2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列专题2.10 圆中的计算与证明的综合大题专项训练（50道）（举一反三）（苏科版）含解析

2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列专题2.10圆中的计算与证明的综合大题专项训练（50道）【苏科版】考卷信息：本套训练卷共50题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了圆中的计算与证明的综合问题的所有类型！一．解答题（共50小题）1．（2022秋•柯桥区月考）如图，D是⊙O弦BC的中点，A是⊙O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO＝8，BC＝12．（1）求线段OD的长；（2）当EO=2BE时，求DE2．（2022•市中区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．3．（2022秋•岱岳区期末）已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC、BD、CD的长；（2）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．4．（2022•济宁）如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD＝CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．5．（2022秋•辛集市期末）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作CD∥AB交⊙O于点D，连接AD，延长CD至点F，使BF＝BC．（1）求证：BF∥AD；（2）如图2，当CD为直径，半径为1时，求弧BD，线段BF，线段DF所围成图形的面积．6．（2022•凤翔县一模）如图，⊙O的直径为AB，点C在⊙O上，点D，E分别在AB，AC的延长线上，DE⊥AE，垂足为E，CD与⊙O相切于点C．（1）求证：∠A＝∠CDE；（2）若AB＝4，BD＝3，求CD的长．7．（2022秋•湛江校级月考）已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．（1）若PA＝6，求△PCD的周长．（2）若∠P＝50°求∠DOC．8．（2022秋•仪征市校级月考）如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．（1）正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为；（2）连接BE，BE是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由．9．（2022•高唐县二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠BAO＝30°，AC＝8．过点O作OH⊥AB于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．（1）求图中阴影部分的面积；（2）点P是BD上的一个动点（点P不与点B，D重合），当PH+PM的值最小时，求PD的长度．10．（2022•黔东南州模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O点作OE⊥AC，垂足为E．（1）求OE的长；（2）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积S．11．（2022秋•如东县期末）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，∠DAB＝30°，AB＝43．（1）求CD的长；（2）求阴影部分的面积．12．（2022秋•松滋市期末）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EO、FO，若DE＝43，∠DPA＝45°（1）求⊙O的半径．（2）若图中扇形OEF围成一个圆锥侧面，试求这个圆锥的底面圆的半径．13．（2022•沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD（1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD．14．（2022•本溪）如图，△ABC中，AB＝AC，点E是线段BC延长线上一点，ED⊥AB，垂足为D，ED交线段AC于点F，点O在线段EF上，⊙O经过C、E两点，交ED于点G．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠E＝30°，AD＝1，BD＝5，求⊙O的半径．15．（2022•崇左）如图，正方形ABCD的边长为1，其中弧DE、弧EF、弧FG的圆心依次为点A、B、C．（1）求点D沿三条弧运动到点G所经过的路线长；（2）判断直线GB与DF的位置关系，并说明理由．16．（2022•凉山州二模）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝20°，AD=CD，求：∠17．（2022•白云区一模）如图，⊙O的半径OA⊥OC，点D在AC上，且AD=2CD，OA（1）∠COD＝°；（2）求弦AD的长；（3）P是半径OC上一动点，连接AP、PD，请求出AP+PD的最小值，并说明理由．（解答上面各题时，请按题意，自行补足图形）18．（2022•西湖区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于F．（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求BE、CF的长．19．（2022•武昌区校级自主招生）如图，已知⊙O的直径为10，点A、B、C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（1）图①，当BC为⊙O的直径时，求BD的长．（2）图②，当BD＝5时，求∠CDB的度数．20．（2022•东莞市校级模拟）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．（1）当∠E＝∠F时，则∠ADC＝°；（2）当∠A＝55°，∠E＝30°时，求∠F的度数；（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．21．（2022•鹿城区校级模拟）如图，△ABC中，AB＞AC，AE是其外接圆的切线，D为AB上的点，且AD＝AC＝AE．求证：直线DE过△ABC的内心．22．（2022•鼓楼区校级模拟）如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．（1）求图1中∠APN的度数是；图2中，∠APN的度数是，图3中∠APN的度数是．（2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）．23．（2022•温州一模）如图，在⊙O上依次有A、B、C三点，BO的延长线交⊙O于E，AE=CE，过点C作CD∥AB交BE的延长线于D，AD交⊙O于点（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）连接OA、OF，若∠AOF＝3∠FOE，且AF＝3，求劣弧CF的长．24．（2022•岳麓区校级一模）如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝42，ON＝1，求⊙O的半径．25．（2022•普陀区模拟）如图，在⊙O中，AD、BC相交于点E，OE平分∠AEC．（1）求证：AB＝CD；（2）如果⊙O的半径为5，AD⊥CB，DE＝1，求AD的长．26．（2022•乌鲁木齐一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD＝45°．（1）若AB＝4，求弧CD的长；（2）若弧BC＝弧AD，AD＝AP，求证：PD是⊙O的切线．27．（2022•饶平县校级模拟）如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H．（1）当∠B+∠D＝90°时，求证：H是CD的中点；（2）若H为CD的中点，且CD＝22，BD=3，求AB28．（2022•苏州模拟）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC＝4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=32CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ（1）用关于x的代数式表示BQ＝，DF＝．