新高考二轮复习真题导数讲义第33讲 整数解问题之直接限制法（解析版）

第33讲整数解问题之直接限制法

1.已知偶函数/(x)满足/(4+x)=f(4-x),/(0)=0,且当Xe(0,4］时，/(X)=妈生，关于X的不等

X

式尸(x)+qf(x)>0在［-200,200J上有且只有300个整数解，求实数〃的取值范围

【解答】解：，偶函数f(x)满足/(x)满足/(4+x)=/(4-Λ),

.∙.∕(x+4)=∕(4-x)=∕(x-4),

.∙J(X)的周期为8,且/(X)的图象关于直线X=4时称.

由于［-200,200］上含有50个周期，且/(x)在每个周期内都是轴对称图形，

.∙.关于X的不等式∕2(x)+af(x)>0在(0,4］上有3个整数解.

lln2x

当X€(0,4］时，f'(x)=~ι,

Jr

.∙.∕(X)在(Oe)上单调递增，在e，4)上单调递减，

-f(I)=M2,f(2)>f(3)>f(4)=—=-∕n2>0.

44

...当X=A(R=1,2,3,4)时，/(x)>0,

.∙.当α..0时，f2(x)+c∕(x)>0在(0,4］上有4个整数解，不符合题意，

/.«<0,

由∕2(X)+6≠(X)>0可得/(x)<0或f(ɪ)>-a.

显然/(x)VO在(0,4］上无整数解，

故而Fa)在(0,4］上有3个整数解,分别为1,2,3.

:,-a,,f(4)=：加2,-a<f(3)=殍，-a<f(1)=Iril,

InG3,c

------Va>,—InZ.

3------4

故选：

2.已知关于X的不等式-γ↑-i-m<G的解集为(a,b),其中α>0,若该不等式在(a,h)中有且只有

2txnx

一个整数解，求实数〃?的取值范围

.八/［,、LX2-2lnx

【解答】解：关于X的不等式一tux—Inx一"2<01乜ΛJ：tn>-----------»

22(x+l)

AX2-Ilnx—、_

令-------=f(x),X>0,

2(x+l)

_x3+2X2-2x-2÷rIxlnx

2x(x+l)2

令M(X)=X3+2X2-2x-2+2X∕AU,u∖x)=3x2+4x+2/nx⅛(O,+∞)上单调递增，

因此存在七∈(O,1)，使得〃'(尤0)=3片+4x0÷2lnx0=O,2lnx0=-3xθ-4x0,

u(x0)=Λθ+2Xg-2x0-2+2x0lnxn=片+2考—2x0-2+Λ⅛(-3xθ-4x0)=-2片-2x；-2xn-2=-2(x0+1)(片+l)<0>

u(1)=-l<0,w(2)=10+4妨2>0.

因此存在Xe(1,2),使得κ(x∣)=O,

因此函数/(x)在(0当)内单调递减，在(斗，+8)单调递增.

f(1)=-,f(2)=2Ξ∕≤.

-43

「关于X的不等式1d-ιnx-Inx-m<0的解集为｛a,b)，其中a>0,

2

该不等式在3加中有且只有一个整数解，

实数m的取值范围是(；，2詈］.

另解：式子可化为-,nr-,v<⅛tr,令g(x)=∕nr,则g(x)必过(L0),因为(a,A)之间含一个整数解，那

2

么这个整数解必须是1,且l<b<2,O<a<l,通过这个进一步可以确定m的范围.

故选：C.

3.已知偶函数/(X)满足/(4+x)=f(4-x),且当x∈(0,4］时，/(X)=妈也，关于X的不等式

X

∕2(x)+0^(x)>O在［-200,200］上有且只有300个整数解，求实数a的取值范围

【解答】解：∙/(x)是偶函数，.∙.f(T)=/(x),

/(4+x)=∕(4-x),.∙.∕(8+x)=f(4-(4+x))=∕(-x)=∕(x),

.∙.∕(x)的周期为T=8.

当Xe(0,4］时，r(χ)J二呼。,

X

当0<x<］时，∕,(x)>0,当刍<χ,4时，∕,(x)<0,

.∙.∕(x)在(0,∙∣)上单调递增，在e，4］上单调递减.

