世纪金榜二轮专题辅导与练习选修4-5市公开课金奖市赛课一等奖课件

选修4-5不等式选讲第1页第1页一、主干知识1.含有绝对值不等式解法：(1)|f(x)|＞a(a＞0)⇔___________________.(2)|f(x)|＜a(a＞0)⇔_____________.(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c不等式，可利用绝对值不等式几何意义求解．f(x)＞a或f(x)＜－a－a＜f(x)＜a第2页第2页2.含有绝对值不等式性质：_________≤|a±b|≤_________.3.柯西不等式：(1)柯西不等式代数形式：设a，b，c，d为实数，则____________________________，当且仅当ad＝bc时等号成立．|a|－|b||a|＋|b|(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2第3页第3页(2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．(3)柯西不等式向量形式：设为平面上两个向量，则当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．4.算术—几何不等式：若a1,a2,…,an为正数，则__________________________，当且仅当a1=a2=…=an时等号成立.第4页第4页二、主要办法1.比较法：普通在证实不等式题目中，首先考虑用比较法，它是最基本不等式证实办法.比较法普通有“作差比较法”和“作商比较法”.2.综合法：用综合法证实不等式过程中，所用到依据普通是定义、公理、定理、性质等，如基本不等式.第5页第5页3.分析法：用分析法证实不等式关键是对原不等式等价转换，它是从要证实结论出发，逐步寻找使它成立充足条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立事实(定义、公理或已证实定理、性质等)，从而得出要证命题成立.4.反证法：有些不等式，从正面证假如不易说清，能够考虑反证法，但凡含有“至少”“惟一”或者其它否认词命题合用反证法.第6页第6页5.放缩法：放缩法是在证题过程中，依据不等式传递性，常采用舍去一些正项(或负项)而使不等式各项之和变小(或变大)，或把和(或积)里各项换以较大(或较小)数，或在分式中扩大(或缩小)分式中分子(或分母)，从而达到证实目的.6.数学归纳法：用数学归纳法证实与正整数相关不等式证实过程与用数学归纳法证实其它命题同样，先要奠基，后进行假设与推理，两者缺一不可.第7页第7页1．(·江苏高考)已知a≥b＞0,求证:2a3-b3≥2ab2-a2b.【证实】2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b).由于a≥b>0,因此a-b≥0,a+b>0,2a+b>0,从而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0,即2a3-b3≥2ab2-a2b.第8页第8页2.(·福建高考)设不等式x－2<a(a∈N*)解集为A,且(1)求a值.(2)求函数f(x)=x+a+x－2最小值.【解析】(1)由于因此解得又由于a∈N*，因此a=1.(2)由于|x+1|+|x－2|≥|(x+1)－(x－2)|=3.当且仅当(x+1)(x-2)≤0即-1≤x≤2时取到等号，因此f(x)最小值为3.第9页第9页热点考向1含有绝对值不等式【典例1】已知函数f(x)=|x+a|+|x－2|.(1)当a=－3时，求不等式f(x)≥3解集.(2)若f(x)≤|x－4|解集包括［1,2］，求a取值范围.第10页第10页【解题探究】通过度类讨论，将不等式中绝对值符号化去，转化为普通一元一次不等式，再求解集.(1)当a=-3时，因两个绝对值零点分别是x=2,x=3，故当x≤2时，f(x)=______；当2<x<3时，f(x)=__；当x≥3时，f(x)=_____,从而求解.(2)f(x)≤|x-4|转化为___________________，然后求解.-2x+512x-5|x-4|-|x-2|≥|x+a|第11页第11页【解析】(1)当a=-3时，当x≤2时，由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;当2＜x＜3时，f(x)≥3,无解;当x≥3时，由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4,因此f(x)≥3解集为{x|x≤1或x≥4}.(2)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|，当x∈［1，2］时，|x+a|≤|x-4|-|x-2|=4-x+x-2=2,因此-2-a≤x≤2-a,由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0，故满足条件a取值范围为［-3,0］.