2024届内蒙古北京师范大乌海附属学校数学九年级上册期末学业水平测试试题含解析

2024届内蒙古北京师范大乌海附属学校数学九上期末学业水平测试试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题3分,共30分）

1.在同一坐标系中，二次函数y=a√+人的图象与一次函数y="x+”的图象可能是（）

CD.ɪ

ιτr汴T

2.如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则球拍击球的高度h为（）

一"“"恨'

2----------1—_：

4m3Sw

A.1.6mB.1.5mC.2.4mEL1.2m

3.小马虎在计算16-gx时，不慎将"-"看成了计算的结果是17

那么正确的计算结果应该是（）

A.15B.13C.7E».-1

4.如图，矩形ABe。的对角线交于点O,已知AB=加,N84C==Na,则下列结论镣煲的是（）

wL^J

BC

A./BDC=/aB.BC=m∙tana

C.AO=----------D.BD=-----

2sine?COSa

5.如图，在锐角AABC中，ZA=60o,ZACB=45o,以BC为弦作。0,交AC于点D,OD与BC交于点E,若AB与。O

相切，则下列结论：

BEI-

①NBoD=90。；(2)DOIIAB；③CD=AD;④△BDE-△BCD；⑤——=√2

A.①②B.①④⑤C.①②④⑤D.①②③④⑤

2

6.二位同学在研究函数y=α(x+3)(x-±)(α为实数，且4≠())时，甲发现当时，函数图像的顶点在第四象限;

a

2

乙发现方程4(x+3)(x-4)+5=0必有两个不相等的实数根，贝!]()

a

A.甲、乙的结论都错误B.甲的结论正确，乙的结论错误

C.甲、乙的结论都正确D.甲的结论错误，乙的结论正确

2

7,若]χ2mτ+10x+m=0是关于X的一元二次方程，则m的值应为()

23

A.m="2"B.m=—C.m=-D.无法确定

32

8.在ΔABC中，NC=90°,若COSB=2贝!]sinA的值为()

2

A.√3B.也√3

C.D.

32

9.2020的相反数是()

]_1

C.-2020D.2020

,2020'2020

10.在平面直角坐标系Xoy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点.已知二次函数

y=a>c2+4x+c(a≠0)的图象上有且只有一个完美点]j,∣∙],且当0≤x≤m时，函数y=α∕+4χ+c-2(。≠0)的

<22)4

最小值为-3,最大值为1,则m的取值范围是()

797

A.-l<m≤OB.2≤m<—C.2≤m<4D.一<m,,一

242

二、填空题(每小题3分,共24分)

11.在一块边长为30Cm的正方形飞镖游戏板上，有一个半径为U)Cm的圆形阴影区域，则飞镖落在阴影区域内的概

率为.

12.如图，矩形ABCo中，4。=有,CO=3,连接AC,将线段ACAB分别绕点A顺时针旋转90°至AE、AF,

线段AE与弧交于点G,连接CG,则图中阴影部分面积为一.

13.从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下:

种子粒数IOO400800100020005000

发芽种子粒数8531865279316044005

发芽频率0.8500.7950.8150.7930.8020.801

根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为(精确到0∙D∙

4

14.如图，正方形ABCO与正方形ADEF的顶点B、E在反比例函数y=-(x>0)的图象上，点A、C、D在坐标

X

轴上，则点E的坐标是.

o

15.若点A(-2,a),B(1,b),C(4,c)都在反比例函数yɪ--的图象上，则a、b、C大小关系是.

X

16.某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米.如果每年屋顶绿化

面积的增长率相同，那么这个增长率是.

17.已知圆锥的底面半径为3,母线长为7,则圆锥的侧面积是.

18.已知二次函数y=-d+2x+l,若y随X增大而增大，则X的取值范围是—.

三、解答题(共66分)

19.(10分)如图，已知直线/切。。于点A,B为。。上一点，过点8作,垂足为点C,连接48、OB.

(1)求证：NABC=NABO;

(2)若A5=√IU,AC=I,求。。的半径.

20.(6分)如图，在aABC中，AB=AC,ZA=30o,AB=IO,以A5为直径的。。交5C于点。，交AC于点E,

连接。E,过点B作BP平行于OE,交。。于点尸，连接C尸、OP.

BDC

(1)求证：点。为3C的中点；

(2)求AP的长度；

(3)求证：CP是OO的切线.

21.(6分)如图，AABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD=AC,联结BD、

CD,BD交直线AC于点E.

