2022年四川省内江市普通高校对口单招高等数学二自考模拟考试(含答案及部分解析)

2022年四川省内江市普通高校对口单招高

等数学二自考模拟考试（含答案及部分解

析）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

1.

设f（x）=xe2"f,则在X=I处的法线方程是

A.x-3y-4=0B.x+3j+4=OC.x÷3y-4=0D.x-3j÷4=0

曲线'H⅛⅞考的渐近线有---------

3.反常积分广白也等于（）

A.A.1B.l∕2C.-l∕2D.+∞

已知y=*,则V=

4.XOo

COSX

-COSX

B.2x

XCoSX-2sinX

C.F

XCOSX+2SinX

5.

下列函数为同一函数的是

A./(x)=Inxj,g(x)=21nx

B.ʃ(ɪ)=x,g(a:)=(√x)2

C./(x)=x,g(x)=x(sec2χ-tanzx)

D./(x)=∣x∣,g(x)=√xr

设函数/(2x)=∕+e',则((x)=

6.

X1

—+—

A.A.22

-+cɪ

B.4

C2x+2en

D4x+2e”

12x÷lx<0…、

设/(x)=,,,则∕(lim∕(x)］二

7,U-x>0J()。

A.OB.-1C.-3D.-5

8.

Wf∖X)dx≡sin2.Mjxf(x')dt等于()・

÷xn2B.2sin2C.y*in2D・ysi∏√2

定积分ʃ2ɪnʃdʃ=

JI

10.当XTO时，若si∕χ与/是等价无穷小量，则A=()o

A.1∕2B.1C.2D.3

已知y=华•，则J(I)=

x

11.'Oo

A.0B.1C.cosl-2sinlD.cosl+2sinl

设函数/(X)=<7二1x≠1,在尸2处连续，则k

12.Iβx=2

1

A.A.80

1

B80

ɪ

C.访

1

D.这

∣3.设m是常数,则如里等等于

OO

A.0

B.l

C.m

1

2

D.m

14.

、r2x+lx<0

设Fa)=，贝∣J/(limf(x))=

x2z-3x>0H

A.0B.-1C.-3D.一5

设函数/(x)=HI(x≠l),W∣Jlim∕(x)=

15.XTJOO

A.OB.-1C.lD.不存在

16.

函数y=F(G与它的反函数y=FT(z)的图象是

A.关于直线y=H对称

B.是同一条曲线

C.关于工轴对称

D.关于y轴对称

.x÷l

1Iim----

17.XT-2X÷3

A.A.0B.l∕2C.lD.2

18,通解为，=Ge-'+Ge”的二阶常系数线性齐次做分方程是

若随机事件A与8互相独立,而且P(A)=O4KB)∙05则RAB)=()

]9AOJB.0.4C.0.5D.0.9

20.

甲、乙、丙三人独立地向目标射击一次,其命中率依次为05060.7.则目标被击中的微

率是（）

A.0.94B.0.92C.0.95D,0.9

c*tʃ20♦ɑ

设函数人工)M1则/(ɪ-1)dɪ≡

1,,*V0,jo

22已知f(幻=Inarccotx,则f'⑴=

2

A.A.π

2

B.π

π

C.2

π

D.5

fl±coird

23,,>∣n/

24.当x—0时，无穷小量x+sinx是比X的[]

A.高阶无穷小B.低阶无穷小C同阶但非等价无穷小D.等价无穷小

设区域D=(∙τ∙yIθ≤ɪ≤1•-1≤>≤1}«Mil(JF—ɪɪ)dlrdy

25.

26.方程1+2--χ-2=0在［-3,2］内

A.A.有1个实根B.有2个实根C至少有1个实根D.无实根

若ArJ=O./Xro）v0.则（）

A./（jr）是/Cr）的极小值

0B.∕Cr0）是/Cr）的极大值

C/Cr）不是/（才）的极值

0D.不能判定/（j⅛）是否为/Cr）的极值

设D为一R≤x≤∕?,0≤y≤√R2-√,则JJR面等F

D()

A.k^R

B.2kπR2

C.SkH

28Iλ2πRk

设函数-y=F+2,则dy等于()

A.(ej÷2)dr

B.(eɪ-^)dʃ

C.(eɪrl)ir

29.D.ldʃ

30.函数y=f(x)在点x=xθ处左右极限都存在并且相等，是它在该点有极

限的()

A.A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条件

二、填空题(30题)

3i.设函数z=J+e',则"1”.”=

32.四Sin(X-I)

33：4,二:TLlr的再占半打，1

34.

