广东省华南师范大附属中学2024届八年级数学第二学期期末统考模拟试题含解析

广东省华南师范大附属中学2024届八年级数学第二学期期末统考模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（）A．5cm B．4.8cm C．4.6cm D．4cm2．已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A．当AD=BC，AB//DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD=BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形3．下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（）A．1，2，2 B． C．13，14，15 D．6，8，104．如图，将一个含有角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，若测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成角，则三角板最长的长是（）A． B． C． D．5．如图所示，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为（）A．1 B． C． D．6．数据0，1，2，3，x的平均数是2，则这组数据的方差是（）A．2 B． C．10 D．7．直线y=x－1的图像经过的象限是A．第二、三、四象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第一、二、三象限8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）．A．当AB＝BC时，它是菱形B．当AC＝BD时，它是正方形C．当∠ABC＝90º时，它是矩形D．当AC⊥BD时，它是菱形9．下列计算正确的是()A．＝﹣4 B．()2＝4 C．+＝ D．÷＝310．函数的自变量x的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．一根竹子高10尺,折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是______尺.12．一次函数y=2x+6的图象如图所示，则不等式2x+6＞0的解集是________，当y≤3时，x的取值范围是________．13．观察以下等式：第1个等式：第2个等式：＝1第3个等式：＝1第4个等式：＝1…按照以下规律，写出你猜出的第n个等式：______(用含n的等式表示)．14．如图，矩形中，,将矩形绕点顺时针旋转,点分别落在点处,且点在同一条直线上,则的长为__________．15．若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为_____．16．某老师为了了解学生周末利用网络进行学习的时间，在所任教班级随机调查了10名学生，其统计数据如下表：时间（单位：小时）

4

3

2

1

0

人数

2

4

2

1

1

则这10名学生周末利用网络进行学均时间是小时．17．如图，在平行四边形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线分别与AB，DC交于点E，F，若△AOD的面积为3，则四边形BCFE的面积等于_____．18．当x______时，在实数范围内有意义.三、解答题(共66分)19．（10分）一次函数CD：与一次函数AB：，都经过点B（-1,4）.（1）求两条直线的解析式；（2）求四边形ABDO的面积.20．（6分）矩形ABCO中，O（0，0），C（0，3），A（a，0），（a≥3），以A为旋转中心顺时针旋转矩形ABCO得到矩形AFED．（1）如图1，当点D落在边BC上时，求BD的长（用a的式子表示）；（2）如图2，当a＝3时，矩形AFED的对角线AE交矩形ABCO的边BC于点G，连结CE，若△CGE是等腰三角形，求直线BE的解析式；（3）如图3，矩形ABCO的对称中心为点P，当P，B关于AD对称时，求出a的值，此时在x轴、y轴上是否分别存在M，N使得四边形EFMN为平行四边形，若存在直接写出M，N坐标，不存在说明理由．21．（6分）我市从2018年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入8万元购进A、B两种型号的电动自行车共30辆，其中每辆B型电动自行车比每辆A型电动自行车多500元．用5万元购进的A型电动自行车与用6万元购进的B型电动自行车数量一样．（1）求A、B两种型号电动自行车的进货单价；（2）若A型电动自行车每辆售价为2800元，B型电动自行车每辆售价为3500元，设该商店计划购进A型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元．写出y与m之间的函数关系式；（3）该商店如何进货才能获得最大利润；此时最大利润是多少元．22．（8分）计算与化简：计算：化简：已知，求：的值23．（8分）如图，在中，，，垂足分别为．求证四边形是矩形．24．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．（1）证明：AE⊥BF；（2）证明：DF＝CE．25．（10分）如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把ΔADE沿AE折叠，当点D的对应点D'落在∠ABC的平分线上时，求DE26．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF．（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE＝OF；（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；（3）若AB＝1，BC＝，且BF＝DF，求旋转角度α的大小．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【解析】

作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR=AS得平行四边形ABCD是菱形，再根据根据勾股定理求出AB即可．【详解】解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．

由题意知：AD∥BC，AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵两个矩形等宽，

∴AR=AS，

∵AR•BC=AS•CD，

∴BC=CD，

∴平行四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

在Rt△AOB中，∵OA=3，OB=4，

∴AB=32+42=5，【点睛】本题考查菱形的判定、勾股定理，解题的关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．2、B【解析】试题解析：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确；故选B．考点：1.平行四边形的判定；2.矩形的判定；3.正方形的判定．3、D【解析】

