2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）专题04 二次函数中的等腰直角三角形含解析

2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练专题04二次函数中的等腰直角三角形1．如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，，，二次函数的图象经过C点，求二次函数的解析式．2．设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．（1）当△ABC为等腰直角三角形时，求b2﹣4ac的值；（2）当△ABC为等边三角形时，求b2﹣4ac的值．3．已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=2x2−(1+2c)x+c（c>，c是常数）的图像与x轴分别交于点A，点B（点B在点A右侧），与y轴交于点C，连接BC．(1)证明：△BOC是等腰直角三角形；(2)抛物线顶点为D，BC与抛物线对称轴交于点E，当四边形AEBD为正方形时，求c的值．4．已知二次函数的图象与x轴仅有一个公共点A．(1)求m的值；(2)过点（0，3）作直线l平行于x轴，在对称轴右侧的抛物线上任取一点P，过点P向直线l作垂线，垂足为E点，若在抛物线的对称轴上存在点D，使得△PDE是以D为直角顶点的等腰直角三角形．请求出点P的横坐标．5．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3（x≤3）的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c），记为L．将L沿直线x＝3翻折得到“部分抛物线”K，点A，C的对应点分别为点A'，C'．（1）求a，b，c的值；（2）在平面直角坐标系中描出点A'，C'，并画出“部分抛物线”K；（3）求“部分抛物线”K的解析式；（4）某同学把L和“部分抛物线”K看作一个整体，记为图形“W”，若直线y＝m和图形“W”只有两个交点M，N（点M在点N的左侧）．①直接写出m的取值范围；②若△MNB为等腰直角三角形，求m的值．6．已知：二次函数．（1）该二次函数一定经过的两个点的坐标为(，)，(，)；（2）若不同于、的点也在该二次函数图象上，则以下判断正确的是．①；②；③（只要填写序号即可），并就其中一个正确的判断说明理由；（3）当是等腰直角三角形时，求的值．7．已知二次函数中的，满足下表…0123……0…（l）________，________；（2）函数图象对称轴是____________；（3）如果点，是图象上点，则________；（4）函数图象与轴交于点、点，是等腰直角三角形，，则点坐标为________．8．已知二次函数．（1）若此函数经过（1,0），求k的值；（2）设二次函数，与轴交于，两点（点A在B的左侧），顶点为C，①若k＞0，直接写出A,B两点的坐标（用含k的代数式表示）；②当是等腰直角三角形时，求k的值．9．已知，抛物线C1:y=-x2+mx+m+（1）①当m=1时，抛物线与x轴的交点坐标为_______;②当m=2时，抛物线与x轴的交点坐标为________;（2）①无论m取何值，抛物线经过定点P________;②随着m的取值的变化，顶点M（x，y）随之变化，y是x的函数，记为函数C2