Ldx

—•则α=

Ja4+X；8

35.E

36.设y=f(α"),且f可导，则y'

∂zz

37.设z=exey,则3工中

38.

设Z=IrW,〃=—v=et3贝IJdz=

X1

39.

[2≡,x>0

设函数f(z)=4ɪ,则H=O是/(H)的第类间断点.

2,x≤0

40.

41.设/C)为连续函数，则，'(幻也=

42.

sin(-ʌ)

Iim---------.

Xsin(ɪ)

.Iimɪn(1+)=

4λ4.7-----------------

45.函数y=ln(l-χ2)的单调递减区间是_____

函数f[x}=的驻点X=_____________.

46.InX

47.

设,/(r)dz=5，则［(f(4)dx=

48.

49.

Iim(I+&产=e,则A=_______.

N—8X

设.v=N∙Γ+iχ∙r+3X∙Γ+5)Cr+7)+，°+r*u,则JB

50.

51.

设Φ(x)=ʃɪ「dt,则φ,(x)=

52.曲线χ2+y2=2χ在点（1,1）处的切线方程为,

盒中装着标有数字1，2,3,4的乒乓球各2个，从盒中任意取

出3个球，求下列事件的概率。

（1）A=I取出的3个球上最大的数字是4}.

53.（2）5=（取出的3个球上的数字互不相同}.

54.设y=Mκl）（工+3），则广=

设z="+y3则47亲--------------

56.

ɪ√1—ɪ2dʃ=

S∕(x)=x2,g(x)=e*,则g(g(<(x)))=

58..⅛('^⅜)="

59.

y=m⅛r则J=-----------

设二元函数Z=Sin土，贝∣jg⅛∙=_____________

60.，漏,

三、计算题（30题）

61计算Q尸djdy∙其中D为园环区域M≤∕+y≤4

2计算IycLrdy.其中”由双曲线.，7-1及直纹、=0."1所网成的平面区域.

求定积分/∙~(lnz)2dx.

63.八日

求极限Iim-：—f-'dr.

64.—∙r*mJ。√]+3/

求f,1-∙zQ>0).

65.∙√χ,+aj

“计真定M分Iʃlnʃdɪ.

66.j,

67.已知x=-l是函数f(x)=ax3+bx2的驻点，且曲线y=f(x)过点(1,5),

求a,b的值.

68.求函数f(x)=xt3x-2的单调区间和极值.

/cC知函敷y=aresinɪJ=⅛,求学|.

69.Vl+sinɪdɪiz*o

7n计算不定积分R^27+Tdz.

7]计算定根分[∙re=d∕.

设函数M=^1+喏22+“(3，一山.其中/为可导函数.求李.

72.1÷yar

求极限hm士二⅛三.

73.…[√]T

计算定积分I/2+2cos2zdj∙.

74.

巳知曲线求求：

(1)曲线在点3.1)处的切蚊方程与排线方程；

75.<2)曲线上鼻一点处的切妓与真线”=4工一1平行？

计算二重机分P5dxd”其中D是由真线J∙=2.y≡X与双曲ai*y-J所用成

76.的区域.

77.求微分方程2，"+51/≡5J1-2J∙-1的通解.

7Q求函数y=2JJ+ɜɪ,—12JΓ+1的单蠲区间.

7O.

79.求微分方程/一2/一3yUe，的通第.

设D是由曲线》―/(ɪ)与真线y=0.y-3圉成的K域,其中

,

lx,x≤2.

/(ɪ)≡i

\6x∙x>2.

80.求D绕y∙艘料形成的旋转体的体根.

8]设函数？=(2]+y)L。■求dz.