根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、，不能构成直角三角形，故不符合题意；C、，不能构成直角三角形，故不符合题意；D、，能构成直角三角形，故符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．4、D【解析】

过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．【详解】过点C作CD⊥AD，∴CD=3，

在直角三角形ADC中，

∵∠CAD=30°，

∴AC=2CD=2×2=4，

又∵三角板是有45°角的三角板，

∴AB=AC=4，

∴BC2=AB2+AC2=42+42=32，

∴BC=，

故选D.【点睛】本题考查等腰直角三角形和含30度角的直角三角形，解题的关键是掌握等腰直角三角形和含30度角的直角三角形.5、D【解析】连接DB，作DH⊥AB于H，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB=BC=CD，而∠A=60°，∴△ABD和△BCD都是等边三角形，∴∠ADB=∠DBC=60°，AD=BD，在Rt△ABH中，AH=1，AD=2，∴DH=，在△ADE和△BDF中，，∴△ADE≌△BDF，∴∠2=∠1，DE=DF，∴∠1+∠BDE=∠2+∠BDE=∠ADB=60°，∴△DEF为等边三角形，∴EF=DE，而当E点运动到H点时，DE的值最小，其最小值为，∴EF的最小值为．故选D．6、A【解析】试题分析：先根据平均数公式求得x的值，再根据方差的计算公式求解即可.解：由题意得，解得所以这组数据的方差故选A.考点：平均数，方差点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握方差的计算公式，即可完成.7、C【解析】直线y=x-1与y轴交于（0，-1）点，且k=1＞0，y随x的增大而增大，∴直线y=x-1的图象经过第一、三、四象限．故选C．8、B【解析】分析：A、根据菱形的判定方法判断，B、根据正方形的判定方法判断，C、根据矩形的判定方法判断，D、根据菱形的判定方法判断.详解：A、菱形的判定定理，“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，故A项正确；B、由正方形的判定定理，“对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形”可知，对角线仅相等的平行四边形是矩形，故B项错误；C、矩形的判定定理，“一个角是直角的平行四边形是矩形”，故C项正确；D、菱形的判定定理，“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，故D项正确。故选B.点睛：本题考查了矩形、菱形、正方形的判定方法，熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解答本题的关键.9、D【解析】

根据二次根式的性质对A、B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．【详解】A、原式＝|﹣4|＝4，所以A选项错误；B、原式＝2，所以B选项错误；C、与不能合并，所以C选项错误；D、原式＝＝3，所以D选项正确．故选D．【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．10、D【解析】

根据二次根式的意义，被开方数是非负数．【详解】根据题意得，解得．故选D．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数．二、填空题(每小题3分,共24分)11、【解析】

设折断处离地面的高度是x尺，根据勾股定理即可列出方程进行求解.【详解】设折断处离地面的高度是x尺，根据勾股定理得x2+32=(10-x)2,解得x=故折断处离地面的高度是尺.【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用.12、x＞﹣3x≤﹣【解析】当x>−3时，2x+6>0；解不等式2x+6⩽3得x⩽﹣,即当x⩽﹣时，y⩽3.故答案为x>−3;x⩽﹣.13、++×＝1【解析】

观察前四个等式可得出第n个等式的前两项为及，对比前四个等式即可写出第n个等式，此题得解．【详解】解：观察前四个等式，可得出：第n个等式的前两项为及，∴第n个等式为故答案为：++×＝1【点睛】本题考查规律型中的数字的变化类，观察给定等式，找出第n的等式是解题的关键．14、【解析】

根据平行的性质，列出比例式，即可得解.【详解】设的长为根据题意，得∴又∵∴∴解得（不符合题意，舍去）∴的长为.【点睛】此题主要考查矩形的性质，关键是列出关系式，即可解题.15、1或【解析】分析：直接解分式方程，再利用当1-2a=0时，当1-2a≠0时，分别得出答案．详解：去分母得：x-3a=2a（x-3），整理得：（1-2a）x=-3a，当1-2a=0时，方程无解，故a=；当1-2a≠0时，x==3时，分式方程无解，则a=1，故关于x的分式方程=2a无解，则a的值为：1或．故答案为1或．点睛：此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．16、2.5小时【解析】

