2023-2024学年江西省高一年级上册阶段诊断试卷数学质量检测试题（含答案）

2023-2024学年江西省高一上册阶段诊断试卷数学质量检测试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1,设全集0={123,4,5},集合/满足电"={2,5},则(ɔ

A.IeZB.AC.3e4D.4任4

【正确答案】A

【分析】已知全集。和电工，可求出集合出逐个验证选项.

【详解】全集U={l,2,3,4,5},⅞√={2,5},.∙.N={1,3,4},只有选项A正确，

故选：A

2.已知M,N都是U的子集,则图中的阴影部分表示()

A.MUN

B.Cu(MUN)

C.([uM)∩N

D.Cu(M∩N)

【正确答案】B

【分析】观察图形可知，图中非阴影部分所表示的集合是ZuB,从而得出图中阴影部分

所表示的集合.

【详解】由题意，图中非阴影部分所表示的集合是ZD8，

所以图中阴影部分所表示的集合为NuB的补集，

即图中阴影部分所表示的集合为CU(NU8),故选B.

本题主要考查集合的venn图的表示及应用，其中venn图既可以表示一个独立的集合，也

可以表示集合与集合之间的关系，熟记Venn图的含义是解答的关键.

3.已知4良。是三个集合，若AUB=BCC,则一定有()

A.AaCB.C^AC.C≠AD.A=0

【正确答案】A

【分析】

根据(8CC)G8,以及(BCC)=C,结合已知条件，即可判断集合之间的关系.

【详解】因为(8CC)18,又AuB=BcC,

故可得(ZuB)[8,则/口8；

因为(8CC)qC,又人B=BCC,

故可得(4D8)[C,则BgC；

综上所述./=BqC

故选：A.

本题考查由集合的运算结果，求集合之间的关系，属基础题.

4.已知命题“*eR,使4χ2+χ+:(4-2)≤0"是假命题，则实数。的取值范围是()

9

A.a<()B.0≤α≤4C.a≥4D.a>-

4

【正确答案】D

【分析】

根据特称命题的真假关系即可得到结论.

【详解】解：命题”HxeR,使4χ2+χ+:(4-2),,0"是假命题，

命题”VX∈R,使4χ2+χ+:(α-2)>0”是真命题，

1O

即判别式△=0—4*4x75—2)<0,所以α>

故选:D.

本题主要考查含有量词的命题的真假应用，利用一元二次不等式的性质是解决本题的关键,

基础题.

5.设集合Z={x∣一l≤x≤3},8={x∣0<x≤2}则“aeZ”是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】B

【分析】根据集合的包含与充分必要条件的关系判断.

【详解】由题意集合5是集合A的真子集，因此“ae4”是“a¢8”的必要不充分条件，

故选：B.

6.已知实数X满足O<x<[,则y=8x+」一的最大值为（）

2,2x-l

A.-4B.OC.4D.8

【正确答案】B

【分析】由已知得到0<1-2x<l,对题中所给的式子进行转化，利用基本不等式求最大值.

【详解】由O<χ<g得到一l<2x-l<0,则0<l—2x<l,

y=8x+-1-=4（2x-l）+-1-+4=-[4（l-2x）+-1-]+4

2x-12x-11-2x

≤-2^4（l-2x）∙p^-+4=0.

当且仅当X=L上式取等号，则y=8x+-ɪ-的最大值为0.

42x—1

故选：B.

7.若不等式a/+2x+c<0的解集是（一09,+°9），则不等式CX②一2x+a≤0的

解集是（）

111「1丁

L23jL32」

C.[-2,3]D.[-3,2]

【正确答案】C

【分析】依题意和g是方程^2+2》+°=0的两个实数根，利用韦达定理得到方程组，

即可求出。、C,再解一元二次不等式即可.

【详解】解：因为不等式Or2+2X+c<O的解集是(一e,-ʒɔu(',+/)，

；和;是方程αx2+2x+c=0的两个实数根，

32

112

——+-=——

由I32",解得：。=一12,c=2,

11c

—X—=—

I32a

故不等式CX2-2x+α40即2/一2%一12«0，

即--χ-6≤0,即(x-3)(x+2)≤0,解得：-2≤x≤3,

所以所求不等式的解集是.[-2,3]

故选：C.

8.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表

述如下：设α,b,X,y>0,则S+Q≥∙fct"-,当且仅当q=2时等号成立.根据权

Xyx-^ryxy

291

方和不等式，函数/(X)=—+-------(0<x<-)的最小值为()

Xl-2x2

A.16B.25C.36D.49

【正确答案】B

【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.