（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．（3）当点P在点A右侧时，作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长．29．（2022•福建模拟）如图1，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点B作BE⊥AC，交⊙O于点D，垂足为E，连接AD．（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；（2）如图2，连接CD，点F在线段BD上，且DF＝2DC，G是BC的中点，连接FG，若FG＝2，CD＝22，求⊙O的半径．30．（2022•苏州模拟）如图，已知点D是△ABC外接圆⊙O上的一点，AC⊥BD于G，连接AD，过点B作直线BF∥AD交AC于E，交⊙O于F，若点F是弧CD的中点，连接OG，OD，CD（1）求证：∠DBF＝∠ACB；（2）若AG=62GE，试探究∠GOD与∠31．（2022•莱芜）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC＝BC，D为⊙O中AB上一点，延长DA至点E，使CE＝CD．（1）求证：AE＝BD；（2）若AC⊥BC，求证：AD+BD=2CD32．（2022•三明）如图①，②，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0），以点A为圆心，4为半径的圆与x轴交于O，B两点，OC为弦，∠AOC＝60°，P是x轴上的一动点，连接CP．（1）求∠OAC的度数；（2）如图①，当CP与⊙A相切时，求PO的长；（3）如图②，当点P在直径OB上时，CP的延长线与⊙A相交于点Q，问PO为何值时，△OCQ是等腰三角形？33．（2022•昆明）（1）如图（1），OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD交OC于点E．求证：CD＝CE；（2）若将图（2）中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F，交⊙O于B′，其他条件不变，那么上述结论CD＝CE还成立吗？为什么？（3）若将图（3）中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变，那么上述结论CD＝CE还成立吗？为什么？34．（2022•襄城区模拟）如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．35．（2022•台州校级模拟）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面．（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．（3）在（2）的条件下，小明把一只宽12cm的方形小木船放在修好后的圆柱形水管里，已知船高出水面13cm，问此小船能顺利通过这个管道吗？36．（2022•泰州模拟）如图，BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC，垂足为H，已知AD＝8，OH＝3．（1）求⊙O的半径；（2）若E是弦AD上的一点，且∠EBA＝∠EAB，求线段BE的长．37．（2022•河北）图1是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图2是车棚顶部截面的示意图，AB所在圆的圆心为O．车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积．（不考虑接缝等因素，计算结果保留π）38．（2022•咸宁模拟）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE＝BE．请证明此结论；（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，PA，PB组成⊙O的一条折弦．C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE＝PE+PB．可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立．请写出证明过程；（3）如图3，PA．PB组成⊙O的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．39．（2022•南开区一模）已知：如图1，在⊙O中，直径AB＝4，CD＝2，直线AD，BC相交于点E．（1）∠E的度数为；（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．40．（2022•安徽一模）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论．（2）证明：PA+PB＝PC．41．（2022•和平区一模）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE，OD．（Ⅰ）如图①，求∠ODE的大小；（Ⅱ）如图②，连接OC交DE于点F，若OF＝CF，求∠A的大小．42．（2022•和平区二模）已知AB是⊙O的直径，AB＝2，点C，点D在⊙O上，CD＝1，直线AD，BC交于点E．（Ⅰ）如图1，若点E在⊙O外，求∠AEB的度数．（Ⅱ）如图2，若点E在⊙O内，求∠AEB的度数．43．（2022•南开区二模）如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB＝30°，点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．（Ⅰ）如图1，当∠ACD＝45°时，请你判断DE与⊙O的位置关系并加以证明；（Ⅱ）如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．44．（2022•红桥区二模）已知⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，与CO的延长线于点P，CP与⊙O交于点D．（1）如图①，若AP＝AC，求∠B的大小；（2）如图②，若AP∥BC，∠P＝42°，求∠BAC的大小．45．（2022秋•镇海区期末）如图，在△ABC中，D在边AC上，圆O为锐角△BCD的外接圆，连结CO并延长交AB于点E．（1）若∠DBC＝α，请用含α的代数式表示∠DCE；（2）如图2，作BF⊥AC，垂足为F，BF与CE交于点G，已知∠ABD＝∠CBF．①求证：EB＝EG；②若CE＝5，AC＝8，求FG+FB的值．46．（2022秋•虹口区校级期末）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是AB上任一点（点P与点A、B重合），连接AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．（1）求∠APC和∠BPC的度数；（2）求证：△ACM≌△BCP；（3）若PA＝1，PB＝2，求四边形PBCM的面积；（4）在（3）的条件下，求AB的长度．47．（2022秋•赣榆区期中）铁匠王老五要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）请你帮助他算一算．（1）请说明方案一不可行的理由；（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长l及其底面圆半径r；若不可行，请说明理由．48．（2022•浙江校级自主招生）如图，已知圆O的圆心为O，半径为3，点M为圆O内的一个定点，OM=5，AB、CD是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M（1）当AB＝4时，求四边形ADBC的面积；（2）当AB变化时，求四边形ADBC的面积的最大值．49．（2022•浙江校级自主招生）如图，O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧AB上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC．若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．50．（2022•枣庄校级模拟）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC＝CF，∠CBF＝∠CFB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD＝5时，求BF的长和扇形DOE的面积；（3）填空：在（2）的条件下，如果以点C为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为5，则r的取值范围为．