平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．本题利用加权平均数的公式即可求解．【详解】解：由题意，可得这10名学生周末利用网络进行学均时间是：（4×2+3×4+2×2+1×1+0×1）=2.5（小时）．故答案为2.517、6【解析】

根据平行四边形的性质得到OD=OB，得到△AOB的面积=△AOD的面积，求出平行四边形ABCD的面积，根据中心对称图形的性质计算．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB，∴△AOB的面积=△AOD的面积=3，∴△ABD的面积为6，∴平行四边形ABCD的面积为12，∵平行四边形是中心对称图形，∴四边形BCFE的面积=×平行四边形ABCD的面积=×12=6，故答案为：6.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质，掌握全等三角形的判定，平行四边形的性质是解题的关键.18、x≥-1且x≠1．【解析】

根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解．【详解】解：根据二次根式的意义，被开方数x+1≥0，解得x≥-1；

根据分式有意义的条件，x-1≠0，解得x≠1，

所以，x取值范围是x≥-1且x≠1故答案为：x≥-1且x≠1．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数、分式分母不为0是解题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）直线CD的解析式为：；直线AB的解析式为：；（2）四边形ABDO的面积为7.5.【解析】

（1）将B（﹣1,4）代入一次函数CD：与一次函数AB：，可以得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可得到k、b的值，即可求出两条直线的解析式.（2）由图可知四边形ABDO不是规则的四边形，利用割补法得到,分别算出△ABC与△DOC的面积即可算出答案.【详解】解：（1）∵一次函数CD：与一次函数AB：，都经过点B（﹣1,4），∴将点B（﹣1,4）代入一次函数CD：与一次函数AB：，可得：解得：；∴直线CD的解析式为：；直线AB的解析式为：；（2）∵点A为直线AB与x轴的交点，令y=0得：解得：，∴A（﹣3,0）；∵C为直线CD与x轴的交点，令y=0得：解得：，∴C（3,0）；∵D为直线CD与y轴的交点，令x=0得y=3∴D（0,3）；∴AC=6,OC=3,OD=3;由图可知;∴四边形ABDO的面积为7.5.【点睛】本题考查一次函数解析式的求法以及平面直角坐标系中图形面积的求法.会利用割补法求平面直角坐标系中图形面积是解题关键，在平面直角坐标系中求面积，一般以平行于坐标轴或在坐标轴上的边为底边，这样比较好算出图形的高.20、（1）BD＝；（2）y＝﹣x+6；（3）M（，0），N（0，）【解析】

（1）如图1，当点D落在边BC上时，BD2=AD2-AB2，即可求解；（2）分CG=EG、CE=GE、CE=CG三种情况分别求解；（3）①由点P为矩形ABCO的对称中心，得到求得直线PB的解析式为，得到直线AD的解析式为：，解方程即可得到结论；②根据①中的结论得到直线AD的解析式为，求得∠DAB=30°，连接AE，推出A，B，E三点共线，求得，设M（m，0），N（0，n），解方程组即可得到结论．【详解】（1）如图1，在矩形ABCO中，∠B＝90°当点D落在边BC上时，BD2＝AD2﹣AB2，∵C（0，3），A（a，0）∴AB＝OC＝3，AD＝AO＝a，∴BD＝；（2）如图2，连结AC，∵a＝3，∴OA＝OC＝3，∴矩形ABCO是正方形，∴∠BCA＝45°，设∠ECG的度数为x，∴AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE＝45°+x，①当CG＝EG时，x＝45°+x，解得x＝0，不合题意，舍去；②当CE＝GE时，如图2，∠ECG＝∠EGC＝x∵∠ECG+∠EGC+∠CEG＝180°，∴x+x+（45°+x）＝180°，解得x＝45°，∴∠AEC＝∠ACE＝90°，不合题意，舍去；③当CE＝CG时，∠CEG＝∠CGE＝45°+x，∵∠ECG+∠EGC+∠CEG＝180°，∴x+（45°+x）+（45°+x）＝180°，解得x＝30°，∴∠AEC＝∠ACE＝75°，∠CAE＝30°如图3，连结OB，交AC于点Q，过E作EH⊥AC于H，连结BE，∴EH＝AE＝AC，BQ＝AC，∴EH＝BQ，EH∥BQ且∠EHQ＝90°∴四边形EHQB是矩形∴BE∥AC，设直线BE的解析式为y＝﹣x+b，∵点B（3，3）在直线上，则b＝6，∴直线BE的解析式为y＝﹣x+6；（3）①∵点P为矩形ABCO的对称中心，∴，∵B（a，3），∴PB的中点坐标为：，∴直线PB的解析式为，∵当P，B关于AD对称，∴AD⊥PB，∴直线AD的解析式为：，∵直线AD过点，∴，解得：a＝±3，∵a≥3，∴a＝3；②存在M，N；理由：∵a＝3，∴直线AD的解析式为y＝﹣x+9，∴∴∠DAO＝60°，∴∠DAB＝30°，连接AE，∵AD＝OA＝3，DE＝OC＝3，∴∠EAD＝30°，∴A，B，E三点共线，∴AE＝2DE＝6，∴，设M（m，0），N（0，n），∵四边形EFMN是平行四边形，∴，解得：，∴M（，0），N（0，）．【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到正方形和等腰三角形性质、圆的基本知识，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．21、（1）A、B两种型号电动自行车的进货单价分别为2500元3000元；（2）y=﹣200m+15000（20≤m≤30）；（3）m=20时，y有最大值，最大值为11000元．【解析】

