”，而且“知其所以错”，为学生形成良好思维打下坚实基础。【关键词】错例；反思；发展学生在学习数学的过程中，时常会出现这样那样的错例。有些知识是教师一再强调的，学生照样在不知不觉中出错，订正以后照样“旧病复发”，有的错误甚至连学生本人都莫名其妙。由于教师不够重视对学生错例的反思、归纳和整理，学生缺乏找错、记错、议错、辩错和改错的主动性和能力，最终导致“教师整天埋头批改学生的作业、辅导学生的功课，学生整天进行重复机械的作业”的恶性循环。这种现象常常令学生、家长、老师百思不得其解，最后只能用“太马虎，不认真”来概括了事。其实学生的很多错例都值得教师细细去探索和研究。本文撷取几个典型错例，与同行商榷研究。一、“粗心大意”的背后，暗藏“规律性错误”。计算在小学数学教学中占据着十分重要的地位，是学习数学的基础。在多年的教学实践中，我总能发现一些学生在做计算题时，总会出现这样或那样的错误。经过指点后，学生在做下一次作业时，相类似的计算题还是错了。分析错误原因，部分家长和老师以及相当多的学生，都惊人相似地归结为“粗心大意”。我不禁要问：“粗心大意”真的是本质原因吗？“粗心大意”又是什么原因造成的呢？【错例点击】1、“大减小”不管是低年级还是高年级学生，在做计算题时总存在这样一种现象：即在进行竖式运算时，在每一列计算中总是从较大的数中减去较小的数，而不管它们究竟是“被减数”还是“减数”。如：2、“跨零错位”学生在进行竖式运算时，遇到需要借位，而前一位数为0时，学生总是越过0，从它的左边第一个非0项中去借。还有一些学生用0减去一个数，认定其结果一定为0。如【成因聚焦】学生出现以上错误，往往对自己的所作所为有着清醒的意识，因此不能简单地归结为“粗心大意”，而是潜伏于学生认知中的“规律性错误”，也就是系统知识中对某一内容的认知缺陷造成的，表现出某种规律性。“大减小”、“跨零错位”的作法表明学生对其内涵做了一般化的推广。在学习多位数前，学生很可能曾大量练习了类似这样的题目：“7和4的差是多少？3和6呢？”由于这类题目都可借助“大减小”的程序进行解决，当学习多位数减法时，学生的认知中可能就有了这样的初步印象：多位数减多位数，无非就是独立地完成各个“列”上的减法。当“列”中上面的数字小于下面的数字，这时就需要向左边（未必是最邻近的）的数位去借1当10，而被借的数位上的数字不应是0，如果是0那就向更高位借1当10。所以算437－284时，学生就按7－4=3、8－3=5、4－2=2的程序执行，结果是253。显然学生是把先前所学的东西错误地推广应该到了新场合。即使教师再怎么苦口婆心地教如何借位，学生还是听得不知所云，再次在作业本上出现“大减小”的错误也就见怪不怪了。【对策链接】1、正确对待“一般化”规律性错误的生成在于学生对教师所给予的做了一般化的推广应用，其实学生一般化的思维不能被看成是一种错误的思维方式，数学家也常常做一般化的思考，只是数学家能对一般化结论做出逻辑证明，而学生却自以为是。所以我觉得教师要帮助学生从一般化的思维中找出错误的根源，明白怎样的一般化是合理的，怎样的一般化是错误的。2、有效预防“空隙”上例中学生出现的错误其实可以看出教师教学过程中出现的认知“空隙”，即教师没有对“借1必须从左边紧靠的位数去借”做出必要的解释、讨论或足够的领悟体验，而学生对此却做了“向左边的（未必是邻近的）位数去借，而被借的数位上的数字不应是0”错误的推广，应用自己已有的知识和经验去填补这一认知“空隙”，而这很可能就是一种不恰当的推广应用，从而产生负迁移现象。所以我觉得教师在整个教学过程中要常常思考那些所要给予的知识会不会给学生留下空隙，如何填补空隙，怎样才能更好二、“出乎意料”的背后，暗藏“思维受阻碍”。