第12页第12页【办法总结】常见绝对值不等式解法含有两个绝对值符号不等式，如|x-a|＋|x-b|≥c和|x-a|＋|x-b|≤c型不等式解法有三种：几何解法和代数解法以及结构函数解法，其中代数解法主要是分类讨论思想办法，这也是函数解法基础，这两种解法都适宜于x前面系数不为1类型上述不等式，使用范围更广.第13页第13页【变式训练】(·辽宁高考)已知函数f(x)=|x－a|,其中a>1.(1)当a=2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|解集.(2)已知关于x不等式|f(2x+a)－2f(x)|≤2解集为{x|1≤x≤2}，求a值.第14页第14页【解析】(1)当a=2时，当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|⇒－2x+6≥4⇒x≤1；当2<x<4时，由f(x)≥4－|x－4|⇒2≥4，不成立；当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|⇒2x－6≥4⇒x≥5.综上，x≤1或x≥5.因此当a=2时，不等式f(x)≥4－|x－4|解集为{x|x≤1或x≥5}.第15页第15页(2)记h(x)=f(2x+a)－2f(x)=|2x|－2|x－a|,则由|f(2x+a)－2f(x)|≤2得|h(x)|≤2，即|4x－2a|≤2⇒－2≤4x－2a≤2⇒由已知不等式|f(2x+a)－2f(x)|≤2解集为{x|1≤x≤2}.即|h(x)|≤2解集为{x|1≤x≤2},第16页第16页热点考向2几种著名不等式【典例2】已知函数f(x)=(x－a)2+(x－b)2+(x－c)2+(a,b,c∈R)最小值为m，若a－b+2c=3，求m最小值.【解题探究】因本题函数是二次函数，故将其展开后配方，得f(x)=_______________________，从而用a,b,c代数式表示最小值m=________，再结合条件a－b+2c=3，利用柯西不等式求其最小值.a2+b2+c2第17页第17页【解析】由于f(x)=(x－a)2+(x－b)2+(x－c)2+=3x2－2(a+b+c)x+a2+b2+c2+因此时，f(x)取最小值a2+b2+c2，即m=a2+b2+c2，由于a－b+2c=3，由柯西不等式得[12+(－1)2+22]·(a2+b2+c2)≥(a－b+2c)2=9，因此m=a2+b2+c2≥当且仅当时等号成立，因此m最小值为第18页第18页【办法总结】柯西不等式或排序不等式解题思绪利用柯西不等式或排序不等式经常依据所求解(证)式子结构入手，结构适当两组数，逐步调整去结构.对于详细明确大小顺序、数目相同两列数考虑它们相应乘积之和大小关系时，通常考虑排序不等式.依据柯西不等式，要求形如a2+b2+c2最小值，就要对a2+b2+c2再配一个平方和形式因式，通常情形下，若已知约束条件ma+nb+kc=p，则配一个形如m2+n2+k2因式，从而求其最值.第19页第19页【变式训练】已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式恒成立,求λ取值范围.【解析】由基本不等式及柯西不等式,得第20页第20页热点考向3不等式证实【典例3】已知常数a>0，且a≠1，设(1)当a=2时，求f(2),f(3).(2)当n∈Z且n≥2时，比较f(n)与n大小，并证实你结论.【解题探究】因所给函数并不原则，故利用换元法，设t=logax，则x=__，从而f(t)=__________，由此求f(2),f(3)；当n∈Z且n≥2时，这是相关正整数一个命题，故可利用数学归纳法证实，即判断n=2时，f(n)___n，再设当n=k时猜想不等式成立，通过适当放缩，证n=k+1时，也成立.at＞第21页第21页【解析】(1)设t=logax，则x=at,因此f(t)=因此f(x)=当a=2时，f(x)=从而(2)猜想f(n)>n.证实下列：办法一：因f(logax)=①当n=2时，第22页第22页②假设当n=k时成立，即于是f(k+1)>k+1.综合①②得，对n≥2所有正整数，都有f(n)>n.第23页第23页办法二：①当n=2时，②假设当n=k时成立，即则当n=k+1时，f(k+1)=综合①②得，对n≥2所有正整数，都有f(n)>n.第24页第24页【办法总结】不等式证实惯用技巧不等式证实办法主要有比较法、综合法、分析法、数学归纳法、反证法等；惯用技巧有适当放缩、恰当结构、适时代换、灵活分拆、引入参数等.第25页第25页【变式训练】(·新课标全国卷Ⅱ)设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证实：(1)ab+bc+ca≤(2)【证实】(1)由a2+b2≥2ab,