，则函数C2的关系式为：________

；（3）如图，若抛物线C1与x轴仅有一个公共点时，①直接写出此时抛物线C1的函数关系式；②请在图中画出顶点M满足的函数C2的大致图象，在x轴上任取一点C，过点C作平行于y轴的直线l分别交C1、C2于点A、B，若△PAB为等腰直角三角形，求点C的坐标；（4）二次函数的图象C2与y轴交于点N，连接PN，若二次函数的图象C1与线段PN有两个交点，直接写出m的取值范围．10．如图，二次函数图象的顶点为，其图象与轴的交点，的横坐标分别为，，与轴负半轴交于点．下列结论：①；②；③；其中正确的是________；若是等腰直角三角形，求的值．11．已知二次函数y=a(x-m)2-2a(x-m)（a,m为常数，且a≠0）.（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，当△ABC是等腰直角三角形时，求a的值．12．抛物线与轴相交于点，且抛物线的对称轴为，为对称轴与轴的交点．(1)求抛物线的解析式；(2)直线与抛物线从左到右依次交于、两点，若是等腰直角三角形，求的值．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）经过原点，并交x轴正半轴于点A.已知OA=6，且方程恰好有两个相等的实数根．(1)求该抛物线的表达式；(2)若将图象在x轴及其上方的部分向右平移m个单位交于点P，B，是该图象两个顶点，若恰好为等腰直角三角形，求m的值．14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为．点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．(1)求这个二次函数及直线的表达式．(2)过点做轴交直线于点，求的最大值．(3)点为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．15．次函数的图象交x轴于点A（－1，0），B（4，0），两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．(1)求二次函数的表达式；(2)连接BD，当时，求△DNB的面积；(3)在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标．16．已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为D．(1)直接写出函数图象的对称轴：_____；(2)若是等腰直角三角形，求的值；(3)当时，y的最大值m减去y的最小值n的结果不大于3，求a的取值范围．17．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3（x≤3）的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c），记为L．将L沿直线x＝3翻折得到“部分抛物线”K，点A，C的对应点分别为点A'，C'．(1)求a，b，c的值；(2)画出“部分抛物线”K的图象，并求出它的解析式；(3)某同学把L和“部分抛物线”K看作一个整体，记为图形“W”，若直线y＝m和图形“W”只有两个交点M，N（点M在点N的左侧）．①直接写出m的取值范围；②若△MNB为等腰直角三角形，求m的值．专题04二次函数中的等腰直角三角形1．如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，，，二次函数的图象经过C点，求二次函数的解析式．【答案】y=x2-2x-2【分析】过C点作x轴垂线，通过△AOB≌△CDA得出C点横纵坐标，再通过待定系数法求得b【详解】如图所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°，∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．在△AOB与△CDA中，，∴△AOB≌△CDA（ASA），∴CD=OA=1，AD=OB=2，∴OD=OA+AD=3，∴C（3，1），∵点C（3，1）在抛物线y=x2+bx-2上，∴1=9+3b-2，解得：b=-2，∴抛物线的解析式为：y=x2-2x-2．【点睛】本题考查三角形全等和二次函数图像性质，用方程把二者联系起来建立等式是关键．2．设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．（1）当△ABC为等腰直角三角形时，求b2﹣4ac的值；（2）当△ABC为等边三角形时，求b2﹣4ac的值．【答案】(1)、4；(2)、12【详解】试题分析：(1)、由于抛物线与x轴有两个不同的交点，所以b2﹣4ac＞0；可求得线段AB的表达式，利用公式法可得到顶点C的纵坐标，进而求得斜边AB上的高（设为CD），若△ABC为等腰直角三角形，那么AB=2CD，可根据这个等量关系求出b2﹣4ac的值；(2)、当△ABC为等边三角形时，解直角△ACE，得CE=AE=AB，据此列出方程，解方程求出b2﹣4ac的值．试题解析：(1)、当△ABC为等腰直角三角形时，过C作CD⊥AB于D，则AB=2CD；∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，∴|b2﹣4ac|=b2﹣4ac，∵AB=，又∵CD=（a≠0），∴，∴b2﹣4ac=，∵b2﹣4ac≠0，∴b2﹣4ac=4．(2)、如图，当△ABC为等边三角形时，由（1）可知CE=AE=AB，∴，∵b2﹣4ac＞0，∴，∴b2﹣4ac=12．考点：二次函数综合题．3．已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=2x2−(1+2c)x+c（c>，c是常数）的图像与x轴分别交于点A，点B（点B在点A右侧），与y轴交于点C，连接BC．(1)证明：△BOC是等腰直角三角形；(2)抛物线顶点为D，BC与抛物线对称轴交于点E，当四边形AEBD为正方形时，求c的值．【答案】(1)见解析(2)当四边形AEBD为正方形时，求c的值为．【分析】（1）求得点C(0，c)，再解方程2x2−(1+2c)x+c=0，求得点B(c，0)，即可判断△BOC是等腰直角三角形；（2）求得点D(，-)，当四边形AEBD为正方形时，只需△ABD是等腰直角三角形，得到方程c-=，解方程即可求解．(1)证明：令x=0，则y=c，∴点C(0，c)，令y=0，则2x2−(1+2c)x+c=0，∴(2x-1)(x-c)=0，∴x1=，x2=c，∵点B在点A右侧，∴点B(c，0)，点A(，0)，∴OB=OC=c，∵∠COB=90°，∴△BOC是等腰直角三角形；(2)解：y=2x2−(1+2c)x+c=2(x-)2-，∴点D(，-)，设DM交x轴于点M，∵△BOC是等腰直角三角形，∴∠OBC=45°，∵点A，B关于DE对称，∴EA=EB，∴∠EAB=∠EBA=45°，∴∠AEB=180°-45°-45°=90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵EM⊥AB，∴EM=AB，当四边形AEBD为正方形时，只需△ABD是等腰直角三角形，且∠ADB=90°，∵DM⊥AB，∴AB=2DM，∵点B(c，0)，点A(，0)，∴AB=c-，∵点D(，-)，∴DM=，∴c-=，整理得：4c2-8c+3=0，即(2c-1)(2c-3)=0，∴c1=，c2=，∵c>，∴c=，∴当四边形AEBD为正方形时，求c的值为．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解一元二次方程、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质．熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．4．已知二次函数的图象与x轴仅有一个公共点A．(1)求m的值；(2)过点（0，3）作直线l平行于x轴，在对称轴右侧的抛物线上任取一点P，过点P向直线l作垂线，垂足为E点，若在抛物线的对称轴上存在点D，使得△PDE是以D为直角顶点的等腰直角三角形．请求出点P的横坐标．【答案】(1)4(2)或【分析】（1）先根据二次函数的定义可得，再根据关于的一元二次方程只有一个实数根即可得；（2）设的中点为点，连接，画出图形，先求出二次函数的对称轴，从而可得点的横坐标，再设点的坐标为，则点的坐标为，点的横坐标为，从而可得，然后根据等腰直角三角形的性质可得，由此解两个一元二次方程即可得．(1)解：二次函数的图象与轴仅有一个公共点，，且关于的一元二次方程只有一个实数根，此方程根的判别式，解得或（舍去），即的值为4．(2)解：设的中点为点，连接，由题意，画图如下：由（1）可知，，则二次函数的对称轴为直线，所以点的横坐标为，设点的坐标为，则点的坐标为，点的横坐标为，所以，是以为直角顶点的等腰直角三角形，，轴，垂直直线，轴，轴，，，即或，解得或（舍去）或或（舍去），故点的横坐标为或．