2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）专题12 手拉手模型证相似含解析

2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练专题12手拉手模型证相似1．如图，且，，、交于点．则下列四个结论中，①；②；③；④、、、四点在同一个圆上，一定成立的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，已知．求证：．3．如图，在和中，，．（1）和相似吗？为什么？（2）如果，则成立，据此你能说明和相似吗？4．如图，在公共顶点为的与中，直角边，若．求证：．5．如图，与有公共的顶点，，，且．点、、分别为、、的中点．（1）如图1，当时，猜想线段与的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当时，猜想线段与的数量关系，并说明理由．6．为等边三角形，为边上一点，为射线上一点，，，，，．（1）求证：；（2），且，连接并延长交于点，连接并延长交于点，若，求的长．7．在和中，，，．、分别为、的中点，连接、．（1）如图1，当时，的值是，直线与直线相交所成的较小角的度数为；（2）如图2，当时，求的值及直线与直线相交所成的较小角的度数；（3）如图3，当时，若点为的中点，点在直线上，请直接写出点、、在同一直线上时的值．8．（1）如图①，将绕点旋转任意角度得到△，连接、，证明：．（2）如图②，四边形和四边形均为正方形，连接，，求的值．9．在中，，，，为边上一点，点，分别在边，上，．（1）如图1，当为中点时，；（2）如图2，若，求的值．10．已知：点、、在同一条直线上，，线段、交于点．（1）如图1，若，①问线段与有怎样的数量关系？并说明理由；②求的大小（用表示）；（2）如图2，若，，则线段与的数量关系为，（用表示）；（3）在（2）的条件下，把绕点逆时针旋转，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接并延长交于点．则（用表示）．11．若绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，则我们称与互为“旋转位似图形”．（1）知识理解：如图1，与互为“旋转位似图形”．①若，，，则；②若，，，则（2）知识运用：如图2，在四边形中，，于点，，求证：与互为“旋转位似图形”．（3）拓展提高：如图3，为等边三角形，点为的中点，点是边上的一点，点为延长线上的一点，点在线段上，且与互为“旋转位似图形”．若，，求的值．12．（1）问题发现（1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点．填空：①的度数是；②线段，之间的数量关系为；（2）类比探究如图2，和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点．请判断的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在中，，，，点在边上，于点，，将绕着点在平面内旋转，请直接写出直线经过点时，点到直线的距离．13．如图，将绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，我们称与互为“旋转位似图形”．（1）知识理解：两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形（填“是”或“不是”“旋转位似图形”；如图1，和互为“旋转位似图形”，①若，，，则；②若，，，则；（2）知识运用：如图2，在四边形中，，于，，求证：和互为“旋转位似图形”；（3）拓展提高：如图3，为等腰直角三角形，点为中点，点是上一点，是延长线上一点，点在线段上，且与互为“旋转位似图形”，若，，求出和的值．14．已知正方形，动点在上运动，过点作射线于点，连接．（1）如图1，在上取一点，使，连接，求证：；（2）如图2，点在延长线上，求证：；（3）如图3，若把正方形改为矩形，且，其他条件不变，请猜想，和的数量关系，直接写出结论，不必证明．15．（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接．①线段，之间的数量关系为；②的度数为．（2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，连接，求的值及的度数；（3）解决问题：如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到直线的距离．16．图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一．小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行研究．如图（1），已知和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，且．