2022-2023学年山东省青岛大学附中九年级（上）期中数学试卷（附答案详解）

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2022-2023学年山东省青岛大学附中九年级（上）期中数学试

卷

学校:姓名：班级：考号：

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷

上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知方程/+nix+3=0的一个根是1,则Hi的值为（）

B.-4D.-3

2.下列各组的四条线段a,b,c,d是成比例线段的是（

A.a=4,b=6,c=5,d=10

B.a=1,b=2,c=3,d=4

a=V-2>b=3，c=2,d=A/-3

a=2,b=A/-5，c=2y/~3)d=V15

3.如图，已知直线a〃9/c,若AB=2,BC=3,EF=2.5,则

4.用如图所示的4、B两个转盘进行“配紫色”游戏（红色和

蓝色在一起配成紫色），力转盘是二等分，B转盘是三等分，分（红蓝）（

别转动两个转盘各一次（指针指向分界线则重新转动转盘），则配成紫色的概率为（）

11C1

A.6-4-2-

5.如图，点P在AABC的边4c上，要判断△ABPSAACB,添加

一个条件，不正确的是（）

A,4ABP=ZCB.^APB=乙ABC

「AP_ABD殁=些

AB~ACBPCB

6.如图，菱形4BCD的周长为16,NA：NB=1：2,则菱形的面积

为（）

A.27~3

B.37~3

C.40

D.80

7.如图，校园里一片小小的树叶，P为4B的黄金分割点（AP>PB）,

如果AB的长度为10cm,那么BP的长度为cm.（）

A.5占一5

B.5+5K

C.15—5c

D.15+5<5

8.如图，矩形ABCD中，AB=2,力。=1,点M在边CD上，若AM平

分乙DMB,则DM的长是（）

A.2-V-3B.V-3C.4\T3D.V-3-1

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.根据下表得知，方程/+2x-10=0的一个近似解为x*（精确到0.1）.

X—4.1-4.2—4.3—4.4-4.5—4.6.....

y=%24-2%—10-1.39-0.76-0.110.561.251.96.....

10.关于久的一元二次方程k/一x+1=0有实数根，则k的取值范围是.

11.某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则

增长率为.

12.如图，把一张矩形纸片平均分成3个矩形，若每个小矩形都与原矩形

相似，则原矩形纸片的宽与长之比为.

13.如图，在正方形ABCD中，AB=4,E,尸分另为边AB,BC中

点，连接。E,力尸相交于点G,则△AGE面积为.

14.如图，在矩形4BCD中，E是4。边的中点，BE,4c于点F,连接

DF,分析下列五个结论：

①△AEF—C4B；

②AF=4F；

③DF=DC;

SABF

⑤S四边形~2^'

其中正确的结论有.

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

15.列方程（组）解应用题

端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：

小王：该水果的进价是每千克22元；

小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将

增加120千克.

根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客

得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？

四、解答题(本大题共9小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(本小题4.0分)

已知：线段m和z_a.

求证：矩形4BCD,使对角线的长为m,夹角为Na.

17.(本小题8.0分)

解方程

(l)2x2-5x+2=0(公式法)；

(2)x2-4x+1=0(配方法).

18.(本小题6.0分)

已知关于x的一元二次方程/-(2/c+l)x+fc-2=0.

(1)求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

(2)若该方程的两个实数根为%,x2,

则根据公式法可得X]+刀2=(用%表示)，若匕一%2=-2k+3,则/c=.

19.(本小题6.0分)

一个布袋里装有除颜色外完全相同的若干个球，其中1个白球，若干个红球，从中任意摸出1个,

记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，通过大量的重复实验，得到摸出白球的频率是0.25.

(1)则布袋中红球的个数为个；

(2)若从布袋中一次性摸出2个球，用列表法或树状图法求出都是红球的概率是多少？

20.(本小题8.0分)

如图，某居民小区要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形花园4BCD,花园的一边靠墙，另

三边用总长为40m的栅栏围成.设BC为xm.

(1)用含x的代数式表示48的长为m；

(2)如果墙长15m,满足条件的花园面积能达到200瓶2吗？若能，求出此时久的值；若不能，

说明理由.

