专题 勾股定理与赵爽弦图问题（ 基础题＆提升题＆压轴题 ）（原卷版）

八年级下册数学《第十七章勾股定理》专题勾股定理与赵爽弦图问题（基础题＆提升题＆压轴题）基础题基础题1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，a＜b，斜边是c，证明勾股定理的过程中用到的等式是（）A．a（b﹣a）＝ab﹣a2 B．（a+b）（b﹣a）＝b2﹣a2 C．（b﹣a）2+4×12ab＝c2 D．（a+b）2＝a2+2ab+2．（2022秋•朝阳区校级期末）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a＝3，弦c＝5，则小正方形ABCD的面积是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2021秋•温州期中）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个直角三角形，当EF＝7，DE＝12时，则正方形ABCD的边长是（）A．13 B．28 C．48 D．524．（2022秋•衡东县期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝24，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（）A．12 B．11 C．10 D．95．（2022春•青秀区校级期末）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是14，整个图形（连同空白部分）的面积是36，则大正方形ABCD的边长是．6．（2022秋•阳城县期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是．7．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，若图中正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为．8．（2022秋•西安月考）如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝2022，则S2的值是（）A．672 B．673 C．674 D．6759．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．在如图所示的“赵爽弦图”中，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD，EFGH都是正方形．若AB＝10，EF＝2，则AH的长为（）A．62 B．82 C．6 D．10．图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．49 B．51 C．76 D．9611．（2022春•思明区校级期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正确的结论是（）A．①② B．②④ C．①②③ D．①③12．（2021秋•金台区校级月考）四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图），大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则组成弦图的每个小直角三角形的两个直角边和为（）A．5 B．7 C．25 D．313．（2021春•忠县期末）本期，我们学习了用赵爽弦图证明勾股定理．在如图所示的赵爽弦图中，在DH上取点M使得DM＝GH，连接AM、CM．若正方形EFGH的面积为6，则△ADM与△CDM的面积之差为（）A．3 B．2 C．3 D．不确定14．（2022秋•台江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．将Rt△ABC绕点O依次旋转90°、180°和270°，构成的图形如图1所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．（1）请利用这个图形证明勾股定理；（2）图2所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个Rt△ABC绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转90°得到的，如果中间小正方形的面积为1cm2，这个图形的总面积为113cm2，AD＝2cm，则徽标的外围周长为cm．15．（2022秋•屯留区期末）阅读与思考阅读下列材料，完成后面的任务：赵爽“弦圈”与完全平方公式三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系，如图2，这是由8个全等的直角边长分别为a，b，斜边长为c的三角形拼成的“弦图”．由图可知，1个大正方形ABCD的面积＝8个直角三角形的面积+1个小正方形PQMN的面积．任务：（1）在图2中，正方形ABCD的面积可表示为，正方形PQMN的面积可表示为．（用含a，b的式子表示）（2）根据S正方形ABCD＝8S直角三角形+S正方形PQMN，可得（a+b）2，ab，（a﹣b）2之间的关系为．（3）根据（2）中的等量关系，解决问题：已知a+b＝5，ab＝4，求（a﹣b）2的值．提升题提升题1．（2022春•包河区期末）如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺成的大正方形，若勾为3，弦为5，则图中四边形ABCD的周长为．2．（2022秋•万州区校级期末）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，点H是DE的中点，阴影部分的面积为60，则AD的长为．3．（2022春•安庆期末）代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若∠ADE＝∠AED，AD＝45，则△ADE的面积为（）A．24 B．6 C．25 D．2104．（2022•大悟县校级开学）如图一所示，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图（2）所示的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若S1＝S2，则nmA．3-1 B．3-12 C．5-15．（2022•宜城市一模）如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，直角三角形的较长边为b，较短边为a．若小正方形与大正方形的面积之比为1：13，则a：b＝（）A．2：5 B．3：5 C．2：3 D．1：36．（2022春•高邮市期末）赵爽的“弦图”被誉为“中国数学界的图腾”，它是由四个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如图为“弦图”的一部分，正方形ABCD的边长为13，点M、N是正方形ABCD内的两点，且AM＝CN＝12，BM＝DN＝5，则MN的长为．7．如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图．连接AC，分别交EF、GH于点M，N，连接FN．已知AH＝3DH，且S正方形ABCD＝21，则图中阴影部分的面积之和为（）A．214 B．215 C．225 8．（2022•瑞安市校级开学）如图，为四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”．连接AC，HF相交于点O，BG与AC相交于点J．若OF＝FJ，已知S△BJC＝2，则正方形ABCD的面积为（）A．42+8 B．14 C．65 D．109．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在弦图中（如图2）连结AF，DE，并延长DE交AF于点K，连结KG．若AH＝2DH=22，则KGA．2 B．322 C．5 D10．（2022春•济宁月考）综合与实践．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．