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的联系、二次函数的几何应用、等腰直角三角形的性质等知识点，较难的是题（2），正确画出图形，利用等腰直角三角形的性质建立方程是解题关键．5．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3（x≤3）的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c），记为L．将L沿直线x＝3翻折得到“部分抛物线”K，点A，C的对应点分别为点A'，C'．（1）求a，b，c的值；（2）在平面直角坐标系中描出点A'，C'，并画出“部分抛物线”K；（3）求“部分抛物线”K的解析式；（4）某同学把L和“部分抛物线”K看作一个整体，记为图形“W”，若直线y＝m和图形“W”只有两个交点M，N（点M在点N的左侧）．①直接写出m的取值范围；②若△MNB为等腰直角三角形，求m的值．【答案】（1）a、b、c的值分别为1、﹣2、﹣3；（2）见解析；（3）y＝x2﹣10x+21（x≥3）；（4）①m＞0或m＝﹣4；②5．【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c）代入y＝ax2+bx﹣3，列方程组并且解该方程组求出a、b、c的值即可；（2）先根据点A'、C'与点A（﹣1，0）、C（0，﹣3）关于直线x＝3对称，求出点A′、C′的坐标，再描出点A'，C'，并画出“部分抛物线”K；（3）由（1）得原抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，将其配成顶点式y＝（x﹣1）2﹣4，则翻折后得到的抛物线的顶点为（5，﹣4），再根据轴对称的性质，可求出“部分抛物线”K的解析式为y＝x2﹣10x+21（x≥3）；（4）①先求出K与L的公共点为B（3，0），再结合图象，确定m的取值范围是m＞0或m＝﹣4；②按m＞0和m＝﹣4两种情况分类讨论，当m＞0时，先求出直线BM的解析式，再将其与L的解析式组成方程组，求出点M的纵坐标即为m的值；当m＝﹣4时，则△MNB不是等腰直角三角形．【详解】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c）代入y＝ax2+bx﹣3，得，解得，故a、b、c的值分别为1、﹣2、﹣3．（2）由（1）得C（0，﹣3），由题意可知，点A'、C'与点A（﹣1，0）、C（0，﹣3）关于直线x＝3对称，∴A'（7，0），C'（6，﹣3），描出点A'（7，0），C'（6，﹣3），画出“部分抛物线”K如图1所示．（3）由（1）得，L的解析式为y＝x2﹣2x﹣3（x≤3），∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），∴将抛物线y＝（x﹣1）2﹣4沿直线x＝3翻折得到的抛物线的顶点坐标为（5，﹣4），∴翻折后的抛物线为y＝（x﹣5）2﹣4，即y＝x2﹣10x+21，∵K与L关于直线x＝3对称，∴“部分抛物线”K的解析式为y＝x2﹣10x+21（x≥3）．（4）由得，∴K与L的公共点为B（3，0），①如图2，当直线y＝m在点B上方，由直线y＝m与图形W只有两个交点M、N，∴m＞0；如图3，当直线y＝m′在点B下方，直线y＝m经过L、K的顶点M（1，﹣4）、N（5，﹣4），此时直线y＝m与图形W只有两个交点M、N，∴m＝﹣4，综上所述，m＞0或m＝﹣4．②如图2，m＞0，△MNB为等腰直角三角形，设BM交y轴于点D，M（x，x2﹣2x﹣3），∵BM＝BN，∠MBN＝90°，∴∠BMN＝∠BNM＝45°，∵MN∥x轴，∴∠OBD＝∠BMN＝45°，∵∠BOD＝90°，∴∠OBD＝∠ODB＝45°，∴OB＝OD＝3，∴D（0，3），设直线BM的解析式为y＝kx+3，则3k+3＝0，解得k＝﹣1，∴直线BM的解析式为y＝﹣x+3，∵点M在直线y＝﹣x+3上，∴M（x，﹣x+3），∴x2﹣2x﹣3＝﹣x+3，解得x1＝﹣2，x2＝3（不符合题意，舍去），∴M（﹣2，5），∴m＝5；如图3，m＝﹣4，∵BM2+BN2＝2BM2＝2×[（3﹣1）2+（0+4）2]＝40，MN2＝（5﹣1）2＝16，∴BM2+BN2≠MN2，∴此时△MNB不是等腰直角三角形，综上所述，m的值是5．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、等腰直角三角形、待定系数法等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．6．已知：二次函数．（1）该二次函数一定经过的两个点的坐标为(，)，(，)；（2）若不同于、的点也在该二次函数图象上，则以下判断正确的是．①；②；③（只要填写序号即可），并就其中一个正确的判断说明理由；（3）当是等腰直角三角形时，求的值．【答案】（1）1，1，2，2；（2）①②③都正确，见解析；（3）【分析】（1）根据二次函数的解析式可以发现二次函数经过定点（1，1），（2，2）；（2）根据P不同于A、B两点，即可得到且，再由二次函数的定义得到由此即可得到答案；（3）根据等腰直角三角形的性质得到符合题意的P点的坐标6个分别为，，，，，，再由P在二次函数上，且不同于A、B两点，则且，只有和符合题意，由此求解即可．【详解】解：（1）∵二次函数解析式为，∴当时，，当时，，∴该二次函数一定经过的两个点的坐标为A（1，1），B（2，2），故答案为：1，1，2，2；（2）把点P（m，n）代入二次函数解析式得，∵P是不同于A、B的一点，∴且，∴，∴即，∴①②③都正确，故答案为：①②③；（3）如图所示，∵△PAB是等腰直角三角形，且A（1，1），B（2，2），∴根据等腰直角三角形的性质可得符合题意的P点的坐标6个分别为，，，，，，又∵P在二次函数上，且不同于A、B两点，∴且，∴只有和符合题意，把代入中得，解得，把代入中得，解得，∴综上所述，a的值为±1．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识．7．已知二次函数中的，满足下表…0123……0…（l）________，________；（2）函数图象对称轴是____________；（3）如果点，是图象上点，则________；（4）函数图象与轴交于点、点，是等腰直角三角形，，则点坐标为________．【答案】（1），；（2）对称轴；（3）；（4）点坐标为或【分析】（1）把(0，a)和(3，b)分别代入即可求出a和b的值；（2）根据即可求出函数图象的对称轴；（3）由，的纵坐标相同，可知，关于对称轴对称，然后根据对称性求解即可；（4）分点M在x轴上方和点M在x轴下方两种情况求解即可．【详解】（1）把(0，a)代入，得．把(3，b)代入，得；（2）∵，∴对称轴是直线；（3）∵，的纵坐标相同，∴，关于对称轴对称，∴2×1=2；（4）如图，当点M在x轴上方时，作ME⊥AB于E，∵是等腰直角三角形，，∴点M在对称轴上，∠MAE=45°，∴ME=AE=2，OE=1，∴M(1，2)．当点M在x轴下方时，同理可求M(1，-2)，综上可知，点M的坐标为(1，2)或(1，-2)．【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的对称性，等腰直角三角形的性质，以及分类讨论的数学思想，熟练掌握二次函数的图像与性质以及分类讨论是解答本题的关键．8．已知二次函数．（1）若此函数经过（1,0），求k的值；（2）设二次函数，与轴交于，两点（点A在B的左侧），顶点为C，①若k＞0，直接写出A,B两点的坐标（用含k的代数式表示）；②当是等腰直角三角形时，求k的值．【答案】（1），；（2）①A（k，0），B（3k，0）；②.【分析】（1）将（1，0）代入函数解析式，解方程即可求出k的值；（2）①用因式分解法解方程，求出方程的解即可；②首先求出顶点C的坐标，然后根据是等腰直角三角形可得AC2+BC2=AB2，根据两点间距离公式列方程求解即可.【详解】解：（1）将（1，0）代入得：，解得：，；（2）①令y=0，即，∴，∴，，∵k＞0，点A在点B的左侧，∴A（k，0），B（3k，0）；②由题意得：顶点C的横坐标为：，顶点C的纵坐标为：，即C（2k，-k2），∵是等腰直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，由①知A（k，0），B（3k，0），∴，整理得：，解得：或（舍去），∴.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程、顶点坐标公式、勾股定理以及两点间距离公式等知识点，熟练掌握二次函数图象与x轴交点坐标的求法是解题关键.9．已知，抛物线C1:y=-x2+mx+m+（1）①当m=1时，抛物线与x轴的交点坐标为_______;②当m=2时，抛物线与x轴的交点坐标为________;（2）①无论m取何值，抛物线经过定点P________;②随着m的取值的变化，顶点M（x，y）随之变化，y是x的函数，记为函数C2

