中考复习-正方形的判定与性质【十大题型】

专题1.3正方形的判定与性质【十大题型】

【北师大版】

＞题型梳理

【题型1利用正方形的性质求角度】............................................................1

【题型2利用正方形的性质求线段长】...........................................................2

【题型3利用正方形的性质求面积】............................................................4

【题型4利用正方形的性质求坐标】............................................................5

【题型5利用正方形的性质证明】..............................................................6

【题型6添加条件使四边形是正方形】...........................................................8

【题型7证明四边形是正方形】................................................................9

【题型8利用正方形的性质与判定求角度】......................................................10

【题型9利用正方形的性质与判定求线段长】...................................................12

【题型10利用正方形的性质与判定求面积1.................................................................................13

►举一反三

【知识点1正方形的性质】

定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

性质：①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每

条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.④两条对角线将正

方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴.

【题型1利用正方形的性质求角度】

【例1】（2023春•陕西宝鸡・八年级统考期末）如图，在正方形2BCD中，对角线4C、8。相交于点。.E、F

分别为力C、8。上一点，5.0E=OF,连接4尸，BE,EF.若N4FE=25°,则NCBE的度数为（）

-------------------------，D

7>

A.50°B.55°C.65°D.70°

【变式1-1］（2023春・江苏•八年级期末）如图，在正方形4BCD中，CE1MN,^MCE=35°,则N4VM等于

)

A.45°B.55°C.65°D.75°

【变式1-2]（2023春•上海虹口•八年级上外附中校考期末）如图，正方形A8CD中，CE\\BD,BE=BD,则

【变式1-3]（2023春・广西南宁•八年级南宁三中校考期末）如图，正方形4BCD的对角线相交于点。，边长

为4,等腰直角三角形E。尸绕点。转动，当E、A、。三点共线时，OE与力B的交点G恰好是。E的中点，则

线段EF的长为（）

A.12B.4V5C.8D.2V10

【题型2利用正方形的性质求线段长】

【例2】（2023春・广东广州•八年级统考期末）如图，正方形4BCD的边长为2vL尸为对角线BD上动点，过

尸作PE1BC于£,PF1CD于尸，连接EF,贝UEF的最小值为（）

AD

A.2B.4C.V2D.1

【变式2-1］（2023春・山东泰安•八年级统考期末）如图，在正方形A8C。中，AB=6,M是AQ边上的一点,

AM-.MD=1:2.将ABM4沿对折至A8MN,连接ON,则。N的长是

【变式2-2］（2023春・山东济宁•八年级统考期中）如图，正方形48CD的边长为8,点E是CD的中点，HG垂

直平分力E且分别交AE、BC于点H、G,求BG的长.

【变式2-3］（2023春・广东东莞•八年级校考期中）如图，已知正方形ABCQ的边长为4,E是边延长线

上一点，BE=2,尸是A8边上一点，将沿CF翻折，使点£的对应点G落在A。边上，连接EG交折

痕CF于点H,则FH的长是（）

ABE

4

A.C.1D.

33

【题型3利用正方形的性质求面积】

【例3】（2023春・广东潮州•八年级统考期末）如图，正方形4BCD的边长为24，N为AD上一点,连接BN,

4M1BN于点M,连接CM,且CM=CB,若力M=2,则ABCM的面积为（）

A.8B.6C.4D.2V5

【变式3-1］（2023春・重庆永川•八年级统考期末）如图，点E是正方形ABCD内一点，且ZE=1,BE=V5,

若4AED=135°,则正方形4BCD的面积是.

【变式3-2］（2023春・山东临沂・八年级统考期中）将〃个边长都为2cm的正方形按如图所示的方法摆放，点

A2,43…分别是正方形对角线的交点，则〃个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为.

【变式3-3］（2023春•山东日照•八年级校考期中）如图（1）,已知小正方形4BCD的面积为1,把它的各边

延长一倍得到新正方形为B1GA,把正方形4/iQDi边长按原法延长一倍后得到正方形4282c2Q，如图

（2）；以此下去…，则正方形4c4%的面积为（）

C2

A.25B.125C.625D.3125

【题型4利用正方形的性质求坐标】

【例4】（2023春・湖北黄冈・八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形4BCD的顶点A的坐标为

（0,2）,顶点B在x轴上，对角线AC、BD相交于点M,若OM=30,则点C的坐标为.

