函数展开成幂级数

1关于函数展开成幂级数2定理若幂级数的收敛半径则其和函在收敛域上连续；且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同，即收敛域1.幂级数和函数的分析运算性质:复习第2页,共26页，2024年2月25日，星期天3•求部分和式的极限二、幂级数和函数的求法求和•逐项求导或求积分法逐项求导或求积分对和式积分或求导难（在收敛区间内）第3页,共26页，2024年2月25日，星期天4第五节本节内容:一、泰勒(Taylor)级数

二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数

第九章展开方法直接展开法间接展开法第4页,共26页，2024年2月25日，星期天5则称函数在该区间内能展开成幂级数给定函数如果能找到一个幂级数，使得函数能展开成幂级数的定义:它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数例如:第5页,共26页，2024年2月25日，星期天6则称函数在该区间内能展开成幂级数给定函数如果能找到一个幂级数，使得函数能展开成幂级数的定义:它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数问题:1.如果能展开,是什么?2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?第6页,共26页，2024年2月25日，星期天7则称函数在该区间内能展开成幂级数给定函数如果能找到一个幂级数，使得函数能展开成幂级数的定义:它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数例如:无穷级数有限形式表示函数第7页,共26页，2024年2月25日，星期天8一、泰勒(Taylor)级数

其中(

在

x

与x0

之间)称为拉格朗日余项.则在若函数的某邻域内具有n+1

阶导数,此式称为f(x)的n

阶泰勒公式

,该邻域内有:1.回忆泰勒公式第8页,共26页，2024年2月25日，星期天9为f(x)

的泰勒级数.

则称待解决的问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数,2.泰勒级数定义:当x0=0

时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.？第9页,共26页，2024年2月25日，星期天10定理1.各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足:证明:设函数f(x)在点x0的某一邻域内具有3.泰勒级数的收敛定理:泰勒级数收敛于f(x)第10页,共26页，2024年2月25日，星期天11定理2.若f(x)能展成x

的幂级数,则这种展开式是惟一的,且证:

设f(x)所展成的幂级数为则显然结论成立.4.系数的惟一性定理:第11页,共26页，2024年2月25日，星期天12说明：2)幂级数的展开式是唯一的.？问题:1.如果能展开,是什么?2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?第12页,共26页，2024年2月25日，星期天13二、函数展开成幂级数1.直接展开法由泰勒级数理论可知,第一步第三步判别在收敛区间(－R,R)内是否为骤如下:展开方法直接展开法—利用泰勒公式间接展开法—利用已知其级数展开式的函数展开0.求第二步写出泰勒级数,并求出其收敛半径R;则第13页,共26页，2024年2月25日，星期天14例1.

将函数展开成x

的幂级数.解:

其收敛半径为对任何有限数

x,其余项满足故(

在0与x之间)故得级数第14页,共26页，2024年2月25日，星期天15例2.

将展开成x

的幂级数.解:

得级数:其收敛半径为对任何有限数

x,其余项满足第15页,共26页，2024年2月25日，星期天16常用函数的幂级数展开式（要求牢记！）第16页,共26页，2024年2月25日，星期天172.间接展开法根据唯一性,利用已知的函数展开式,

通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,函数已知展开式的新函数转化将所给函数展开成幂级数.例1.

将函数展开成x

的幂级数.解:把x

换成,得第17页,共26页，2024年2月25日，星期天18解思考：例2将展开成x的幂级数.将-2x代入上式中x的位置，即得

将展开成x的幂级数.

将展开成x的幂级数.第18页,共26页，2024年2月25日，星期天19解例3将展开成x的幂级数.第19页,共26页，2024年2月25日，星期天20例4.

将展成解:

的幂级数.第20页,共26页，2024年2月25日，星期天21例5解第21页,共26页，2024年2月25日，星期天22例6.

将在x=0处展为幂级数.解:因此第22页,共26页，2024年2月25日，星期天23例7.将下列函数展开成x

的幂级数解:x＝±1时,此级数条件收敛,因此第23页,共26页，2024年2月25日，星期天24注意：把函数展开为幂级数的间接展开法实际上就是转化函数展开式已知的新函数转化经验：1)有理函数转化2)指数函数转化3)对数函数转化4)三角函数转化5)反三角函数：先求导化为有理函数，再积分第24页,共26页，2024年2月25日