，则函数C2的关系式为：________

；（3）如图，若抛物线C1与x轴仅有一个公共点时，①直接写出此时抛物线C1的函数关系式；②请在图中画出顶点M满足的函数C2的大致图象，在x轴上任取一点C，过点C作平行于y轴的直线l分别交C1、C2于点A、B，若△PAB为等腰直角三角形，求点C的坐标；（4）二次函数的图象C2与y轴交于点N，连接PN，若二次函数的图象C1与线段PN有两个交点，直接写出m的取值范围．【答案】（1）（﹣1，0）（3，0）；（﹣1，0）（5，0）；（2）（-1，0）；y=(x+1)；（3）点C的坐标为（1，0）或（-3，0）；（4）-＜m≤0【分析】（1）①把m=1,y=0分别代入抛物线C1，得到一个一元二次方程，解方程即可求出交点横坐标．其纵坐标都为0；②把①中的m=1改为m=2,方法相同；（2）把二次函数的C1∴化为顶点式即可求得顶点为：M（m，(m+1)2）∴函数C2的关系式为y=(x+1)2；（3）

①当抛物线C1与x轴仅有一个公共点时，

即顶点在x轴上，此时M的纵坐标为0，由此可得则m，

把m代入C1解析式即可；②

分析C1、C2的解析式可以发现，这两个函数关于x轴对称，可据此画函数的图像；（4）若二次函数的图象C1与线段PN有两个交点，

则其对称轴与线段PN一定有交点，据此即可求出答案．【详解】（1）①把m=1,y=0分别代入抛物线C1，得到一个一元二次方程，解方程即可求出交点横坐标．其纵坐标都为0；②把①中的m=1改为m=2,方法相同；（2）把二次函数的C1∴化为顶点式即可求得顶点为：M（m，(m+1)2）∴函数C2的关系式为y=(x+1)2；（3）解：如图所示，

∵抛物线C1：y=-x2+mx+m+顶点在x轴，则m=-1，∴抛物线C1：y=-x2-x-=-（x+1）2

，P（-1，0），由②知，函数C2的关系式为y=(x+1)2；∴抛物线C1与C2关于x轴对称，∵△PAB为等腰直角三角形，∴直角顶点只能是点P

，且PC=BC=AC

，设B（n

，

(n+1)2），∴C（n

，0），BC=(n+1)2

，∴PC=|n+1|，∴(n+1)2=|n+1|，∴n=-1（舍）或n=1或n=-3．∴点C的坐标为（1，0）或（-3，0）（4）解：-＜m≤0

解：（1）①（﹣1，0）（3，0）；②（﹣1，0）（5，0）；（2）①∵抛物线C1：y=-x2+mx+m+=-x2+m（x+1）+．∴当x+1=0时，无论m为何值，抛物线经过定点P