【变式4-1］（2023春・浙江•八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A

的坐标是（4,0）,点P为边AB上一点，ZCPB=60°,沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点8'处,

则B'点的坐标为（）

C.(2,4-2V3)D.(|,4-2V3)

【变式4-2］（2023春・江苏泰州•八年级统考期中）如图，正方形40BC边长为6,对角线4B、OC相交于点0,%

轴上有一点E（2,0）,动直线I绕着点D旋转，与x轴相交于点P,且满足NDEA-Z.PDA=45°,点P坐标为

【变式4-3］（2023春•河北石家庄•八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，直线y=科久+1与x轴、y

轴分别交于A、8两点，以为边在第二象限内作正方形48CZ）,点C的坐标是—.在y轴上有一个动

点、M,当的周长最小的时候，点M的坐标是.

【题型5利用正方形的性质证明】

【例5】（2023春・北京西城•八年级校考期中）如图，在正方形力BCD中，E是边力B上的一动点（不与点2、B重

合），连接。E,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EH1DE交

DG的延长线于点H,连接BH.

（1）求证：GF=GC；

（2）用等式表示线段与AE的数量关系，并证明.

【变式5-1］（2023春•天津•八年级校联考期中）如图，点E在正方形48CD的边4B上，点尸在边的延长线

上，且4E=CF.求证:

(1)D£=DF；

Q”EDF=90°.

【变式5-2](2023春・广西贺州•八年级统考期末)如图1,正方形2BCD中，点E是BC延长线上一点，连接

DE,过点8作BFIDE于点E交CD于点G.

⑴求证:CG=CE；

(2)如图2,连接FC、AC,若BF平分NDBE,求证：CF平分乙4CE.

图2

【变式5-3](2023春・北京延庆•八年级统考期末)如图，4C是正方形力BCD的对角线，点E为射线上一个

动点，连接CE,以点E为圆心，CE为半径画弧，与直线C4交于点尸，连接EF.若乙BCE=a，且0。<a<45°.

(1)如图1,当点E在边4B上时，求N4EF的度数(用含a的式子表示)；

（2）如图2,当点E在边4B的延长线上时,

①请你依题意补全图形；

②用等式表示线段之间的数量关系，并证明.

【知识点1正方形的判定】

①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等;

②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角.

③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定.

【题型6添加条件使四边形是正方形】

【例6】（2023春•辽宁沈阳•八年级统考期末）如图，47和即是菱形4BCD的对角线，若再补充一个条件能

使其成为正方形，下列条件：①AC=BD；②AC1BD；③4=吕。？；④乙4。。=24。酊其中符

合要求的是（）

C.②③D.②④

【变式6-1］（2023春.福建泉州.八年级统考期末）如图,已知团4BCD的对角线交于点0,下列结论中不一定

正确的是（）

A.当48=2。时，它是菱形

B.当4C=BD时，它是矩形

C.当时，它是菱形

D.当N4BC=90。时，它是正方形

【变式6-2］（2023春•湖北宜昌•八年级统考期末）如图,在平行四边形ABCD中，F是对角线的交点，E是

边BC的中点，连接EF.

（1）求证：2EF=CD；

（2）当EF与BC满足时，四边形ABCD是矩形;

(3)当EF与BC满足时，四边形ABCD是菱形，并证明你的结论;

(4)当EF与BC满足时，四边形ABCD是正方形.

【变式6-3](2023春•黑龙江双鸭山•八年级统考期末)如图，在RdABC中，ZACB=90°,过点C的直线

MN||AB,。为AB边上一点，过点。作。垂足为F交直线MN于E,连接CD,BE.

(1)求证：CE=AD：

(2)当。为A8中点时，证明：四边形2EC。是菱形.

(3)在满足(2)的条件下，当△ABC满足条件时，四边形8EC。是正方形.