专题2.10圆中的计算与证明的综合大题专项训练（50道）【苏科版】考卷信息：本套训练卷共50题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了圆中的计算与证明的综合问题的所有类型！一．解答题（共50小题）1．（2022秋•柯桥区月考）如图，D是⊙O弦BC的中点，A是⊙O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO＝8，BC＝12．（1）求线段OD的长；（2）当EO=2BE时，求DE【分析】（1）连接OB，先根据垂径定理得出OD⊥BC，BD=12BC，在Rt△（2）在Rt△EOD中，设BE＝x，则OE=2x，DE＝6﹣x【解答】解：（1）连接OB．∵OD过圆心，且D是弦BC中点，∴OD⊥BC，BD=12在Rt△BOD中，OD2+BD2＝BO2．∵BO＝AO＝8，BD＝6．∴OD＝27；（2）在Rt△EOD中，OD2+ED2＝EO2．设BE＝x，则OE=2x，DE＝6﹣x（27）2+（6﹣x）2＝（2x）2，解得x1＝﹣16（舍），x2＝4．则DE＝2．2．（2022•市中区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．【分析】（1）要证明CF＝BF，可以证明∠ECB＝∠DBC；AB是⊙O的直径，则∠ACB＝90°，又知CE⊥AB，则∠CEB＝90°，则∠DBC＝90°﹣∠ACE＝∠A，∠ECB＝∠A，则∠ECB＝∠DBC；（2）在直角三角形ACB中，AB2＝AC2+BC2，又知，BC＝CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再利用面积法求得CE的长．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，∴∠ECB＝∠A．又∵C是BD的中点，∴CD=∴∠DBC＝∠A，∴∠ECB＝∠DBC，∴CF＝BF；（2）解：∵BC=∴BC＝CD＝6，∵∠ACB＝90°，∴AB=B∴⊙O的半径为5，∵S△ABC=12AB•CE=12∴CE=BC⋅AC3．（2022秋•岱岳区期末）已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC、BD、CD的长；（2）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．【分析】（1）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD＝CD＝52；（2）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD＝OB＝OD＝5．【解答】解：（1）如图①，∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB＝∠BDC＝90°．∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，∴由勾股定理得到：AC=B∵AD平分∠CAB，∴CD=∴CD＝BD．在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，∴易求BD＝CD＝52；（2）如图②，连接OB，OD，∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，∴∠DAB=12∠∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．又∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD＝OB＝OD．∵⊙O的直径为10，则OB＝5，∴BD＝5．4．（2022•济宁）如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD＝CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．【分析】（1）利用等弧对等弦即可证明．（2）利用等弧所对的圆周角相等，∠BAD＝∠CBD再等量代换得出∠DBE＝∠DEB，从而证明DB＝DE＝DC，所以B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．【解答】（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，∴由垂径定理得：BD∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD＝CD．（2）解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．理由：由（1）知：BD=∴∠1＝∠2，又∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴∠DBE＝∠3+∠4，∠DEB＝∠1+∠5，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠4＝∠5，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE．由（1）知：BD＝CD∴DB＝DE＝DC．∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．5．（2022秋•辛集市期末）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作CD∥AB交⊙O于点D，连接AD，延长CD至点F，使BF＝BC．（1）求证：BF∥AD；（2）如图2，当CD为直径，半径为1时，求弧BD，线段BF，线段DF所围成图形的面积．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠ADC＝∠DCB，进而可以解决问题；（2）连接OA，OB，由（1）得∠ACB＝∠BCD＝∠ADC，所以AC=AB=BD，可得△AOC和△AOB是等边三角形，可以求出BF的长，进而可得S△OBF和【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵CD∥AB，∴∠ABC＝∠DCB，∴∠ACB＝∠DCB，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ADC＝∠DCB，∵BF＝BC∴∠F＝∠BCD，∴∠F＝∠ADC，∴BF∥AD；（2）解：连接OA，OB，∵CD为直径，半径为1，∴CD＝2，OD＝OB＝OA＝OC＝1，由（1）知：∠ACB＝∠BCD＝∠ADC，∴AC=∴∠AOC＝∠AOB＝∠BOD＝60°，∴△AOC和△AOB是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∴∠ADC＝30°，∴∠F＝30°，∴∠FBO＝90°，OB＝1，∴BF=3弧BD，线段BF，线段DF所围成图形的面积为：S△OBF﹣S扇形OBD=12×OB•6．（2022•凤翔县一模）如图，⊙O的直径为AB，点C在⊙O上，点D，E分别在AB，AC的延长线上，DE⊥AE，垂足为E，CD与⊙O相切于点C．（1）求证：∠A＝∠CDE；（2）若AB＝4，BD＝3，求CD的长．【分析】（1）连接OC，根据三角形的内角和得到∠EDC+∠ECD＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，得到∠OCD＝90°，于是得到结论；（2）根据已知条件得到OC＝OB=12【解答】（1）证明：连接OC，∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°，∴∠ACO+∠DCE＝90°，∵DE⊥AE，∴∠E＝90°，∴∠EDC+∠ECD＝90°，∴∠EDC＝∠ACO，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠A＝∠CDE．（2）解：∵AB＝4，BD＝3，∴OC=OB=1∴OD＝2+3＝5，∴CD=O7．（2022秋•湛江校级月考）已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．（1）若PA＝6，求△PCD的周长．（2）若∠P＝50°求∠DOC．【分析】（1）根据切线长定理得到PA＝PB，AC＝CE，BD＝DE，根据三角形的周长公式计算即可；（2）证明Rt△AOC≌Rt△EOC，得到∠AOC＝∠COE和∠DOE＝∠BOD，计算即可．【解答】解：（1）连接OE，∵PA、PB与圆O相切，∴PA＝PB＝6，同理可得：AC＝CE，BD＝DE，△PCD的周长＝PC+PD+CD＝PC+PD+CE+DE＝PA+PB＝12；（2）∵PAPB与圆O相切，∴∠OAP＝∠OBP＝90°∠P＝50°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，在Rt△AOC和Rt△EOC中，OA=OEOC=OC∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL），∴∠AOC＝∠COE，同理：∠DOE＝∠BOD，∴∠COD=12∠8．