（1）观察猜想小华将绕点逆时针旋转，连接，，如图（2），当的延长线恰好经过点时，①的值为；②的度数为度；（2）类比探究如图（3），小芳在小华的基础上，继续旋转，连接，，设的延长线交于点，请求出的值及的度数，并说明理由．（3）拓展延伸若，，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长．专题12手拉手模型证相似1．如图，且，，、交于点．则下列四个结论中，①；②；③；④、、、四点在同一个圆上，一定成立的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：且，，，，故②正确；，即，故①正确；，，，，，，故③正确；，，，，，即，，，，，、、、四点在同一个圆上，故④正确．故选：．二．解答题（共15小题）2．如图，已知．求证：．【解答】证明：，，，，又，．3．如图，在和中，，．（1）和相似吗？为什么？（2）如果，则成立，据此你能说明和相似吗？【解答】解：（1）；（2），．4．如图，在公共顶点为的与中，直角边，若．求证：．【解答】证明：如图，设交于，延长交于，连接．，，又，，、、、四点共圆，，，于，，，，，，，，，，，，，，，．5．如图，与有公共的顶点，，，且．点、、分别为、、的中点．（1）如图1，当时，猜想线段与的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当时，猜想线段与的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）．连接、，，，，，，；点、、分别为、、的中点，根据中位线定理可得，，．（2）．连接、，，，，，，，点、、分别为、、的中点，根据中位线定理可得，，即得．6．为等边三角形，为边上一点，为射线上一点，，，，，．（1）求证：；（2），且，连接并延长交于点，连接并延长交于点，若，求的长．【解答】（1）证明：如图1中，延长到，使得，连接．，，，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，是等边三角形，，，，，，．（2）解：如图2中，取的中点，连接，作于，于．由（1）可知，，，，，四边形是平行四边形，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，，是等边三角形，，，设，则，，，在中，，，，，，，即，，在中，，，，，在中，，，．7．在和中，，，．、分别为、的中点，连接、．（1）如图1，当时，的值是，直线与直线相交所成的较小角的度数为；（2）如图2，当时，求的值及直线与直线相交所成的较小角的度数；（3）如图3，当时，若点为的中点，点在直线上，请直接写出点、、在同一直线上时的值．【解答】解：（1）如图1，连接，并延长交于，设直线与的交点为，，，，，，，，是等边三角形，，，又，是等边三角形，，，，，、分别为、的中点，，，，，，，，，，故答案为：，；（2）如图2，连接，并延长交于，设直线与的交点为，过点作于，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，、分别为、的中点，，，，，，，，，，直线与直线相交所成的较小角的度数为；（3）如图3，当点在线段上时，连接，，，点为的中点，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，、分别为、的中点，，，，又点是中点，，，，当点在线段上时，同理可求，综上所述：的值为或．8．（1）如图①，将绕点旋转任意角度得到△，连接、，证明：．（2）如图②，四边形和四边形均为正方形，连接，，求的值．【解答】证明：（1）将绕点旋转任意角度得到△，，，，，，；（2）连接和，四边形和四边形均为正方形，，，，则，，，．．．9．在中，，，，为边上一点，点，分别在边，上，．（1）如图1，当为中点时，；（2）如图2，若，求的值．【解答】解：（1）过点作，垂足为，，，，，，，，，，，，，为中点，，，，，，，故答案为：；（2）过点作，垂足为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，的值为．10．已知：点、、在同一条直线上，，线段、交于点．（1）如图1，若，①问线段与有怎样的数量关系？并说明理由；②求的大小（用表示）；（2）如图2，若，，则线段与的数量关系为，（用表示）；（3）在（2）的条件下，把绕点逆时针旋转，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接并延长交于点．则（用表示）．【解答】解：（1）如图1．①，理由如下：，，，，同理可得：，，，即：．在与中，，，；②，，，；（2）如图2．，，，同理可得：，，，即：．，，．在与中，，，，，，；，．故答案为：，；（3）如右图．，，，同理可得：，，即．，，．在与中，，，，，，，．故答案为：．11．若绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，则我们称与互为“旋转位似图形”．（1）知识理解：如图1，与互为“旋转位似图形”．①若，，，则；②若，，，则（2）知识运用：如图2，在四边形中，，于点，，求证：与互为“旋转位似图形”．