《第十七章 勾股定理》知识串讲+热考题型（原卷版）

八年级下册数学《第十七章勾股定理》本章知识综合运用两个概念两个概念●●1、互逆命题：如果两个命题题设、结论正好相反.那么这两个命题叫做互逆命题.

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.●●2、互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.两个定理两个定理●●1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.应用勾股定理可以解决下面的问题：（1）已知直角三角形的任意两边长，求第三边长；（2）已知直角三角形的一边，求两边的关系；（3）解决勾股定理构造方程，解决实际问题.●●2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理.应用勾股定理逆定理可以解决下面的问题：（1）判断三角形的形状；（2）证明线段的位置关系；（3）证明线段之间的数量关系.两个应用两个应用●●1、勾股定理的应用利用勾股定理可以解决和直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题.常见的应用类型为:（1）化非直角三角形为直角三角形；（2）将实际问题转化为直角三角形模型.●●2勾股定理的逆定理的应用勾股定理的逆定理是从边的角度判定直角三角形的重要方法之一，在题目中若告诉三角形三边的数量关系，就需要借助勾股定理的逆定理判断这个三角形是不是直角三角形．四种思想方法四种思想方法●●1、方程思想：在直角三角形中，求线段的长时，常利用勾股定理建立方程求解.●●2、数学结合思想:勾股定理是三角形是直角三角形（形），得到三角形三边的数量关系（数），勾股定理的逆定理的是由三角形三边的数量关系（数），得到这个三角形是直角三角形（形），二者相互结合，能使抽象的数量关系直观化，从而有效分析和解决问题.●●3、建模思想：运用勾股定理解决实际问题的实质是将生活中的实际问题转化为数学问题，然后将已知和未知转化为直角三角形的边，利用勾股定理求出直角三角形的边，最后得出实际问题的解.●●4、分类讨论思想：在研究三角形的高时，应分直角三角形、锐角三角形和钝角三角形三种情况考虑，另外在探究直角三角形的边长时也应注意分类.题型一运用勾股定理求线段长题型一运用勾股定理求线段长【例题1】（2022秋•长春期末）已知三角形的两边分别为5和12，要使它是直角三角形，第三边的长应为．解题技巧提炼勾股定理的作用是已知直角三角形的两边求第三边，所以求直角三角形的边长时应该联想到勾股定理.【变式1-1】（2022秋•绿园区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15．求：（1）CD的长；（2）AD的长．【变式1-2】如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AC＝6，求AB、BC的长．【变式1-3】已知：如图，△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，求BC边上的高．题型二勾股定理的证明题型二勾股定理的证明【例题2】（2022秋•山亭区校级月考）如图是用硬纸板做成的两个直角边长分别为a，b，斜边长为c的全等三角形拼成的图形，观察图形，可以验证（）A．a2+b2＝c2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a+b）2＝a2+2ab+b2解题技巧提炼（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．【变式2-1】（2022春•交城县期中）勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法，如图所示四幅几何图形中，不能用于证明勾股定理的是（）A．B． C． D．【变式2-2】如图所示是传说中毕达哥拉斯证明勾股定理的一种方法，图（1）中大正方形的面积为边长分别为a，b的两个小正方形面积和四个三角形面积的和，即大正方形的面积为：；图（2）中大正方形的面积为边长为c的正方形与四个直角三角形的面积的和，即大正方形的面积为：；因为图（1）（2）中正方形的边长为a+b，面积相等，所以＝，即．【变式2-3】（2021秋•朝阳区期末）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×12ab，即（a+b）2＝c2+4×12ab，所以a2+b2【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．题型三赵爽弦图的应用题型三赵爽弦图的应用【例题3】（2022秋•莱阳市期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的一条直角边长为5，大正方形的边长为13，则中间小正方形的面积是（）A．144 B．64 C．49 D．25解题技巧提炼“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．常常利用勾股定理和完全平方公式来解决相关的求值问题.【变式3-1】（2022秋•海淀区校级期末）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为60，小正方形的面积为20，则（a+b）2的值为．【变式3-2】（2021秋•王益区期末）如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．若AB＝14cm，且AH：AE＝3：4，则AH＝cm．【变式3-3】（2022秋•平度市校级月考）如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49，②xy＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9，其中说法正确的结论有（填序号）．【变式3-4】（2021秋•乐山期末）如图，图（1）是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC＝5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是（）A．76 B．57 C．38 D．19题型四利用勾股定理求平面上两点之间的距离题型四利用勾股定理求平面上两点之间的距离【例题4】（2022春•天津期末）在平面直角坐标系中，点P（1，3）到原点的距离是（）A．4 B．10 C．22 D．无法确定解题技巧提炼(1)数轴上的两点A，B，则AB=x2(2)两点间的距离公式：设平面上任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），|P1P2|=(【变式4-1】（2022春•岳池县期末）在平面直角坐标系中，点P（1，3）到原点的距离是．