82.设函数y=x4sinx,求dy.

求极限Iimx-√ln(l+^

∕→7

84.求函数f(x)=(x2-l)3+3的单调区间和极值.

85设V=y(x)由方程e*-e'=*in(xy)所确定.求今|

计算yI(Lrdy.其中D为圆/+«=1及F+/=9所围成的环形区域.

87.求函数/(X)=』-；的单调区间、极值、凹凸区间和拐点•

已知二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解分别为y=Sin2r,%=cos2∙r.求相应

的微分方程.

89.上半部为等边三角形，下半部为矩形的窗户(如图所示)，其周长为

12m,为使窗户的面积A达到最大，矩形的宽1应为多少？

9θ计算定枳分，/zɪʃdʃ-

四、综合题（10题）

、、aretanʃ

91证明：当了》0时∕n（l+2T7J^∙

92.求函数/（，）=ʃe'在定义域内的最大值和最小色.

求函数八R-ʃ-ɪʃ`+1的单调区间和极值.

93.

94.

设函数^≈αr5-60r1+6在［-1,2］上的最大值为3,最小值为-29,又a>0,求a,b.

95求丽敷》■者的单•区间∙俄值及此函数曲线的凹凸区间'拐点和渐近线•

96.

设抛物线y=αr'+⅛r+c过原点，当0≤z≤l时020,又已知该抛初线与工轴及

X=1所围图形的面积为4■,试喻定a».C使此图形绕ɪ轴旋转一周而成的体枳最小.

2（χ一ɪ）

97征明，当r>ɪ时∙ktf）ʒ「「

证明：方程「ʌd/=W在（0.1）内恰有一实根.

OQ∖'t

（Jr-D"的凹凸区间及拐点∙

99.求曲线∙v

平面图形由抛物线V=21.与该曲线在点（十.1）处的法线所围成.试求,

（1）该平面图形的面积I

100.（2）该平面图形绕ʃ轴旋转所成的旋转体的体积.

五、解答题（10题）

已知f∕(J)d∕=x3,求2.∕(x)dx.

101.

Xt9<

（本题扃分8分）计算"M）＜U,其中/U）・

102.rττ∙>>

103（本题满分∣0分）在曲线y=SinX（0≤X«ɪ）上求一点M。,使得图2-6-1中阴影

部分的面积S,与S,之和S=S,+S,为最小.

图2-6-1

104.

计算∫ɪdʃ.

105.（本题满分8分）

106.

JJ若力10分）设函数＞="'+和+「在点¥=1处取得帙小值-I.且点（0.1）为・

W三三出拐点.试求1frl⅛α.6.c.

ɪ.X-SinX

求I1nn--：—.

107.—X

108.

求曲线y=ln（l+/）的凹凸区间和拐点•

5人排成一行，试求下列事件的概率：

（I）A=｛甲、乙二人必须排在头尾｝.

1θ9（2）B=｛甲、乙二人必须间隔一人排列｝.

IlO.计算fxc°8XdX

六、单选题（0题）

111.

设/U）的一个原函数是XlnX,则〃幻的导函数是（

A.I+In*B.-ɪ

X

XX

参考答案

1.C解析

因为∕z(x)=(l+2x)e2uΛ∕z(l)=3,则法线方程的斜率4=-L法

3

线方程为y-1=-；(X-D,即x+3y-4=0.故选C.

2.y=0x="l

3.D

本题考查的知识点是反常积分收敛和发散的概念.

宜接计算：f—―d×=Iimfr-d(In×)≈Iimln(In”)|：=IimIn(Inb)=+8,

JexlnXJ∙∙J.InxJ∙∙

所以反常积分是发散的.选D.

4.C

722

rr,o,(sitιx)∙Λ-sinx∙(x/XCoSX-∙2sinx

因为57?------------=----------i--------

y=---------(-W必

5.D

6.A

先用换元法求出/(x)=—+eL

4

所以/(x)=→∣ei.

7.C

因为Iimy(X)=Iim(x2-3)=-2,

Ix→l

所以/[lim∕(x)]=/(-2)=(2x+!)J以=一3.