（3）拓展提高：如图3，为等边三角形，点为的中点，点是边上的一点，点为延长线上的一点，点在线段上，且与互为“旋转位似图形”．若，，求的值．【解答】解：（1）①和互为“旋转位似图形”，，，又，，；②，，，，，，，故答案为：；；（2），，，，即，又，，，又，，，，，绕点逆时针旋转的度数后与构成位似图形，和互为“旋转位似图形”；（3），由题意得：，，，，，，由勾股定理可得，，．12．（1）问题发现（1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点．填空：①的度数是；②线段，之间的数量关系为；（2）类比探究如图2，和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点．请判断的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在中，，，，点在边上，于点，，将绕着点在平面内旋转，请直接写出直线经过点时，点到直线的距离．【解答】解：（1）如图1中，和均为等边三角形，，，，，，，，设交于点．，，，故答案为，．（2）结论：，．理由：如图2中，，，，，，，，，，．（3）如图3中，，，，，四点共圆，，，，，，，，在中，，，，，，，，点到直线的距离等于．如图4中，当，在同一直线上时，同法可知，，点到直线的距离等于．综上所述，点到直线的距离等于．13．如图，将绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，我们称与互为“旋转位似图形”．（1）知识理解：两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形是（填“是”或“不是”“旋转位似图形”；如图1，和互为“旋转位似图形”，①若，，，则；②若，，，则；（2）知识运用：如图2，在四边形中，，于，，求证：和互为“旋转位似图形”；（3）拓展提高：如图3，为等腰直角三角形，点为中点，点是上一点，是延长线上一点，点在线段上，且与互为“旋转位似图形”，若，，求出和的值．【解答】解：（1）两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形，把其中一个三角形绕公共顶点旋转后构成位似图形，故它们互为“旋转位似图形”；①和互为“旋转位似图形”，，，又，，；②，，，，，，，故答案为：是；；；（2）证明：，，，，即，又，，，又，，，，和互为“旋转位似图形”；（3），，，，，，，代入求得：．如图3，过作于，，，，，，，，，，根据勾股定理，得；综上，，．14．已知正方形，动点在上运动，过点作射线于点，连接．（1）如图1，在上取一点，使，连接，求证：；（2）如图2，点在延长线上，求证：；（3）如图3，若把正方形改为矩形，且，其他条件不变，请猜想，和的数量关系，直接写出结论，不必证明．【解答】（1）证明：四边形是正方形，，，，，，，，，，，，；（2）证明：如图2，过点作交的延长线于，，四边形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：；证明：如图3，过点作交于，，四边形是矩形，，，同（1）的方法得，，，，四边形是矩形，，，，，，在中，根据勾股定理得，，，，．15．（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接．①线段，之间的数量关系为；②的度数为．（2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，连接，求的值及的度数；（3）解决问题：如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到直线的距离．【解答】解：（1）①和均为等边三角形，，，，，，在和中，，，；②，，，，；故答案为：①，②；（2）和均为等腰直角三角形，，，，，即，，，，，，，，故，；（3）点满足，点在以为圆心，为半径的圆上，，点在以为直径的圆上，如图3，点是两圆的交点，若点在上方，连接，过点作于，过点作于，，，，，，，，四边形是矩形，，在和中，，，，，，，，，在中，，即，解得：或．点到直线的距离为或．16．图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一．小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行研究．如图（1），已知和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，且．（1）观察猜想小华将绕点逆时针旋转，连接，，如图（2），当的延长线恰好经过点时，①的值为；②的度数为度；（2）类比探究如图（3），小芳在小华的基础上，继续旋转，连接，，设的延长线交于点，请求出的值及的度数，并说明理由．（3）拓展延伸若，，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长．【解答】解：（1）如图（2）中，设交于点．，都是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，故答案为：，45．（2）如图（3）中，设交于点．