【变式4-2】（2022秋•邢台期末）已知平面直角坐标系中，点P（m﹣2，4）到坐标原点距离为5，则m的值为．【变式4-3】已知点A（2，﹣1），点P在坐标轴上，PA＝2，则P点坐标为．【变式4-4】（2022秋•古田县期中）小亮在网上搜索到下面的文字材料：在x轴上有两个点它们的坐标分别为（a，0）和（c，0）．则这两个点所成的线段的长为|a﹣c|；同样，若在y轴上的两点坐标分别为（0，b）和（0，d），则这两个点所成的线段的长为|b﹣d|．如图1，在直角坐标系中的任意两点P1，P2，其坐标分别为（a，b）和（c，d），分别过这两个点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边P1Q＝|a﹣c|，P2Q＝|b﹣d|，利用勾股定理可得：线段P1P2的长为(a-c)2根据上面材料，回答下面的问题：（1）在平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（6，5），则线段AB的长为；（2）若点C在y轴上，点D的坐标是（﹣3，0），且CD＝6，则点C的坐标是；（3）如图2，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，3）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，求△ABC周长的最小值．题型五利用勾股定理解决折叠问题题型五利用勾股定理解决折叠问题【例题5】（2021秋•南海区校级月考）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝12，BC＝5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点F处，（1）求BD的长．（2）求AE的长．解题技巧提炼关于折叠问题要紧扣折叠前后的对应边相等，对应角相等，其解题步骤为：（1）利用重合的图形传递数据.（2）选择直角三角形，利用勾股定理列方程求解.【变式5-1】（2022秋•丹东期末）如图，Rt△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，那么NB的长为（）A．3 B．83 C．4 D．【变式5-2】（2022秋•锡山区校级月考）如图，长方形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB＝6，BC=96，则DFA．2 B．4 C．6 D．12【变式5-3】（2022春•任城区月考）如图．在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点．将正方形纸片折叠．点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4，求CF的长．题型六利用勾股定理解决最短路径问题题型六利用勾股定理解决最短路径问题【例题6】（2021秋•中牟县期末）如图，一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为8cm、8cm、12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B．蚂蚁要爬行的最短路程是cm．解题技巧提炼1、平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．2、几何体表面上两点间的最短路程的求法：将几何体表面展开，将立体几何图形问题转化为平面图形问题，然后利用“两点之间，线段最短”确定路线，最后利用勾股定理计算.【变式6-1】（2022秋•龙口市期末）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（）A．8km B．10km C．12km D．14km【变式6-2】（2022春•汉阴县月考）如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是120cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕几圈丝线到顶部B处做装饰，则按图中此方式缠绕的这条丝线的最小长度是cm．【变式6-3】（2021秋•锦江区校级期末）在一个长6+22米，宽为4米的长方形草地上，如图堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木块的主视图的高是2米的等腰直角三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是米．【变式6-4】（2022春•城厢区校级月考）如图，圆柱形玻璃杯高为8cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底2cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）．题型七用勾股定理探究规律题型七用勾股定理探究规律【例题7】（2021春•岚山区期末）如图，正方形ABCD的边长是2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，以该等腰直角三角形的一条直角边DE为边向外作正方形，其面积标记为S2按照此规律继续作图，则S2021的值为（）122018 B．122019 C．1解题技巧提炼以某个基本图形为背景的类推构造直角三角形求值问题屡见不鲜.解答这类题目,有时需要我们根据勾股定理依次计算,然后探索其中隐含的规律并灵活利用这个规律.【变式7-1】（2022春•湖北期末）图甲是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如图乙中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，按此规律，在线段OA1，OA2，OA3，…，OA20中，长度为整数的线段有（）条．A．3 B．4 C．5 D．6【变式7-2】（2022秋•增城区期末）如图，Rt△ABO中，∠A＝90°，AO＝2，AB＝1．以BC＝1，OB为直角边，构造Rt△OBC；再以CD＝1，OC为直角边，构造Rt△OCD；…，按照这个规律，在Rt△OHI中，点H到OI的距离是（）A．223 B．336 C．310【变式7-3】（2022春•通川区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（﹣1，0），以OA1为直角边作等腰Rt△OA2A3，再以OA3为直角边作等腰Rt△OA3A4，…，按此规律进行下去，则点A2022的坐标为．【变式7-4】细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：12+1＝2，S1=12，(2)2+1＝3，S2=22，（1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律．（2）推算出OA10的长．