【题型7证明四边形是正方形】

【例7】(2023春・广东广州•八年级统考期末)宽与长的比是写的矩形叫做黄金矩形.如图，已知矩形纸片

ABCD是黄金矩形，宽ZB=2,折叠纸片，使点A落在BC上的点E处，得到折痕BF；再次折叠纸片，使点

C落在EF上的点G处，得到折痕EH.

(1)求证：四边形尸是正方形；

(2)四边形GHDF是黄金矩形吗？请说明理由.

【变式7-1](2023春・江西宜春•八年级统考期末)如图，在回ABCD中，AC,BD相交于点。，点E、尸在4C上,

AE=CF.

D

(1)求证：四边形EBFD是平行四边形;

(2)若NB4C=乙0",DO=E0,求证：四边形EBF。是正方形.

【变式7-2](2023春・湖南邵阳•八年级统考期末)如图，在国力BCD中，E,M分别为40,I弓的中点,DB1AD,

延长ME交CD的延长线于点N,连接AN.

(2)若=45。，判断四边形4MDN的形状，并说明理由.

【变式7-3](2023春•陕西渭南•八年级统考期末)如图，P是矩形4BCD内一点，AP1BP于点P,CE1BP于

点E,BP=EC.

(1)求证：四边形4BCD是正方形；

⑵延长EC到点F,使CF=BE,连接PF交BC的延长线于点G.

①请求出4P与CF的数量与位置关系；

②求NBGP的度数.

【题型8利用正方形的性质与判定求角度】

【例8】(2023春・山东临沂・八年级统考期中)己知：8。是△ABC的角平分线，点E在AB边上，BE=BC,

过点E作EF||AC,交BD于点F,连接CF,DE.

c

（1）如图1,求证：四边形CDE尸是菱形：

（2）如图2,当NDEF=90。，4C=BC时，求NA的度数，并在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中

所有与乙4相等的角.

【变式8-1]（2023春・湖北武汉•八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，NDAC=65。，点E是CD上一

点，BE交AC于点F,将ABCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点。处，则/AFC=.

DEC

ACB

【变式8-2]（2023春•河北保定•八年级统考期末）《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（蠕,

同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三

斜两只，共十三只（图①中的“棣’和"宴为"样”和“只”）.图②为某蝶几设计图，其中A/IBD和ACBD为“大

三斜”组件（“一梯二集”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），己知某人位于点P处，点P与点2关

于直线DQ对称，连接CP、DP.若乙4DQ=24。，则NDCP=度.

经

拣

港

<加

《*.!

4回

-

图1图2

【变式8-3]（2023春・广东广州•八年级期中）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE,

过点E作EFLDE,交射线BC于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.

备用图

（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；

⑵若AB=242,CE=2,求CG的长；

（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40。时，直接写出/EFC的度数.

【题型9利用正方形的性质与判定求线段长】

【例9】（2023春・河南南阳•八年级统考期末）如图，在矩形48CD中，AB=8,AD=6,E为AB边上一点,

将ABEC沿CE翻折，点B落在点尸处.当AAEF为直角三角形时，AE=.

【变式9-11（2023春・浙江宁波•八年级校考期中）如图，四边形42。£＞的对角线4。,2。相交于点O,AC±BD,

E,尸分别是AB,CD的中点，若4。=2。=2,则跖的长是（）

A.2B.V3C.yD.V2

【变式9-2］（2023春・全国•八年级期中）如图，在四边形A2C£）中，AB=BC,NABC=NCZM=90。，BE±AD

于点E,且四边形ABC。的面积为121,则.

【变式9-3］（2023春・浙江杭州•八年级期中）如图，在△力BC中，4B=AC,点。是BC中点，将AABD绕点

4逆时针旋转90。得到AAEF,点B,。分别与点E,F对应，连结CF,此时四边形4BCF为平行四边形.

A

(1)若ZB=5,求力尸的长.

(2)求NCEF的度数.

【题型10利用正方形的性质与判定求面积】

【例10】(2023春•上海静安・八年级统考期末)已知：如图，梯形4BCD中，ADWBC,LB=心E、F、G、

H分别是AB、BC、CD、ZM的中点，连接EF、FG、GH、HE.