又/(1)=ln2>0,f(4)=—=—>0,且/(x)是以8为周期的偶函数，

44

当X为整数时，/(x)>0,

尸(x)+4(x)>0在［-200,200］上有300个整数解,

.∙.∕2(x)+4(x)>0在(0，4］上有3个整数解，显然这三个整数解为1,2,3,

即f(x)+a>O在(0,4］上有三个整数解1,2,3.

/〃6八

平3)+八。，即.3AZHln63In2

c,C，解2得：--------------

1/(4)+⅛,O

3打2n34

4

故答案为：(-竺，3吟

-------J•

34

4.已知函数/(x)=e*-0x(x>0),其中4eR,e为自然对数的底数.

(1)试讨论F(X)的单调性;

(2)是否存在正整数”,使得/(x)..x⅛ιr对一切x>0恒成立？若存在，求出。的最大值；若不存在，请说

明理由.

【解答】解：(1)f'(x)=ex-a(x>O).

①若6,1,则.f'(x)>O恒成立，,f(x)在(0,七》)上单调递增；

②若a>∖,令∕,(x)=0>则X=Ina,

当0<x<∕w时，∕,(x)<O,/(x)单调递减；当x>∕w时，f,(x)>O,/(x)单调递增.

综上所述，

当4,1时，/(x)在(0,+∞)上单调递增；

当α>l时，f(x)在(0,∕"α)上单调递减，在(∕W,∙HΛ)上单调递增.

(2)要使f(x)=e*-ax..χ2∕πx在(0,+OO)上恒成立，则=-0-/,111.0在(0,+∞)上恒成立，

XX

x

ea

令h［x)--r------InX(X>0),

XX

则〃⑴=Ls→≤+A-1=,

XX"XX

①当α=2时，∕f(χ)=O—2)(,一力,

X

由∕>x知，力。)在(0,2)上单调递减，在(2,y)上单调递增.

2

h(x)min=h(2)=^--Zn2-l>0.

.•/=2满足题意.

②当α>2时，当2vxvα时，函数力(X)的取值情况，

2<x<a,.,.x-2>0,x-a<O.

又/>X,/.(x-2)ex>(x-d)x,BPh,(x)>O,

当α>2时，∕z(x)在(2M)上单调递增.

不妨取α=3,则函数〃*)在(2,3)匕单调递增，

3

2<e<3,且∕z(e)=e"2——1<0,

e

.∖h(x)..0不能恒成立.

综上所述，正整数。的最大值为2.

5.已知函数f(x)=CW(x>O),其中oeR,e为自然对数的底数.

X

(1)若函数F(X)有两个零点，求。的取值范围；

(2)是否存在正整数α,使得/(X)..Hnr对一切X>O恒成立？若存在，求出。的最大值；若不存在.请说

明理由.

【解答】解：(1)/(x)=≤^=C-α,∕f(χ)=≤⅛!2,

XXX

令I(X)>0,得x>l,令r(x)<O,得O<x<l,

函数Z(X)在(0,1)上单调递成，在(l,+∞)上单调递增，

∙∙∙“‰=/⑴=e-a,

二函数/(x)有两个零点,f(1)<0.

：.a的取值范围为(e,+∞)；

fix一∩γ

(2)要使/(X)=---------..x∕nX在(0,+OO)上恒成立，

X

即使二-历x∙.0在(0,+∞)上恒成立，

JrX

x

ea

令h(x)=-----lnx(x>0),

XX

贝Uh'(x)=We÷ɪ-l=(x-2)e：(x-g,

①当α=2时，"(χ)=d4-x),

X

由/>X知A(X)在(0,2)单调递减，在(2,-+w)单调递增，

•・h(x)lt,n=K2)=--ln2-l>0,

.^.a=2时满足题意；

②当α>2时，考查α>x>2时，函数力。)的取值情况：

a>x>2,.∙.x-2>0,%—«<0>

又e'>x,:.(x-2)ex>(x-a)x,即h'(x)>O,

.∙.当4>2时，〃(x)在(2M)上单调递增，

取α=3,则函数∕z(x)在(2,3)上单增，

3

∙.2<e<3,且Me)=e"?——1<0，

e

/.A(x)..0不能恒成立，

综上，α的最大正整值为2.