【详解】因α,b,X,y>0,则+,当且仅当@=2时等号成立,

Xyx+yxy

又0<x<1,即l-2x>0,

2

22

23,即X="时取"=”,

于是得/(X)=——+------≥Gt3)=25,当且仅当Z=—

Ixl-2x2x+(1—2x)2x1-2X

291

所以函数/(、)=—+-------(0<x<-)的最小值为25.

X1—2x2

故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分.

9.以下命题中正确的是（）

A.所有正数组成的集合可表示为｛木>0｝

B.大于2020小于2023的整数组成的集合为｛x∣2020<x<2023）

C.全部三角形组成的集合可以写成｛全部三角形｝

D.N中的元素比N*中的元素只多一个元素0,它们都是无限集

【正确答案】AD

【分析】由集合的概念和集合的表示方法，即可得到答案.

【详解】正数均大于0,故所有正数的集合应表示为｛x∣x>0｝,故A正确；

大于2020小于2023的整数组成的集合应表示为｛x∈Z∣2020<x<2023｝或｛2021,2022）,

故B不正确：

全部三角形组成的集合应表示为｛三角形｝或｛XIX是三角形｝,故C不正确；

N为自然数集，N.为正整数集，故N中的元素比N*中的元素只多一个元素0,它们都是

无限集，故D正确.

故选：AD.

10.如图，三个圆形区域分别表示集合/,B,C.则（）

A.I部分表示电（ZnBnC）B.∏部分表示ZCBCC

c.∏ι部分表示Bn｛屯（Znc））D.IV部分表示

^∩5∩⅛(^∩5∩C)}

【正确答案】BD

【分析】观察Venn图，可判断A、B选项；在HI部分、IV部分各取一个元素，分析所取元

素与集合48,C的关系可判断C、D选项.

【详解】对于A选项，由图可知，1部分表示电(ZUBUC),故A错误；

对于B选项，由图可知，∏部分表示∕c8cC,故B正确；

对于C选项，在HI部分所表示的集合中任取一个元素X,则xe3且Xe(ZUC),

故∏r部分表示3n{电(力UC)},故C错误；

对于D选项，在IV部分表示的集合中任取一个元素“，则αe(Zc8)且4e(Zn8∏C),

所以，IV部分表示Z∏8n{⅞;(Zn8∏C)},故D正确.

故选：BD.

11.设αbc<O,则函数y=4χ2+⅛x+c的图象可能是()

【分析】根据二次函数图像的性质，依次分析各选项即可得答案.

【详解】函数y=0√+bχ+c的图象的对称轴为χ=-2,与X轴的交点的坐标分别为

2a

Oc

(Xl,0)，(X2，。)，则X+%2=----,Xj%2=—'

aa

A中，Q<0,------<0,—<0,—>0,则QV0,b<0jc<0,，αbcv(),符合题意;

2aaa

B札Abc

〃<->0,—>O,-<O,则Gvθ,b>0,c>0,Λabc<O,符合题意；

Qaa

C2α2

札Q>_bc

<0,—<0,—>O,则α>0,b>09c>O,.*.abc>O,不符合题意;

Do,2±ɑ

Qαaa

札>_be

2α>0,—>0,—>O,则a〉0,b<0,c>O,Λabc<O,符合题意，

故选：ABD.

12.已知。〉0,/+必=4,则下列结论一定正确的是()

A.5α+6的最小值为8

B.L+的最小值为1

C.2α2+20b+Z>2的最小值为4

D.3/+/的最小值为8

【正确答案】ABD

【分析】对于ABD,由4>0,/+而=4，可得α(α+b)=4,a+b>O,然后利用基本

不等式逐个分析判断，对于C,利用已知条件和平方的非负性判断即可

【详解】因为1〉0,。2+而=4,所以α(α+b)=4,a+b>O,

对于A,因为α(α+b)=4,所以4α(α+b)=16,因为α+b>O,α>0>

所以5。+6=4。+(。+6)227^^7^=2而=8,当且仅当4。=。+6,即。=11=3

时取等号，所以A正确，

对于B,因为α+b>O,a>0,

所以L-L=①三=g®"N9巨Ll,当且仅当α=α+6,即

aa+bα(α+b)44

Q=2,6=0时取等号，所以B正确，

对于C,因为。〉0,/+质=4,所以2/+2"=8,所以2/+2曲+〃=8+/≥8,

所以C错误，

4

对于D,由4>0,Q2+Q%=4,得b=—a,

a

所以3α?+〃=34?+(3―a]-3α2+-ɪ-8+α2=4a2+ʒ-—8≥2^4a2-ʒ--8=8,

当且仅当4M=lξ,即α=2,b=0时取等号，所以D正确，

a'

故选：ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知Λ/=卜卜~—2x—3=θ},N=[卜~+ox+1=0,α∈R.},且NM,则α的取

值范围为.