(1)求证：四边形EFGH是菱形；

(2)如果力。=3,BC=5,且EF1FG,求四边形EFGH的面积.

【变式10-1】(2023春•浙江台州•八年级统考期末)如图所示为“赵爽弦图”，其中AABE、4CBF、ACDG、

△4。”是四个全等的直角三角形，且两条直角边之比为1：2,连接BG、DE,分别交4E、CG于点M、N,

则四边形G8ED和四边形GMEN的面积比为()

AD

BC

A.5：2B.2：1C.V2:lD.V3:1

【变式10-2](2023春•广东汕头•八年级校考期中)已知，如图，矩形4BCD中，AD=5,DC=6,菱形EFGH

的三个顶点E,G,H分别在矩形4BCD的边力B,CD,ZM上，AH=2,连接CF.

DGC

(1)若DG=2,求证四边形EFG”为正方形；

(2)若DG=4,求AFCG的面积；

(3)当DG为何值时，AFCG的面积最小.

【变式10-3】(2023春•八年级课时练习)如图，AB=4C,2。=力E,Z.BAC=^DAE=90°,且点。在A4BC

内部，连接BD,CE,BD的延长交线段CE于点F.

⑴求证：△ABD三AACE；

⑵判断BF与CF的位置关系并证明;

(3)连接4F,若4尸二鱼，求四边形4。尸E的面积.

专题1.3正方形的判定与性质【十大题型】

【北师大版】

►题型梳理

【题型1利用正方形的性质求角度】............................................................15

【题型2利用正方形的性质求线段长】..........................................................20

【题型3利用正方形的性质求面积】............................................................25

【题型4利用正方形的性质求坐标】............................................................29

【题型5利用正方形的性质证明】..............................................................36

【题型6添加条件使四边形是正方形】..........................................................44

【题型7证明四边形是正方形】................................................................48

【题型8利用正方形的性质与判定求角度】......................................................53

【题型9利用正方形的性质与判定求线段长】....................................................60

【题型10利用正方形的性质与判定求面积1...................................................................................13

〉举一反三

【知识点1正方形的性质】

定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

性质：①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每

条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.④两条对角线将正

方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴.

【题型1利用正方形的性质求角度】

【例1】(2023春・陕西宝鸡•八年级统考期末)如图，在正方形4BCD中，对角线AC、BD相交于点。E、F

分别为力C、BD上一点，且。E=OF,连接AF,BE,EF.若N/1FE=25°,贝U/CBE的度数为()

A.50°B.55°C.65°D.70°

【答案】C

【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三

角形的判定与性质解答即可.

【详解】解：,・•四边形是正方形，

C.Z.AOB=AAOD=90°,OA=OB=OD=OC,

•：OE=OF,

•••△OEF为等腰直角三角形，

：2OEF=Z.OFE=45°,

9：Z.AFE=25°,

：.^AFO=^AFE+4OFE=70°,

：.Z.FAO=20°.

在△ZOF和△BOE中，

OA=OB

/LAOF=乙BOE=90°,

OF=OE

.,.△X(?F=ABOE(SAS).

：.^FAO=Z.EBO=20°,

•；OB=OC,

•••△OBC是等腰直角三角形，

J.^OBC=乙OCB=45°,

"CBE=乙EBO+(OBC=65°.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形

的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键.

【变式1-1](2023春・江苏•八年级期末)如图，在正方形/BCO中，CE工MNjMCE=35。,则乙4NM等于

()

A.45°B.55°C.65°D.75°

【答案】B

【分析】作NF1BC于凡证明RtABEC三Rt△FMN,得到NMNF=乙MCE=35。,利用N4VM=90°-乙MNF

进行求解即可.

【详解】解：作NF1BC于R

又四边形4BCD是正方形，

：.Z.A=Z.B=4NFM=90°,AB=CD,

.••四边形4BFN是矩形，

：.FN=BC=AB.

在RtABEC和RtAFMN中，CE=MN,BC=FN,

：.Rt△BEC=RtAFMN(HL),

:.乙MNF=NMCE=35°,

:.乙ANM=90°-乙MNF=55°.