（2022秋•仪征市校级月考）如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．（1）正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为2：1；（2）连接BE，BE是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由．【分析】（1）计算出在半径为R的圆中，内接正方形和内接正六边形的边长即可求出；（2）首先求得∠EOB的度数，然后利用360°除以∠EOB度数，若所得的结果是整数的即可．【解答】解：（1）设此圆的半径为R，则它的内接正方形的边长为2R，它的内接正六边形的边长为R，内接正方形和内接正六边形的边长比为2R：R=2故答案为：2：1；（2）BE是⊙O的内接正十二边形的一边，理由：连接OA，OB，OE，在正方形ABCD中，∠AOB＝90°，在正六边形AEFCGH中，∠AOE＝60°，∴∠BOE＝30°，∵n=360°∴BE是正十二边形的边．9．（2022•高唐县二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠BAO＝30°，AC＝8．过点O作OH⊥AB于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．（1）求图中阴影部分的面积；（2）点P是BD上的一个动点（点P不与点B，D重合），当PH+PM的值最小时，求PD的长度．【分析】（1）解直角三角形求出AH，OH，根据S阴＝S△AOH﹣S扇形OMH，求解即可．（2）作点M关于BD的对称点M′，连接HM′交BD于P，连接PM，连接PM，此时PH+PM的值最小，解直角三角形求出OP，OD即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝4，∵OH⊥AB，∴∠AHO＝90°，∵∠OAH＝30°，∴∠AOH＝60°，OH=12OA＝2，AH=3OH∴S阴＝S△AOH﹣S扇形OMH=12×2×23-（2）作点M关于BD的对称点M′，连接HM′交BD于P，连接PM，此时PH+PM的值最小．∵OH＝OM′，∴∠OHM′＝∠OM′H，∵∠AOH＝∠OHM′+∠OM′H＝60°，设OP＝m，则PM＝2m，∵PM2＝OM2+OP2，∴4m2＝m2+22，∴m=2∴PD＝OD+OP=43310．（2022•黔东南州模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O点作OE⊥AC，垂足为E．（1）求OE的长；（2）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积S．【分析】（1）根据∠D＝60°，可得出∠B＝60°，继而求出BC，判断出OE是△ABC的中位线，就可得出OE的长；（2）连接OC，将阴影部分的面积转化为扇形FOC的面积．【解答】解：（1）∵∠D＝60°，∴∠B＝60°（圆周角定理），又∵AB＝6，∴BC＝3，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OE⊥AC，∴OE∥BC，又∵点O是AB中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE=12BC（2）连接OC，则易得△COE≌△AFE，故阴影部分的面积＝扇形FOC的面积，S扇形FOC=60π×3即可得阴影部分的面积为32π11．（2022秋•如东县期末）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，∠DAB＝30°，AB＝43．（1）求CD的长；（2）求阴影部分的面积．【分析】（1）根据垂径定理和题意，可以求得AD和DE的长，再根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可得到OD的长，从而可以求得CD的长；（2）根据图形可知△OBE和△OAE全等，阴影部分的面积等于扇形AOD的面积，本题得以解决．【解答】解：（1）连接OA，∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，∠DAB＝30°，AB＝43，∴AE＝23，∠AED＝90°，∴ED＝2，AD＝4，∠ODA＝60°，∵OA＝OD，∴△OAD是等边三角形，∴OD＝AD＝4，∴CD＝2OD＝8；（2）∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，∠DAB＝30°，AB＝43，∴OA＝OB，AE＝BE，OE＝OE，∴△OEA≌△OEB，∴阴影部分的面积是：60×π×412．（2022秋•松滋市期末）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EO、FO，若DE＝43，∠DPA＝45°（1）求⊙O的半径．（2）若图中扇形OEF围成一个圆锥侧面，试求这个圆锥的底面圆的半径．【分析】（1）利用垂径定理得到CE＝DC=12DE＝23，OC=12OE，则∠（2）利用圆周角定理得到∠EOF＝2∠D＝90°，设这个圆锥的底面圆的半径为r，利用弧长公式得到2πr=90⋅π⋅4180，然后解关于【解答】解：（1）∵弦DE垂直平分半径OA，∴CE＝DC=12DE＝23，OC=∴∠OEC＝30°，∴OC=CE∴OE＝2OC＝4，即⊙O的半径为4；（2）∵∠DPA＝45°，∴∠D＝45°，∴∠EOF＝2∠D＝90°，设这个圆锥的底面圆的半径为r，∴2πr=90⋅π⋅4180，解得即这个圆锥的底面圆的半径为1．13．（2022•沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD（1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD．【分析】（1）由OD⊥ACOD为半径，根据垂径定理，即可得CD=AD，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分∠（2）首先由OB＝OD，易求得∠AOD的度数，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度数，然后由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB＝90°，继而可证得BC＝OD．【解答】证明：（1）∵OD⊥ACOD为半径，∴CD=∴∠CBD＝∠ABD，∴BD平分∠ABC；（2）∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠0DB＝30°，∴∠AOD＝∠OBD+∠ODB＝30°+30°＝60°，又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA＝90°，∴∠A＝180°﹣∠OEA﹣∠AOD＝180°﹣90°﹣60°＝30°，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，BC=12∵OD=12∴BC＝OD．14．（2022•本溪）如图，△ABC中，AB＝AC，点E是线段BC延长线上一点，ED⊥AB，垂足为D，ED交线段AC于点F，点O在线段EF上，⊙O经过C、E两点，交ED于点G．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠E＝30°，AD＝1，BD＝5，求⊙O的半径．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB，∠OCE＝∠E，推出∠ACO＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）根据已知条件得到∠CFO＝30°，解直角三角形得到DF=3AD=3，EF＝3OE【解答】（1）证明：连接CO，如图：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠E，∵DE⊥AB，∴∠BDE＝90°，∴∠B+∠E＝90°，∴∠ACB+∠OCE＝90°，∴∠ACO＝90°，∴AC⊥OC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵∠E＝30°，∴∠OCE＝30°，∴∠FCE＝120°，∴∠CFO＝30°，∴∠AFD＝∠CFO＝30°，∴DF=3∵BD＝5，∴DE＝53，∵OF＝2OC，∴EF＝3OE＝43，∴OE=4即⊙O的半径=415．（2022•崇左）如图，正方形ABCD的边长为1，其中弧DE、弧EF、弧FG的圆心依次为点A、B、C．