2024届江苏省南通市高三第二次适应性调研数学试题含答案

第1页/共1页2024届江苏省南通市高三第二次适应性调研数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.=A B. C. D.2.已知复数满足，则（）A B.5 C. D.23.若，则等于（）A.49 B.55 C.120 D.1654.已知对于任意，都有，且，则（）A.4 B.8 C.64 D.2565.已知函数（）在区间上单调递增，则的最大值为（）A. B. C. D.6.某同学在一次数学测试中的成绩是班级第三名，成绩处于第90百分位数，则该班级的人数可能为（）A.15 B.25 C.30 D.357.已知曲线与曲线在第一象限交于点，在处两条曲线的切线倾斜角分别为，，则（）A. B.C. D.8.在棱长为2的正方体中，，，分别为棱，，的中点，平面截正方体外接球所得的截面面积为（）A B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置上.9.已知向量在向量方向上投影向量为，向量，且与夹角，则向量可以为（）A. B. C. D.10.已知椭圆（）的左，右焦点分别为，，上，下两个顶点分别为，，的延长线交于，且，则（）A.椭圆的离心率为B.直线的斜率为C.为等腰三角形D.11.某农科所针对耕种深度（单位：cm）与水稻每公顷产量（单位：t）的关系进行研究，所得部分数据如下表：耕种深度/cm81012141618每公顷产量/t681112已知，用最小二乘法求出关于的经验回归方程：，，，数据在样本，的残差分别为，.（参考数据：两个变量，之间的相关系数为，参考公式：，，）则（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，当时，_________.13.已知二面角为直二面角，，，，，则与，所成的角分别为，，与所成的角为___________.14.已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过程.15.设数列的前项和为，若，.（1）求，，并证明：数列是等差数列；（2）求.16.已知函数，，.（1）求函数的单调区间；（2）若且恒成立，求的最小值.17.某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老师担任教练.（1）从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？（2）某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生概率都相等，每位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为.传球从老师开始，记为第一次传球，前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？18.已知三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，为的重心，.（1）求证：；（2）已知，平面，且平面.①求证：；②求与平面所成角的正弦值.19.已知双曲线的渐近线为，左顶点为.（1）求双曲线的方程；（2）直线交轴于点，过点的直线交双曲线于，，直线，分别交于，，若，，，均在圆上，①求的横坐标；②求圆面积的最小值.2024届江苏省南通市高三第二次适应性调研数学试题2024年高考适应性考试（二）数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.=A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用降次公式求得所求表达式的值.【详解】依题意.故选：A【点睛】本小题主要考查降次公式，属于基础题.2.已知复数满足，则（）A. B.5 C. D.2【答案】C【解析】【分析】设，得到，利用复数相等，得到，即可求出，再利用复数模的定义，即可求出结果.【详解】设，则，又，所以，解得，得到，所以，故选：C.3.若，则等于（）A.49 B.55 C.120 D.165【答案】D【解析】【分析】依题意可得，再根据组合数的性质计算可得.【详解】因为二项式展开式的通项为（且），又，所以.故选：D4.已知对于任意，都有，且，则（）A.4 B.8 C.64 D.256【答案】D【解析】【分析】由题意有，得，求值即可.【详解】由，当时，有，由，则有.故选：D5.已知函数（）在区间上单调递增，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件，利用辅助角公式得到，再利用的图象与性质，得到的单调增区间，再根据条件，可得到，即可求出结果.【详解】因为，又，由，得到，所以函数的单调增区间为，依题有，则，得到，故选：B.6.某同学在一次数学测试中的成绩是班级第三名，成绩处于第90百分位数，则该班级的人数可能为（）A.15 B.25 C.30 D.35【答案】C【解析】【分析】由题意可知该同学的排名应该在班级人数的前10%，根据百分位数的定义计算即可求解.