8.C

分析i,∙,iL,号在的知双点必定积分的假念和定积分的换元积分法•换无时积分的上`下限

Z换.

•;|"/Vxhlr=Mi.2更广义的理解应为∫J")d"=sin2∙所以

(次/)dx=；//(/)d(/)****∫/(«><>«=f加2.

2"+12e'+1

9.^

10.C

当左=2时，有Iim雪土=Iim(-)2=1,选C.

x→0jfzx→OX

所以当左二2时，有sin2X〜d.

11.C

,(Sinx)'X2-sinx∙(x2)rxcosx-2sinx

因为y=

X3

,

所以j∣lβ∣=cosl-2sinl.

12.B

⅛?-4=!再(χ-2)(x+2)(√x+√2)=8√2'

13.A

14.C解析：

因为Iimf(X)=Iim(X2-3)=-2

X->1XTl

所以"Iimf(X)]=/(-2)=(2x+I)L7=一3

15.D

先去函数的绝对值，使之成为分段函数；然后，运用函数在一点处极

限存在的充分必要条件进行判定.

由∕g3=rXVl

x-lɪɪX>l

因为Iim/(X)=lim(-D=-1,

*→Γι→Γ

Ita∕(x)≡Iiml=I.

Iimf(x)≠Iim/(x).

>→Γι→Γ

所以Iim/(x)不存在.故选D.

16.A

17.B

Iim山丝蚂SIirnl=*.

*→-2x+3*→-22

18y-2y,—3y=Oy,-2y,—3y≈O

19.A

20.A

21.e-2∕3

22.B

因为「(刈=」一(-ʌ).所以八1)=工(一：)=-2

arcco<x1+x巴2π

4

23.1n∣x+sinx∣+C

由Iim^±^≡=lim(l+皿)=2

7

24.CLoʃ.0\ʃ所以x—0时，χ+sinx

与X是同阶但非等价无穷小.

25.-2/3

26.C

^/(X)=X3+2X2-X-2,xe[-3,2]

因为〃外在区间43,2］上连续

且/(-3)=-8<0,/(2)=12>O

由闭区间上连续函数的性质可知，至少存在一点JG(-3,2),使f(G=O

所以方程在［-3,2］上至少有1个实根.

27.B

28.C

29.D

30.C

根据函数在一点处极限存在的充要性定理可知选C.

31.6

32.应填2.

【解析】利用重要极限1求解.

⅛⅛⅛r!⅛⅞⅛r(KI)=2

33.应填(2,1).

本题考查的知识点是拐点的定义及求法.

因为〈=6(”2)=0,得，=2.斗”2时，=1.

当x<2时/W);当*>2时,y">0.所以点(2.1)是曲线y«y+(*-2)*的拐点

34.

÷∞

因为广昌1x1π〃、π

=—arctan—=一(z--arctan-)=一

22°2228

aπ

arctan—=—

24

所以—=La=2

2

35.

36.-αxInα*f(αx)

于是

37.I+xey)ey+xey因z=exey,

B=尸•门嘉=e”•城∙e>+e-∙e>=d+^)e-

38.y3dx+3xy2dy

因所以=夕・小,于是豹宗力=?也+力.

f=∕∣nu,"=1∙,v=J∖z=Jyc∣z=z+3D2

39.一

ɪ

2

海析Irgdx=TMT(O-D=:

40.

41.f(x)+C

rr

因为sin(—)---------(x→0)ʌ(x→0)

22

SinT)--a

所以Iim-------2_=Hm—―=—

x→0.,X、x→0X2

sm(-)-《

2

解析】因为ctan

I/Γ⅛=riαctan^)=∣

aπ

arctan-=一

24

所以—=bα=2

43.2

44.

解题报导本题考查的知识点是连续函数在一点处的极限.

由于连续函数的极限值等于函数在该点的函数值，注意到，外=In(I+，)在其定义区间

(-8,+8)内是连续的，所以必有lin√(%)=/(0),即Iimln(I+x2)=In1=0.

45.(-oo-0)

x=e

［解析］因为r(X)=臂匚含。得口

InX

46.所以X=e是函数/(x)的驻点.

