(22)-函数展开成幂级数

函数展开成幂级数一、泰勒级数要解决的问题:给定函数f(x),要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”,就是说,是否能找到这样一个幂级数,它在某区间内收敛,且其和恰好就是给定的函数f(x).如果能找到这样的幂级数,我们就说,函数f(x)在该区间内能展开成幂级数,或简单地说函数f(x)能展开成幂级数,而该级数在收敛区间内就表达了函数f(x).泰勒多项式:如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数,则在该邻域内f(x)近似等于,其中(x介于x与x0之间).泰勒级数:如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数f(x),f(x),,f(n)(x),,则当n时,f(x)在点x0的泰勒多项式成为幂级数这一幂级数称为函数f(x)的泰勒级数.显然,当x=x0时,f(x)的泰勒级数收敛于f(x0).需回答的问题:除了x=x0外,f(x)的泰勒级数是否收敛?如果收敛,它是否一定收敛于f(x)?定理设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n0时的极限为零,即.麦克劳林级数:在泰勒级数中取x0=0,得,此级数称为f(x)的麦克劳林级数.展开式的唯一性:如果f(x)能展开成x的幂级数,那么这种展式是唯一的,它一定与f(x)的麦克劳林级数一致.这是因为,如果f(x)在点x0=0的某邻域(-R,R)内能展开成x的幂级数,即f(x)=a0+a1x+a2x2++anxn+,那么根据幂级数在收敛区间内可以逐项求导,有f(x)=a1+2a2x+3a3x2+nanxn-1+,f(x)=2!a2+3×2a3x++n×(n-1)anxn-2+,f(x)=3!a3+n×(n-1)(n-2)anxn-3+,f(n)(x)=n!an+(n+1)n(n-1)2an+1x+,于是得a0=f(0),a1=f(0),,,,.应注意的问题:如果f(x)能展开成x的幂级数,那么这个幂级数就是f(x)的麦克劳林级数.但是,反过来如果f(x)的麦克劳林级数在点x0=0的某邻域内收敛,它却不一定收敛于f(x).因此,如果f(x)在点x0=0处具有各阶导数,则f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来,但这个级数是否在某个区间内收敛,以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察.二、函数展开成幂级数展开步骤:第一步求出f(x)的各阶导数:f(x),f(x),,f(n)(x),.第二步求函数及其各阶导数在x=0处的值:f(0),f(0),f(0),,f(n)(0),.第三步写出幂级数,并求出收敛半径R.第四步考察在区间(-R,R)内时是否Rn(x)0(n).是否为零.如果Rn(x)0(n),则f(x)在(-R,R)内有展开式(-R<x<R).例1将函数f(x)=ex展开成x的幂级数.解所给函数的各阶导数为f(n)(x)=ex(n=1,2,),因此f(n)(0)=1(n=1,2,).于是得级数,它的收敛半径R=+.对于任何有限的数x、x(x介于0与x之间),有,而,所以,从而有展开式.例2将函数f(x)=sinx展开成x的幂级数.解因为(n=1,2,),所以f(n)(0)顺序循环地取0,1,0,-1,((n=0,1,2,3,),于是得级数,它的收敛半径为R=+.对于任何有限的数x、x(x介于0与x之间),有0(n).因此得展开式..例3将函数f(x)=(1+x)m展开成x的幂级数,其中m为任意常数.解:f(x)的各阶导数为f(x)=m(1+x)m-1,f(x)=m(m-1)(1+x)m-2,,f(n)(x)=m(m-1)(m-2)(m-n+1)(1+x)m-n,,所以f(0)=1,f(0)=m,f(0)=m(m-1),,f(n)(0)=m(m-1)(m-2)(m-n+1),于是得幂级数.可以证.间接展开法:例4将函数f(x)=cosx展开成x的幂级数.解已知(-<x<+).对上式两边求导得.例5将函数展开成x的幂级数.解因为,把x换成-x2,得(-1<x<1).注:收敛半径的确定:由-1<-x2<1得-1<x<1.例6将函数f(x)=ln(1+x)展开成x的幂级数.解因为,而是收敛的等比级数(-1<x<1)的和函数:.所以将上式从0到x逐项积分,得.解:f(x)=ln(1+x)(-1<x1).上述展开式对x=1也成立,这是因为上式右端的幂级数当x=1时收敛,而ln(1+x)在x=1处有定义且连续.例7将函数f(x)=sinx展开成的幂级数.解