A

B'------------------'C

21.（本小题8.0分）

己知：如图，△ABC是等边三角形，点。、E分别在边8C、AC±,Z.ADE=60°.

(1)求证：4ABD八DCE；

(2)如果48=3,EC=|,求DC的长.

22.（本小题8.0分）

如图，在。ABCD中，对角线AC与相交于点。，点E,F分别在BD和DB的延长线上，且DE=BF,

连接4E,CF.

(1)求证：△AOE"COF；

（2）连接力F,CE,当4C平分NB4D时，四边形4FCE是什么特殊四边形？请说明理由.

23.（本小题10.0分）

【模型呈现：材料阅读】

如图1,点8,C,E在同一直线上，点4。在直线CE的同侧，AABC和ACDE均为等边三角

形，AE,交于点凡对于上述问题，存在结论（不用证明）：

⑴△BCD三△4CE；

(2)△ACE可以看作是由△BCD绕点C旋转而成;

【模型改编：问题解决】

如图2,点4,D在直线CE的同侧，AB=AC,ED=EC,^BAC=ADEC=48°,直线4E,BD

交于F.

①求证：ABCDS&ACE；

②则Z71FB的度数.

如图3：将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度，

③则N4FB的度数为.

④若将“NB4c=乙DEC=48°”改为ABAC=乙DEC=zn°”,贝Ijz/IFB的度数为.(

直接写结论)

【模型拓广：问题延伸】

如图4：在矩形4BC0和矩形DEFG中，AB=1,AD=ED=V_3>DG=3,连接力G,BF,⑤

则整的值为______.

AG

24.(本小题12.0分)

如图，在矩形4BC。中，BD是对角线，AB=6cm,BC=8cm,点E从点。出发，沿CA方向

匀速运动，速度是2cm/s；点F从点B出发，沿BD方向匀速运动，速度是lcm/s.两点同时出发，

设运动时间为t(s)(0<t<4),请回答下列问题

备用图

(1)当t为何值时，EF//AB2

(2)设四边形4BFE的面积为S(cm2),求S与t之间的函数关系式;

(3)当t为何值时，四边形AB/E的面积S等于矩形A8CD面积的2?

O

(4)当t为时，△£1//)是等腰三角形.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：把x=1代入产+mx+3=0得1+m+3=0,

解得?n=—4.

故选8.

根据一元二次方程的解把x=1代入一元二次方程得到含有m的一次方程，然后解一次方程即可.

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的

解.

2.【答案】D

【解析】解：44x1046x5,故不符合题意，

8.1x442x3,故不符合题意，

C.2X，？M/NX3,故不符合题意，

D.2x\T15=V_5x故符合题意，

故选：D.

根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例

线段，对选项一一分析，即可得出答案.

此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外

两个相乘，看它们的积是否相等.

3.【答案】B

【解析】解：:。〃/V/c,

.AB_DE

"'BC~'EF'

"AB=2,BC=3,EF=2.5,

一=纥

32.5

解得DE=|.

故选：B.

根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例列出比例式解答即可.

本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握定理及其推论并灵活运用.平行线分线段成

比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线截

其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.

4.【答案】C

【解析】解：根据题意画树状图如下:

由树状图可知共有6种等可能结果，其中能配成紫色的2种，

•••配成紫色的概率为？=

63

故选：C.

画树状图列出所有等可能结果，从中找到能配成紫色的结果数，再根据概率公式求解即可.

此题考查了概率公式与用列表法或画树状图法求概率.注意列表法或画树状图法可以不重复不遗

漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情

况数之比.

5.【答案】D

【解析】解:4、当乙4BP=“时，又•••乙4=乙4,；.△ABPsAACB,故此选项错误;

B、^AAPB=Z-ABCV^,又•••/?!=•••△ABP-AACB,故止匕选项错误；

C、当喘=罂时，又；乙4=乙4,ABP”△力CB,故此选项错误：

ABAC

D、无法得到△ABPs/kACB,故此选项正确.

故选：D.

分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可.

此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键.