（1）求点D沿三条弧运动到点G所经过的路线长；（2）判断直线GB与DF的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据弧长的计算公式，代入运算即可．（2）先证明△FCD≌△GCB，得出∠G＝∠F，从而利用等量代换可得出∠GHD＝90°，即GB⊥DF．【解答】解：（1）根据弧长公式得所求路线长为：90π×1180+90π×2（2）GB⊥DF．理由如下：在△FCD和△GCB中，∵CF=CG∠FCD=∠GCB∴△FCD≌△GCB（SAS），∴∠G＝∠F，∵∠F+∠FDC＝90°，∴∠G+∠FDC＝90°，∴∠GHD＝90°，∴GB⊥DF．16．（2022•凉山州二模）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝20°，AD=CD，求：∠【分析】连接BC，如图，根据圆周角定理得∠ACB＝90°，则利用互余可计算出∠B＝70°，再根据圆内接四边形的性质计算出∠D＝180°﹣∠B＝110°，接着根据圆周角定理和三角形内角和定理，由弧AD＝弧CD得到∠DAC＝∠DCA＝35°，然后得到∠DCB＝∠DCA+∠ACB＝125°．【解答】解：∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝20°，∴∠B＝70°，∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，∴∠D＝180°﹣∠B＝110°，∵AD=∴∠DAC＝∠DCA=1∴∠DCB＝∠DCA+∠ACB＝125°．17．（2022•白云区一模）如图，⊙O的半径OA⊥OC，点D在AC上，且AD=2CD，OA（1）∠COD＝30°；（2）求弦AD的长；（3）P是半径OC上一动点，连接AP、PD，请求出AP+PD的最小值，并说明理由．（解答上面各题时，请按题意，自行补足图形）【分析】（1）根据垂直的定义得到∠AOC＝90°，由已知条件得到∠AOD＝2∠COD，即可得到结论；（2）连接OD、AD，如图1所示：由（1）知∠AOD＝2∠COD＝2×30°＝60°，推出△AOD为等边三角形，根据等边三角形的性质得到；（3）过点D作DE⊥OC，交⊙O于点E，连接AE，交OC于点P，则此时，AP+PD的值最小，延长AO交⊙O于点B，连接BE，得到AP+PD最小值＝AP+PE＝AE，根据圆周角定理得到∠AED=12∠AOD＝30°，根据平行线的性质得到∠OAE＝∠AED＝30°，由于AB为直径，得到△【解答】解：（1）∵OA⊥OC，∴∠AOC＝90°，∵AD=2CD∴∠AOD＝2∠COD，∴∠COD=13∠故答案为：30；（2）连接OD、AD，如图1所示：由（1）知∠AOD＝2∠COD＝2×30°＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD为等边三角形，∴AD＝OA＝4；（3）过点D作DE⊥OC，交⊙O于点E，连接AE，交OC于点P，则此时，AP+PD的值最小，延长AO交⊙O于点B，连接BE，如图2所示：∵根据圆的对称性，点E是点D关于OC的对称点，OC是DE的垂直平分线，即PD＝PE，∴AP+PD最小值＝AP+PE＝AE，∵∠AED=12∠又∵OA⊥OC，DE⊥OC，∴OA∥DE，∴∠OAE＝∠AED＝30°，∵AB为直径，∴△ABE为直角三角形，由AEAB=cos∠BAE，AE＝AB•cos30°＝2×4即AP+PD=4318．（2022•西湖区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于F．（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求BE、CF的长．【分析】（1）首先延长CE交⊙O于点P，由垂径定理可证得∠BCP＝∠BDC，又由C是BD的中点，易证得∠BDC＝∠CBD，继而可证得CF＝BF；（2）根据勾股定理得到AB＝10，根据射影定理得到BE=BC2AB=3.6，根据三角形的面积公式得到CE=AC⋅BCAB=4.8，设CF＝x，则【解答】（1）证明：延长CE交⊙O于点P，∵CE⊥AB，∴BC=∴∠BCP＝∠BDC，∵C是BD的中点，∴CD＝CB，∴∠BDC＝∠CBD，∴∠CBD＝∠BCP，∴CF＝BF；（2）∵CD＝6，AC＝8，∴AB＝10，∴BE=B∴CE=AC⋅BCAB=4.8，设CF＝x，则FE＝4.8﹣x，BF∴（4.8﹣x）2+3.62＝x2，∴x=1519．（2022•武昌区校级自主招生）如图，已知⊙O的直径为10，点A、B、C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（1）图①，当BC为⊙O的直径时，求BD的长．（2）图②，当BD＝5时，求∠CDB的度数．【分析】（1）只要证明△BCD是等腰直角三角形即可解决问题；（2）首先证明△OBD是等边三角形，推出∠BOD＝60°，由CD=DB，推出∠CAD＝∠BAD＝30°，推出∠【解答】解：（1）如图1中，连接CD．∵BC为⊙O直径，∴∠CDB＝90°，∴∠CAB＝90°，∵AD是∠CAB的角平分线，∴∠DAB=1∴∠DCB＝∠DAB＝45°∴△CDB为等腰直角三角形，∵BC＝10，∴BD=52（2）连接OD、OB，∵⊙O直径为10，∴OB＝OD＝5，∴BD＝5，∴OB＝OD＝BD，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∵CD=∴∠CAD＝∠BAD＝30°，∴∠BAC＝60°，∵四边形CABD是圆内接四边形，∴∠CDB+∠BAC＝180°，∴∠CDB＝120°．20．（2022•东莞市校级模拟）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．（1）当∠E＝∠F时，则∠ADC＝90°；（2）当∠A＝55°，∠E＝30°时，求∠F的度数；（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．【分析】（1）由∠E＝∠F，易得∠ADC＝∠ABC，又由圆的内接四边形的性质，即可求得答案；（2）由∠A＝55°，∠E＝30°，首先可求得∠ABC的度数，继而利用圆的内接四边形的性质，求得∠ADC的度数，则可求得答案；（3）由三角形的内角和定理与圆的内接四边形的性质，即可求得180°﹣∠A﹣∠F+180°﹣∠A﹣∠E＝180°，继而求得答案．【解答】解：（1）∵∠E＝∠F，∠DCE＝∠BCF，∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠BCF+∠F，∴∠ADC＝∠ABC，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝90°．故答案为：90°；（2）∵在△ABE中，∠A＝55°，∠E＝30°，∴∠ABE＝180°﹣∠A﹣∠E＝95°，∴∠ADF＝180°﹣∠ABE＝85°，∴在△ADF中，∠F＝180°﹣∠ADF﹣∠A＝40°；（3）∵∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠F，∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠E，∵∠ADC+∠ABC＝180°，∴180°﹣∠A﹣∠F+180°﹣∠A﹣∠E＝180°，∴2∠A+∠E+∠F＝180°，∴∠A＝90°-∠E+∠F2=21．（2022•鹿城区校级模拟）如图，△ABC中，AB＞AC，AE是其外接圆的切线，D为AB上的点，且AD＝AC＝AE．求证：直线DE过△ABC的内心．【分析】设∠ACB的平分线与DE交于I，连接AI、CE，然后利用弦切角的性质得到∠ACB＝2∠AED，接着得到∠ACI＝∠AED，最后利用等腰三角形的性质解决问题．【解答】证明：设∠ACB的平分线与DE交于I，连接AI、CE，∵AE是△ABC外接圆的切线，∴∠ACB＝∠FAB＝180°﹣∠DAE，又AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠ACB＝180°﹣∠DAE＝∠ADE+∠AED＝2∠AED，∴∠ACI=12∠ACB＝∠∴A、E、I、C四点共圆，∵AC＝AE，∴∠AEC＝∠ACE，∴∠IAC＝∠IEC＝∠AEC﹣∠AED=180°-∠CAE2-180°-∠DAE2=12（∠∴AI为∠BAC的平分线，∴直线DE过△ABC的内心．22．（2022•鼓楼区校级模拟）如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．（1）求图1中∠APN的度数是60°；图2中，∠APN的度数是90°，图3中∠APN的度数是108°．（2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）(n-2)⋅180°n【分析】根据对顶角相等和三角形内角和外角的关系解答即可．【解答】解：（1）图1：∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，∴∠BAM＝∠CBN，又∵∠APN＝∠BPM，∴∠APN＝∠BPM＝∠ABN+∠BAM＝∠ABN+∠CBN＝∠ABC＝60°；同理可得：在图2中，∠APN＝90°；在图3中，∠APN＝108°．