故选：B.

【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质.解题的关键是添加辅助线,

构造全等三角形.

【变式1-2](2023春・上海虹口•八年级上外附中校考期末)如图,正方形ABCD中，CEWBD,BE=BD,则

乙CDE=—.

A,--------------------

【答案】30。

【分析】JEABCE逆时针旋转90。得到△BAG,则484G=乙BCE,BG=BE,乙GBE=90°,先证出C、A、G

三点共线，得出NB4G=135°,乙BAG=ND4G,由SAS证明△BAGDAG,得出BG=DG,证出BG=DG=

BE,即△BOG是等边三角形，得出/G8D=60。，Z-DBE=30°,再由三角形的内角和定理求出即可.

【详解】解：把ABCE逆时针旋转90。得到△84G,连接DG、AC.AG；如图所示：

•・•四边形是正方形，

:•乙BCD=90°,乙BAC=Z.DAC=乙BDC=45°,AB=AD,

CE\\BDf

：2DCE=乙BDC=45°,

:•乙BCE=90°+45°=135°,

A/-BAG=135°,

：.Z.BAG=135°,

：.z.BAG+Z-BAC=135°+45°=180°,

・••点C、A、G三点共线，

DAG=180°-45°=135°,

Z-BAG=Z.DAGf

AB=AD

在aBAG和△D/G中，\/_BAG=Z.DAG,

、AG=AG

△BAG=ADAG(SAS)f

：.BG=DG,

•:BD=BE,

：.BG=DG=BE,

即aBDG是等边三角形，

：.Z.GBD=60°,

...NDBE=90°-60°=30°,

：.4BDE=乙BED=|（180°-30°）=75°,

:.乙CDE=乙BDE-乙BDC=30°.

故答案为：30°.

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、等边三角形的判定与性质、三角

形的外角性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.

【变式1-3]（2023春・广西南宁•八年级南宁三中校考期末）如图，正方形4BCD的对角线相交于点。，边长

为4,等腰直角三角形EOF绕点O转动，当E、A、。三点共线时，OE与力B的交点G恰好是。E的中点，则

线段EF的长为（）

A.12B.4V5C.8D.2V10

【答案】D

【分析】作。H14。于点H,连接GH,根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质可得OH=AH=2,根据

直角三角形斜边中线点性质及等腰三角形“三线合一”的性质可得=4,根据勾股定理求出。E,再根据等

腰直角三角形的性质解答即可.

【详解】解：••,四边形A8CD是正方形，

Z./.BAD=90°,4。=DO,Z.AOD=90°,

作。于点H,贝！=DH,。，||4G,

1

：.OH=-AD=AH=2.

2

连接G”，・・,点G是。E的中点，

1

：.GH=EG=-0E

2f

VGA1DE,

：.AE=AH=2.

：.EH=4,

则在直角三角形EOH中，根据勾股定理可得。E=y/EH2+OH2=V42+22=2V5,

•.•三角形EOF是等腰直角三角形，

：.EF=y/OE2+OF2=y[2OE=2V10；

故选：D.

【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质以及勾股定理等知

识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键.

【题型2利用正方形的性质求线段长】

【例2】（2023春・广东广州•八年级统考期末）如图，正方形48CD的边长为2或，尸为对角线上动点，过

尸作PE1BC于E,PF1CD于凡连接EF,则EF的最小值为（）

A.2B.4C.V2D.1

【答案】A

【分析】连接AC,PC,再根据已知条件可得四边形PECF是矩形，从而可得当点P是正方形对角线4C和BD的

交点时，此时PC最小，进而可得EF的最小值.

【详解】解：连接AC,PC,

VPEIBC,PF1CD,DC1BC,

.•・四边形PECF是矩形，

•••EF=PC,

"：AP+PC>AC,

当点P是正方形对角线AC和BD的交点时，PC最小，

,•・四边形4BCD是正方形，边长为2夜，

：.AC=>JAB2+BC2=4,

11

PC^-2AC=2-x4=2,

EF的最小值为PC的最小值为2,

故选：A.

【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形三边的关系、勾股定理、矩形的判定与性质，解决本题的关键是

能够明确四边形PECF是矩形.