6.【答案】D

【解析】解:•.•菱形4BCD的周长为16,

•••AB=BC=CD=DA=4,

又,••44：Z.B=1：2,

：.Z.ABC=60°,ABAC=120°,/

•••AABO=^ABC=30°,

在RtAAB。中，

AO=^AB=2,BO=fAB=2<3，

乙z

AC=4,BD=4/3，

.•.菱形的面积=\ACXBD=80.

故选：D.

根据邻角互补可得出乙4BC=60°,4BAC=120°,从而根据菱形的对角线互相垂直且平分的性质

可分别求出两对角线的长，进而根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行解答.

本题考查了菱形的性质，属于基础题，解答本题用到的知识点为：①菱形的四边形等，菱形的对

角线互相垂直且平分，②菱形的面积等于对角线乘积的一半，熟记菱形的各种性质是解题的关键.

7.【答案】C

【解析】解：,•・P为4B的黄金分割点(4P>PB),

AP=x10=(5V-5-5)(cm)

PB=AB-PA=10-(5y/~5-5)=(15-5y/~5)(cm),

故选：C.

先利用黄金分割的定义求出力P,然后由AB-AP即可得出PB的长.

本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段力C和BC(4C>BC),且使AC是48和BC的比例中项

(即4B：AC=AC：BC),叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段4B的黄金分割点.其中4C=

力BX0.6182B，并且线段4B的黄金分割点有两个.

8.【答案】A

【解析】解:作AE1BM于点E,则乙4EM=UEB=90°,A2B

•••四边形/BCD是矩形，4B=2,AD=1,

N4EM=4。=90°,AB//DC,DMC

・•・Z.BAM=Z.AMD,

・•・Z.BMA=Z.AMD,

・•・Z.BAM=Z.BMA,

••MB=AB=2,

•・・4”平分乙。用8,AD1MD,AE1MB,

AD=AE=1,

BE=VAB2-AE2=V22-l2=<3，

在RtAADM^iRt△4EM中，

(AM=AM

(.AD=AE'

•••Rt△ADM^Rt△AEM(HL),

DM=EM=MB-BE=2-S，

DM的长是2-G，

故选:A.

解法二：作ZE1BM于点E,贝ij乙4EM=乙AEB=90°,A2B

•••四边形力BCD是矩形，AB=2,AD=1,

4。=4C=90°,CD=AB=2,BC=AD=1,DMC

...AM平分40MB,AD1MD,AE1MB,

••AD=AE=1,

由S—BM=|xlxMB=^x2xl=l,得BM=2,

...CM=V22—l2=A/-3，

・・・DM=CD-CM=2-

・・.。”的长是2--卫，

故选：A.

作AE1BM于点E,先证明MB=4B=2,再根据角平分线的性质求得4D=AE=lf即可根据勾

股定理求得=再证明Rt△ADMwRt△AEM,则。M=EM=2-C，于是得到问题的

答案，此题还可以考虑根据面积等式求BM的长，再根据勾股定理求CM的长，再由DM=CD-CM

求。M的长.

此题重点考查矩形的性质、平行线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三

角形的判定、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键；此外，还可考虑由面

积等式求BM的长，再根据勾股定理求CM的长，最后由DM=CD—CM求DM的长的方法.

9.【答案】-4.3

【解析】解：根据表格得，当一4.4<%<—4.3时，-0.11<y<0.56,即一0.11</+2支一10<

0.56,

•••0距-0.11近一些，

.••方程/+2x-10=0的一个近似根是一4.3,

故答案为：—4.3.

看0在相对应的哪两个y的值之间，那么近似根就在这两个y对应的x的值之间.

本题考查了估算一元二次方程的近似解：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果

愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根.

10.【答案】k且kKO

4

【解析】解：••・关于X的一元二次方程依2一尤+1=0有实数根，

(k^O

”△=(-1)2-4fc>0'

解得：/£〈。且人力0.

4

故答案为：上勺。且卜不0.

4

根据二次项系数非零及根的判别式0,即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结

论.

本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式△?(),找

出关于化的一元一次不等式组是解题的关键.

11.【答案】20%

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于X的一元二次方程是解题的关键.

设平均每月的增长率为X,根据5月份的营业额为25万元，7月份的营业额为36万元，表示出7月份

的营业额，即可列出方程解答.