（2）由（1）可知，∠APN＝所在多边形的内角度数，故在图n中，(n-2)180°n23．（2022•温州一模）如图，在⊙O上依次有A、B、C三点，BO的延长线交⊙O于E，AE=CE，过点C作CD∥AB交BE的延长线于D，AD交⊙O于点（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）连接OA、OF，若∠AOF＝3∠FOE，且AF＝3，求劣弧CF的长．【分析】（1）先根据圆的性质得：∠CBD＝∠ABD，由平行线的性质得：∠ABD＝∠CDB，根据直径和等式的性质得：AB=BC，由一组对边平行且相等可得四边形ABCD是平行四边形，由AB＝（2）先设∠FOE＝x，则∠AOF＝3x，根据∠ABC+∠BAD＝180°，列方程得：4x+2x+12（180﹣3x）＝180，求出x的值，接着求【解答】（1）证明：∵AE=∴∠CBD＝∠ABD，∵CD∥AB，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD，∵BE是⊙O的直径，∴AB=∴AB＝BC＝CD，∵CD∥AB，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵∠AOF＝3∠FOE，设∠FOE＝x，则∠AOF＝3x，∠AOD＝∠FOE+∠AOF＝4x，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA=12（180﹣3∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝2x，∴∠ABC＝4x，∵BC∥AD，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴4x+2x+12（180﹣3x＝20°，∴∠AOF＝3x＝60°，∠AOE＝80°，∴∠COF＝80°×2﹣60°＝100°，∵OA＝OF，∴△AOF是等边三角形，∴OF＝AF＝3，∴CF的长=100π×324．（2022•岳麓区校级一模）如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝42，ON＝1，求⊙O的半径．【分析】（1）先根据圆周角定理得出∠BAD＝∠BCD，再由直角三角形的性质得出∠ANE＝∠CNM，故可得出∠BCD＝∠BAM，由全等三角形的判定定理得出△ANE≌△ADE，故可得出结论；（2）先根据垂径定理求出AE的长，设NE＝x，则OE＝x﹣1，NE＝ED＝x，r＝OD＝OE+ED＝2x﹣1连接AO，则AO＝OD＝2x﹣1，在Rt△AOE中根据勾股定理可得出x的值，进而得出结论．【解答】（1）证明：∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角，∴∠BAD＝∠BCD，∵AE⊥CD，AM⊥BC，∴∠AMC＝∠AEN＝90°，∵∠ANE＝∠CNM，∴∠BCD＝∠BAM，∴∠BAM＝BAD，在△ANE与△ADE中，∵∠BAM=∠BADAE=AE∴△ANE≌△ADE，∴AD＝AN；（2）解：∵AB＝42，AE⊥CD，∴AE＝22，又∵ON＝1，∴设NE＝x，则OE＝x﹣1，NE＝ED＝x，r＝OD＝OE+ED＝2x﹣1连接AO，则AO＝OD＝2x﹣1，∵△AOE是直角三角形，AE＝22，OE＝x﹣1，AO＝2x﹣1，∴（22）2+（x﹣1）2＝（2x﹣1）2，解得x＝2，∴r＝2x﹣1＝3．25．（2022•普陀区模拟）如图，在⊙O中，AD、BC相交于点E，OE平分∠AEC．（1）求证：AB＝CD；（2）如果⊙O的半径为5，AD⊥CB，DE＝1，求AD的长．【分析】（1）过点O作OM⊥AD，ON⊥BC，从而得出OM＝ON，根据垂径定理可得出AD=BC，然后可得（2）先判断OM＝ME，然后利用勾股定理得出AM的方程，解出后，根据AD＝2AM，即可得出答案．【解答】证明：（1）过点O作OM⊥AD，ON⊥BC，∵OE平分∠AEC，∴OM＝ON，∴AD=BC，AD-∴AB＝CD．（2）∵OM⊥AD，∴AM＝DM，∵AD⊥CB，OE平分∠AEC，∴∠OEM＝45°，∴∠MOE＝45°，∴∠OEM＝∠EOM，∴OM＝ME，在Rt△AOM中，OA2＝OM2+AM2，即25＝（AM﹣1）2+AM2，解得：AM＝4或AM＝﹣3（舍去）故AD的长为8．26．（2022•乌鲁木齐一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD＝45°．（1）若AB＝4，求弧CD的长；（2）若弧BC＝弧AD，AD＝AP，求证：PD是⊙O的切线．【分析】（1）连接OC，OD，由圆周角定理得到∠COD＝2∠CAD，∠CAD＝45°，于是得到∠COD＝90°，根据弧长公式即可得到结论；（2）由已知条件得到∠BOC＝∠AOD，由圆周角定理得到∠AOD＝45°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA＝∠OAD，求得∠ADP=12CAD＝22.5°，得到∠ODP＝∠ODA+∠【解答】解：（1）连接OC，OD，∵∠COD＝2∠CAD，∠CAD＝45°，∴∠COD＝90°，∵AB＝4，∴OC=12∴CD的长=90180×π（2）∵BC=∴∠BOC＝∠AOD，∵∠COD＝90°，∴∠AOD＝45°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∵∠AOD+∠ODA+∠OAD＝180°，∴∠ODA＝67.5°，∵AD＝AP，∴∠ADP＝∠APD，∵∠CAD＝∠ADP+∠APD，∠CAD＝45°，∴∠ADP=12∠∴∠ODP＝∠ODA+∠ADP＝90°，∴PD是⊙O的切线．27．（2022•饶平县校级模拟）如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H．（1）当∠B+∠D＝90°时，求证：H是CD的中点；（2）若H为CD的中点，且CD＝22，BD=3，求AB【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BHD＝90°，根据垂径定理得出即可；（2）根据垂径定理求出DH，根据勾股定理求出BH，根据勾股定理得出关于R的方程，求出R即可．【解答】（1）证明：∵∠B+∠D＝90°，∴∠BHD＝180°﹣90°＝90°，即AB⊥CD，∵AB过O，∴CH＝DH，即H是CD的中点；（2）解：连接OD，∵H为CD的中点，CD＝22，AB过O，∴DH＝CH=12CD=2，AB∴∠BHD＝90°，由勾股定理得：BH=B设⊙O的半径为R，则AB＝2R，OB＝OD＝R，在Rt△OHD中，由勾股定理得：OH2+DH2＝OD2，即（R﹣1）2+（2）2＝R2，解得：R=3∴AB＝2×328．（2022•苏州模拟）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC＝4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=32CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ（1）用关于x的代数式表示BQ＝5x，DF＝3x．（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．（3）当点P在点A右侧时，作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长．【分析】（1）由AQ：AB＝3：4，AQ＝3x，易得AB＝4x，由勾股定理得BQ，再由中位线的性质得AH＝BH=12AB，求得CD，（2）利用（1）的结论，易得CQ的长，作OM⊥AQ于点M，则OM∥AB，由垂径定理得QM＝AM=32x，由矩形性质得OD＝MC，利用矩形面积，求得（3）连接NQ，由点O到BN的弦心距为1，得NQ＝2，过点B作BM⊥EG于点M，GM＝x，BM＝x，易得∠GBM＝45°，BM∥AQ，易得AI＝AB，求得IQ，由NQ得AP．【解答】解：（1）在Rt△ABQ中，∵AQ：AB＝3：4，AQ＝3x，∴AB＝4x，∴BQ＝5x，∵OD⊥m，m⊥l，∴OD∥l，∵OB＝OQ，∴AH＝BH=12AB＝2∴CD＝2x，∴FD=32CD＝3故答案为：5x，3x；（2）∵AP＝AQ＝3x，PC＝4，∴CQ＝6x+4，作OM⊥AQ于点M，如图1，∴OM∥AB，∵⊙O是△ABQ的外接圆，∠BAQ＝90°，∴点O是BQ的中点，∴QM＝AM=3∴OD＝MC=92∴OE=12BQ=∴ED＝2x+4，S矩形DEGF＝DF•DE＝3x（2x+4）＝90，解得：x1＝﹣5（舍去），x2＝3，∴AP＝3x＝9；（3）连接NQ，由点O到BN的弦心距为1，得NQ＝2，如图2，过点B作BM⊥EG于点M，∵GM＝x，BM＝x∴∠GBM＝45°，∴BM∥AQ，∴AI＝AB＝4x，∴IQ＝x，∴NQ=x∴x＝22，∴AP＝62．