教学除数是一位数的笔算除法，几乎每届学生都会出现相同的错误，以下列举教材最先安排的2个例题（例1：42÷2；例2：52÷2）【错例点击】竖式1竖式1竖式2竖式3【成因聚焦】除数是一位数的笔算除法的基础是表内除法的正确计算和竖式写法，如果要求学生先尝试计算42÷2，必然有一部分学生将竖式写成上面竖式1的形式。主要原因是学生能通过口算直接获得42÷2的结果是21，所写的竖式只不过是口算结果的表达；还有是学生受到表内除法竖式计算的影响，只需先确定商，再用除数和商相乘，最后相减就可以了。教学例1后，学生已初步理解算理，了解了竖式的写法。在教学例2时，我们教师总是期待学生会自觉迁移，让学生自主计算。但事实上，学生的表现并没有教师预料的那样顺利，往往出现以上竖式2，竖式3的现象。为什么学生学完例1学习例2时，思维受到了阻碍呢？显然，52÷2的思考过程比42÷2复杂得多。42÷2只要把4捆小棒平均分成2份，每份2捆；再把零散的2根小棒平均分成2份，每份1根，最后把2捆和1根合并起来就是21根。而52÷2有“分整捆有剩余，剩下的整捆和零散合并”等过程。有些学生虽然掌握基本计算步骤，但因没有经验对剩下的1捆不知如何处理，乃至忽略不计（竖式2）。还有些学生虽然知道要先分整捆再分零散部分，但在竖式中却对两次分得的结果没有合并（竖式3）。可见学生在例1学习中所获得的经验还不足以支持对例2的正确处理。【对策链接】除数是一位数的笔算除法不仅要让学生掌握笔算除法的过程、理解每个步骤的算理，还要体会到规范竖式的优势。基于以上学生典型错例，我觉得在教学这部分内容时要关注两点：1、建立直观操作与口算思路之间的联系在教学笔算42÷2之前，先让学生试着计算并解释方法的合理性，大部分学生会选择口算，即40÷2=20，2÷2=1，20＋1=21，教师可以结合分小棒理解每一次计算的意义，即40÷2=20表示吧4捆小棒平均分成2分，每份2捆，也就是20根；2÷2=1表示把2根小棒平均分成2分，每份1根；20＋1=21表示把2捆和1根合起来是21根。2、建立思考过程与除法竖式之间的联系在学生尝试笔算42÷2过程中，必然会有不同的个性化竖式。从计算结果看不出它们的优劣，教师可以引导学生思考：哪个竖式更能反映整个分小棒的过程？从而学生在头脑中再现操作过程，并对应于竖式的每一个计算步骤，学生既理解了算理，又感受到了规范竖式的优越性。同样，在教学52÷2时也需要结合直观操作或脑中表象理解竖式计算的原理。三、“融会贯通”的背后，暗藏“理解不透彻”如果说计算教学是支撑小学数学的最基本框架，那么“简便计算”就是小学数学教学中的一部“重头戏”，它被视作对学生进行思维训练的一种重要手段。很多教过简便计算的老师，或多或少都遇到过这样的问题：上课时，几乎所有的学生都能很好地理解每一条运算定律，并且还能根据运算定律举一反三，看上去好像已经融会贯通了，可是等到做作业时，就经常把这些运算定律混淆起来使用,以至于教师只能重新对这些运算定律进行梳理。常见错误有以下几类:错例一：知觉性错误【错例点击】【成因聚焦】由于乘法结合律与乘法分配律在表现形式上十分相近，致使一些学生容易造成知觉上的错误，误把乘法结合律当乘法分配律运用，这说明学生对这两条运算定律的理解还不够透彻。乘法分配律是乘法对于两个数的和或差的分配律，而乘法结合律是几个数连乘时，可以交换运算顺序，像上题三个连乘应选用乘法交换律或乘法结合律，而不应选用乘法分配律。【对策链接】面对学生这类错误，教师不能简单地从形式入手，告诉学生括号里是乘号时不能运用乘法分配律，只能当括号里是加法或减法时才能用乘法分配律。而应从乘法结合律和乘法分配律的意义入手，可以通过结合具体的情境让学生加以理解，也可以通过让学生对这两条运算定律进行比较，深入地理解乘法结合律及乘法分配律的意义，自主建构起知识体系。同时，教师可让学生用两种不同的思路加以练习（如下），以区别两种运算定律的不同之处及其运用后所产生不同的简便程度，这样可以加深学生对这两种运算定律的理解。

