2024年上海市南模中学高二数学4月段考试卷附答案解析

年上海市南模中学高二数学4月段考试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.1．已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为．2．直线被圆截得的弦长为.3．直线：，：它们的夹角为4．设直线l经过点，则当点与直线l的距离最远时，直线l的方程为．5．若椭圆的离心率为，则.6．已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为．7．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为cm.8．已知圆，圆，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程为．9．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是．10．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且，若双曲线为等轴双曲线，则椭圆的离心率为．11．已知是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，为坐标原点.当时，，则.12．已知曲线，，其中.①当时，曲线与有4个公共点；②当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积；③，曲线围成的区域面积等于围成的区域面积；④，曲线围成的区域内整点（即横、坐标均为整数的点）个数不少于曲线围成的区域内整点个数.其中，所有正确结论的序号是.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．已知直线与直线互相平行，则实数的值为(

)A． B．2或 C．2 D．14．设为坐标原点，为抛物线的焦点，是抛物线上一点，若，则点的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．315．已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（

）A． B． C． D．16．《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知双曲线，若双曲线右焦点到渐近线的距离记为，双曲线的两条渐近线与直线，以及双曲线的右支围成的图形（如图中阴影部分所示）绕轴旋转一周所得几何体的体积为（其中），则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17．已知平面内两定点，动点P满足．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若直线与曲线C交于不同的两点A、B，求．18．已知直线和圆．(1)判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长；(2)求过点且与圆相切的直线方程．19．某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为，线路AB段上的任意一点N到景点M的距离比到景点的距离都多6km，线路BC段上任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy.（1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G位置？20．已知双曲线的左、右焦点为．(1)若双曲线的离心率为，且，是正三角形，求的方程；(2)若，点在双曲线的右支上，且直线的斜率为．若，求(3)在（1）的条件下，若动直线与恰有1个公共点且与的两条渐近线分别交于记的面积为，的面积为（是坐标原点），问：是否存在最小值？若存在，求出该最小值，若不存在，请说明理由.21．已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，过F与垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为，的中点.(1)若，求点M的横坐标；(2)证明：直线过定点；(3)设G为直线与直线的交点，求面积的最小值.1．【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答.【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，由双曲线的离心率为，得，解得，则，所以双曲线的方程为.故答案为：2．【分析】利用点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式计算即得.【详解】圆的圆心，半径，点到直线的距离，所以所求弦长为.故答案为：3．【分析】直接利用夹角公式得到答案.【详解】设两条直线的斜率为的斜率为，这两条直线的夹角为，则，由两条直线的夹角公式得，所以.故答案为：.4．【分析】由题可知当直线时，点与直线的距离最大，即求直线方程.【详解】当直线时，点与直线的距离最大，此时直线的斜率为，所以直线的斜率为.所以此时的方程为,即为.故答案为：.5．2或【详解】当时，焦点在轴上，则，，则；当时，焦点在轴上，则，则.故答案为：2或.6．【分析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解.【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，则，所以，，即四边形面积等于.故答案为：.7．【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为，根据题意得到点的坐标，代入求出参数的值，即可得解.【详解】如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，依题意可得的坐标为，设抛物线的标准方程为，则，解得.故该抛物线的焦点到准线的距离为cm.故答案为：8．【分析】设圆的半径为，根据题意可得，两式相减，再结合双曲线的定义即可得解.【详解】设圆的半径为，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，因为圆与圆、圆外切，则，所以，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，又，则，所以其轨迹方程为．故答案为：．9．5【详解】试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.10．【分析】设，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得，再由余弦定理，可得，与的关系，结合离心率公式，可得，的关系，计算可得所求值．【详解】设，为第一象限的交点，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，由椭圆和双曲线的定义可得，解得，在三角形中，，由余弦定理可得，，即有，可得，即为，由双曲线为等轴双曲线，所以，可得.故答案为：．11．【分析】过作准线的垂线，过作的垂线，垂足分别为，结合条件及抛物线的定义可求得，在中，利用余弦定理即可求出结果.【详解】由抛物线的对称性，不妨设在第一象限，过作准线的垂线，过作的垂线，垂足分别为．如图所示，由题意知，，因为，易知，又点到准线的距离为：，解得，在中，，，由余弦定理得，所以，