29．（2022•福建模拟）如图1，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点B作BE⊥AC，交⊙O于点D，垂足为E，连接AD．（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；（2）如图2，连接CD，点F在线段BD上，且DF＝2DC，G是BC的中点，连接FG，若FG＝2，CD＝22，求⊙O的半径．【分析】（1）作AH⊥BC于H，根据题意易求得∠BAC＝2∠CAH，利用角的关系和圆周角定理可求得∠CAH＝∠CAD，即可求解；（2）连接GC并延长交AD延长线于点H，连接DG，BG，AG，根据圆周角定理可求得AG垂直平分BC，再求证四边形GHDF为平行四边形，设半径为r，则AH＝AG＝2r，AD＝2r﹣2，根据勾股定理即可求解．【解答】（1）证明：如图1，作AH⊥BC于H，∴∠AHC＝90°，∴∠HAC+∠C＝90°，∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠CAH，∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠C＝90°，∴∠CBE＝∠CAH，∵CD=∴∠CAD＝∠CBE，∴∠CAH＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠CAD；（2）解：如图，连接GC并延长交AD延长线于点H，连接DG，BG，AG，∵G是BC的中点，∴GB=∴GB＝GC，∠BAG＝∠CAG，∴∠CAG＝∠DAC，∵AB＝AC，∴AG垂直平分BC，∴AG为直径，∴∠ADG＝∠ACG＝90°，∴∠GDH＝∠ACH＝90°，∵∠AGC+∠CAG＝90°，∠AHC+∠CAH＝90°，∴∠AGC＝∠AHC，∴AG＝AH，∴CG＝CH，在Rt△GDH中，DC＝CG＝CH，即GH＝2DC＝DF，∵∠AEB＝90°＝∠ACG，∴BD∥GH，∴四边形GHDF为平行四边形，∴DH＝FG＝2，设半径为r，则AH＝AG＝2r，AD＝2r﹣2，在Rt△AGD中，DG2＝AG2﹣AD2＝（2r）2﹣（2r﹣2）2＝8r﹣4，在Rt△GDH中，GH＝DF＝2CD＝42，∴DG2＝GH2﹣DH2＝32﹣4＝28，∴8r﹣4＝28，解得r＝4，∴⊙O的半径为4．30．（2022•苏州模拟）如图，已知点D是△ABC外接圆⊙O上的一点，AC⊥BD于G，连接AD，过点B作直线BF∥AD交AC于E，交⊙O于F，若点F是弧CD的中点，连接OG，OD，CD（1）求证：∠DBF＝∠ACB；（2）若AG=62GE，试探究∠GOD与∠【分析】（1）根据平行线性质及圆周角性质直接得出结论．（2）作OM⊥DC于点M，连接OC．先证明∠ACB＝∠CBF＝∠DBF＝30°，再根据AG与GE的关系推出DG＝OD，然后可得出结论．【解答】（1）证明：∵BF∥AD，∴∠ADB＝∠DBF，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠DBF＝∠ACB；（2）∠GOD与∠ADC之间的数量关系为：2∠GOD+∠ADC＝240°．理由如下：作OM⊥DC于点M，连接OC．∵AD∥BF，∴AB＝DF，∵F为CD中点，∴CF＝DF＝AB，∴∠ACB＝∠CBF＝∠DBF，∵AC⊥BD于G，∴∠BGC＝∠AGD＝90°，∴∠DBF+∠CBF+∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBF＝∠DBF＝30°，∠DBC＝60°，∴∠ADB＝∠ACB＝30°，∠DOC＝2∠DBC＝120°，∵OD＝OC，∴∠ODM＝30°，设GE＝x，则AG=62∴DG=322x，BG＝√3x，GC＝3x，DC=362x，DM=∴DG＝OD，∴2∠GOD+∠ODG＝180°，∵∠ADB+∠ODC＝60°，∴2∠GOD+∠ODG+∠ADB+∠ODC＝240°，即2∠GOD+∠ADC＝240°．31．（2022•莱芜）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC＝BC，D为⊙O中AB上一点，延长DA至点E，使CE＝CD．（1）求证：AE＝BD；（2）若AC⊥BC，求证：AD+BD=2CD【分析】（1）先证出△AEC≌△BDC，只要再找一对角相等就可以了，利用边相等，可得∠CAB＝∠CBA，∠CEA＝∠CDE，而∠CAB＝∠CDB＝∠CDE，故∠CEA＝∠CDB，（CE＝CD，∠CAE＝∠CBD）再利用SAS可证出△AEC≌△BDC．（2）利用（1）中的全等，可得，AE＝BD，∠ECA＝∠DCB，那么就有∠ECD＝∠ECA+∠ACD＝90°，根据勾股定理得DE=2CD，而DE＝AD+AE＝AD+BG，所以有AD+BD=【解答】证明：（1）∵△ABC是⊙O的内接三角形，AC＝BC，∴∠ABC＝∠BAC，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED；又∵∠ABC＝∠CDE，∴∠ABC＝∠BAC＝∠CDE＝∠CED，（同弧上的圆周角相等）∴∠ACB＝∠DCE，∴∠BCD＝∠ACE，在△AEC和△BDC中，AC=∴△AEC≌△BDC（SAS），∴AE＝BD．（2）∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠DCE＝90°；又∵CD＝CE，∴△DCE为等腰直角三角形，∴DE=2又∵DE＝AD+AE且AE＝BD，∴AD+BD=232．（2022•三明）如图①，②，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0），以点A为圆心，4为半径的圆与x轴交于O，B两点，OC为弦，∠AOC＝60°，P是x轴上的一动点，连接CP．（1）求∠OAC的度数；（2）如图①，当CP与⊙A相切时，求PO的长；（3）如图②，当点P在直径OB上时，CP的延长线与⊙A相交于点Q，问PO为何值时，△OCQ是等腰三角形？【分析】（1）OA＝AC首先三角形OAC是个等腰三角形，因为∠AOC＝60°，三角形AOC是个等边三角形，因此∠OAC＝60°；（2）如果PC与圆A相切，那么AC⊥PC，在直角三角形APC中，有∠PCA的度数，有A点的坐标也就有了AC的长，可根据余弦函数求出PA的长，然后由PO＝PA﹣OA得出OP的值．（3）本题分两种情况：①以O为顶点，OC，OQ为腰．那么可过C作x轴的垂线，交圆于Q，此时三角形OCQ就是此类情况所说的等腰三角形；那么此时PO可在直角三角形OCP中，根据∠COA的度数，和OC即半径的长求出PO．②以Q为顶点，QC，QD为腰，那么可做OC的垂直平分线交圆于Q，则这条线必过圆心，如果设垂直平分线交OC于D的话，可在直角三角形AOQ中根据∠QAE的度数和半径的长求出Q的坐标；然后用待定系数法求出CQ所在直线的解析式，得出这条直线与x轴的交点，也就求出了PO的值．【解答】解：（1）∵∠AOC＝60°，AO＝AC，∴△AOC是等边三角形，∴∠OAC＝60°．（2）∵CP与⊙A相切，∴∠ACP＝90°，∴∠APC＝90°﹣∠OAC＝30°；又∵A（4，0），∴AC＝AO＝4，∴PA＝2AC＝8，∴PO＝PA﹣OA＝8﹣4＝4．（3）①过点C作CP1⊥OB，垂足为P1，延长CP1交⊙A于Q1；∵OA是半径，∴OC=∴OC＝OQ1，∴△OCQ1是等腰三角形；又∵△AOC是等边三角形，∴P1O=12②过A作AD⊥OC，垂足为D，延长DA交⊙A于Q2，CQ2与x轴交于P2；∵A是圆心，∴DQ2是OC的垂直平分线，∴CQ2＝OQ2，∴△OCQ2是等腰三角形；过点Q2作Q2E⊥x轴于E，在Rt△AQ2E中，∵∠Q2AE＝∠OAD=12∠∴Q2E=12AQ2＝2，AE＝2∴点Q2的坐标（4+23在Rt△COP1中，∵P1O＝2，∠AOC＝60°，∴CP∴C点坐标（2，23设直线CQ2的关系式为y＝kx+b，则-2=(4+23解得k=-1b=2+2∴y＝﹣x+2+23；当y＝0时，x＝2+23，∴P2O＝2+23．33．（2022•昆明）（1）如图（1），OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD交OC于点E．求证：CD＝CE；（2）若将图（2）中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F，交⊙O于B′，其他条件不变，那么上述结论CD＝CE还成立吗？为什么？（3）若将图（3）中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变，那么上述结论CD＝CE还成立吗？为什么？【分析】（1）可连接OD，通过等边对等角（∠OAD＝∠ODA），等角的余角相等（∠OAE+∠OEA＝90°，∠ODA+∠CDE＝90°），以及对顶角相等（∠AEO＝∠CED），将相等的角进行置换即可得出∠CDE＝∠CED，即CD＝CE；（2）连接OD方法和（1）完全相同；（3）延长OA交CF于G，由于CF是上下平行移动，因此OG⊥CF，证法同（1）．