（1）我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形说明a2+b2＝c2．（2）业余数学爱好者向常春在1994年构造发现了一个新的证法：把两个全等的Rt△ABC和Rt△DAE按如图2所示的方式放置，∠DAB＝∠B＝90°，AB＝AD＝c，BC＝AE＝a，AC＝DE＝b．请你利用这个图形说明c2+a2＝b2．（提示：连接EC，CD）11．兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）．解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）．【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；【应用】（2）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．12．（2022秋•扬州期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2），也可以表示为4×12ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？（3）在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝4，BC＝5，AB＝6，设AH＝x，求x的值．压轴题压轴题1．（2022春•瑞安市期中）2002年北京国际数学家大会的会徽是一个“弦图”（如图1）．图2中，点P和点Q分别是线段AE和CG上的中点，连结DP，BP，DQ，BQ，则构成了一个“压扁”的弦图四边形BQDP，若记△DHQ和△BQG的面积分别为S1，S2，且S1S2=32，正方形A．12.5 B．15 C．17.5 D．202．（2023•桐乡市校级开学）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形MNPQ，记空隙处正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2（S1＞S2），则下列四个判断：①S1+S2=14S四边形MNPQ；②DG＝2AF；③若∠EMH＝30°，则S1＝3S2；④若点A是线段GF的中点，则3S1＝4SA．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③3．（2022秋•温州期末）如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成．点E为小正方形的顶点，延长CE交AD于点F，连结BF交小正方形的一边于点G，若△BCF为等腰三角形，AG＝5，则小正方形的面积为（）A．15 B．16 C．20 D．254．（2021秋•西湖区校级期中）如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成了一个大正方形ABCD，连结AC，交BE于点P，若正方形ABCD的面积为28，AE+BE＝7．则S△CFP﹣S△AEP的值是（）A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.55．（2022秋•霞浦县期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）．（1）利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示：；（2）用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足AE＝BC＝a，DE＝AC＝b，AD＝AB＝c，∠AED＝∠ACB＝90°，求证（1）中的定理结论；（3）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE＝m，HG＝n，求正方形BDFA的面积．（用m，n表示）6．为了突出勾股定理的价值，教科书上设计了大量的探究、验证活动，其中用“面积法”探究勾股定理的例子枚不胜举．受“面积法”启发，小明认为，利用赵爽弦图的一部分就可以证明勾股定理．（1）请把下面的证明过程补充完整；已知：将两个全等的直角三角形按图1所示拼在一起，其中∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝BD＝c，AC＝BE＝b，BC＝ED＝a，求证：a2+b2＝c2．证明：连接AD，过点A作AF⊥ED交DE的延长线于点F，则AF＝b﹣a．（2）应用：如图2，已知等腰直角三角形纸片ABC，∠C＝90°，AC＝BC，AB=2+1．点D，E分别在边AC，AB上，将△ABC沿DE所在直线折叠，使点A的对应点A'正好落在边BC上．若△A'BE为直角三角形，请直接写出7．（2022•南京模拟）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．（1）请根据“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程；探索研究：（2）小亮将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；问题解决：（3）如图2，若a＝6，b＝8，此时空白部分的面积为；（4）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积．8．（2022秋•苏州期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1的“弦图”（史称“赵爽弦图”）．（1）弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理；（2）如图2，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该“勾股风车”图案的面积；（3）如图3，将八个全等的直角三角形（外围四个和内部四个）紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+2S2+S3＝20，则S2＝．9．（2021春•交城县期中）勾股定理被誉为“千古第一定理”，长期以来人们对它进行了大量的研究，找到了数百种不同的验证方法，这些方法不但验证了勾股定理，而且丰富了研究数学问题的方法和手段，促进了数学的发展．某数学兴趣小组受“赵爽弦图”的启发，对勾股定理的验证进行了如下探究：实践操作他们裁剪出若干张大小，形状完全相同的直角三角形纸片，三边长分别记为a，b，c，如图（1）所示．之后分别用4张直角三角形纸片拼成如图（2）（3）（4）所示的形状，通过观察推理，验证了勾股定理．定理验证（1）观察图（2）和图（3）可以发现：①它们整体上都是边长为的正方形；②阴影部分的面积都是由4个完全相同的直角三角形组成，所以阴影的面积为；③图（2）中空白部分面积用不同的方法表示可得关系式；图（3）中空白部分面积用不同的方法表示可得关系式；④从而得到a2+b2＝c2．（2）兴趣小组的同学通过观察图（4）中正方形的个数，以及它们之间的关系，验证了勾股定理，即a2+b2＝c2.请你帮他们写出推理验证的完整过程．创新构图（3）一个直立的火柴盒在平面上倒下，启迪人们发现了一种新的证明勾股定理的方法．如图（5）同样是用4个完全角三角形证明勾股定理．10．（2021春•市南区期中）【知识总结】几何学为人们当今的科学发展做出了杰出的贡献，中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长为3和4时，那么斜边的长为5”．上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a，b，c三者之间的数量关系是：a2+b2＝c2．用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的“赵爽弦图”．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．【温故知新】（1）如图①，求证：a2+b2＝c2；【问题解决】（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为48，OH＝6．求该图形的面积；（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、