【正确答案】{aI-2<a≤2}

【分析】求得集合"={-1,3},根据NM,分N=0和N≠0两种情况讨论，即可

求解.

【详解】由题意，集合"={x∣V—2x—3=0}={—1,3},

当N=0时，即△=/_4<0,解得一2<α<2,此时满足NM,

当N00时，要使得NM,则一1∈N或3∈N,

当一IeN时，可得(T)2-α+l=0,即α=2,此时N={T},满足NM-,

当3GN时，可得32+34+1=0,即4=-当，此时N={3,；},不满足NM,

综上可知，实数”的取值范围为{“I-2<a≤2}.

故答案为∙{α∣-2<α<2}

14.某班30人，其中17人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，9人对这两项运动都不喜

爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为.

【正确答案】11

【分析】设喜欢篮球且喜欢乒乓球的人数为X人，借助Venn图列出方程，求出x,进而求

得喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数即可.

【详解】设喜欢篮球且喜欢乒乓球的人数为X人，则只喜爱篮球的有(17—x)人，只喜爱乒乓

球的有(10—x)人，

由(17—X)+(10-X)+X+9=30,解得x=6,

所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为17-χ=ll人.

15.已知命题"mx°∈R,使∕2+mχo+2加+5<O”是假命题，其实数机的取值为集合/,

设不等式(》-。+1加-1+2。)<0的解集为集合8,若XeZ是Xe8的充分不必要条件,

则实数a的取值范围为.

【正确答案】f-∞,-ɪjt<>,(l1,+∞)

【分析】写出命题的否定得VXeR，使χ2+〃?x+2加+5≥0恒成立，求出集合A,又

XeZ是xe8的充分不必要条件，所以集合A是集合8的真子集，分类讨论列出满足的不

等式求解即可.

【详解】解：由命题“m/eR，使/2+加4+2m+5<0”是假命题，

知命题“VxeR,使命+Wix+2加+5≥0”是真命题,

所以A=,∕-4(2w+5)≤0,解得-2≤W≤10,

所以Z={〃?I-2≤a≤10},

因为XeN是xe8的充分不必要条件，所以集合A是集合8的真子集,

/(-2)<0

设/(x)=(x-α+l)(x-l+2α),贝卜

/(10)<0

(-l-a)(-3+2ɑ)<09

即<[-4)(9+27。‘解得a〉"或〃<一相

所以实数α的取值范围为1—8,—g)u(ll,+oo).

故，。°,一∙∣)U

(ll,+∞).

22

X2V

16.己知xy≠0,则—-7^l—ɔ--------的最大值为

X2+y2x2+2y2

【正确答案】4-2√2

22V2=1+-----------------------=1+-----------------

【分析】通分化简整理一∙~τ+τJ∙γx4+3x2y2+2y4x22y2,,再

√+y2X2+2y2J-y+-÷+3

yX

利用基本不等式求得最大值.

fV2

【详解】因为孙*0,则F>0,J>0,

yX

X22y2_X4+4x1y2+2y4_x4+4x1y2+2y4

所以777+7=(1+/)(,+2y2)=/+3/T+2/

X+

+3

当且仅当f=αy2时，等号成立,

ɪ22/

则的最大值为4-2√L

X2+y2X2+2y^

故答案为.4-2√2

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

17.已知集合4={2,6}.

(1)若集合8={a+l,∕-23},且/=8,求。的值；

(2)如集合C={x,χ2-χ+6=θ},且A与C有包含关系，求。的取值范围.

【正确答案】(1)5；(2){α∣α=O或α>(

【分析】(1)根据α+l=2或α+l=6,求出α=1或α=5,再验证/=3是否成立即可;

(2)若2lC,可得C={-3,2},A与C没有包含关系，则只能是Cq",讨论C≠0,

C=0两种情况，进而可得答案.

【详解】(1)因为集合Z={2,6},集合B={"+l,∕-23},且/=6，

所以α+l=2或α+l=6,

当α+l=2,即α=l时，8={-22,2},此时/N8；

当α+l=6,即α=5时，8={2,6},此时Z=8.

故4的值为5

(2)若2lC,则4α+4=0,a=—1.此时C={-3,2},A与C没有包含关系.

因为A与C有包含关系，

所以只能是C=/,

当CN0时，6∈C,则a=0,此时C={6},满足C=/.

l-24a<0解得4>」-

当C=0时,

a≠024.

综上，0的取值范围为{a∣a=0或a>g).

易错点点睛：解答有关集合子集的习题过程中，一定要注意空集的讨论，这是同学们在解题

过程中容易疏忽的地方，一定不等掉以轻心.

18.已知全集U=R,集合N={x∣∣x-2∣N2},B={x∣a<集-l<2a-2}.

(1)若臧)f(UB)，求实数a的取值范围；

(2)若(6Z)c3x8,求实数。的取值范围.