【解答】

解：设平均每月的增长率为X,

由题意得25(1+%)2=36,

解得%1=0.2,外=一2.2(不合题意，舍去)

所以平均每月的增长率为20%.

故答案为：20%.

12.【答案】1：\/~3

【解析】解：设原矩形48co的长为％,宽为y,

小矩形的长为y,宽为gx,

・•・小矩形与原矩形相似，

,,聂=匕

yx

•••y：x=1：5^3.

故答案为：1:y/~3-

设原矩形4BC0的长为x,宽为y,根据相似多边形对应边的比相等，即可求得原矩形纸片的长与

宽之比.

本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质并灵活运用.相似多边形的

性质为：①对应角相等；②对应边的比相等.

13.【答案】I

【解析】解：•.•四边形48CD是正方形，

AD=AB=BC,4B=4EAD=90°,

■■E,F分别为边AB,BC中点，

AE=^AB,BF=^BC,

•••AE=BF=2,

AAF-VAB2+BF2-V424-22=2A/-5，

在△W与△〃!£1中，

D4=

乙DAE=乙B,

AE=BF

ABFDAE（S4S）,

:.Z-ADE=LBAF,

vz.ADE+Z.AED=90°,

・・・匕BAF+匕AED=90°,

・•・/.AGE=90°,

•，•△AEG~AAFB,

.S&AEG_"E、2

一蒜7-（前），

・S&AEG_/2、2

,,ix4x2-（2C），

_,/I*

••.△AGE面积=

故答案为：

根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出乙4EG+^EAG=90°,进而利用相似三角形的

判定和性质解答即可.

此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答.

14.【答案】①③④⑤

【解析】解：•••四边形4BCD是矩形，BE_L4C于点F,

Z.EFA=Z.ABC=/.BAD=90。，AD=CB,AB=CD,

•••/.FEA=NB4C=90°-/.EAF,

•••△/lEF-ACAB,

故①正确；

••・E是AD边的中点，

・・・/E=DE=^AD=\CB,

，空一，

CB2

•:AE〃CB,

•••△AEF^/1CBF,

AF_AE_1,\/~2

•'•而=而=尹h

故②错误；

作DH14c于点G,交BC于点H,则DH〃BE,

vDE〃BH,

；.四边形CEBH是平行四边形，

:.BH=DE=加,

•••BH=CH,

FGBHd

:.—=—=1,

CGCH

・・・FG=CG,

・・•OH垂直平分CF,

・・•DF=DC,

故③正确；

AFAE,

・,丽=丽=1'

AF=FG=CG=^AC,

.AF_也_2AC

‘诟=颍=荻'

•・•Z-AFE=乙ADC=90°,Z.FAE=Z.DAC,

AFE^LADC,

.AF__AE

***~AD=ACf

.丝_竺_2AC

AC=AE=3AD9

「AD=fAC，

AC=竽4。，

•••CD=VAC2-AD2=JAD}2-AD2=，

CDS

•,—=-----,

AD2

故④正确；

设矩形ABCD的面积为S,则SA.BE=\AEAB=JX^AD.AB=；S,

,*,△AEF^'/iCBF,

斤

E生1

---

-下

B2

ce

2-

-

0mr

0，

3?2E

=-

F3

=211

s另

A3-4-6-

XB

SMDC=24°，CD=qS,

-S&ADC-S^AEF=齐一,S=[s,

‘S四边形CDEF

・S四边形CDED_，S_5

S&ABF3

o

•'1S四边形CDEF~5sAy18F，

故⑤正确，

故答案为：①③④⑤.