6.已知集合A={x∣X?+2x-3>0},集合8={x∣r-20r-L,0，a>0).

(I)若α=l,求8；

(II)若A。8中恰含有一个整数，求实数α的取值范围.

【解答】解：(I)4={x∣V+2x-3>0}={x∣x>l或x<-3},

当α=l时，由d-2X-L,0，

解得：1-√2Ml+√2,B∣Jβ=[l-√2,l+√2],

.∙.A∩β=(l,l+√2];

(II)-函数y=f(x)=χ2-20r-l的对称轴为x=α>0,

/(0)=-l<0,且AnB中恰含有一个整数，

根据对称性可知这个整数为2,

(4-Aa-I0

：.f(2),,OR/(3)>0,即°J,

[9-6«-1>n0

解得：-,,tz<-.

43

γ

7.己知函数/(x)=-(x>0).

ex

(1)求函数f(χ)的最大值；

(2)若函数g(x)=∕(x)-∕w有两个零点，求实数〃?的取值范围;

(3)若不等式∕2(χ)-∕(χ)>0仅有一个整数解，求实数。的取值范围.

【解答】解：(1)函数F(X)=±(x>O),

ex

则r(χ)=W，

e

当x∈(O,l)时，Γ(x)>O,函数/(x)单调递增；

当x∈(L+oo)时,ff(x)<0,函数/(x)单调递减，

所以当x=l时，函数/(x)取得极大值，也是最大值为/(I)=-.

e

(2)函数g(x)=∕(x)-%有两个零点，相当于函数f(x)=土(x>0)的图象与直线y=有两个交点.

ex

当X=O时，/(O)=O»%->+8时，/(x)→0»

结合(1)中结论，可得0</力<，.

e

(3)因为/(x)>0,所以不等式/a)—4(幻〉0仅有一个整数解，

即/(x)>α只有一个整数解，因为/(X)的极大值为/(1)=-,0<l<2,

e

/⑵=12，

e"

所以当。€［与，3时，/(x)>α只有一个整数解X=I,

ee

即当1)时，不等式U(X)-4(X)>0仅有一个整数解X=I.

ee

所以实数。的取值范围是［/,

e~e

8.已知函数/(x)”.

X

(1)求/(x)在［2,α］(α>2)上的最小值；

(2)若关于X的不等式/"A：)+，W(X)>0有且仅有三个整数解，求实数W的取值范围.

【解答】解：(1)函数/(X)=妈./，(X)=L芈.

XX

所以：X∈(0,e)时，∕,(x)=--">0,

X

X∈(G-hɔo)时，f,(x)=--妙<0,

X

所以：/(x)在(0,e)上单调递增，在(e,÷∞)上单调递减，

当2<%e时，/(x)在［2,递增，所以/(x)最小值为/(2)=当，

当α>e时，f(x)在［2,e］递增，/(x)在［e,α］递减,

所以：4..α>e时，/(x)最小值为/(2)ɪɪ

α>4时，/(x)最小值为/(a)=—

综上所述，2<q,4时，/(x)最小值为F(2)=奇

4>4时，/(x)最小值为/(a)=—,

(2)由不等式尸(力+磔(乃>0得：/(x)［∕(x)+m］>O,

当WVo时，得到：/(x)<O或/(x)>-m，

因为/(幻在(0,e)上单调递增，在®+∞)上单调递减，

所以F(X)最大值为：/'(e)=」，且当x>l时，/(X)=蛆>0,

eX

所以：f(x)<o的解集为：(0,1),无整数解.

若关于X的不等式∕2ω+mf(x)>0只有三个整数解，

所以/(x)>-m有且仅有三个整数解，

所以/(5)„-m<f(2)=f(4)<f(3)

此时整数解为2,3,4.