，∴x=-1，y=0，∴定点P（-1，0），故答案为-1，0；②抛物线C1：y=-x2+mx+m+=-(x-m)2+(m+1)2．∴M（m，(m+1)2），∴函数C2的关系式为y=(x+1)2；故答案为y=(x+1)2【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，熟练掌握计算法则是解题关键10．如图，二次函数图象的顶点为，其图象与轴的交点，的横坐标分别为，，与轴负半轴交于点．下列结论：①；②；③；其中正确的是________；若是等腰直角三角形，求的值．【答案】(1)③(2)a=【分析】（1）先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断；（2）作于点，根据题意可得，根据是等腰直角三角形，可得，继而可得点D的坐标是，再根据待定系数法即可求得a的值.【详解】（1）①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3，∴AB=4，∴对称轴x=-=1，即2a+b=0，故①错误；②根据图示知，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，故②错误；③∵A点坐标为（-1，0），∴a-b+c=0，而b=-2a，∴a+2a+c=0，即c=-3a，故③正确，故答案为③；如图，作于点，，∵是等腰直角三角形，∴，则的坐标是．设二次函数的解析式是，把代入得，解得：．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、等腰三角形的性质等，熟练掌握相关的知识是解题的关键.11．已知二次函数y=a(x-m)2-2a(x-m)（a,m为常数，且a≠0）.（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，当△ABC是等腰直角三角形时，求a的值．【答案】（1）见解析；（2）.【详解】试题分析：(1)二次函数和x轴有两个交点，判别式>0即可；（2）先求出顶点坐标，由△ABC是等腰直角三角形，可以得出AB边上高等于1，即可得出a的值.试题解析：（1）证明：y=a(x-m)2-2a(x-m)=ax2-(2am+2a)x+am2+2am当a≠0时,=（2am+2a）2-4a(am2+2am)∵∴∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．（2）y=a(x-m)2-2a(x-m)=a(x-m-1)2-a∴C(m+1,-a)当y=0时，解得x1=m，x2=m+2.∴AB=（m+2）-m=2.当△ABC是等腰直角三角形时，可求出AB边上高等于1．∴．∴．考点：二次函数综合题.12．抛物线与轴相交于点，且抛物线的对称轴为，为对称轴与轴的交点．(1)求抛物线的解析式；(2)直线与抛物线从左到右依次交于、两点，若是等腰直角三角形，求的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）与轴相交于点，得到，再根据抛物线的对称轴为，可求得的值，进而可得解析式；（2）直线与抛物线从左到右依次交于、两点，可知、两点关于对称轴对称，是等腰直角三角形可得，设，分轴上方和下方两种情况讨论，根据等腰直角三角形的性质列出式子，即可求得的值．（1）解：由抛物线与轴相交于点，可得，又抛物线的对称轴为，即，解得，抛物线的解析式为：；（2）解：如图，当直线与抛物线从左到右依次交于、两点，且直线位于轴上方时：作轴交轴于点，是等腰直角三角形，，又轴，为等腰直角三角形，，点坐标为，设，则，，又，，即，解得（舍负），；如图，当直线与抛物线从左到右依次交于、两点，且直线位于轴下方时：作轴交轴于点，是等腰直角三角形，，又轴，为等腰直角三角形，，点坐标为，设，则，，又，，即，解得（舍负），，综上：或【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数解析式的求解、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些知识是解题的关键．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）经过原点，并交x轴正半轴于点A.已知OA=6，且方程恰好有两个相等的实数根．(1)求该抛物线的表达式；(2)若将图象在x轴及其上方的部分向右平移m个单位交于点P，B，是该图象两个顶点，若恰好为等腰直角三角形，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出，代入抛物线的解析式可得，从而可得，再利用一元二次方程根的判别式可得，据此求出的值，由此即可得；（2）先求出，再判断出，过点作于点，利用等腰直角三角形的性质可得，从而可得，将其代入抛物线的解析式即可得．（1）解：，，将代入得：，解得，，方程恰好有两个相等的实数根，这个方程根的判别式，即，解得或（不符题意，舍去），则抛物线的解析式为．（2）解：抛物线向右平移个单位后的抛物线的解析式为，，，恰好为等腰直角三角形，只能是，如图，过点作于点，，，将点代入抛物线得：，解得或（不符题意，舍去），即的值为2．【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、一元二次方程根的判别式、二次函数图象的平移、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为．点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．(1)求这个二次函数及直线的表达式．(2)过点做轴交直线于点，求的最大值．(3)点为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)二次函数的表达式为，直线的表达式为；(2)(3)存在，点的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．【分析】（1）利用待定系数法可直接求出二次函数和直线BC的解析式；（2）设动点P的坐标为（x，），则点D的坐标为（x，），PD＝，由二次函数的性质可得出答案；（3）分情况讨论：①当点M在x轴上方，点N在对称轴左侧时，如图1，设对称轴与x轴交于点F，过点N作NE⊥MF于点E，证明△MEN≌△OFM（AAS），可得OF＝EM＝1，设点M坐标为（1，a），可得NE＝MF＝a，则N（1-a，1+a），把点N坐标代入二次函数解析式求出a的值，可得此时点的坐标；②当点M在x轴上方，点N在对称轴右侧时，③当点M在x轴下方，点N在对称轴左侧时，④当点M在x轴下方，点N在对称轴右侧时，同理可求点的坐标．（1）解：把点B，点C的坐标代入解析式中，得：，解得：，∴二次函数得表达式为；设BC的函数表达式为y=kx+b，把点B，点C的坐标代入可得：，解得：，∴直线BC的函数表达式为：；（2）如图，∵轴，∴点P和点D的横坐标相同，设动点P的坐标为（x，），则点D的坐标为（x，），PD＝，当x=时，PD有最大值；（3）分情况讨论：①当点M在x轴上方，点N在对称轴左侧时，如图1，设对称轴与x轴交于点F，过点N作NE⊥MF于点E，∵为等腰直角三角形，且为直角，∴NM＝MO，∠NMO＝90°，∴∠NME＋∠OMF＝90°，∵∠NME＋∠MNE＝90°，∴∠MNE＝∠OMF，又∵∠MEN＝∠OFM＝90°，∴△MEN≌△OFM（AAS），∴OF＝EM，MF＝NE，∵二次函数的对称轴为直线，∴OF＝EM＝1，设点M坐标为（1，a），则NE＝MF＝a，∴N（1-a，1+a），∵点N在抛物线上，∴，整理得：，解得：，∴N（，），②当点M在x轴上方，点N在对称轴右侧时，如图2，同理可得：点N坐标为（，）；③当点M在x轴下方，点N在对称轴左侧时，如图3，同理可得：点N坐标为（，）；④当点M在x轴下方，点N在对称轴右侧时，如图4，同理可得：点N坐标为（，）；综上，点的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法的应用，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及二次函数图象上点的坐标特征，其中第（3）问有一定难度，能够正确分类讨论是解题的关键．15．次函数的图象交x轴于点A（－1，0），B（4，0），两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．(1)求二次函数的表达式；(2)连接BD，当时，求△DNB的面积；(3)在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标．【答案】(1)(2)(3)P（1，－1）或（3，3）【分析】（1）将A、B两点的坐标代入二次函数解析式中，求出系数a与b即可；（2）先求出BC的解析式，再将x=2代入和，得出D、N的坐标即可求出DN的值，再根据三角形的面积公式计算出答案即可；（3）由BM的值得出M的坐标，因此设P（2t-1，m），由勾股定理可得，，根据题意PB=PC，所以，得出P的坐标为，再利用勾股定理列出方程，解得t=1或t=2，代入求值即得出答案．（1）解：将A(-1,0)，B(4,0)代入中，得：，解得：．∴二次函数的表达式为．（2）解：连接BD，如图所示，∵，∴AM=3．又∵，∴．设直线BC的表达式为，将点C（0，2），B（4，0）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为：．将x=2代入和，得D(2，3)，N（2，1），∴．∴．（3）解：∵，∴．设P（2t-1，m），则，．∵PB=PC，∴，∴，∴．∵PC⊥PB，∴，将代入整理得：，解得：t=1或t=2．将t=1或t=2分别代入中，∴P（1，－1）或（3，3）．【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，考查了待定系数法求二次函数表达式，根据点的坐标求平面内三角形的面积，以及根据等腰直角三角形求点的坐标，解题的关键是根据点的坐标求出函数解析式，同时根据解析式将点表示出来，列出方程进行计算．16．已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为D．(1)直接写出函数图象的对称轴：_____；(2)若是等腰直角三角形，求的值；(3)当时，y的最大值m减去y的最小值n的结果不大于3，求a的取值范围．【答案】(1)直线(2)或(3)当时，当时，；当时，；当时，当时，；当时，【分析】（1）根据对称轴的公式代入计算即可；（2）根据题意，求出D坐标为，设抛物线与x轴交于点C，表示出AB的长度，根据，建立关于a的方程，求解即可；（3）分类讨论，当时，当时，当时；当时，当时，当时，根据“y的最大值m减去y的最小值n的结果不大于3”列不等式进行求解即可．（1），，对称轴为直线，故答案为：直线；（2）由题意得，D坐标为，设抛物线的对称轴与x轴交于点C，此时，，令，则，，解得，，，，，整理得，解得或或或，二次函数，，且当时，二次函数与x轴只有一个交点，故不符合题意；综上，或；（3）当时，当时，y的最大值为时，，y的最小值为时，，，解得，；当时，y的最大值为时，，y的最小值为时，，，解得，；当时，当时，y的最大值为时，，y的最小值为时，，，解得，；当时，y的最大值为时，，y的最小值为时，，，解得，；综上，当时，当时，；当时，；当时，当时，；当时，．【点睛】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握知识点并能够运用数形结合的思想是解题的关键．17．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3（x≤3）的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c），记为L．将L沿直线x＝3翻折得到“部分抛物线”K，点A，C的对应点分别为点A'，C'．(1)求a，b，c的值；(2)画出“部分抛物线”K的图象，并求出它的解析式；(3)某同学把L和“部分抛物线”K看作一个整体，记为图形“W”，若直线y＝m和图形“W”只有两个交点M，N（点M在点N的左侧）．①直接写出m的取值范围；②若△MNB为等腰直角三角形，求m的值．【答案】(1)a、b、c的值分别为1、﹣2、﹣3(2)y＝x2﹣10x+21（x≥3）；图见解析(3)①m＞0或m＝﹣4；②5【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c）代入y＝ax2+bx﹣3，列方程组并且解该方程组求出a、b、c的值即可；（2）由（1）得原抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，将其配成顶点式y＝（x﹣1）2﹣4，则翻折后得到的抛物线的顶点为（5，﹣4），再根据轴对称的性质，可求出“部分抛物线”K的解析式为y＝x2﹣10x+21（x≥3）；（3）①先求出K与L的公共点为B（3，0），再结合图象，确定m的取值范围是m＞0或m＝﹣4；②按m＞0和m＝﹣4两种情况分类讨论，当m＞0时，先求出直线BM的解析式，再将其与L的解析式组成方程组，求出点M的纵坐标即为m的值；当m＝﹣4时，则△MNB不是等腰直角三角形．（1）解：把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c）代入y＝ax2+bx﹣3，得，解得，∴a、b、c的值分别为1、﹣2、﹣3．（2）由（1）得，L的解析式为y＝x2﹣2x﹣3（x≤3），∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），∴将抛物线y＝（x﹣1）2﹣4沿直线x＝3翻折得到的抛物线的顶点坐标为（5，﹣4），∴翻折后的抛物线为y＝（x﹣5）2﹣4，即y＝x2﹣10x+21，∵K与L关于直线x＝3对称，∴“部分抛物线”K的解析式为y＝x2﹣10x+21（x≥3）．