44×2544×25

＝（11×4）×25＝（40＋4）×25

＝11×（4×25）＝40×25＋4×25

＝11×100＝1000＋100

＝1100＝1100错例二：意识性错误【错例点击】

【成因聚焦】遇到此类错误现象，我访谈了几位这样做的学生，他们都认为按顺序做是比较方便的，但这样就没有运用运算定律，就不是简便计算！也有的学生根本没仔细看过题目，因为是简便计算，所以拿上来就运用运算定律。这种错误是由于学生不正确的简便意识所造成的，他们认为简便计算一定要用运算定律，否则就不是简便计算！【对策链接】简便计算无论从其外在形式，还是内在规律，都会给学生带来一种美的享受，同时也会使学生自发地产生一种强烈的意识，那就是追求计算的简便性。学生的这种简便计算的意识正是我们所需要的，但处理得不好，容易使学生产生“简便计算一定要用运算定律”的错误意识倾向，致使一些原本简单的计算越做越繁。因此，在实际教学中，我们可以让学生用两种或多种方法计算，以加深学生对简便计算的认识与体验。如上题38×（25＋75），一种方法采用直接按运算顺序计算，另一种方法运用乘法分配律计算，然后组织学生交流，谈谈用两种方法计算的体会，说说“为什么运用了运算定律反而复杂了？”