-∣ln5ln2-,∣/M21∏5

所cc以h：——„—m<—,c所cι以：----<，均，----，

5225

当m=0时，尸(x)+〃矿(X)>0得/(x)wθ,

此时关于X的不等式∕2(χ)+〃矿(χ)>0有无数个整数解，不满足题意，舍去,

当,w>0时，f2(x')+mf(x')>O,得到：/(x)<-〃7或f(x)>0,

所以/(x)>0,有无数个整数解，舍去.

综上所述，实数W的取值范围为：

25

9.已知函数f(x)=妈也.

⑺求/(x)在区间［1,>1)上的最小值；

(II)若关于X的不等式f∖x)+mf{x}>0只有两个整数解，求实数m的取值范围.

【解答】解：(I)1(X)=I-"2x),令/(X)>o得/(χ)的递增区间为(o,£)；

X2

令∕,(x)<O得/(X)的递减区间为(-,+oo)

xe［l,a］,则当时，/(x)在［1,4］上为增函数,

/(x)的最小值为/(1)=加2；

当”>∙∣时，/(X)在口，］)上为增函数，在弓，0上为减函数，/(2)=浮=ln2=f(1),

.∙.∣<0,,2,f{x}的最小值为f(1)=Inl,

若α>2,7(x)的最小值为/(a)=—

a

综上,当l<α,2时，f(x)的最小值为F(I)=M2；

当α>2,/(x)的最小值为/(a)=".

(II)由(1)知，/U)的递增区间为(0,3，递减区间为(£,+8),且在(二，+∞)±∕n2x>∕w=l>0,

222

又x>0,则f(x)>O.X/(1)=0.

.∙.∕n>0时，由不等式fV)+时(x)>0得f(x)>0或/(x)<-/»,而/(x)>0解集为(；，+∞),整数解有无

数多个，不合题意;

%=O时，由不等式尸(χ)+时(X)>0得F(X)XO,解集为(O,ɪ)O(ɪ,+8),整数解有无数多个，不合

题意;

"<0时，由不等式/2(%)+,叭犬)>0得/(χ)>τn或/(χ)<0,；/(幻<0解集为(o,J_)无整数解，若不等式

尸(幻+可∙(x)>0有两整数解，则((3)„-m<f(1)=f(2),

.∙.Tn2<∏ι,--lnβ

3

综上，实数机的取值范围是(T〃2,-∣∕n6]

10.己知函数，(X)=刨生

X

(1)求/(x)在[1,α](α>l)上的最小值；

(2)若关于X的不等式尸(X)+何'(X)>0只有两个整数解，求实数机的取值范围.

【解答】解：(1)函数f(x)=妈至，[(χ)=>"2x)

XX

令f(x)>0,解得0<x<∙∣,得/(X)的递增区间为(0,,；

令/(x)<0,解得x>∙∣,可得F(X)的递减区间为e,+8).

x∈[l,a∖{a>1),

当时，f(x)在[1，0上为增函数，f(x)的最小值为f(1)=Ira.

当α>∙∣时，/(X)在呜)上为增函数，在g0上为减函数，

又/(2)=Ml=f(1),

二若∙^<α,2,f(x)的最小值为f(1)=Inl.

若a>2,F(X)的最小值为f(a)=色冽.

a

综上，当1<4,2时，/(x)的最小值为例2；当α>2,f(x)的最小值为蛇色.

a

(2)由(1)知，/(x)的递增区间为(0,,,递减区间为弓,+oo),且在弓,+8)上山(2x)>∕"e=l>0,

又x>0,则f(x)>O.又/(g)=0.

二.m>0时，由不等式∕2(%)+的(X)>0得/(x)>0或/(x)<-m,

而/(X)>O解集为g,+8),整数解有无数多个，不合题意.

m=0时，由不等式尸(X)+W(X)>0得/(x)≠0,解集(O,Jug,+∞),整数解有无数多个，不合题意；

TnVo时,由不等式∕2(x)÷fnf(x)>0f⅛f(x)Vo或f(x)>-m,

/(X)<0解集为(0,；)无整数解，

若不等式等(X)+时(X)>0有两个整数解,则/(3)„-m</(1)=f(2),

—ln∑<ιτι^—//?6.

i3

综上，实数m的取值范围是(T"2,-g∕/6].