【正确答案】(1)(-∞,2]u[3,^o)

5

(2)a<-

2

【分析】(1)先求出集合48,由(电/)=(68),可得出8=/,讨论8=0和8/0,

即可求出答案.

(2)求出q/,由(电力)c8=6,得出讨论讨论8=0和8/0,求实

数。的取值范围，运用补集思想即可得出答案.

【小问1详解】

由题意，得集合N={x∣xW0或x≥4},5=∣x∣α+l<x<2α-l∣.

V(M)(M-ʌB^A.

当3=0,即α+l≥2α-1,即α≤2时，符合题意；

当6/0,即α>2时，由8=/,得α+124或2α-l≤0,得a≥3.

综上，实数α的取值范围为(一。。,2]U[3,+8).

【小问2详解】

电∕={x∣0<x<4},若(⅞7∕)C6=8,则6q(¾√).

当3=0,即a≤2时，符合题意；

'a+l≥O

当8X0时，需满足12a-1≤4,解得2<α<2.

2

a>2

当(d%)c8=8时，α≤∣.

.∙.当(电4)c8W8时，i∕>∣,即实数0的取值范围为(∣∙,+oo).

19.已知命题p:Vl≤x≤2,χ≤α2+l,命题q：31≤X≤2,一次函数V=x+α的图象在

X轴下方.

(1)若命题尸的否定为真命题，求实数。的取值范围；

(2)若命题P为真命题，命题4的否定也为真命题，求实数。的取值范围.

【正确答案】(1)-l<α<l

(2)[l,+∞)u{-l}

【分析】(1)由全称命题的否定与真假判断求解即可；

(2)由全称命题与特称命题的真假判断求解即可

【小问1详解】

；命题P的否定为真命题，

命题P的否定为：31≤%≤2,X>ɑ2+1,

.∙.a2+l<2,

・'・—1<。<1.

【小问2详解】

若命题P为真命题，则/+122,即αNl或α≤-l.

：命题夕的否定为真命题，

.∙."Wl≤x≤2,一次函数V=x+α的图象在X轴及X轴上方”为真命题.

•*-1÷6z≥O,即4≥—1.

实数a的取值范围为［l,+α>)u{T}.

20.轩轩计划建造一个室内面积为1500m2的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、

形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚的前、后、左、右内墙各保留1.5m宽的通道,

两养殖池之间保留2m宽的通道.设温室的一边长为xm,两个养殖地的总面积为yr!?,如

图所示.

(1)将y表示为X的函数；

(2)当取X取何值时，y取最大值？最大值是多少？

【正确答案】(1)y=1515-5x-”竺，%∈(3,300)

X

(2)x=30时,N有最大值为1215

【分析】(1)另外一边长为©",则N=(X—1.5x2〉早—1.5x2—2),化简得到答

X

案.

(2)根据均值不等式计算得到答案.

【小问1详解】

温室的一边长为X,则另外一边长为空”，

X

/一「「1500"CCC4500

Oy=(X-1.5X2),[-----1.5x2-2)=1515-5x-----,

x—1.5x2>0且^^—1.5x2—2〉0,解得x∈(3,300).

X

故夕=1515—5x—竺四，%∈(3,300)

X

【小问2详解】

歹=1515—(5%+^^卜1515—2,^^=1215,

当且仅当5x=丝四，即X=30时等号成立.

X

故x=30时，V有最大值为1215.

21.设α,b,C为正实数，且α+b+c=L证明:

11、9

(1)+^^+^^≥-;

a+bh+cc+a2

,、3,33、ab+bc+Ca-3abc

(2)a+b+c≥---------

2

【正确答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)利用α+b+c=l进行代换，再利用基本不等式即可证明；

(2)利用立方和公式将Y+3+cO进行变式，再利用基本不等式即可证明.

【小问1详解】

,1111/CC,CJ111、

证明r：----+-----1-----=—(2«+26+2c)-----+-----1-----

a+bb+cc+a2∖a+bb+cc+a)

…+S+c)+(c+"S+自+1

c-∖-a

Q+6b+cC+Qb+Cc+a八9

i+------+-------+-------+-------+-------+-------)≥-(3+6)=-,

b-∖-ca+bb+CC+Qa-∖-bc+a22

（当且仅当α=b=c=∙!■时，等号成立）

3

【小问2详解】

证明：o'+3=(a+b)(^a2+h1-ab)≥(l-c)ab

ð3÷c3=(6+c)(⅛2+c2-be)≥(1-d)bc

c3+α3=(c+α)(c2+α2-cαj≥(∖-b)ca

三式相加得2(/+b+/)≥ab+be+Cd—3cιhc

3,33ab+bc+ca-3abc

n即na+h+c≥