四、“死记硬背”的背后，暗藏“生活经验缺失”在学习图形与几何的过程中，几乎每一届学生都有这样的现象，即许多不同的学生屡屡出现一些相似的错误，【错例点击】【成因聚焦与对策链接】以上两题学生出现错误源于思维定势，都只是简单地用大体积（面积）除以小体积（面积），没有考虑到“长方体的长和高都不是2的整数倍”和“在长方形纸上剪圆形会有边角料产生”这两个实际情况，表现出传统几何教学中的突出问题——计算几何的弊端。这就需要我们在几何教学时一定要与生活实际相联系，要注重培养学生分析解决实际问题的能力。【错例点击】6分米6分米6分米4分米6分米4分米3分米4分米3分米4分米3分米（1）（2）（3）（4）（5）制作一个长方体鱼缸时，用了下面5块长方形的玻璃。问鱼缸的底是（）号玻璃，鱼缸深（）分米。面对这个问题，很多学生竟无从下手，只是胡乱的猜填。【成因聚焦与对策链接】如果让学生求长方体鱼缸的体积或表面积，那么我相信每一个学生都会。可为什么让学生将5个孤立的长方形根据相关数据组合成一个长方体，学生会出现如此大的感知困难呢？我想其中最大的原因还是学生的空间观念弱。他们只会机械得记公式和根据公式求一些常用的数据。课堂上学生很少接触用一些长方形来拼长方体的实践活动，以至于难以形成较强的空间观念。因此在教学时，应让学生在掌握长方体体积计算的基础上进行充分动手操作，利用长方形学具创造长方体，充分认识长方体的特征。五、“理直气壮”的背后，暗藏“审题偏差”【错例点击】【成因聚焦】大部分学生看到自己的答案被判错误，感到很纳闷：水结成冰时，体积增加了，当冰融化成水时，体积当然减少了，怎么会错呢？纷纷向我提出质疑，态度非常理直气壮。其实学生在审题时不知道在“水结成冰→冰化成水”的变化过程中，它们的单位“1”的量在发生着改变，它们的体积同样也在发生着改变。【对策链接】上述题目中单位“1”的量是一个隐含和变化着的量，为克服学生审题时产生轻视、麻痹和粗心大意的不良心理，教师必须要作出认真审题的示范，要十分注重认真审题的引导，帮助学生正确理解“水结成冰→冰化成水”的变化过程中，它们的单位“1”的量不一样、体积变化也不一样。当水结成冰时，冰的体积比水增加了（是把水的体积作为单位“1”的量），水的体积原来是11份，结冰时增加，就成了12份；当冰融化成水时应该从12份中减少1份，水的体积应该比冰减少了（是把冰的体积作为单位“1”的量）。【错例点击】【成因聚焦】大部分学生看到自己的答案被判错误时，都提出了质疑：明明是200度以上，每度0.63元，怎么会错呢？通过对学生进行访谈，许多学生说没有认真分析，没有领会阶梯式计费的实际含义，在审题中出现了偏差，觉得小芳家五月份共用电268度，已经超过200度，而200度以上每度是0.63元，即所付电费是0.63×268≈168.8（元）。【对策链接】审题中出现偏差是最好的教学素材，教师要充分利用这个素材，引导学生对“采用阶梯式计费”进行认真“咬嚼”，通过追词逐句的“咬嚼”后，学生的思路渐渐明了，同时也理解了0—50度部分、51—200度部分等所表达的意思，即268度可以分为3个部分，50度，150度和68度，需付电费为0.5×50＋0.53×150＋0.63×68≈147.3(元)。六、“束手无策”的背后，暗藏“要领掌握不清”每年的六年级毕业试卷，总会出现用平均分知识解答的题目，1、单价问题2、出油问题3、油耗问题 4、钢材问题面对以上问题，学生往往束手无策，只是胡乱得用两个数相除，出错率总是居高不下。【成因聚焦】平均分的概念建立不到位解决上述问题，主要用到的是平均分知识。我认为之所以产生这种现象，是因为学生“平均分”的概念建立不到位。很多教师在教学“平均分”时，特别注重两个问题的研究：一是什么叫平均分；二是怎么平均分。主要采取动手操作的教学方式帮助学生理解平均分的意义，获得平均分的方法，求的平均分的结果，引进除法算式。而对平均分的要领——把“什么东西平均分”“平均分成几份”却研究得不多，这恰恰是解决上述几个问题的关键。2、数学模型的建构缺失“每千克橘子多少元”，这是一道典型的求单价的问题，可以直接利用“总价÷数量=单价”这一数量关系列式计算。为什么数量关系如此清晰的题目，学生还是出现错误呢？我想原因是数学模型的建构缺失，即“总价、单价、数量”三个数量关系之间的关系没有建立起来。由于新教材淡化了应用题解题方法的训练，淡化了数量关系的概括，很多低年级教师不知道这些数量关系什么时候出现，在涉及相关问题的解决过程中是否要帮助学生总结、强化这些数量关系，使得学生在课堂教学中缺失了有目的的建构数学模型的行为。大数除以小数的负迁移学习“平均分”到学习“除法”，再到“小数除法”，学生接触到的凡是用除法解决的问题，都是用“大数除以小数”列式计算的，从来没有出现用“小数除以大数”的现象。长此以往，学生在不断的联系中，逐渐形成这样一种条件反射——当发现需要用除法解决问题时，根本不加考虑，直接用“大数除以小数”列式计算。此外，在学生初次接触由平均分引入除法时，教师既没有较好地引导学生总结、掌握“把什么东西平均分”“平均分成几份”的解题策略，又没有及时帮助学生建立数学模型，无形中加剧了学生看到除法就用“大数除以小数”的错误条件反射的建立，形成思维定势。【对策链接】一、关注平均分的过程，理清平均分的要领在教学“平均分”时，我们不能把目光仅仅停留在理解“什么叫平均分、怎样平均分”上，而要重点研究“把什么东西平均分、平均分成几份”。在指导学生进行每一次平均分的过程中，不断引导学生体会平均分时必须搞清楚这两个关键问题。二、研究平均分的现象，适时建构数学模型在“平均分”的教学过程中，我们要注重研究平均分的现象，透过现象抽象出具有一般规律性的知识，并加以总结、提炼，适时形成数量关系。同时帮助学生把教材中分散编排且不对数量关系进行整理的“解决问题”现状加以分析，及时进行必要的梳理与整合，使学生较好地理解和