(1)当NCAD=90。时，求线段AE的长.

(2)过点A作AH_LCD,垂足为点H,直线AH交BD于点F,

①当NCAD<120。时，设AE=x,y=^-(其中S/五表示ABCE的面积，SAEF表示AAEF的面积)，求y关于

ZAEF

X的函数关系式，并写出X的取值范围；

②当Bg=7时，请直接写出线段AE的长.

>YAEF

22.(8分)图①，图②都是8x8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.线段OM,ON的端点均在格点上.在

图①，图②给定的网格中以OM,ON为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上.要求：

(1)图①中所画的四边形是中心对称图形；

(2)图②中所画的四边形是轴对称图形；

(3)所画的两个四边形不全等.

23.(8分)已知：直线y=gx+2与y轴交于A,与X轴交于抛物线y=:χ2+⅛r+c与直线交于4、E两点，与X

轴交于8、C两点，且3点坐标为(1,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点尸是直线AE下方抛物线上一动点，求APAE面积的最大值；

(3)动点。在X轴上移动，当aQAE是直角三角形时，直接写出点。的坐标；

(4)若点M在y轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、E、M、F为顶点的平行四边形，若存在直接写出所有符

合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

24.(8分)某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元.为了扩大销售，减

少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多

售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利12(X)元，那么每件童装应降价多少元？

25.(10分)自贡是“盐之都，龙之乡，灯之城”，文化底蕴深厚.为弘扬乡土特色文化，某校就同学们对“自贡历史文化”

的了解程度进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图：

⑴本次共调查名学生，条形统计图中"?=；

⑵若该校共有学生1200名，则该校约有名学生不了解“自贡历史文化”；

⑶调查结果中，该校九年级(2)班学生中了解程度为“很了解”的同学进行测试，发现其中共有四名同学相当优秀，它

们是三名男生，一名女生，现准备从这四名同学中随机抽取两人去市里参加“自贡历史文化”知识竞赛，用树状图或列

表法，求恰好抽取一男生一女生的概率.

26.(10分)已知抛物线的解析式是y=Λj-(A+l)x+lk-i.

(D求证：此抛物线与X轴必有两个不同的交点；

(1)若抛物线与直线y=x+炉-1的一个交点在y轴上，求该二次函数的顶点坐标.

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)

1、C

【分析】根据二次函数、一次函数图像与系数的关系，对每个选项一一判断即可.

【详解】A.由一次函数图像可得：α>0,⅛>0;由二次函数图像可得：α>(),⅛<(),故A选项不可能.

B.由一次函数图像可得：a>0,*<0；由二次函数图像可得：a>0,⅛>0,故B选项不可能.

C.由一次函数图像可得：α<0,&>0；由二次函数图像可得：α<0,⅛>0,故C选项可能.

D.由一次函数图像可得：α>0,6>0；由二次函数图像可得：α<0,*0,故D选项不可能.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查一次函数、二次函数图像与系数的关系，根据一次函数、二次函数图像判断系数的正负是解题关键.

2、B

【解析】分析：本题是利用三角形相似的判定和性质来求数据.

解析：根据题意三角形相似，.∙.竽=」一,4∕z=0.8χ7∙5,∕z=l∙5.

h4+3.5

故选B.

3、A

【详解】试题分析：由错误的结果求出X的值，代入原式计算即可得到正确结果.

解：根据题意得：16+-x=17,

3

解得：x=3,

则原式=16-ɪx=16-1=15,

3

故选A

考点：解一元一次方程.

4,C

【分析】根据矩形的性质得出NABC=NDCB=90°,AC=BD,AO=CO,BO=DO,AB=DC,再解直角三角形

判定各项即可.

【详解】选项A,Y四边形ABCQ是矩形，

ΛZABC=ZDCB=90o,AC=BD,AO=CO,BO=DO,

：.AO=OB=CO=DO,

.".ZDBC=ZACB,

.∙.由三角形内角和定理得：NAlC=NBOC=Na,

选项A正确；

BC

选项在RtZ∖A8C中，tanα=—,

m

即BC=∕w∙tana,

选项B正确；

m/27

选项G在RtAABC中，AC=----,即AO=------------,

CoSa2cosa

选项C错误；

选项。，；四边形A8C。是矩形，

工DC=AB=m,

•；NBAC=NBDC=a,

.∙.在RtZ∖Z)C5中，BD=-------,

COSa

选项D正确.

故选C.

【点睛】

本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键.