画出“部分抛物线”K的图象如图1所示：（3）由得，∴K与L的公共点为B（3，0），①如图2，当直线y＝m在点B上方，由直线y＝m与图形W只有两个交点M、N，∴m＞0；如图3，当直线y＝m′在点B下方，直线y＝m经过L、K的顶点M（1，﹣4）、N（5，﹣4），此时直线y＝m与图形W只有两个交点M、N，∴m＝﹣4，综上所述，m＞0或m＝﹣4．②如图2，m＞0，△MNB为等腰直角三角形，设BM交y轴于点D，M（x，x2﹣2x﹣3），∵BM＝BN，∠MBN＝90°，∴∠BMN＝∠BNM＝45°，∵MN∥x轴，∴∠OBD＝∠BMN＝45°，∵∠BOD＝90°，∴∠OBD＝∠ODB＝45°，∴OB＝OD＝3，∴D（0，3），设直线BM的解析式为y＝kx+3，则3k+3＝0，解得k＝﹣1，∴直线BM的解析式为y＝﹣x+3，∵点M在直线y＝﹣x+3上，∴M（x，﹣x+3），∴x2﹣2x﹣3＝﹣x+3，解得x1＝﹣2，x2＝3（不符合题意，舍去），∴M（﹣2，5），∴m＝5；如图3，m＝﹣4，∵BM2+BN2＝2BM2＝2×[（3﹣1）2+（0+4）2]＝40，MN2＝（5﹣1）2＝16，∴BM2+BN2≠MN2，∴此时△MNB不是等腰直角三角形，综上所述，m的值是5．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、等腰直角三角形、待定系数法等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．专题05二次函数中的直角三角形1．如图，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且对称轴l为直线．(1)求该抛物线的表达式．(2)在对称轴l上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，P为抛物线上任意一点．（1）求抛物线的解析式．（2）当是以为直角边的直角三角形时，求此时P点的坐标．3．已知抛物线y=a(x+4)(x-6)与x轴交于A,B两点（点A在B的左侧），顶点为P，且点P在直线y=2x+m上．（1）试用含m的代数式表示a;（2）若△ABP为直角三角形，是求该抛物线和直线的函数表达式．4．如图，直线交轴于点，交轴于点B，抛物线的顶点为，且经过点．（1）求该抛物线所对应的函数表达式；（2）点是抛物线上的点，是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．5．已知二次函数y＝x2+bx+c经过A、B两点，BC垂直x轴于点C，且A(﹣1，0)，C(4，0)，AC＝BC．（1）求抛物线的解析式；（2）请画出抛物线的图象；（3）点P是抛物线对称轴上一个动点，是否存在这样的点P，使三角形ABP为直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A(1，0)，C(0，3)．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴及点B的坐标；（3）设点P为该抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P使△BPC为直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2＋bx﹣1经过点A(﹣1,﹣2)和点B(﹣2,1)，抛物线C2：y＝3x2＋3x＋1，动直线x＝t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．(1)求抛物线C1的表达式；(2)求线段MN的长（用含t的代数式表达）；(3)当△BMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值．8．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于C点，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，连接AF交y轴于点E，OC＝5OA．(1)求抛物线的表达式；(2)求△CEF的面积；(3)在直线AF上是否存在点P，使△CFP为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说理理由．9．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），顶点为D，抛物线的对称轴DF与BC相交于点E，与x轴相交于点F．(1)求抛物线和直线AC的解析式；(2)在抛物线上是否存在点P，使以点A、C、P为顶点的三角形是直角三角形，且AP为斜边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．(3)设过E的直线与抛物线相交于点M（x1，y1），N（x2，y2），求|x1﹣x2|的最小值．10．抛物线与x轴交于A、B两点，其中点B的坐标为，与y轴交于点，其对称轴为直线．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是x轴上方抛物线上任意一点，点Q在直线上，能否成为以为直角等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．11．如图，抛物线y＝mx2﹣4mx﹣5m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．(1)求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标；(2)是否存在使BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是(3，0)，点C的坐标是(0，﹣3)，动点P在抛物线上．（1）=，c=（直接填写结果）（2）是否存在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；13．如图，二次函数的图象与轴交于A，B两点，与轴交于点C，M为抛物线的顶点．（1）求M点的坐标；（2）求△MBC的面积；（3）坐标轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，有抛物线，已知OA=OC=3OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）求过A，B，C三点的圆的半径；（3）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，说明理由；15．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣1，0），B（2，3）两点，与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△AMC是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(3，0)、B(－1，0)两点，过点B作直线BC⊥x轴，交直线y＝－2x于点C．(1)求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的顶点D的坐标，并判断顶点D是否在直线y＝－2x上；(3)点P是抛物线上一动点，是否存在这样的点P(点A除外)，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点；若不存在，请说明理由．17．如图，已知顶点是M的抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）点P是x轴上方抛物线上的一点，若的面积等于3，求点P的坐标．（3）是否在y轴存在一点Q，使得为直角三角形？若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由．18．如图，已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A、B两点的坐标；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标；（3）若点Q在抛物线上，当△ABQ是以AB为直角边的直角三角形时，求点Q的坐标．专题05二次函数中的直角三角形1．如图，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且对称轴l为直线．(1)求该抛物线的表达式．(2)在对称轴l上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)或或或【分析】（1）根据抛物线的对称轴l为直线，即可求得答案；（2）设，根据题意分别表示出，，，然后分三种情况：①当BC为斜边时；②当PB为斜边时；③当PC为斜边时；即可求得答案．(1)解：∵对称轴为直线，∴，解得，∴该抛物线的表达式为．(2)解：存在点P，使为直角三角形．设，令，解得，．∴B点坐标为，，则，，，在中，①当BC为斜边时，有，，解得：或；②当PB为斜边时，有，，解得：；③当PC为斜边时，有，，解得：；∴或或或．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质和直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质、会用代数思想和勾股定理解决直角三角形的存在性问题．2．如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，P为抛物线上任意一点．（1）求抛物线的解析式．（2）当是以为直角边的直角三角形时，求此时P点的坐标．【答案】（1）；（2）点P或【分析】（1）把点和点代入抛物线进行求解即可；（2）由（1）易得点B的坐标为，然后可设点P，进而根据题意可分当∠PCB=90°时和当∠PBC=90°时两种情况，最后根据勾股定理及两点距离公式进行求解即可．【详解】解：（1）把点和点代入抛物线可得：，解得：，∴抛物线解析式为；（2）由（1）可得抛物线解析式为：，∴当y=0时，则有，解得：，∴点B，设点P，当是以为直角边的直角三角形时，可分：①当∠PCB=90°时，由勾股定理及两点距离公式可得：，解得：（不符合题意，舍去），∴点P；②当∠PBC=90°时，由勾股定理及两点距离公式可得：，解得（不符合题意，舍去），∴点P，综上所述：当是以为直角边的直角三角形时，此时点P或．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数与几何的综合是解题的关键．3．已知抛物线y=a(x+4)(x-6)与x轴交于A,B两点（点A在B的左侧），顶点为P，且点P在直线y=2x+m上．（1）试用含m的代数式表示a;（2）若△ABP为直角三角形，是求该抛物线和直线的函数表达式．【答案】（1）a=-；（2）y=-x2+x+，直线解析式为y=2x+3．【详解】试题分析：（1）利用抛物线与x轴的交点问题得到A（﹣4，0），B（6，0），则抛物线的对称轴为直线x=1，所以P点坐标可表示为（1，﹣25a），然后根据一次函数图象上点的坐标特征得到﹣25a=2+m，再用m表示a即可；（2）根据抛物线的对称性可判断△ABP为等腰直角三角形，作PC⊥x轴于C，如图，根据等腰直角三角形的性质得PC=AB，即|﹣25a|=×（6+4），解得a=±，则可分别计算出对应的m的值，然后写出对应的抛物线解析式和直线解析式．解：（1）∵抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣6），∴A（﹣4，0），B（6，0），∴抛物线的对称轴为直线x=1，即P点的横坐标为1，∴P（1，﹣25a），又∵P在直线y=2x+m上，∴﹣25a=2+m，∴a=﹣；（2）由抛物线的对称性可知，△ABP为等腰直角三角形，且∠APB=90°，作PC⊥x轴于C，如图，则PC=AB，∴|﹣25a|=×（6+4），∴a=±，当a=时，﹣=，解得m=﹣7，此时抛物线解析式为y=（x+4）（x﹣6），即y=x2﹣x﹣，直线解析式为y=2x﹣7；当a=﹣时，﹣=﹣，解得m=3，此时抛物线解析式为y=﹣（x+4）（x﹣6），即y=﹣x2+x+，直线解析式为y=2x+3．考点：抛物线与x轴的交点．4．如图，直线交轴于点，交轴于点B，抛物线的顶点为，且经过点．（1）求该抛物线所对应的函数表达式；（2）点是抛物线上的点，是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．【答案】（1）；（2）（-4，0）或（-6，-8）．【分析】（1）先利用一次函数解析式确定A、B点的坐标，然后设顶点式，利用待定系数法求抛物线解析式；（2）分情况讨论：点A是直角顶点或B是直角顶点，根据题意设出点C的坐标，再将点C代入到函数解析式，最后，解一元二次方程即可求解．【详解】解：（1）当y=0时，-x-2=0，解得x=-2，则A（-2，0），当x=0时，y=-x-2=-2，则B（0，-2），设抛物线解析式为，把B（0，-2）代入得，解得，所以抛物线解析式为即；（2）如图，当∠BAC=时∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠ADC=90，∴∠DAC=∠DCA=，令点C的坐标为（-2-a，-a）将点C代入到，，解得，（不合题意，舍去），∴点C的坐标为（-4，-2）若∠ABC=90，如图，过点C作CF⊥y轴于点F，易证△CBF∽△ABO，∵OA=OB，∴BF=CF，设点F（0，-2-a），则点C（-a，-2-a），将点C的坐标代入得，解得，（不合题意，舍去），，∴点C的坐标为（-6，-8）；综上，点C的坐标为（-4，0）或（-6，-8）；【点睛】本题是二次函数的综合题，考察了点的坐标，一次函数，二次函数，解一元二次方程，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用待定系数法求二次函数的解析式及分类讨论思想．5．已知二次函数y＝x2+bx+c经过A、B两点，BC垂直x轴于点C，且A(﹣1，0)，C(4，0)，AC＝BC．（1）求抛物线的解析式；（2）请画出抛物线的图象；（3）点P是抛物线对称轴上一个动点，是否存在这样的点P，使三角形ABP为直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）见解析；（3）存在，点P的坐标为(1，8)或(1，﹣2)或(1，6)或(1，﹣1)【分析】（1）先求得点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可得到关于b、c的方程组，从而可求得b、c的值；（2）根据函数的表达式取点、描点连线即可画出函数的图象；（3）存在，设P（1，m），分三种情况：分别以A，B，P为直角顶点，根据勾股定理和两点的距离公式列方程，解方程即可．