47.

利用变上限积分的定义，当上限取某一定值时，其值就唯一确定.

丫4ifb42

因为∫7(r)dr=y所以当X取8或2时有Jj(f)dr=彳，Jj(,)dι=彳

2，2I2

设y［x=-t,贝UX=产，dr=2fdf

Xlll4

~t12-

于是∫*-^=∕('A)d-v=2∫i'∕(x∕x)d(7x)=2∫∖∕^(∕)dz=2~=16

ɪ

2

［解析］使用“共规”方法，分子、分母同乘√∏7+l.

rJl+X_1l.(Jl+X-I)(Jl+X+1)

Iim-------------=Iim------------ɛ==---------------

“→oxx→oχ(√l+χ÷l)

..X1.11

=Iim----1-----------=Iim-T=—=—

48.x→0x(√l÷x+1)x→0√l+x+l2

49.1/2

50.10!

51.

3xeN

v=Ot

52.y=l由x2+y2=2x∙两边对X求导得2x+2yy'=2∙取x=l，y=l，贝IJLl»所以切线方程为：y=l.

53.

解：基本事件数共有：cl

（1）事件A中的基本事件为c；C+cbc；

所以P（A）=CC*GC=2

C14

（2）事件B中的基本事件数的计算可以分两步进行：

先从1,2,3,4的4个数中取出3个数的方法为C：.

由于每1个数有2个球,再从取出的3个不同数字的球中各取一个球,共有C；.

根据乘法原理可知取出的3个球上的数字互不相同的取法共有C：GCC.

C

所以尸⑻=C^⅞C=4

C7

54.应填6-

【提示】注意到y=x(x+l)(x+3)=x'+4x'+3x,则y*=6

布

保设U=X2+y2,贝!1z=/(U)

次

由

-

ax

az¥

于是y^--x^-=2yx^--2xy^-=Q

55.∂xaydudu

----ɪ-(l—ɪ2)⅛+C

O

22-2

XJlTCLr=ɪ[√T-P-dj=ɪ-(√T-7")d(l-j)=(γ)×ɪ(l-ɪ)^+

uJL4J

C=-1(l-?)i+C.

ɔ

2xeχ2

［解析］因为g(∕(x))=eχ2

所以?(g(f(X)))=2xJ

57.dr

58.

,

1.∕13∖⅜g⅛⅜D.j

59.

1

(eosɪ+SinJr)2

2

_］0./=-secz_—se/力_____________________］

1+tanʃ''(1+tanʃ)2(COSJr+SinN)2(eosɪ+sinɪ)2

COS2X

X.X1X

-YSln---------cos-

yyyy

［解析］^ɪɪeosʌ-(ʌ)ɪʃeosʌ

oxyaxyyy

-ycos—+—sin-

yyyy

61.

积分区域D如图所示，D的边界/+V=l,√+√

=4用极坐标表示分别为r=l,r=2,故积分区域D在极坐标

系下为

{(r,0)I0≤6≤2π.l≤r≤2},

故

jjʃ:dτdy=ʃdθʃr2cos2ðkdr

=[coj"ddfrjdr

coszθdθ

(1+cos2tf)d0

=辟0+%n2川；=竽.

积分区域D如图所示.D的边界/+V=1,√+/

=4用极坐标表示分别为r=Lr=2,故枳分区域D在极坐标

系下为

{(r,0)I0≤5≤2π.l≤r≤2},

故

r2cos2fikdr

COSjθdθ^ridr

Γ⅜∣:COYGd。

COs2θdθ

=ɪʃ2cos)况。

制(1+cos20)M

=和+枭in26)∣,=字.

oLIO4

IJr、Ardy=χl

1M%加

ɪʃ><1+y")+dyHy⅛(41).

炉加dy=JM笫X、业

≡ɪʃ>(1÷yt)ɪAy=看(4&-ɪ).