5、C

【解析】根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，由圆周角NACB=45°得到圆心角NBOD=90°,进而得到Bo

的度数为90°,故选项①正确；

又因OD=OB,所以aBOD为等腰直角三角形，由NA和NACB的度数，利用三角形的内角和定理求出

NABC=I80°-60°-45°=75°,由AB与圆切线，根据切线的性质得到NoBA为直角，求出

NCBO=NOBA-NABC=90°-75°=15°,由根据NBOE为直角，求出NOEB=I80°-NBOD-NOBE=I80°-90°-15°=75°,

根据内错角相等，得到0D〃AB,故选项②正确；

由D不一定为AC中点，即CD不一定等于AD,而选项③不一定成立；

又由aOBD为等腰三角形，故NODB=45°,又NACB=45°,等量代换得到两个角相等，又NCBD为公共角，根据两对对

应角相等的两三角形相似得到^BDES∕∖BCD,故④正确；

连接0C,由相似三角形性质和平行线的性质，得比例器=器，由BD=夜0D,等量代换即可得到BE等=0DE,

故选项⑤正确.

综上，正确的结论有4个.

故选C.

点睛：此题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质以及等边三角形的性

质，熟练掌握性质与定理是解本题的关键.

6、D

【分析】先根据函数的解析式可得顶点的横坐标，结合()<a<l判断出横坐标可能取负值，从而判断甲不正确；再通

过方程的根的判别式判断其根的情况，从而判断乙的说法.

【详解】QWO,・,・原函数定为二次函数

2—3

甲：顶点横坐标为M+W〃、2-3α=l3

222aa2

O<a<l,.∙.l-∣>-i,所以甲不正确

a22

2

乙：原方程为a(x+3)(x--)÷5=0,化简得：ax2+(36f-2)x-l=0

a

A=(3α-2)2+4“=(3α-^)2+y>0

必有两个不相等的实数根，所以乙正确

故选：D.

【点睛】

本题考查二次函数图象的性质、顶点坐标、一元二次方程的根的判别式，对于一般形式ɑχ2+法+c=0(a≠0)有：(1)

当△=〃—4αc>0,方程有两个不相等的实数根；(2)当A=k一4αc=0,方程有两个相等的实数根；(3)当

Δ^b2-4ac<0,方程没有实数根.

7,C

3

【解析】试题分析：根据一元二次方程的定义进行解得2m-1=2,解得m=-.

2

故选C.

考点：一元二次方程的定义

8、C

【分析】根据特殊角的三角函数值求出NB,再求NA,即可求解.

【详解】在ΔABC中，NC=90°,若COSB=则NB=30。

2

故NA=60。，所以SinA=Y3

2

故选：C

【点睛】

本题考查的是三角函数，掌握特殊角的三角函数值是关键.

9、C

【分析】根据相反数的定义选择即可.

【详解】2020的相反数是-2020,

故选C.

【点睛】

本题考查相反数的定义，注意区别倒数，绝对值，负倒数等知识，掌握概念是关键.

10、C

【分析】根据完美点的概念令aχ2+4x+c=x,即aχ2+3x+c=（）,由题意方程有两个相等的实数根，求得4ac=9,再根据方

-3393

程的根为二=士，从而求得a=T,c=-二，所以函数y=aχ2+4x+c-±=-χ2+4χ-3,根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐

2a244

标的交点坐标，根据y的取值，即可确定X的取值范围.

【详解】解：令aχ2+4x+c=x,即aχ2+3x+c=0,

由题意，Δ=32-4ac=0,即4ac=9,

又方程的根为-子3=一3，

2a2

9

解得a=T,c=--,

4

..3

故函数y=ax2+4x+c—=-χ2+4χ-3,

4

如图，该函数图象顶点为（2,1）,与y轴交点为（0,-3）,由对称性，该函数图象也经过点（4,-3）.

由于函数图象在对称轴x=2左侧y随X的增大而增大，在对称轴右侧y随X的增大而减小，且当0Wx≤m时，函数

y=-χ2+4χ-3的最小值为-3,最大值为1,

Λ2≤m≤4,

故选：C.

【点睛】

本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，利用分类

讨论以及数形结合的数学思想得出是解题关键.