11.已知函数f(x)=x-l,g(x)=(0r-l)c'.

(I)记〃(X)=X-四，试判断函数∕7(x)的极值点的情况；

ex

(H)若4(X)>g(x)有且仅有两个整数解，求〃的取值范围.

【解答】解：(∕)⅜(x)=x-=x--~~-,h∖x)=.

exeλe

令〃(X)=/+工-2在H上单调递增，

又〃(0)=—1,w(1)=e-l>0.

二・存在唯一X。∈(0,1),使得〃(%)=0,即"(%)=0.

x∈(-∞,X()),h,(x)<0,此时函数〃(%)单调递减.x∈Q⅛,+8),h∖x)>0,函数力(1)单调递增.

.∙.x=∙⅞为极小值点，无极大值点.

(II)4(x)>g(x)化为：a(x-)<1»BPah(x)<1.

ex

①当心0时，由不等式有整数解，

/.h(x)在％∈Z时,Λ(x)..l,

.∙."(x)Vl有无穷多整数解.

②当0<“<l时，h(x)<-,又L>l,"(O)=A(1)=1.

aa

Λ(2)..,

・∙.不等式有两个整数解为o,1.即0,解得：-4—„«<ɪ.

...12e2-l

/z/(—1)...—

a

③当0.1时，h(x∖,-,又L,,1,

aa

.∙.〃(x)在x∈Z时小于或等于1,二・不等式/(x)Vl无整数解.

综上可得：-4—„«<1.

2e-1

12.己知函数/(x)=a(x-1),g(x)=ex(bx-l),α∈R.

(1)当6=2时，函数y=f(x)-g(x)有两个零点，求”的取值范围；

(2)当匕=α时，不等式/(x)>g(x)有且仅有两个整数解，求。的取值范围.

【解答】解：(1)当6=2时,g(x)=eλ(2x-l),

由y=f(χ)-g⑴得」(X)=gM即"笔a

(x≠l),

令F(X)=虫在二2(x≠l),

X-I

则F(X)=eh(2x二3),

(X-D2

可得尸(X)在(-00,0)内递增，在(0,1)内递减，在(1,2)内递减，在(3,∙κ≈o)内递增,

22

则有AX)极大值=F(O)=1，F(X)极小值=F

函数y=/(x)-g(x)有两个零点，

3

则α∈(0,l)∣J(4e2,+oo)；

3

(也可用过点(0,1)作曲线g(x)的切线，可求得两切线的斜率分别是1和43,由直线/(X)与曲线g(x)的位

置可得)

Y—1

(2)当b=α时，由/(x)>g(x)得α(x--------)<1.

ex

Y一1px4-Y—2

令Λ(x)=x-----,贝UΛ,(x)=:——-.

e'ex

令O(X)=d'+x-2,贝U4(X)=e，+1>O,所以O(X)在R上单调递增，

又W0)=T<0,。(1)=e-l>O,所以Wx)在R上有唯•零点天(0,l),

此时∕ι(x)在(-∞,x0)上单调递减，在(%,+8)上单调递增.

Mx).=Λ(⅞)=W［#I，

易证e*>x+l,∕i(χ0)=x0''"~^x°+l>⅛ttl>0.

ex°ex°

当工,O时，ΛU).∙A(O)=1>O;当工.1时,∕ι(x)∙h(1)=1.

①若④0,则Hz(x),,0<1,此时HZ(X)Vl有无穷多个整数解，不合题意；

②若α..l,即L,1,因为〃(X)在(-8,0］上单调递减，在［1,+8)上单调递增，

a

所以x∈z时，h(x)..ιnin{h(O),h(1)}=L'，所以〃(X)VL无整数解，不合题意；

aa

③若OVaV1,即此时〃(0)=〃(1)=1<1，故0,1是人(X)VL的两个整数解，

aaa

1Ila

又∕z(x)<-只有两个整数解，因此〃(1)…一且〃(2)..L,解得上.「一.

aaa2/-1

2

所以4W[———，1).