，都是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，．（3）如图（4）中，当于时，，，，，，，，，，．如图（4）中，当时，延长交于．同法可得，，，，综上所述，的长为或．专题13一线三等角模型证相似1．如图，在边长为的等边中，为上一点，且，在上，，则的长为．A． B． C．7 D．62．如图，边长为的正方形中，有一个小正方形，其中、、分别在、、上，若，则小正方形的面积等于．3．已知等边，，分别在边、上，将沿折叠，点落在边上的处．（1）求证：；（2）若时，求．4．如图有一块三角尺，，，，，用一张面积最小的正方形纸片将这个三角尺完全覆盖．求出这个正方形的面积．5．已知：如图，是等边三角形，点、分别在边、上，．（1）求证：；（2）如果，，求的长．6．如图，在矩形中，，，是边上的任意一点与、不重合），作，交于点．（1）判断与是否相似，并说明理由．（2）连接，若，试求出此时的长．7．如图1，在中，，，点在边上从向运动．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点，连接．（1）求证：．（2）当时（如图，求和的长．（3）设点在边上从向运动的过程中，直接写出点运动的路径长．8．在中，点、在边上，点在边上，连接、，，（1）如图1，点、重合，时①若平分，求证：；②若，则；（2）如图2，点、不重合．若，，，求的值．9．已知：在中，，，且点，分别在矩形的边，上．（1）如图1，填空：当点在上，且，，则；（2）如图2，若是的中点，与相交于点，连接，求证：；（3）如图3，若，，分别交于点，，求证：．10．在中，，，点为直线上一动点（不与点、重合），连接，将线段所在的直线绕点顺时针旋转得到直线，再将线段所在的直线绕点顺时针旋转得到直线，直线与直线相交于点．（1）当点在线段上，当时，如图1，直接判断的大小；（2）当点在线段上，当时，如图2，试判断线段的大小，并说明理由；（3）当点在直线上，当，，时，请利用备用图探究面积的大小（直接写出结果即可）．11．如图，在中，已知，，且，将与重合在一起，不动，运动，并满足：点在边上沿到的方向运动，且始终经过点，与交于点．（1）求证：；（2）当时，①求的长；②直接写出重叠部分的面积；（3）在运动过程中，当重叠部分构成等腰三角形时，求的长．12．如图，直线与双曲线的交点为，与轴的交点为．（1）求的度数；（2）求的长；（3）已知点为双曲线上的一点，当时，求点的坐标．13．【感知】如图①，在正方形中，为边上一点，连结，过点作交于点．易证：．（不需要证明）【探究】如图②，在矩形中，为边上一点，连结，过点作交于点．（1）求证：．（2）若，，为的中点，求的长．【应用】如图③，在中，，，．为边上一点（点不与点、重合），连结，过点作交于点．当为等腰三角形时，的长为．14．如图1，已知正方形在直线的上方，在直线上，是射线上一点，以为边在直线的上方作正方形．（1）连接，观察并猜测的值，并说明理由；（2）如图2，将图1中正方形改为矩形，，，为常数），是射线上一动点（不含端点，以为边在直线的上方作矩形，使顶点恰好落在射线上，当点沿射线运动时，请用含，的代数式表示的值．15．如图1，在矩形中，，，点是边上的动点，点从点出发，运动到点停止，是边上一动点，在运动过程中，始终保持，设，．（1）直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）先完善表格，然后在平面直角坐标系中（如图利用描点法画出此抛物线，直接写出；23456782332（3）结合图象，指出、在运动过程中，当达到最大值时，的值是；并写出在整个运动过程中，点运动的总路程．16．【基础巩固】（1）如图1，在中，，直线过点，分别过、两点作，，垂足分别为、．求证：．【尝试应用】（2）如图2，在中，，是上一点，过作的垂线交于点．若，，，求的长．【拓展提高】（3）如图3，在平行四边形中，在上取点，使得，若，，，求平行四边形的面积．17．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，，由，，可得；又因为，可得，进而得到我们把这个模型称为“一线三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，如图，在中，，，点是边上的一个动点（不与、重合），点是边上的一个动点，且．①求证：；②当点为中点时，求的长；拓展：（3）在（2）的条件下，如图2，当为等腰三角形时，请直接写出的长．专题13一线三等角模型证相似1．如图，在边长为的等边中，为上一点，且，在上，，则的长为．A． B． C．7 D．6【解答】解：是等边三角形，，，，，，，，，，，，故选：．2．如图，边长为的正方形中，有一个小正方形，其中、、分别在、、上，若，则小正方形的面积等于．【解答】解：正方形的边长为，，四边形和均为正方形，小正方形的面积等于：故答案为：．三．解答题（共15小题）3．已知等边，，分别在边、上，将沿折叠，点落在边上的处．（1）求证：；（2）若时，求．【解答】解：（1）证明：等边将沿折叠，点落在边上的处．又；（2）设，则，翻折，设，，，由得：①由得：②由①②解得：，．4．