二、填空题（每小题3分,共24分）

π

11、—

9

【分析】分别计算半径为IoCm的圆的面积和边长为30cm的正方形ABCD的面积，然后计算*L即可求出飞镖落

3正方形

在圆内的概率；

【详解】解：(1)∙.∙半径为IOCm的圆的面积=π∙102=100πcι∏2,

边长为30Cm的正方形ABCD的面积=3()2=900cm2,

S'p闹1OOTTTCTr

.,.P(飞镖落在圆内)=^LL=-TTT-=-,故答案为：

3正方形"UU"9

【点睛】

本题考查了几何概率，掌握概率=相应的面积与总面积之比是解题的关键.

197>π-3^>

2

【分析】根据勾股定理得到AC=26、由三角函数的定义得到NBAC=30。、根据旋转的性质得到NC4E=90。、

求得NG4B=60。，然后根据图形的面积公式即可得到结论.

【详解】解：∙.∙四边形ABCD是矩形

.∙.NO=ZABC=90。

•：BC=AD=6AB=Co=3

；•AC=dAD2+CD?='阴:+3?=2√Ltan∕3AC=岑="

ΛZBAC=30°

•；线段AC分别绕点A顺时针旋转90°至AE

ZCAE=90°

：.ZGAB=ZCAE-ZBAC=90°-30°=60°

∙*∙S阴=Sλbc+S扇形8CG-Sλcc

1A"60∙Tt∙AB~1C"

-∙ABrl∙BriC+-------------------AG∙AC

23602

3æ-3√3

2

3兀-3丛

故答案是:

2

【点睛】

本题考查了矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数、直角三角形的面积、扇形的面积、将求不规则图形面积问题转化

为求规则图形面积相加减问题，解题的关键在于面积问题的转化.

13、1.2

【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在1∙2左右，从而得到结论.

【详解】；观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在L2左右，

.∙.该玉米种子发芽的概率为1.2,

故答案为L2.

【点睛】

考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比.

14、（√5+l,√5-l）

【分析】设点E的坐标为（α,勿，根据正方形的性质得出点B的坐标，再将点E、B的坐标代入反比例函数解析式求

解即可.

【详解】设点E的坐标为（α,b）,且由图可知α>^>0

则OD=a,DE=AD=b

AB=OA=OD—AD=a—b

・•・点B的坐标为（。一）,々一力

a

将点E、B的坐标代入反比例函数解析式得：

4

a-bt=------

a-b

ab=4

整理得:

a-b=2

Cl=∖[S+1Q—\—y/S

解得:L或L（不符合α>0/>0,舍去）

b=√5—1h=—1—√5

故点E的坐标为（逐+1,石一1）.

【点睛】

本题考查了反比例函数的定义与性质，利用正方形的性质求出点B的坐标是解题关键.

15、a>c>b

【分析】根据题意，分别求出a、b、C的值，然后进行判断，即可得到答案.

Q

【详解】解：Y点A、B、C都在反比例函数），=--的图象上，贝!|

X

Q

当为=—2时，则α=----=4；

-2

O

当X=I时，则〃=—2=-8；

1

O

当x=4时，则C=---=—2；

4

.,.a>c>b;

故答案为：a>c>h.

【点睛】

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此

题的关键.

16>20%

【解析】分析：本题需先设出这个增长率是X,再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出X的值，即可得出答案.

解答：解：设这个增长率是X,根据题意得：

2000×（l+x）2=2880

解得：xι=20%,X2=-220%（舍去）

故答案为20%.

17、21π.

【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇

形的面积公式计算.

【详解】解：圆锥的侧面积=Jx2πx3x7=21π.

故答案为2E.

【点睛】

本题考查圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母

线长.

18、

b

【解析】试题解析：二次函数）^=一/+2%+1的对称轴为：%=--=1.

y随X增大而增大时，X的取值范围是x≤ι.

故答案为x≤l.

三、解答题（共66分）

19、（1）详见解析；（2）。。的半径是巫.

2

【分析】（1）连接04,求出0A〃BC,根据平行线的性质和等腰三角形的性质得出N0A4=N0A8,ZOBA=ZABC,

即可得出答案；

（2）根据矩形的性质求出OO=AC=1,根据勾股定理求出8C,根据垂径定理求出8。再根据勾股定理求出08即

可.

【详解】（I）证明：连接。4,

VOB=OA9

：.ZOBA=ZOABf

YAC切。。于A,

：.OALAC9

BClAC9

ΛOA∕∕BC9

；・NOBA=NABC,

：.ZABC=ZABO;

(2)解：过。作OOj_3C于O,

ODl.BC9BCLAC9OA±AC9

：.ZODC=NDCA=NOAC=90。，

：.OD=AC=I9

在RtAAC5中，AB=√iθ,AC=I,由勾股定理得：BC=而了_f=3,

'：ODVBC,过0,

11C

ΛBD=DC=-BC=-×3=1.5,

22

22

在RtAODB中，由勾股定理得：OB=^l+(1.5)=ɪ.