2e2-i

13.已知基函数/(X)=ιwia的图象经过点A(2,2).

(1)2lηf(3)与3/W(2)的大小；

(2)定义在R上的函数g(x)满足g(-x)=g(x),g(4+x)=g(4-x),且当Λ∈[0,4]时：

'l-∕(x),x∈[0,l)

g(x)={∕"X.若关于X的不等式/(X)+"g(x)>O在[-200,200]上有且只有151个整数解,

——,x∈[l,4]

X

求实数〃的取值范围.

【解答】(1)由于函数/(x)为累函数，故帆=1,即/(x)=x",又函数过点4(2,2),

则2"=2,即α=l,故/(x)=x,此时

2lnf(3)=2妨3=加9,3lnf(2)=3ln2=ln8<ln9,故2∕τ√^(3)>3lnf(2).

(2)由于函数g(x)满足g(-x)=g(x),则g(x)为偶函数，又g(4+x)=g(4-x),则图象关于直线x=4对称，

由此可以得到g(x)=g(8-x),乂g(x)=g(-x),则有g(8-x)=g(-x),即g(8+x)=g(x),故函数g(x)的周

期为T=8,

[l-x,Λ∈lO,l)

然后由g(x)=欣，以及奇偶性和对称性和周期性做出示意图如右图，

—,x∈[l,4]

其中函数y=皿的单调性，用导数方法判断，限于篇幅，只给出结论，y=也在区间(0,e)单调递增，在

XX

区间(e,yo)单调递减，最大值为2，

e

由不等式屋(幻+〃g(x)>0可得g(x)∙(g(x)+〃)>0,

则得到笆?>°,或者[g")<°,结合图象舍去第二种情形.

Ig(X)>-〃Ig(X)<-〃

故只有卜⑶>°可能成立，

[g(x)>-n

①当〃<0时，-n>0.由上述不等式组可得g(x)>-”,即g(x)>-〃时在[-200,200]上有且只有151个整

数解，

结合图象可知，则在(0,200]上有且只有比”=75个整数解，则在区间(0,8]上有且只有3个整数解,

2

我们设想直线y=τ在区间(O,8］和g(x)相交，当满足条件一手且_〃<为时，g(x)>-〃整数解在区

间(0,8］上有x=3或者x=5或者x=8三个，满足题意，其中妃=㈣<也，

243

`J-SΛ/∕t2∕∏3∩∩∕τι3/M2⅜-M-t—Iʌ

这样有——,，一〃<—，即----<几,----,满足〃<0；

2332

②当机.0时，由题意g(x)>O在［-200,200］上有且只有151个整数解，我们结合图象可知，在一个周期(0,

8］内，满足g(x)>O的整数解有2、3、4、5、6、8,显然不满足题意，故舍去；

14.已知函数/(x)=e*(2x-l)-αr+α(awR),e为自然对数的底数.

(1)当α=l时,

①求函数/(x)在X=-L处的切线方程；

2

②求函数/(x)的单调区间；

(2)若有且只有唯一整数x0,满足/(x0)<0,求实数。的取值范围.

【解答】解：(1)当α=l时，/(x)=e](2x-l)-x+l,.∙.f'(x)=e*(2x+l)-I,

①”"(-J=T,又∙/(-^)=-2∕U∣.

1_131_1

函数f(x)⅛x=--处的切线方程为：y-(-2e2+-)=-1(%+—),即：y+x+2e2-1=0：

②r(x)=∕(2χ+l)-1,

由于/'(0)=0,当x∈(0,+oo)时,ex>1,2x+l>l,f,(x)>0；当xw(ro,0)时,OVeXV1,2x+l<l,

.∙.ΓU)<o,

.∙.函数f(x)在(fo,0)上单调递减，在(O,M)上单调递增;

(2)由f(x)<O得e*(2x-l)<a(x-l),

ail)；当χ<］时，^≤(2xl)

当X=I时，不等式显然不成立；当x>l时,z

X-IX-I

“ex(2x-l)ex(2x2-3x)exx(2x-3)

设g(χ)=--------—，/•g(%)=-ʌ~

x-1(x-l)2U-