如图有一块三角尺，，，，，用一张面积最小的正方形纸片将这个三角尺完全覆盖．求出这个正方形的面积．【解答】解：，，，，，四边形是正方形，，，，，，，，，，设，则，，，，，答：这个正方形的面积为：．5．已知：如图，是等边三角形，点、分别在边、上，．（1）求证：；（2）如果，，求的长．【解答】（1）证明：是等边三角形，，，，，；（2）解：由（1）证得，，设，则，，或，或．6．如图，在矩形中，，，是边上的任意一点与、不重合），作，交于点．（1）判断与是否相似，并说明理由．（2）连接，若，试求出此时的长．【解答】解：（1）与相似，理由如下：四边形是矩形，，，，，，；（2）连接，如图所示：由（1）知，，，，，，，在矩形中，，，，，．7．如图1，在中，，，点在边上从向运动．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点，连接．（1）求证：．（2）当时（如图，求和的长．（3）设点在边上从向运动的过程中，直接写出点运动的路径长．【解答】（1）证明：，，又，，，，，；（2）解：如图，过点作交于点，，，，，，，，，，，，，，由（1）得，，，，过点作于点，，，，，，，，，；（3）解：点随着点的运动而运动，在线段上，点的轨迹也是一条线段，如图，当与点重合时，点在的位置，，当点与点重合时，点在的位置，，为点的运动路径，，，，，，即，，在中，，，，，即，，，，△是等腰三角形，，△与都是等腰三角形，△，，由（2）得，，，点运动的路径长为．8．在中，点、在边上，点在边上，连接、，，（1）如图1，点、重合，时①若平分，求证：；②若，则或；（2）如图2，点、不重合．若，，，求的值．【解答】解：（1）①，，平分，，，且，，且，，，；②如图1，过作于，过作，交于，，，设，，则，，，，，，，，，，，，即，设，则，，，，或，或，故答案为：或；（2）如图2，过作，交于，过作于，过作，交于，，，，，，设，，，，，，，，，，同理由（1）得：，，即，，中，，，，，，，．9．已知：在中，，，且点，分别在矩形的边，上．（1）如图1，填空：当点在上，且，，则；（2）如图2，若是的中点，与相交于点，连接，求证：；（3）如图3，若，，分别交于点，，求证：．【解答】（1）解：，，，，又，，，，，，故答案为：；（2）证明：延长、交于点，点为的中点，，，，，，，，，；（3）证明：如图，过点作交的延长线于，，同（1）同理得，，，，，，，，，，，在中，，，，，，，．10．在中，，，点为直线上一动点（不与点、重合），连接，将线段所在的直线绕点顺时针旋转得到直线，再将线段所在的直线绕点顺时针旋转得到直线，直线与直线相交于点．（1）当点在线段上，当时，如图1，直接判断的大小；（2）当点在线段上，当时，如图2，试判断线段的大小，并说明理由；（3）当点在直线上，当，，时，请利用备用图探究面积的大小（直接写出结果即可）．【解答】解：（1）如图1，连接，，，是等边三角形，，将线段所在的直线绕点顺时针旋转得到直线，再将线段所在的直线绕点顺时针旋转得到直线，，点，点，点，点四点共圆，，是等边三角形，，，，，，，；（2），理由如下：如图2，连接，，，，将线段所在的直线绕点顺时针旋转得到直线，再将线段所在的直线绕点顺时针旋转得到直线，，点，点，点，点四点共圆，，，，又，，；（3），点不在线段上，当点在点的右侧时，如图3，过点作于，，，，，，，，，，，由（2）可知，，，，，，；当点在点的左侧时，如图4，过点作于，，，，，，，，，，，由（2）可知，，，，，，；综上所述：面积为或．11．如图，在中，已知，，且，将与重合在一起，不动，运动，并满足：点在边上沿到的方向运动，且始终经过点，与交于点．（1）求证：；（2）当时，①求的长；②直接写出重叠部分的面积；（3）在运动过程中，当重叠部分构成等腰三角形时，求的长．【解答】（1）证明：，，，，，，；（2）①当时，，，，，，，，，，，，在中，，，，；②在中，，，重叠部分的面积为；（3）①当时，，，，②当时，则，，即，，，，，；③当时，点与点重合，即，此时重叠部分图形不能构成三角形；或．12．如图，直线与双曲线的交点为，与轴的交点为．（1）求的度数；（2）求的长；（3）已知点为双曲线上的一点，当时，求点的坐标．【解答】解：（1）设直线与轴交于点，如图所示：当时，．即点．当时，，即点．．．．（2）过点作轴，垂足为，如图所示．设点坐标为：．且．，．．．．即：．或（舍．．．即：．（3）过作，点在轴上，再过点作于点，如图所示．设，．．．．．，且是一内角的外角．．．即：．．．．．13．【感知】如图①，在正方形中，为边上一点，连结，过点作交于点．易证：．（不需要证明）【探究】如图②，在矩形中，为边上一点，连结，过点作交于点．（1）求证：．（2）若，，为的中点，求的长．【应用】如图③，在中，，，．为边上一点（点不与点、重合），连结，过点作交于点．当为等腰三角形时，的长为或2．【解答】【探究】（1）证明：四边形是矩形，，，，，，，又，；（2）解：为的中点，，由（1）知，，即，；【应用】解：如果，则，，则点与点重合，点与点重合，不符合题意，②如果，则，为的外角，，，，，，，，又，，，，，，，，；如果，则，，在中，，，，又，点为的中点，，综上，的长为或2，故答案为：或2．14．如图1，已知正方形在直线的上方，在直线上，是射线上一点，