（3）求出S12+S22+S32+…+S1002的值．题型八题型八勾股定理的逆定理的应用【例题8】（2021秋•兰州期末）如图，已知等腰△ABC的底边BC=85cm，D是腰BA延长线上一点，连接CD，且BD＝16cm，CD＝8（1）判断△BDC的形状，并说明理由；（2）求△ABC的周长．解题技巧提炼勾股定理的逆定理是从边的角度判定直角三角形的重要方法之一，在题目中若告诉三角形三边的数量关系，就需要借助勾股定理的逆定理判断这个三角形是不是直角三角形.【变式8-1】甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，两人从同一地点同时出发，甲、乙两位探险者的速度分别为3km/h、4km/h，且2h后分别到达A，B点，若A，B两点的直线距离为10km，甲探险者沿着北偏东30°的方向行走，则乙探险者的行走方向可能是（）A．南偏西30° B．北偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60°【变式8-2】（2022春•辛集市期末）如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝2，DE＝4，AE＝8．（1）求证：∠ADC＝90°；（2）求DF的长．【变式8-3】如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2，DF＝1，请你判定△BEF的形状，并说明理由．【变式8-4】（2021秋•榆林期末）2021年12月12日是西安事变85周年纪念日，西安事变及其和平解决在中国社会发展中占有重要的历史地位，为中国社会的发展起到了无可替代的作用．为此，某社区开展了系列纪念活动，如图，有一块三角形空地ABC，社区计划将其布置成展区，△BCD区域摆放花草，阴影部分陈列有关西安事变的历史图片，现测得AB＝20米，AC＝105米，BD＝6米，CD＝8米，且∠BDC＝90°．（1）求BC的长；（2）求阴影部分的面积．题型九利用勾股定理的逆定理进行证明或计算题型九利用勾股定理的逆定理进行证明或计算【例题9】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6．求证：BA⊥AD．解题技巧提炼当所给的已知条件相对分散时，可以考虑添加辅助线将分散的条件集中在一起，利用了旋转的性质：旋转前后两个图形全等，即对应角相等，对应线段相等；也考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理以及逆定理的运用．【变式9-1】如图，在四边形ABCD中，已知AB＝5，BC＝3，CD＝6，AD＝25，若AC⊥BC，求证：AD∥BC．【变式9-2】（2022秋•门头沟区期末）如图，在正方形网格内，A、B、C、D四点都在小方格的格点上，则∠BAC+∠DAC＝（）A．30° B．45° C．60° D．90°【变式9-3】（2022秋•鹿城区校级期中）如图，已知∠BAC＝90°，BC=3，AB＝1，AD＝CD＝1，则∠BAD＝【变式9-4】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，求∠BPC的度数．题型十方程思想在勾股定理中的应用题型十方程思想在勾股定理中的应用【例题10】如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．（1）作AD⊥BC于点D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD，则CD＝；（2）分别在Rt△ADC和Rt△ADB中根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；（3）利用勾股定理求出AD的长，再计算△ABC的面积．解题技巧提炼在直角三角形中，求线段的长时，常利用勾股定理建立方程求解.【变式10-1】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝16cm，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点B为圆心，BD长为半径画弧，交线段BC于点E．若BD＝CE，则AC的长为（）A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm【变式10-2】（2022秋•龙岗区期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD＝6m），踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（）m．A．212 B．152 C．6 D【变式10-3】（2022秋•莱西市期中）如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝9，BC＝15，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E．（1）判定△ABC的形状，并说明理由；（2）求AE的长．题型十一分类讨论思想在勾股定理中的应用题型十一分类讨论思想在勾股定理中的应用【例题11】（2022秋•南京期末）如图，已知点P是射线OM上一动点（P不与B重合），∠AOM＝45°，OA＝2，当OP＝时，△OAP是等腰三角形．解题技巧提炼在研究三角形的高时，应分直角三角形、锐角三角形和钝角三角形三种情况考虑，另外在探究直角三角形的边长时也应注意分类.【变式11-1】（2022秋•和平区校级期中）已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）A．12 B．7+7 C．12或7+7 【变式11-2】设计师要用四条线段CA，AB，BD，DC首尾相接组成如图所示的两个直角三角形图案，∠C与∠D为直角，已知其中三条线段的长度分别为1cm，9cm，5cm，第四条长为xcm，试求出所有符合条件的x的值．【变式11-3】（2021秋•洪洞县期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值．【变式11-4】（2022秋•二道区校级期末）定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割．（1）已知M、N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝30，AM＝5，求BN的长．题型十二综合压轴探究题题型十二综合压轴探究题【例题12】（2022秋•莱西市期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）AC＝cm；（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求此时t的值；（3）在运动过程中，当t＝值时，△ACP为等腰三角形（直接写出结果）解题技巧提炼勾股定理的综