即。。的半径是巫.

2

【点睛】

此题主要考查切线的性质及判定，解题的关键熟知等腰三角形的性质、垂径定理及切线的性质.

20、(1)BD=DG(2)1√2；(3)详见解析.

【分析】(1)连接AD,由圆周角定理可知NADB=90。，证得结论；

(2)根据等腰三角形的性质得到AD平分NBAC,即NBAD=NCAD,可得Bo=DE,则BD=DE,所以BD=DE=DC,

得到NDEC=NDCE,在等腰4ABC中可计算出NABC=71。，故NDEC=71。，再由三角形内角和定理得出NEDC的度

数，再根据BP〃DE可知NPBC=NEDC=30。，进而得出NABP的度数，然后利用OB=OP,可知NoBP=NOPB,由

三角形内角和定理即可得出NBOP=90。，则AAOP是等腰直角三角形，易得AP的长度；

(3)设OP交AC于点G,由NBOP=90。可知NAoG=90。，在RtZiAOG中，由NOAG=30。可得9—=!，由于"

AG2AC

=—则QN=Q9,根据三角形相似的判定可得到AAOGs^CPG,由相似三角形形的性质可知

AB2ACAG

NGPC=NAoG=90。，然后根据切线的判定定理即可得到CP是。O的切线.

【详解】(1)BD=DC.理由如下：

如图1,连接AD,

VAB是直径，

ΛZADB=90o,

ΛAD±BC.

(2)如图1,连接AP.

YAD是等腰4ABC底边上的中线，

.∙.ZBAD=ZCAD,

∙∙∙BD=DE

ΛBD=DE.

ΛBD=DE=DC,

ΛZDEC=ZDCE,

△ABC中，AB=AC,ZA=30o,

ΛZDCE=ZABC=ɪ(180o-30o)=71o,

2

ΛZDEC=71o,

ΛZEDC=180o-71o-71o=30o,

VBP∕7DE,

・•・NPBC=NEDC=30。，

ΛZABP=ZABC-ZPBC=71o-30o=41o,

VOB=OP,

.*.ZOBP=ZOPB=41o,

/.ZBOP=90o.

・•・ZkAOP是等腰直角三角形.

VAO=ɪAB=I.

2

ΛAP=√2AO=1√2;

(3)设OP交AC于点G,如图L

则ZAOG=ZBOP=90o,

在RtAAOG中，NOAG=30。，

OG_1

•φ.—,

AG2

OP=OP=1

,ACAB2,

.OP_OG

"AC^AG*

•OG_GP

"AG^GC'

又YNAGO=NCGP,

.∙.∆AOG^>∆CPG,

ΛZGPC=ZAOG=90o,

.∙.OP±PC,

.∙.CP是。O的切线.

图1

【点睛】

本题考查了圆的综合题；掌握切线的性质，运用切线的判定定理证明圆的切线；运用圆周角定理和相似三角形的判定

与性质解决圆中角度与线段的计算；同时记住等腰直角三角形的性质以及含30度的直角三角形三边的关系是关键.

21、(1)4-2√3(2)ʃ=-~t(0<χ<2)i(3)AE=Q或AE=I

Xɔ

【分析】(1)过点E作EG，BC,垂足为点G.AE=x,则EC=2-x.根据6G=EG构建方程求出X即可解决

问题.

SBE1

(2)①证明乙业户SAB£C,可得*L=F，由此构建关系式即可解决问题.

SISAEFAE

②分两种情形：当NC4Q<120。时，当120°<NC40<180°时，分别求解即可解决问题.

【详解】解：(1)ΔABC是等边三角形，

..AB=BC-AC=I,ABAC=ZABC=ZACB=60°.

AD^AC,

.∙.AD=AB>

.∙.ZABD=ZADB,

ZABD+ZADB+ABAC+ZCAD=180o,NCAD=90°,ZAB£>=15°,

.∙.ZEBC=45o.

过点E作EG∙L3C,垂足为点G.

D

¾AE=x,则EC=2-x.

在RtACGE中，NAC6=60°,

/ɔI

EG=EC-sinZACB=—(2-x)>CG=EC-cosZACB=1——x,

22

.∙.BG=2-CG=1+L,

2

在RtABGE中，ZEBC=45°,

・I1Br、

••1+—X=——(2—x),

22

解得x=4—2√5∙

所以线段AE的长是4-2百.