【详解】因为同学的成绩处于第90百分位数，所以他比班级中90%的同学成绩都要好，而他的成绩位于班级第3名，则他的排名应该在班级人数的前10%，由百分位数的定义知，班级人数的估计值为.故选：C7.已知曲线与曲线在第一象限交于点，在处两条曲线的切线倾斜角分别为，，则（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】联立曲线曲线与曲线方程求出切点，再由圆的切线与圆心和切点连线垂直，结合两垂直直线斜率乘积等于可求出在处圆的切线斜率，从而得出；由导数知识里在某点处的切线方程求法可得出，进而根据两角和与差的正切公式进行检验判断即可.【详解】因为曲线，即，所以曲线是以为圆心，为半径圆，且，即曲线过原点O，联立，得，所以在处圆的切线斜率为，所以，由，所以曲线在A处的切线斜率为，又，所以，所以，从而，即，故A正确，C错误，注意到，，且，故B、D错误，故选：A.8.在棱长为2的正方体中，，，分别为棱，，的中点，平面截正方体外接球所得的截面面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据正方体的几何性质确定外接球半径，设球心为，求解到截面的距离，从而可得截面圆的面积.【详解】取正方体的中心为，连接，由于正方体的棱长为2，所以正方体的面对角线长为，体对角线长为，正方体外接球球心为点，半径，又易得，且，所以三棱锥为正四面体，如图所示，取底面正三角形的中心为，即点到平面的距离为，又正三角形的外接圆半径为，由正弦定理可得，即，所以，即正方体外接球的球心到截面的距离为，所以截面被球所截圆的半径，则截面圆的面积为.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置上.9.已知向量在向量方向上的投影向量为，向量，且与夹角，则向量可以为（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】向量在向量方向上的投影向量为，根据此公式可求，再逐项求出夹角后可得正确的选项.【详解】由题设可得，故，而，与夹角，故，故，对于A，，因，故，故A正确.对于B，，因，故，故B错误.对于C，，因，故，故C错误.对于D，，因，故，故D错误.故选：AD.10.已知椭圆（）左，右焦点分别为，，上，下两个顶点分别为，，的延长线交于，且，则（）A.椭圆的离心率为B.直线的斜率为C.为等腰三角形D.【答案】ACD【解析】【分析】利用椭圆定义结合余弦定理求解角的三角函数值，在同一个三角形中将离心率表示为三角函数值，求出离心率即可判断A，先求出倾斜角的正切值，再利用斜率的几何意义判断B，利用椭圆的定义得到边相等，证明是等腰三角形判断C，求解关键点的坐标，结合两点间距离公式判断D即可.【详解】对于A，连接，，，，，，在中，，故有，解得，则，而在中，，，故A正确，对于B，而的倾斜角为，而，则，故B错误.对于C，由已知得，是等腰三角形，故C正确，对于D，因为，则，故，易知的方程为，设，联立方程组，解得或，故，又，即，由两点距离公式得，而，，故D正确.故选：ACD.11.某农科所针对耕种深度（单位：cm）与水稻每公顷产量（单位：t）的关系进行研究，所得部分数据如下表：耕种深度/cm81012141618每公顷产量/t681112已知，用最小二乘法求出关于的经验回归方程：，，，数据在样本，的残差分别为，.（参考数据：两个变量，之间的相关系数为，参考公式：，，）则（）A. B.C D.【答案】ABD【解析】【分析】根据题设条件、最小二乘法求回归方程及残差求法，对各个选项逐一分析判断，即可求出结果.【详解】对于选项A，因为，，所以，得到，所以，得到，所以选项A正确，对于选项B，因为，又,，所以，所以，故选项B正确，对于选项C，因为，所以选项C错误，对于选项D，因为，得到，，所以，所以选项D正确，故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，当时，_________.【答案】1【解析】【分析】根据导数的定义即可直接求解.【详解】由导数的定义知，，由，得，所以.故答案为：113.已知二面角为直二面角，，，，，则与，所成的角分别为，，与所成的角为___________.【答案】##【解析】【分析】如图，设，根据勾股定理求得，，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线线角即可.【详解】如图，，则两两垂直.作，垂足分别为，连接，则，所以为与的所成角，为与的所成角，即，，建立如图空间直角坐标系，设，则，得，，所以，取，则，又，所以，即与所成的角为.故答案为：14.已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为__________.【答案】【解析】【分析】设出直线AB的方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系，利用中点坐标公式可表示出线段中点的坐标，化简，即可得答案.【详解】由题意知直线的斜率不为0，设的方程为，联立抛物线方程，得，，设，则，设线段中点，则，即，故线段中点的轨迹方程为，即，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分，解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过程.15.