【解答】（1）证明：连接OD，OD⊥CD，∠CDE+∠ODA＝90°；在Rt△AOE中，∠AEO+∠A＝90°；在⊙O中，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∠CDE＝∠AEO，又∵∠AEO＝∠CED，∴∠CED＝∠CDE，CD＝CE；（2）解：CE＝CD仍然成立，∵原来的半径OB所在直线向上平行移动，∴CF⊥AO于F；在Rt△AFE中，∠A+∠AEF＝90°，连接OD，则∠ODA+∠CDE＝90°，且OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∠AEF＝∠CDE；又∵∠AEF＝∠CED，∴∠CED＝∠CDE，CD＝CE；（3）解：CE＝CD仍成立，∵原来的半径OB所在直线向上平行移动，∴AO⊥CF，延长OA交CF于G，在Rt△AEG中，∠AEG+∠GAE＝90°；连接OD，有，∠CDA+∠ODA＝90°，且OA＝OD，∴∠ADO＝∠OAD＝∠GAE，∴∠CDE＝∠CED，∴CD＝CE．34．（2022•襄城区模拟）如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．【分析】（1）先根据同角的余角相等得到∠CNM＝∠B，利用等量代换得到∠AND＝∠B，利用同弧所对的圆周角相等得到∠D＝∠B，则得∠AND＝∠D，利用等角对等边可得出结论；（2）先根据垂径定理求出AE的长，连接AO，设OE的长为x，则DE＝NE＝x+1，OA＝OD＝2x+1，在Rt△AOE中根据勾股定理可得出x的值，进而得出结论．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB∴∠CEB＝90°∴∠C+∠B＝90°，同理∠C+∠CNM＝90°∴∠CNM＝∠B∵∠CNM＝∠AND∴∠AND＝∠B，∵AC=∴∠D＝∠B，∴∠AND＝∠D，∴AN＝AD；（2）解：设OE的长为x，连接OA∵AN＝AD，CD⊥AB∴DE＝NE＝x+1，∴OD＝OE+ED＝x+x+1＝2x+1，∴OA＝OD＝2x+1，∴在Rt△OAE中OE2+AE2＝OA2，∴x2+42＝（2x+1）2．解得x=53或∴OA＝2x+1＝2×53+即⊙O的半径为13335．（2022•台州校级模拟）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面．（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．（3）在（2）的条件下，小明把一只宽12cm的方形小木船放在修好后的圆柱形水管里，已知船高出水面13cm，问此小船能顺利通过这个管道吗？【分析】（1）在弧AB上任取一点C，连接AC，作弦AC的垂直平分线，两线交点作为圆心O，OA作为半径，画圆即为所求图形．（2）过O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，连接OB，根据垂径定理得到BD=12AB=1（3）连接OM，设MF＝6cm，可求得此时OF的高，即可求得DF的长，比较13cm，即可得到此时小船能顺利通过这个管道．【解答】解：（1）在弧AB上任取一点C连接AC，作弦AC、BC的垂直平分线，两线交点作为圆心O，OA作为半径，画圆即为所求图形．（2）过O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，连接OB．∵OE⊥AB，∴BD=12AB=1由题意可知，ED＝4cm，设半径为xcm，则OD＝（x﹣4）cm，在Rt△BOD中，由勾股定理得：OD2+BD2＝OB2∴（x﹣4）2+82＝x2解得x＝10．即这个圆形截面的半径为10cm．（3）如图，小船能顺利通过这个管道．理由：连接OM，设MF＝6cm．∵EF⊥MN，OM＝10cm，在Rt△MOF中，OF=OM∵DF＝OF+OD＝8+6＝14cm∵14cm＞13cm，∴小船能顺利通过这个管道．36．（2022•泰州模拟）如图，BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC，垂足为H，已知AD＝8，OH＝3．（1）求⊙O的半径；（2）若E是弦AD上的一点，且∠EBA＝∠EAB，求线段BE的长．【分析】（1）连接OA，由CB为直径，AD为弦，且CB垂直于AD，利用垂径定理得到H为AD的中点，由AD的长求出AH的长，在直角三角形AOH中，由AH与OH的长，利用勾股定理求出OA的长，即为圆O的半径；（2）由已知的两个角相等，利用等角对等边得到AE＝BE，在直角三角形BEH中，设BE＝AE＝x，则有EH＝AH﹣AE＝4﹣x，BH＝5﹣3＝2，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出BE的长．【解答】解：（1）连接OA，∵BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC，∴AH=12在Rt△AOH中，AH＝4，OH＝3，根据勾股定理得：OA=4则⊙O的半径为5；（2）∵∠EBA＝∠EAB，∴AE＝BE，设BE＝AE＝x，在Rt△BEH中，BH＝5﹣3＝2，EH＝4﹣x，根据勾股定理得：22+（4﹣x）2＝x2，解得x＝2.5，则BE的长为2.5．37．（2022•河北）图1是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图2是车棚顶部截面的示意图，AB所在圆的圆心为O．车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积．（不考虑接缝等因素，计算结果保留π）【分析】根据题意，由圆的基本性质，可通过作辅助线建立模形，利用垂径定理解答，也可用相交弦定理来解．【解答】解：连接OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交AB于F，如图，由垂径定理，可知：E是AB中点，F是AB中点，∴EF是弓形高，∴AE=12AB＝23，设半径为R米，则OE＝（R﹣2）米，在Rt△AOE中，由勾股定理，得R2＝（R﹣2）2+（23）2，解得R＝4，∵sin∠AOE=AE∴∠AOE＝60°，∴∠AOB＝120度．∴AB的长为120×4π180=83∴帆布的面积为83π×60＝160π38．（2022•咸宁模拟）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE＝BE．请证明此结论；（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，PA，PB组成⊙O的一条折弦．C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE＝PE+PB．可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立．请写出证明过程；（3）如图3，PA．PB组成⊙O的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．【分析】（1）连接AD，BD，易证△ADB为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一这一性质，可以证得AE＝BE．（2）根据圆内接四边形的性质，先∠CDA＝∠CDF，再证△AFD为等腰三角形，进一步证得PB＝PF，从而证得结论．（3）根据∠ADE＝∠FDE，从而证明△DAE≌△DFE，得出AE＝EF，然后判断出PB＝PF，进而求得AE＝PE﹣PB．【解答】证明：（1）如图1，连接AD，BD，∵C是劣弧AB的中点，∴∠CDA＝∠CDB，∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠DEB＝90°，∴∠A+∠ADE＝90°，∠B+∠CDB＝90°，∴∠A＝∠B，∴△ADB为等腰三角形，∵CD⊥AB，∴AE＝BE；（2）如图2，延长DB、AP相交于点F，再连接AD，∵ADBP是圆内接四边形，∴∠PBF＝∠PAD，∵C是劣弧AB的中点，∴∠CDA＝∠CDF，∵CD⊥PA，∴△AFD为等腰三角形，∴∠F＝∠A，AE＝EF，∴∠PBF＝∠F，∴PB＝PF，∴AE＝PE+PB（3）AE＝PE﹣PB．连接AD，BD，AB，DB、AP相交于点F，∵弧AC＝弧BC，∴∠ADC＝∠BDC，∵CD⊥AP，∴∠DEA＝∠DEF，∠ADE＝∠FDE，∵DE＝DE，∴△DAE≌△DFE，∴AD＝DF，AE＝EF，∴∠DAF＝∠DFA，∴∠DFA＝∠PFB，∠PBD＝∠DAP，∴∠PFB＝∠PBF，∴PF＝PB，∴AE＝PE﹣PB．39．（2022•南开区一模）已知：如图1，在⊙O中，直径AB＝4，CD＝2，直线AD，BC相交于点E．（1）∠E的度数为60°；（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．【分析】（1）连接OD，OC，BD，根据已知得到△DOC为等边三角形，根据直径所对的圆周角是直角，求出∠E的度数；（2