【变式2-1］（2023春•山东泰安•八年级统考期末）如图，在正方形ABC。中，AB=6,M是边上的一点，

AM-.MD=1:2.将力沿对折至ABMN,连接。N,则。N的长是.

【答案】詈

【分析】连接AN交8M于点。，过N作N”14。于点H,根据折叠得到BM垂直平分4N,设MH=x,根据勾

股定理列式求解即可得到答案；

【详解】解：连接AN交BM于点。过N作NH1AD于点“，设MH=x,

,?将△BM4沿BM对折至ABMN,

垂直平分4N,

"：AB=6,AM:MD=1:2,

：.AM=2,MD=4,

：.BM=762+22=2V10,

•.双=筌=流,西AN=^

在Rt△4N”与Rt△MNH中,

(|V10)2-(2+%)2=22-x2,

解得：x=:

/.DH=4-|=y,NH=22-(^)2=|,

♦•・DN=J,)2+(软=2,

故答案为：V5;

【点睛】本题考查勾股定理，正方形的性质，折叠的性质，解题的关键是根据折叠得到相等，作出相应辅助

线利用勾股定理列式.

【变式2-2］（2023春・山东济宁•八年级统考期中）如图，正方形48CD的边长为8,点E是CD的中点，HG垂

直平分力E且分别交AE、BC于点H、G,求BG的长.

【答案】1

【分析】连接4G,EG,根据线段垂直平分线性质可得力G=EG,根据正方形的性质可得NB=NC=90%AB=

BC=CD=8,根据点E是CD的中点求得CE=4,设BG=X,贝UCG=8-X,根据勾股定理即可求得BG的

值.

【详解】解：连接4G,EG,如图：

垂直平分4E

：.AG=EG,

•.,正方形2BCD的边长为8,

:.乙B=ZC=90°,AB=BC=CD=8,

•.,点E是CD的中点，

/.CE=4,

设BG=x,则CG=8—x,

由勾股定理，得

EG2=CG2+CE2=(87)2+42,

AG2=AB2+BG2=82+x2,

：.(8-x)2+42=82+%2

解得：x—1,

故BG=1.

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，正方形的性质，勾股定理等，熟练掌握正方形的性质、线段垂

直平分线的性质、勾股定理是解题的关键.

【变式2-3］（2023春・广东东莞•八年级校考期中）如图，已知正方形ABC。的边长为4,E是A8边延长线

上一点，BE=2,尸是AB边上一点，将沿B翻折，使点E的对应点G落在AO边上，连接EG交折

痕CP于点以，则W的长是（）

A.B.—C.1D.-

333

【答案】B

【分析】由翻折得CG=CE,GF=EF,CF垂直平分EG,可根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△

CDG三Rt△CBE,得DG=BE=2,贝MG=2,贝！ME=AB+BE=6,即可根据勾股定理求出EG=2V10,

再由"2+.2=FG2,5.AF=6-E尸得22+（6-EF}2=EF2,贝耐=争由gx2V1UFH=|xgx2=

S4EFG,求得FH=手，即可得出答案.

【详解】解：：四边形2BCD是边长为4的正方形，

：.AB=AD=CD=CB=4,ND=N4=N4BC,

Z_D=NCBE=90",

由翻折得CG=CE,GF=EF,CF垂直平分EG,

^.Rt^CDG^QRtLCBE^,

(CG=CE

LCD=CB'

：.RtACDG三Rt△CBEQJL),

：.DG=BE=2,

：.AG=AO-DG=4—2=2,

'：AE=AB+BE=4+2=6,

：.EG=<AG2+AE2=V22+62=2V10,

"：AG2+AF2=FG2,且AF=6-EF,

：.22+(6-EF}2=EF2,

解得EF=y,

•：IEG-FH^^EF-AG^SAEFG

.-.lx2V10F//=ix^x2,

解得F"=手，

故选：B.

【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据面积等式求线

段的长度等知识和方法，正确求出EG和EF的长度是解题的关键.

