数学复习构想检测：第二章函数、导数及其应用（十三）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课时作业（十三）变化率与导数、导数的计算一、选择题1．函数f（x)＝(x＋2a)（x－a)2A．2(x2－a2）B．2（x2＋a2）C．3（x2－a2）D．3（x2＋a2）解析：∵f（x）＝（x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2∴f′（x）＝3(x2－a2）．答案：C2．曲线f(x）＝2x－ex与y轴的交点为P，则曲线在点P处的切线方程为（）A．x－y＋1＝0B．x＋y＋1＝0C．x－y－1＝0D．x＋y－1＝0解析：曲线f(x)＝2x－ex与y轴的交点为(0，－1）．且f′（x)＝2－ex，∴f′(0）＝1。所以所求切线方程为y＋1＝x，即x－y－1＝0.答案:C3．f（x)＝x（2016＋lnx），若f′（x0）＝2017，则x0等于（）A．e2B．1C．ln2D．e解析:f′(x)＝2016＋lnx＋x×eq\f(1，x)＝2017＋lnx,由f′（x0)＝2017，得2017＋lnx0＝2017，则lnx0＝0，解得x0＝1.答案：B4．设曲线y＝eq\f（1＋cosx，sinx)在点eq\f(π,2)，1处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于（）A．－1B。eq\f（1,2）C．－2D．2解析：∵y′＝eq\f(－1－cosx,sin2x),∴y′｜＝－1,由条件知eq\f(1,a）＝－1，∴a＝－1,故选A。答案：A5．(2017·河北衡水四调）设过曲线f（x）＝－ex－x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x)＝ax＋2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（）A．[－1,2］B．（－1，2)C．[－2，1］D．（－2,1）解析：由题意得f′(x)＝－ex－1，g′（x）＝a－2sinx,则∀x1∈R，∃x2∈R,使得(－ex1－1）(a－2sinx2)＝－1，即函数y＝eq\f（1，ex1＋1)的值域为函数y＝a－2sinx2的值域的子集,从而(0,1）⊆[a－2，a＋2]，即a－2≤0，a＋2≥1⇒－1≤a≤2,故选A.答案：A6．（2016·四川卷)设直线l1，l2分别是函数f（x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－lnx，0〈x<1，,lnx，x>1）)图象上点P1,P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是()A．(0,1)B．(0，2)C．(0，＋∞)D．(1，＋∞）解析：设P1（x1,lnx1)，P2（x2，－lnx2）（不妨设x1〉1,0<x2<1),则由导数的几何意义得切线l1,l2的斜率分别为k1＝eq\f（1,x1)，k2＝－eq\f(1，x2）.由已知得k1k2＝－1，所以x1x2＝1。所以x2＝eq\f（1，x1)。所以切线l1的方程为y－lnx1＝eq\f(1，x1)（x－x1），切线l2的方程为y＋lnx2＝－eq\f（1,x2)（x－x2)，即y－lnx1＝－x1(x－eq\f(1，x1))。分别令x＝0得A（0，－1＋lnx1），B（0,1＋lnx1）．又l1与l2的交点为P(eq\f(2x1，1＋x\o\al（2,1))，lnx1＋eq\f（1－x\o\al(2,1),1＋x\o\al（2,1)))。∵x1>1,∴S△PAB＝eq\f（1,2）|yA－yB｜·|xP｜＝eq\f（2x1,1＋x\o\al(2,1))〈eq\f(1＋x\o\al（2,1）,1＋x\o\al(2，1)）＝1.∴0〈S△PAB<1，故选A。答案：A二、填空题7．(2017·武汉市调研测试)曲线f(x）＝xlnx在点M(1，f(1）)处的切线方程为________．解析：由题意，得f′(x）＝lnx＋1，所以f′(1)＝ln1＋1＝1，即切线的斜率为1。因为f（1）＝0，所以所求切线方程为y－0＝x－1，即x－y－1＝0。答案：x－y－1＝08．(2017·河北保定模拟，14）已知f(x）＝xlnx，若过曲线y＝f（x)上的点P的切线斜率为2，则点P的坐标为________．解析：设P（m,n）,易知f′(x）＝1＋lnx，则切线斜率为1＋lnm＝2,解得m＝e，∴n＝mlnm＝elne＝e。答案：(e，e）9．如图，y＝f（x）是可导函数,直线l:y＝kx＋2是曲线y＝f（x)在x＝3处的切线,令g(x)＝xf（x)，其中g′(x）是g（x)的导函数,则g′（3)＝________。解析：由题图可得曲线y＝f（x)在x＝3处切线的斜率等于－eq\f（1，3），即f′(3)＝－eq\f(1,3），因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x）＝f(x）＋xf′（x），g′（3)＝f(3)＋3f′（3）,由图可知f(3）＝1，所以g′（3）＝1＋3×－eq\f（1，3)＝0。答案:0三、解答题10．求下列函数的导数．（1)y＝x·tanx；(2）y＝(x＋1）（x＋2）(x＋3)；(3）y＝eq\f（ln2x＋1,x）.解析：(1)y′＝（x·tanx)′＝x′tanx＋x（tanx）′＝tanx＋x·eq\f（sinx,cosx)′＝tanx＋x·eq\f(cos2x＋sin2x,cos2x)＝tanx＋eq\f(x,cos2x).（2）y′＝(x＋1）′[（x＋2)（x＋3）]＋（x＋1）［（x＋2）（x＋3）］′＝(x＋2）（x＋3）＋(x＋1)（x＋2）＋(x＋1）（x＋3）＝3x2＋12x＋11.（3）y′＝eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(ln2x＋1，x)））′＝eq\f([ln2x＋1］′x－x′ln2x＋1,x2)＝eq\f(\f(2x＋1′，2x＋1）·x－ln2x＋1，x2）＝eq\f（\f(2x，2x＋1）－ln2x＋1，x2)＝eq\f（2x－2x＋1ln2x＋1,2x＋1x2).11．已知点M是曲线y＝eq\f(1,3)x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l,求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角α的取值范围．解析:(1）y′＝x2－4x＋3＝(x－2）2－1≥－1,∴当x＝2时,y′＝－1，y＝eq\f(5，3），∴斜率最小的切线过（2，eq\f(5,3）），斜率k＝－1,∴切线方程为x＋y－eq\f（11，3）＝0。(2）由(1）得k≥－1，∴tanα≥－1。又∵α∈［0，π］，∴α∈[0，eq\f（π,2）)∪［eq\f（3π，4），π).故α的取值范围为［0,eq\f(π,2)）∪［eq\f（3π,4）,π).12．已知函数f（x）＝x3－4x2＋5x－4。(1)求曲线f(x）在点（2,f(2)）处的切线方程;（2)求经过点A(2,－2）的曲线f（x）的切线方程．解析：(1）∵f′（x)＝3x2－8x＋5,∴f′（2)＝1，又f(2)＝－2,∴曲线在点（2，f（2))处的切线方程为y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.（2)设曲线与经过点A（2，－2)的切线相切于点P(x0，xeq\o\al(3，0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3xeq\o\al（2，0)－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2）＝（3xeq\o\al（2,0)－8x0＋5）(x－2)，又切线过点P（x0，xeq