由四边形ABCD是矩形，BE1AC于点F,^AEFA=AABC=/.BAD=90°,贝iJ/FEA=Z_B4C=

90。-4七4凡即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明A4E尸一△SB,可判断①正确；

由E是4D边的中点，得普=机由A4E/jW,得需=普=:，可判断②错误；

作DH14C于点G,交BC于点H,则DH〃BE,可证明四边形DEBH是平行四边形，得B”=DE=

所以BH=CH,则径=翳=1,得FG=CG,所以DF=DC,可判断③正确；

由喋=某=1,得AF=FG=CG=^AC,可推导出篝=探,再证明△4FE-△力CC,得黑=%，

FGDE3AE3ADADAC

则第=募=第，得.=冬40,再根据勾股定理求得==即可证明

AC/IDzz

器=?,可判断④正确；

1FAE1221

s打s

-E-=--=---4BE=_

设矩形4BCC的面积为S,则S-BE=4FcB2336

而治的=,CO=衿贝"四助险DEF=SMOC_SMEF=Q，所以出等竺=?,得

乙乙'&ABF/

S四边敝DEF=%SAABF，可判断⑤正确，于是得到问题的答案•

此题重点考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、平行线分线段成比例定理、线段的垂直平

分线的性质、勾股定理等知识，证明△AEFs/iCBF及△AFEs^ADC是解题的关键.

15.【答案】解：设降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得,

(38-x-22)(160+|x120)=3640,

整理得/-12x+27=0,

•••x=3或％=9.

•••要尽可能让顾客得到实惠，

x=9,

・・・售价为38-9=29元.

答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元.

【解析】设降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意列出一元二次方程，解之即可得

出答案.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

16.【答案】解：如图，矩形28CD为所作.

【解析】先作ZMON=Na,再NMON的对顶角/ATOM,然后以。点为圆心，M为半径作圆分别

交OM、ON、OM'、ON'于点4、B、C、D,则四边形48CD满足条件.

本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.也考查了矩形的判定.

17.【答案】解：(1)2/—5x+2=0,

a=2,b=—5,c=2,

.・・A=b2-4ac=(-5)2—4x2x2=9>0,

•V—5_±_<_9—_5_±3

••一2x2-4

,•—2,%2—2*

(2)x2—4x+1=0,

x2—4x=-1>

%2—4x+4=-1+4,

(x-2)2=3,

%—2=±V-3，

=-

Xi=2+V3>x22—V3-

【解析】(1)利用解一元二次方程-公式法，进行计算即可解答；

(2)利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答.

本题考查了解一元二次方程-配方法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

18.【答案】2k+l0

【解析】(1)证明："a=1,b=—(2k+1),c=k—2,

：.A=b2—4ac=[—(2k+I)]2—4xlx(fc-2)=4fc2+4fc+l—4fc+8=4fc2+9,

又•；120,

4k2+9>0,即』>0,

二无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

(2)解：利用公式法可得出”_2A+1土J4k2+9,

X-2

2k+l+J4k2+92/c+l-J4k2+9,2k+l+J4/c2+92/c+l-J4k2+9,

・•・+%2=------------------+-------------------=2k+1'=---------\--------X-------------------=k-

2.

v/一次=—2k+3,

2

・,•(％i+x2)—4%1次=(-2k+3/，

(2k+1)2—4(fc—2)=(—2k+3)2,

解得：fc=0,

・・・士的值为0.

故答案为：2k+1；0.

(1)根据方程的系数，结合根的判别式/=》2一4公，可得出1=41+9,由偶次方的非负性，可

得出进而可得出4k2+9>0,即4>0,由此可证出：无论k为何实数,方程总有两个不

相等的实数根；

（2）利用公式法，可求出方程的解，将其代入与+右及中，可求出X1+%2及其1万2的值，再结合

-x2=-2/c+3,即可求出k的值.

本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当4>0时，方程

有两个不相等的实数根”；（2）利用公式法，求出方程的实数根.

19.【答案】3

【解析】解：（1）由题意知，布袋中球的总个数为1+0.25=4（个），

则红球的个数为4-1=3（个），

故答案为:3；

（2）列表如下:

白红1红2红3

白（白，红1）（白，红2）（白,红3）

红1（红1,白）（红1,红2）（红1,红3）

红2（红2,白）（红2,红1）（红2,红3）

红3（红3,白）（红3,红1）（红3,红2）

由表知，共有12种等可能结果，其中摸出2个球都是红球的有6种结果，

所以摸出2个球都是红球的概率为尚=

（1）用白球的个数除以摸出白球的频率值求出球的总个数，继而可得答案；

（2）列表得出所有等可能结果，从中找到摸出2个球都是红球的结果数，再根据概率公式求解即可.