（1）设A、B两种型号电动自行车的进货单价分别为x元、（x+500）元，根据用5万元购进的A型电动自行车与用6万元购进的B型电动自行车数量一样，列分式方程即可解决问题；（2）根据总利润=A型的利润+B型的利润，列出函数关系式即可；（3）利用一次函数的性质即可解决问题．【详解】解：（1）设A、B两种型号电动自行车的进货单价分别为x元、（x+500）元，由题意：=，解得：x=2500，经检验：x=2500是分式方程的解，答：A、B两种型号电动自行车的进货单价分别为2500元3000元；（2）y=300m+500（30﹣m）=﹣200m+15000（20≤m≤30）；（3）∵y=300m+500（30﹣m）=﹣200m+15000，∵﹣200＜0，20≤m≤30，∴m=20时，y有最大值，最大值为11000元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用等知识，读懂题意，找准等量关系列出方程，找准数量关系列出函数关系是解题的关键．22、（1）；（2）；（3）2.【解析】

（1）根据二次根式的化简、零指数幂及负指数幂计算即可；（2）先算括号里分式的减法，再将除法转化为乘法约分即可；（3）先将分式的分子和分母因式分解再将除法转化为乘法计算，最后算加法，化简后将代入求解即可.【详解】解：（1）；（2）；（3）当时，原式.【点睛】本题考查了指数幂的计算及分式的加减乘除混合运算，熟练掌握零指数幂及负指数幂的计算公式及分式加减乘除运算的法则是解题的关键.23、证明见解析【解析】

利用平行四边形性质得出AB平行CD，结合可得∠FAE为90°，然后进一步可得四边形AFCE三个内角为90°，从而证明出其为矩形.【详解】∵，，∴∠AFC=∠AEC=90°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠FAE+∠AEC=180°，∴∠FAE=90°，∴四边形AFCE为矩形.【点睛】本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题关键.24、（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】

（1）因为AE，BF分别是∠DAB，∠ABC的角平分线，那么就有∠MAB＝∠DAB，∠MBA＝∠ABC，而∠DAB与∠ABC是同旁内角互补，所以，能得到∠MAB+∠MBA＝90°，即得证；（2）要证明两条线段相等．利用平行四边形的对边平行，以及角平分线的性质，可以得到△ADE和△BCF都是等腰三角形，那么就有CF＝BC＝AD＝DE，再利用等量减等量差相等，可证．【详解】证明：（1）∵在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF，∴2∠BAE+2∠ABF＝180°．即∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠AMB＝90°．∴AE⊥BF；（2）∵在▱ABCD中，CD∥AB，∴∠DEA＝∠EAB，又∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB，∴∠DEA＝∠DAE，∴DE＝AD，同理可得，CF＝BC，又∵在▱ABCD中，AD＝BC，∴DE＝CF，∴DE﹣EF＝C