【详解】解：（1）∵点A（-1，0），C（4，0），∴AC=5，OC=4，∵AC=BC=5，∴B（4，5），把A（-1，0）和B（4，5）代入二次函数y=x2+bx+c中得：，解得，∴二次函数的解析式为：y=x2-2x-3；（2）由函数的表达式，取值列表如下：x…-10123…y…0-3-4-30…根据表格数据，绘制函数图象如下：（3）存在，y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴设P（1，m），分三种情况：①以点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+AB2=PA2，∴（4-1）2+（m-5）2+（4+1）2+52=（1+1）2+m2，解得：m=8，∴P（1，8）；②以点A为直角顶点时，由勾股定理得：PA2+AB2=PB2，∴（1+1）2+m2+（4+1）2+52=（4-1）2+（m-5）2，解得：m=-2，∴P（1，-2）；③以点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+PA2=BA2，∴（1+1）2+m2+（4-1）2+（m-5）2=（4+1）2+52，解得：m=6或-1，∴P（1，6）或（1，-1）；综上，点P的坐标为（1，8）或（1，-2）或（1，6）或（1，-1）．【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，勾股定理，解一元二次方程，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法和分类讨论思想是解本题的关键．6．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A(1，0)，C(0，3)．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴及点B的坐标；（3）设点P为该抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P使△BPC为直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）x=-1；（-3，0）；（3）存在；P的坐标为或或或．【分析】（1）将点A、C两点的坐标代入二次函数解析式中即可求出结论；（2）根据对称轴公式即可求出抛物线的对称轴，然后令y=0，求出x的值，即可求出点B的坐标；（3）设P(-1，t)，利用平面直角坐标系中任意两点的距离公式求出，，，然后根据直角顶点分类讨论，分别利用勾股定理列出方程即可求出结论．【详解】解：（1）把点A(1，0)，C(0，3)代入二次函数，得解得：．∴抛物线的解析式是；（2）∵，∴抛物线的对称轴为x=-1．令y=0，则解得．∴点B的坐标为（-3，0）；（3）存在,设P(-1，t)，又∵C（0，3），∴，，．①若点B为直角顶点，则．即：．解之得：；②若点C为直角顶点，则．即：．解之得：；③若点P为直角顶点，则．即：．解之得：，．综上所述P的坐标为或或或．【点睛】此题考查的是二次函数的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、抛物线的对称轴公式、平面直角坐标系中任意两点的距离公式和勾股定理是解决此题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2＋bx﹣1经过点A(﹣1,﹣2)和点B(﹣2,1)，抛物线C2：y＝3x2＋3x＋1，动直线x＝t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．(1)求抛物线C1的表达式；(2)求线段MN的长（用含t的代数式表达）；(3)当△BMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值．【答案】(1)y＝2x2+3x﹣1(2)t2+2(3)t＝0【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）把x=t分别代入两函数解析式，则可求得M、N的坐标，即可由MN=yM-yN求解；（3）①当∠ＢNM＝90°，BN＝NM时；②当∠BMN＝90°，BN＝NM时；分别求解即可．（1）解：将点A(﹣1,﹣2)、B（(﹣2,1)代入抛物线C1表达式得：，解得：，故抛物线C1的表达式为：y＝2x2+3x﹣1；（2）解：把x=t代入y＝2x2+3x﹣1，得：y=2t2+3t﹣1，∴点N的坐标为（t，2t2+3t﹣1），把x=t代入y＝3x2＋3x＋1，得：y=3t2+3t+1∴点M的坐标为：（t，3t2+3t+1），则MN＝（3t2+3t+1）﹣（2t2+3t﹣1）＝t2+2；（3）解：①当∠ＢNM＝90°时，如图1，则BNx轴,∵B（-2，1），∴2t2+3t﹣1=1，解得：t=-2或，当BN＝NM时：∵BN＝t﹣（﹣2）＝t+2，NM＝t2+2，∴t＋2＝t2+2，解得：t＝0或t=1，∴同时满足两个条件时t无解②当∠BMN＝90°时，如图2，∴3t2+3t+1=1，解得：t=0或-1，当BM＝MN时，∵BM＝t+2，NM＝t2+2，∴t+2＝t2+2，解得：t＝0或t＝1，∴同时满足两个条件时t=0所以当△BMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时t＝0【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．8．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于C点，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，连接AF交y轴于点E，OC＝5OA．(1)求抛物线的表达式；(2)求△CEF的面积；(3)在直线AF上是否存在点P，使△CFP为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说理理由．【答案】(1)(2)8(3)存在，或【分析】（1）根据点A坐标和OC=5OA求出点C坐标，根据A，B，C三点坐标使用待定系数法即可求出抛物线表达式；（2）根据（1）中抛物线表达式求出抛物线的对称轴，根据点C与点F关于抛物线对称轴对称求出点F坐标，结合点A坐标求出直线AF解析式，进而求出点E坐标，再根据三角形面积公式求解即可；（3）对直角三角形△CFP中的直角位置进行分类讨论．当∠PCF=90°时，此时点P与点E重合；当∠CPF=90°时，连接CO，根据等腰三角形三线合一的性质确定此时点P是EF的中点，再用中点公式即可求出此时点P坐标．(1)解：∵，∴OA=1．∵OC=5OA，∴OC=5．∴．设抛物线的表达式为．将A，B，C三点坐标代入抛物线表达式得解得∴抛物线的表达式为．(2)解：∵抛物线的表达式为，∴抛物线的对称轴是直线．∵点C与点F关于抛物线的对称轴对称，∴，．∴CF⊥CE，CF=4．设直线AF的解析式为y=kx+b．把点A和点F的坐标代入直线AF解析式得解得∴直线AF的解析式为．∴当x=0时，y=-1．∴．∴CE=4．∴．(3)解：①当∠PCF=90°时，此时点P与点E重合，点P坐标为．②当∠CPF=90°时，如下图所示，连接CP．∵CE=4，CF=4，∴△CEF是等腰三角形．∵∠CPF=90°，∴点P为EF中点．∴．∴在直线AF上存在点P，使△CFP为直角三角形，此时点P的坐标为或．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，轴对称变换，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积公式，等腰三角形三线合一的性质，正确进行分类讨论是解题关键．9．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），顶点为D，抛物线的对称轴DF与BC相交于点E，与x轴相交于点F．(1)求抛物线和直线AC的解析式；(2)在抛物线上是否存在点P，使以点A、C、P为顶点的三角形是直角三角形，且AP为斜边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．(3)设过E的直线与抛物线相交于点M（x1，y1），N（x2，y2），求|x1﹣x2|的最小值．【答案】(1)抛物线的解析式为，直线AC的解析式为y=3x+3；(2)存在点，使以点A、C、P为顶点的三角形是直角三角形；(3)【分析】（1）把点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，可得抛物线解析式，再由A、C两点的坐标求出直线AC的解析式，即可求解；（2）设，根据勾股定理列出方程，即可求解；（3）先求出直线BC的解析式，得到点E（1，2），再直线MN的解析式为，可得直线MN的解析式为，然后与抛物线解析式联立，可得，再根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求解．(1)解：把点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为，把y=0代入得：，解得：，∴A（-1，0），设直线AC的解析式为y=kx+b1（b1≠0），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y=3x+3；(2)解：存在.设，∵点A（-1，0），C（0，3），∴，，，∵AP为斜边，∴，∴，解得：或m=0（舍去），∴存在点，使以点A、C、P为顶点的三角形是直角三角形；(3)解：设直线BC的解析式为y=nx+m（n≠0），把点B（3，0），C（0，3）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为y=-x+3，∵，∴抛物线的对称轴为直线x=1，∴点E（1，2），设直线MN的解析式为，∴，∴，∴直线MN的解析式为，联立得：得：，∴，∵，∴当b2=2时，最小值为．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及待定系数法求解析式，抛物线与直线的交点问题、解一元二次方程、根与系数关系以及勾股定理等知识，求得二次函数的解析式是本题的关键．10．抛物线与x轴交于A、B两点，其中点B的坐标为，与y轴交于点，其对称轴为直线．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是x轴上方抛物线上任意一点，点Q在直线上，能否成为以为直角等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）；（2）能，【分析】（1）设抛物线的解析式为，然后由题意易得，进而把点B的坐标为，点代入求解即可；（2）过点P作PF∥x轴交直线于点F，点B作BE⊥PF，则有，然后可得，进而可证，，设点，然后问题可求解．【详解】解：（1）设抛物线的解析式为，由题意得：，把点B的坐标为，点代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）能成为以为直角等腰直角三角形，理由如下：过点P作PF∥x轴交直线于点F，点B作BE⊥PF，如图所示：∴，∵，∴，∵，∴（AAS），∴，设点，∴，∴，解得：（不符合题意，舍去），∴点．【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．11．如图，抛物线y＝mx2﹣4mx﹣5m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．(1)求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标；(2)是否存在使BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2，﹣9m)，A，B两点的坐标为(﹣1，0)、(5，0)(2)存在抛物线和【分析】（1）将解析式配方成顶点式求顶点坐标；（2）用代数式表示出BCM的三边长，分别讨论每个角为直角时三边长是否满足勾股定理；(1)解：（1）∵y＝m（x﹣2）2﹣9m，∴抛物线顶点M的坐标为（2，﹣9m），∵抛物线与x轴交于A、B两点，∴当y＝0时，mx2﹣4mx﹣5m＝0，∵m＞0，∴x2﹣4x﹣5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，∴A，B两点的坐标为（﹣1，0）、（5，0），(2)解：存在使△BCM为直角三角形的抛物线．过点C作CN⊥DM于点N，则△CMN为直角三角形，CN＝OD＝2，DN＝OC＝5m，∴MN＝DM﹣DN＝4m，∴CM2＝CN2+MN2＝4+16m2，在Rt△OBC中，BC2＝OB2+OC2＝25+25m2，在Rt△BDM中，BM2＝BD2+DM2＝9+81m2．①如果△BCM是直角三角形，且∠BMC＝90°时，CM2+BM2＝BC2，即4+16m2+9+81m2＝25+25m2，解得，∵m＞0，∴．∴存在抛物线使得△BCM是直角三角形；②如果△BCM是直角三角形，且∠BCM＝90°时，BC2+CM2＝BM2．即25+25m2+4+16m2＝9+81m2，解得，∵m＞0，∴．∴存在抛物线使得△BCM是Rt△；③∵25+25m2＞4+16m2，9+81m2＞4+16m2，∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在，综上，存在抛物线和使△BCM是直角三角形．【点睛】此题考查了二次函数图象的性质，直角三角形的性质，用勾股定理来判断直角三角形；需要注意的是由于直角三角形的顶点不确定，一定要分类讨论以免漏掉．12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是(3，0)，点C的坐标是(0，﹣3)，动点P在抛物线上．（1）=，c=（直接填写结果）（2）是否存在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；【答案】（1）-2，-3；（2）存在，【分析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）分∠ACP是直角、为直角两种情况，再利用勾股定理列方程，再解方程求解即可.【详解】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：故答案为：-2，-3，；（2）存在，理由：如图1所示：①当∠ACP是直角时，而，设整理得：解得：（不合题意舍去），当