故答案为：.12．①③④【解析】当时，由可解得交点坐标，即可判断①；当时，可知，当取同一个值时，即可判断②；当时，，当与的方程中取同一个大于的数，可得即可判断③；分别讨论当和时的整数点比较可判断④，进而可得正确答案.【详解】对于①：当时，曲线，，令可得，当时，，当时，，所以与有4个公共点分别为，，，，共个，故①正确；对于②：当时，由与的方程可知，当取同一个值时，，，当时，，所以，所以曲线围成的区域面积小于曲线围成的区域面积；故②不正确；对于③：当时，，当与的方程中取同一个大于的数，可得，所以，曲线围成的区域面积等于围成的区域面积；故③正确；对于④：当时，曲线围成的区域内整点个数等于曲线围成的区域内整点个数，当时，取同一个大于的数，可得，此时曲线围成的区域内整点个数较多，所以曲线围成的区域内整点个数不少于曲线围成的区域内整点个数，故④正确；故答案为：①③④【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分情况讨论和时，当取同一个值时，两个曲线方程中的大小的比较，此类多采用数形结合的思想.13．D【分析】两直线斜率存在时，两直线平行则它们斜率相等，据此求出a的值，再排除使两直线重合的a的值即可﹒【详解】直线斜率必存在，故两直线平行，则，即，解得，当时，两直线重合，∴．故选：D．14．C【分析】设，利用坐标运算计算，然后解方程即可.【详解】由已知，设，则，，由，故选：C.15．D【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由，则，解得，所以双曲线的一条渐近线为，则圆心到渐近线的距离，所以弦长.故选：D16．A【分析】先利用方程组求出直线与渐近线交点坐标，从而求出截面积，再利题设所给信息建立等量关系，构造关于离心率的齐次式，从而求出结果.【详解】令，可得截面为一个圆环．由可得；由，解得．所以截面的面积为，由对称性和祖暅原理可得所得几何体的体积为，即有，即有，解得，所以．故选：A.17．(1)(2)【分析】（1）由椭圆的定义即可得解.（2）联立直线与椭圆方程结合韦达定理、弦长公式即可得解.【详解】（1）由椭圆的定义知，P点的轨迹为椭圆，其中，所以所求动点P的轨迹C的方程为．（2）设,联立直线与椭圆的方程,消y整理得：，所以，，，∴.18．(1)相交，截得的弦长为2.(2)或.【分析】（1）利用点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系求解；（2）利用直线与圆相切与点到直线的距离公式的关系求解.【详解】（1）由圆可得，圆心,半径，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，直线被圆截得的弦长为.（2）若过点的直线斜率不出在，则方程为，此时圆心到直线的距离为，满足题意；若过点且与圆相切的直线斜率存在，则设切线方程为，即，则圆心到直线的距离为，解得，所以切线方程为，即，综上，过点且与圆相切的直线方程为或.19．（1）；（2）.【分析】（1）由题意结合双曲线即圆的定义可得轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；（2），由，写出两点间的距离，化为关于的函数，利用配方法求最值.【详解】解：（1）∵线路段上的任意一点到N景点的距离比到景点M的距离都多6，∴线路段所在的的曲线是以定点M，N为左右焦点的双曲线的左支，则其方程为；∵线路段上任意一点到O的距离都相等，∴线路段所在的曲线是以O为圆心，以为半径的圆，则其方程为；∵线路段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6，∴线路段所在的曲线是以定点Q，P为上下焦点的双曲线的下支，则其方程为.故轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程为；（2）设，由，则，由（1）得，，即.则.∴当时，.则站点为时，站点G到景点Q的距离最近.【点睛】本题考查轨迹方程的求法，训练了利用配方法求最值，考查运算求解能力，是中档题.20．(1)(2)(3)存在，最小值为1【分析】（1）由双曲线的离心率公式以及是正三角形的条件可求得a，b的值，则双曲线方程可求；（2）结合题干中的条件，利用正余弦定理求解即可；（3）设，联立直线方程与双曲线方程，结合韦达定理得出，再利用基本不等式求的最小值即可.【详解】（1）由题意得，又，且是正三角形，所以，所以，故双曲线的方程为．（2）直线的斜率为，，，，又，设，则，在△中由正弦定理可得：，.在△中由余弦定理可得：，解得，∴，即.（3）存在最小值.不妨设，联立，消得，由△，得，联立，得，同理得，所以，即，所以当且仅当时等号成立.所以存在最小值，且最小值为1.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.21．(1)2(2)证明见解析(3)8【分析】（1）由抛物线焦半径公式可得；（2）思路一设出两直线、方程，直曲联立，用韦达定理表示坐标，点斜式写出直线方程，再由两直线垂直得到，找到定点；思路二设出两点坐标，直曲联立，用韦达定理得到坐标，再得到直线方程，找到定点；（3）法一表示出，用基本不等式得到，用直线过定点得到，最后得到面积的最小值；法二由图形的几何关系得到，再由（2）中的法2可得，最后由基本不等式得到面积的最小值.【详解】（1）由题意知（2）思路一：由：，故，由直线与直线垂直，故两只直线斜率都存在且不为0，设直线、分别为，，有，、、、，联立：与直线，即有，消去x可得，，故、，则，故，，即，同理可得，当时，则：，即，由，即，故时，有，此时过定点，且该定点为，当时，即时，由，即时，有：，亦过定点，故直线过定点，且该定点为；思路二：设，，不妨设.设：，则.由，得，故，，，.所以.同理可得.若，则直线：，过点.若，则直线：，过点.综上