(2)①设ZABo=α,贝!∣NB∩4=α,NzMC=ZBAD-Zβ4C=120°—2«.

AT>=AC,AHLCD,

：.ΛCAF=ɪZDAC=60o-a,

2

又NAEf'=60°+α,

ZAFE=Oio,

.∙.ZAFE^ZACB,

又ZAEF=/BEC,

：.ΔAEFsMEC,

・UqABCE_QRFL?

SgEFAE?

1、/ξ

由(1)得在RtΔCGE中，BG=I+—x,EG=—(2-Λ),

22

・•.BE2=BG2+EG2=X2-2X+4,

・x2-2x+4

∙∙y=-------∑------（O<X<2）.

%

②当NC4D<120。时,

图2・1

x2-2,x+4

则有

y=797=ɔ

X

整理得3χ2+χ-2=0,

2

解得x=§或一1（舍弃），

AE=-.

3

x~+2γ+4

当120°vNC4D<180。时，同法可得y二十Nr十」

当y=7时，7=∙+2j+4,

X

整理得3X2—%—2=0，

2

解得x=-§（舍弃）或1,

,∖AE=i.

2

综上所述：当NCAD<120。时，AE=-t当120。CNCAD<180。时，AE=I.

3

【点睛】

本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是

学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

22、(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析

【分析】(1)设小正方形的边长为1,由勾股定理可知MO=5,由图No=5,结合题中要求可以OM,ON为邻边

画一个菱形；

(2)符合题意的有菱形、筝形等是轴对称图形；

(3)图①和图②的两个四边形不能是完全相同的.

【详解】解：(1)如图即为所求

图①

(2)如图即为所求

图②

【点睛】

本题考查了轴对称与中心对称图形，属于开放题，熟练掌握轴对称与中心对称图形的含义是解题的关键.

1527(17ʌ

23、(1)y=—X2—x+2；(2)—；(3)(Lo)或∣7,OJ；(4)存在，(0,38)

2222J

【分析】(1)求出点A坐标后再利用待定系数法求解；

(2)先联立直线与抛物线的解析式求出点E坐标，然后过点P作y轴的平行线交抛物线于点N,如图，设点P的横

坐标为m,则PN的长可与含m的代数式表示，而aPAE的面积=aNP（Λ⅛-X.）=3NP,于是求APAE面积的最大

值转化为求PN的最大值，再利用二次函数的性质求解即可；

（3）先求出AE的长，再设出产点的坐标，然后分三种情况利用勾股定理得到有关P点的横坐标的方程，解方程即可;

（4）分两种情况讨论：若4E为对角线，则由于过点E与y轴平行的直线与抛物线再无交点，故此种情况

不存在；若AE为边,根据平行四边形的性质可设M（0,〃），则尸（6,〃+3）或（-6,〃-3）,然后代入抛物线的解

析式求解即可.

【详解】解：（1）Y直线y=gx+2与y轴交于A,

.∙.A点的坐标为（0,2）,又TB点坐标为（1,0）,

c-2c-2

解得：\,5

1,C

-+b+c=0b=——

12I2

15C

Jy=-X2—X+2；

22

11,5

(2)根据题意得：-x+2=-x—x÷2,解得：X=O或尤=6,

222B

/.A(0,2),E(6,5),

过点P作y轴的平行线交抛物线于点N,如图，

1ɔ51

设P(m,—m——m÷2)贝!|N(m,—m+2)

222

2

贝UPN=(Lm+2)—(ɪm-—m+2)=-Lιτι2+3m(0<m<6),

2222

NPE=~NP(¾-∙ɪ)=3NP,

OPAE-ONPA十°Λ

3/、227

∙*∙SPAE=—~M~+9∕n=——I∕π-3)+—,

2v)2

(3)VA(0,2),E(6,5),ΛAE=3√5>

设Q(X,0),则A。=/+%Eζβ=(x-6)2+25,

①若。为直角顶点，贝UAQ2+EQ2=AE2,

即x2+4+(x-6)2+25=45,此时方程无解，故此时不存在X的值；

②若点A为直角顶点，贝!|AO+AE2=E02,

即x2+4+45=(x-6产+25,解得：X=1,即。(1,0)；

③若E为直角顶点，贝I」A02=AE2+EQ2,

1717

即X2+4=45+(X-