ʃ:⅛tlru)*dj∙=2j(lnʃ)ɪd(/r)

ln.r)2I—ʃ2

lnʃdɪ

8e—βjlnɪd(ʌ/ɪ)

8e-8^∣∏x∣;~£ɪdʃ]

8e—16e+16∕Γ|

8e—16

63.8(e—2)∙

l∏j)2dr-2j(∣!u-),d(√7)

2严Z|；-£

8e—8jlnɪd(v/ɪ)

8e-8严间-£於]

8c—16e+16G|

8e-16

8(e—2)∙

-T==Ldt■■■dt

U√TΓ⅞7U√T+3r

X-sinɪɪ—sirtr

Xt

Jl+3”(1—cow)，1+3∙r(1—cow)

ʃ*

…√Γ÷37.⅝J∖+3工∙ɪ

Iim2=2.Iim2=2.

64.…√T+37…√Γ+37

65.

令X=αtan∕/—y</<~),作辅助三角形,如图所

示.则

CLr="sec'fd∕∙

x∕∙r'+了=√c√7anT7÷*ατ=a>Jtan2/÷1=αsec∕.

由辅助三角形，如图所示，则sec/=ʌ"ɪg--aan/=土

于是

^sectdt=fsec∕d∕

√7r+7^asec/J

=InIsee/+tan/∣÷C1

网代lnlʃ

+C

Iaa1

=ln(ɪ++a2)÷C∣-Ina

=ln(ʃ+√fj∙2+α3)+C(C=(I-lnɑ).

令tr=αtan∕∕~ɪ</<ɪ)∙作辅助三角形•如图所

示•则

CLr="sec'fd∕∙

√jrr÷0r=∖∕α2tan^/+α2=a√ftan2/÷1=αsec∕.

由辅助三角形，如图所示,则SeCr="+α∖ta~=二.

aa

于是

I*d"_=[1”C(力=[sec∕d∕

J√7r+αrJαseuJ

=InIsec/+tan/∣+C∣

型7三+wz+G

Iaa

=ln(ɪ++a2)÷C∣-Ina

=ln(ɪ+v/ʃ2+α3)+C(C=('∣—Ina).

原式=ɪʃln.rdʃ'

=}∣n∙r∙ʃ2I'-打'

=2ln2-ɪʃʃdʃ=2∣∏2-ɪʃ

=2ln2-ɪ

66.4

原式Kɪʃɪnʃdʃ2

=2ln2-ɪʃɪdʃ=2∣∏2-ɪʃ

2ln2-ɪ

4

67f(x)=3ax2+2bx，Γ(-l)=3a-2b=0>再由f(l)=5得a+b=5,联立解得a=2,b=3

68.函数的定义域为(-8,+∞).

列表如下:

X(-«・-”-I(-∣,∣)I(1・♦8)

⅛O一O

/(-1)-0/(i)≡∙4

/rɪ)尸

力极大值

函数f(x)的单调增区间为(・8,・1)，(1，+∞);单调减区间为(・1，1)。极大值为f(∙l)=O,极小值为f(i)=∙4∙

该题若求出导函数后再将工=0代人计算比较麻烦,下面利用导数定义计算.

/1—SirLr

aresinʃ

/'(O)=Iim/(j∙)一/(O)∕<o>=0

Iim------------SL+SiM=IimΛ∕I≡≡

r**0ɪ—Oz∙*0ɪDV1+SInjr

该题若求出导函数后再将工=O代人计算比较麻烦,下面利用导数定义计算.

/1—sinɪ

aresinʃ

∕G)一∕(0)八0√1+-sinʃ

/(O)=IimIimIimJq再

，一OLOj-ovl+SInjr

令√f2x÷ɪ=”.即/=-ɪ-(u1—ɪ)tdʃ=怖∙∕du∙于是

ʃɪ+ldʃ=ʃy(uj-1)“∙-∣-tt'd<4

=yʃu*『)d"=一+C

—⅜(2X+1)÷-⅞(2J÷1)*+C.

70.40IO

t3

令>∕Lx÷1=〃.即ar=-ɪ-(U-1)∙dʃ=«∣∙〃d“•于是

ʃɪv/ΣT÷TcLrHJy(ttj-1)“∙w'dα

—[I"'=/"一得+C

—⅛(2-r+1)÷-⅞(2τ÷1)÷+G

ZoIo

IX出-⅛∫><ie-

TFii:ʤ]

≡⅛[χ∙e'L-⅛eH≡]

7L*⅛[ɪ(e*+1).