设数列的前项和为，若，.（1）求，，并证明：数列是等差数列；（2）求.【答案】（1），，证明见解析；（2）420.【解析】【分析】（1）直接代入可得，再代入，结合的值求出；再由仿写出，作差后得到，即可证明结果.（2）由（1）知数列为等差数列，然后代入等差数列的前项和公式求解即可.【小问1详解】当时，由条件得，所以.当时，由条件得，所以.因为，所以（），两式相减得：，即，所以，从而数列为等差数列.【小问2详解】由（1）知，所以，所以数列为等差数列，首项为，所以，所以.16.已知函数，，.（1）求函数的单调区间；（2）若且恒成立，求的最小值.【答案】（1）答案见解析（2）.【解析】【分析】（1）求导后，利用导数与函数单调性的关系，对与分类讨论即可得；（2）结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解.【小问1详解】（），当时，由于，所以恒成立，从而在上递增；当时，，；，，从而在上递增，在递减；综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.【小问2详解】令，要使恒成立，只要使恒成立，也只要使.，由于，，所以恒成立，当时，，当时，，所以，解得：，所以的最小值为.17.某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老师担任教练.（1）从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？（2）某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等，每位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为.传球从老师开始，记为第一次传球，前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？【答案】（1）9种（2）.【解析】【分析】（1）法一，利用分步乘法计数原理集合组合数的计算，即可求得答案；法二，利用间接法，即用不考虑队长人选对甲的限制的所有选法，减去甲担任队长的选法，即可得答案；（2）考虑第一次传球，老师传给了甲还是传给乙、丙、丁中的任一位，继而确定第二次以及第三次传球后球回到老师手中的情况，结合乘法公式以及互斥事件的概率求法，即可求得答案.【小问1详解】法一，先选出队长，由于甲不担任队长，方法数为；再选出副队长，方法数也是，故共有方法数为（种）.方法二先不考虑队长人选对甲的限制，共有方法数为（种）；若甲任队长，方法数为，故甲不担任队长的选法种数为（种）答：从甲、乙、丙、丁中任选两人分别担任队长和副队长，甲不担任队长的选法共有9种.【小问2详解】①若第一次传球，老师传给了甲，其概率为；第二次传球甲只能传给乙、丙、丁中的任一位同学，其概率为；第三次传球，乙、丙、丁中的一位传球给老师，其概率为，故这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为：.②若第一次传球，老师传给乙、丙、丁中的任一位，其概率为，第二次传球，乙、丙、丁中的一位传球给甲，其概率为，第三次传球，甲将球传给老师，其概率为，这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为，所以，前三次传球中满足题意的概率为：.答：前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是.18.已知三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，为的重心，.（1）求证：；（2）已知，平面，且平面.①求证：；②求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②.【解析】【分析】（1）连交于，由重心可得为的中点，由已知借助三角形全等证得，再由线面垂直的判定、性质推理即得.（2）①由给定条件，证得三棱锥为正四面体，进而证得平面，再得用线面垂直的性质得结论；②以的重心为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求出，再由向量共线求出点，进而利用线面角的向量求法求解即得.【小问1详解】在三棱柱中，连交于，连，由为的重心，得为的中点，由，，，得，则，因此，，又平面，于是平面，而平面，则，又，所以.【小问2详解】①由，，得为正三角形；同理，也为正三角形，则，从而三棱锥的所有棱长均为2，该四面体为正四面体，由为的重心，得平面，又平面，显然不在直线上，所以.②设的重心为，则，在平面内，过作，连，有平面，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，，则，，，，，则，由，得，由平面，则设，而，则存在实数，使，即，解得，，，即，，令，，令，设与平面所成的角为，因此，所以与平面所成角的正弦值.【点睛】关键点点睛：用向量法求直线与平面所成的角，求出平