此题考查了概率公式与用列表法或画树状图法求概率.注意列表法或画树状图法可以不重复不遗

漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情

况数之比.

20.【答案】竽

【解析】解：（1）、•四边形4BCD是矩形,

:•AB=CD,AD=BC=x

•・•48+CD+BC=40m,

・•・AB=

故答案为：-

(2)花园面积不能达到20062,理由如下：

根据题意得：”竽=200,

解得：x1=x2=20,

而墙长15m<20m,不符合题意舍去，

，如果墙长15m,满足条件的花园面积不能达到200nl2.

(1)由矩形的性质得48=CD,AD=BC=xm9即可得出结论；

(2)由花园面积为200m2,列出一元二次方程，解方程，即可解决问题.

此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答此题的关键.

21.【答案】证明：(1)・必48。是等边三角形，

・•・Z-B=Z.C=60°,

v乙B+乙BAD=/.ADE+乙CDE,乙B=Z.ADE=60°,

・•・乙BAD=Z.CDE

DCE；

(2)由(1)证得△ABDfDCE,

.BD_CE

4^=DC，

设=则BD=3—%,

•>,X1-1,%2=2,

・•・DC=1或DC=2.

【解析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质有关知识.

(1)是等边三角形，得到NB=4C=60°,AB=ACf推出4BAD=4CDE,得到

DCE；

⑵由△ABDSADCE,得到整=益，然后代入数值求得结果.

22.【答案】⑴证明：•.•四边形4BCD是平行四边形,

:.0A=OC,OB=0D.

vDE=BF,

・・・08+BF=00+DE,BPOF=0E.

•・•Z.AOE=乙COF,

•••△A0EwZkC0F(S4S)；

(2)四边形AFCE是菱形，理由如下：

如图，连接4F,CE,

由(1)得。4=OC,OF=0E,

.••四边形4FCE是平行四边形.

在AAB。中，OB=OD,4c平分NBAO,

4。_LBD,

••・平行四边形4FCE是菱形.

【解析】(1)根据四边形2BCD是平行四边形，得。4=OC,OB=0D,可证OF=0E,乙AOE=乙COF,

然后通过S4S证得结论；

(2)由(1)中全等三角形的对应边相等的性质推知04=OC,OF=0E,继而证得四边形AFCE是平

行四边形；然后证出AC1BD,则平行四边形AFCE是菱形.

本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、菱形的判定等知识，证出

4C_LBC是解题的关键.

23.【答案】114°90。+与亨

【解析】解：【模型改编：问题解决】

①证明：■■■AB=AC,ED=EC,/.BAC=^DEC=48°,

•••2.ABC=2-ACB=(180°-48°)+2=660乙EDC=乙ECD=(180°-48°)+2=66°,

••・△48cs△EDC,

，竺=叱

ECDC

•・・Z,ACE=180°-AACB=114"BCD=180°-乙ECD=114°,

BCD~AACE；

②由①知，△BCD^LACE,

••Z.DBC=Z.EAC,

­.乙4FB=4DBC+Z.CEA=^EAC+Z.CEA=乙ACB=66°；

③补图如下:

图2

由^BCD"ACE可得，4CEF=乙BDC,

■：乙4FB=4BDC+/.CDE+乙DEF=4CEF+4CDE+乙DEF=4CED+乙CDE=48°+66°=

114°,

故答案为：114°；

④同理③可得乙4F8=4CED+4CDE=m°+（180°-m。）+2=90°+等

故答案为：90。+亨

【模型拓广：问题延伸】

连接肛DF,

•••在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB=1,AD=ED=DG=3,

.-A=B--G=F---T,i

ADDG3

又・・•乙BAD=Z.DGF=90°,

ADB^^GDF,

•••/.ADB=^GDF,黑=盥

DGDF

•・・Z.ADG=乙GDF+Z.ADF,乙BDF=/.ADB+Z-ADF.

・•・Z.ADG=乙BDF,

BDF^AADG,

••布一布’

vAD=48=1,

・•・BD=VAB2^AD2=2,

BF_BD_2_2c

"'AG=AD=7^=~F

故答案为