EdX-∣∫>de"

7[…叫-卜叼

≡⅛[e*-7<e，-1>]≡-J-(e,+1).

72.

令盯=C*1W(3'-y)∙

ʃɪ+√t

⅛

M√(*y)»(/+y?)-2ιian(jy)

&T(√÷√)ς*

y∙3t1∏3•/(3'y).

Ar

・⅛

••

əʃ

y(**+y'>sec'Jy)-2∕lan(j>)

l÷y∙3,In2∙∕z(3,-y).

(√+y),

tan(ʃv)

令百Hyf(y-y).

ej∙^÷(~3)•

⅛

Mxy.<y〉y《/+y')­2∕ii⅜n(j∙y)

(χ,+y),♦

∂z^

dr

•・•⅛—女I1女Z.θgj

əʃdrdr∈br

3e"7fy(JH+y'>sec'(1y)-2∕ian(j>>

Iι+y∙3"n2∙∕(3'-y).

(√+y),

73.

=2Iimb.SiU=L

x→oL

因2+2cos2x=2(1+cos2x)=4cos?«r.所以

ʃ，2+2cos2ιir=ʃ/IcosLd/

=ʃ2ICOSjrIdʃ

=2jCOSJreLr-2j.eosjdʃ

∙f∙・

=2sirua-2sir‰r=2+2=4.

74.O

因2+2cos2x=2(1+eosɜʃ)=4cos—・所以

，2+2cos2ιcLr=[^eos^ɪdʃ

OJo

=2siru-2sinj∙=2+2=4.

O

75.

<1）根据导数的几何意义.曲线y=∙r'在点（Ll）处切线的斜率为

,=2

>∣,.l«

曲线y=z'在点（1.D处法线的斜率为

k≡^⅛*

所以切线方程为y-l=2（x-l）,

即

2x-丫—1≡0∙

则法线方程为y-l=-∣（x-l）.

即

X÷2y—3=Oi

（2）设所求的点为M.（网.”）,曲线y=d在点（工。・W）处切线的斜率为

y'I=≡zɪi=2J⅛.

切线与直线V=。一I平行时,它们的斜率相等，即2入=4.所以4=2,此时M=4,故在

点M,（2.4）处的切线与直线y=4∙r-l平行.

（1）根据导数的几何意义.曲线y=在点（l・D处切线的斜率为

yL-=2-

曲线N=/在点（1.】）处法线的斜率为

k≡-⅛*

所以切线方程为y-l=2（x-l）,

即

2工一y-1=0.

则法线方程为y-l—-∙∣√z-l）∙

即

ɪ+2›—3=0∣

<2）设所求的点为MJNQ,%）.曲线y-在点处切线的斜率为

yI≡2JI=2Mo.

11,・0

切线与直线Y=。一1平行时.它们的斜率相等,即2q=4∙所以》=2.此时M=4,故在

点M“（2.4）处的切线与直线y=41—1平行.

1≤JΓ≤2.

先沿y方向积分,区域D可表示成则

I≤，≤才.

JmcLrdy=J；dʃ[j^dy

76.

H≤x≤2.

先沿y方向积分,区域D可表示成」11则

—≤3»≤ʃ*

f⅛dj^d>=∫^d4ι

77.

与原方程对应的齐次线性方程为

2y+5y'=O.

特征方程为

2rt+5r=0.

故

C5

r∣=O,rl=—

于是

>=C∣÷Cjeg

为齐次线性方程的通解.

而5，一2工一1中的AnO为单一特征根.故可设

y*=jr(Ar,+Blr÷C)

为

2∕+5√≡5α∙l-2x-1

的一个特解,于是有.

(/)'=3√tr,+2Hr÷C,(>>)*=6Ar÷2B.

知

2(6Λr÷2B)+5(3Ar,+2Rr÷C)=5x1-2x-1,

即