故点P（1，-4）；②当为直角时，同理可得：点的坐标为：（-2，5）；综上所述，P的坐标是（1，-4）或（-2，5）．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与直角三角形问题，掌握“利用勾股定理列方程，再解方程求解点的坐标”是解题的关键.13．如图，二次函数的图象与轴交于A，B两点，与轴交于点C，M为抛物线的顶点．（1）求M点的坐标；（2）求△MBC的面积；（3）坐标轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2，9）；（2）15；（3）存在，（-5，0）或（0，-5）或（0，0）【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）先求出B、C的坐标，根据S△MCB=S梯形MEOB-S△MCE-S△OBC即可解决问题；（3）分三种情况①C为直角顶点；②B为直角顶点；③N为直角顶点；分别求解即可．【详解】解：（1）由y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9，得顶点M（2，9）；（2）令y=0，得-（x-2）2+9=0，解得x1=5，x2=-1，∴B（5，0）．令x=0，得y=-x2+4x+5=5，∴C（0，5），如图1中，作ME⊥y轴于点E，可得S△MCB=S梯形MEOB-S△MCE-S△OBC=(2+5)×9-×(9-5)×2-×5×5=15；（3）存在．如图2中，∵OC=OB=5，∴△BOC是等腰直角三角形，①当C为直角顶点时，N1（-5，0）；②当B为直角顶点时，N2（0，-5）；③当N为直角顶点时，N3（0，0）；综上所述，满足条件的点N坐标为（0，0）或（0，-5）或（-5，0）．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了三角形的面积、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用分割法求面积，学会分类讨论的思想思考问题．14．如图，在平面直角坐标系中，有抛物线，已知OA=OC=3OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）求过A，B，C三点的圆的半径；（3）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，说明理由；【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）；（3）点P（1，4）或（-2，-5）．【分析】（1）3=OC=OA=3OB，故点A、B、C的坐标分别为：（0，3）、（-1，0）、（3，0），即可求解；（2）圆的圆心在