【题型3利用正方形的性质求面积】

【例3】（2023春・广东潮州•八年级统考期末）如图，正方形4BCD的边长为2曲，N为AD上一点,连接BN,

4M1BN于点M,连接CM,且CM=CB,若力M=2,则ABCM的面积为（）

A.8B.6C.4D.2V5

【答案】A

【分析】过点C作CE利用勾股定理求出BM,再在RtABCE中利用勾股定理求出CE,即可计算面积.

【详解】解：如图，过点C作CE1BM,

•••CM=CB,

•••AM1BN,AB=2V5,AM=2,

BM=y/AB2-AM2=J（2V5）2-22=4,

BE=EM=-BM=2,

2

在Rt△BCE中，

CE=y/BC2-BM2=J（2V5）2-22=4,

S.BCM=TBM，CE=[X4X4=8,

故选：A.

【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键.

【变式3-1]（2023春•重庆永川•八年级统考期末）如图，点£是正方形力BCD内一点，且4E=1,BE=亚,

若乙4ED=135°,则正方形ABCD的面积是.

【答案】4+V6

【分析】把A/IDE绕点B顺时针旋转90。得到AaBE，，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状可

得E'8=DE,AE=AE'=1,^AED=^AE'B=135°,然后求出△力EE'是等腰直角三角形，根据等腰直角

三角形的性质求出EE，，AAE'E=45°=2LAEE',再求出=135。-45。=90。，利用勾股定理DE,过

点A作4K1E?于K,可得A4KE为等腰直角三角形，AK=KE=号,再利用勾股定理即可得到结果.

【详解】解:如图，把AADE绕点A顺时针旋转90。得到△ABE，,则=DE,AE=AE'=1,^AED=乙AE'B=

135°,

"：^LEAE'=90°,

...△E4E'是等腰直角三角形,

:.EE'=Vl2+I2=V2,乙AE'E=45°=^AEE',

:.乙EE，B=135°-45°=90°,AAED+AAEE'=180°,

二。,瓦E'三点共线,

由勾股定理得，BE'=^BE2-EE'2=>/3=DE,

过点A作AKIEE，于K,

.•.△4KE为等腰直角三角形，

：

.AK=KE=—2,

.,.D/C=V3+y,

22

.,.正方形4BC0的面积为：AD2=AK2+DK2=（y）+（VI+y）=4+遍.

故答案为：4+V6.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理以及正方形的性质，二次根式的混合运

算等知识，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键.

【变式3-2］（2023春•山东临沂・八年级统考期中）将〃个边长都为2cm的正方形按如图所示的方法摆放，点

人2,43…分别是正方形对角线的交点，则〃个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为.

【答案】（n-l）cm2

【分析】连接&&，4。，根据正方形性质可得乙414B=乙4/C=45°,ArA2=ArD,^BArA2+^CAXA2=

Z-CArD+^CArA2=90°,即可得至=^-CA^,即可得至BA±A2=△/.CA-^D,即可得至|一个图形

重叠的面积，即可得到答案；

【详解】解：连接ArD,

•••正方形的边上为2cm,

Z-A1A2B=Z-A^DC=45°,^^2=4。，Z-BA^A2+Z-CA^A2=Z-CA1D+Z.CA1A2=90°,

Z-BA1A2=Z-CArD,

△BAtA2=△々C/iO(ASA),

S

'S阴影=LArA2D-正=；X2x2=1,

l.几个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为：(n-1)S阴影=(n-1)x1=(n-l)cm2,

故答案为：(n-l)cm2,

【点睛】本题考查正方形的性质与三角形全等的性质与判定，解题的关键是得到三△4C&D（ASA）.

【变式3-3]（2023春・山东日照•八年级校考期中）如图（1），已知小正方形ABC。的面积为1,把它的各边

延长一倍得到新正方形4/1把正方形4/iCiDi边长按原法延长一倍后得到正方形”2殳。2。2，如图

（2）；以此下去…，则正方形4484c4D4的面积为（）

A.25B.125C.625D.3125

【答案】C

【分析】连接"C，B】C,如图（1）,根据二角形面积公式得到SMBC=S^BB]C=5八“通，则S^BBICI=

2s△4BC=S正方形.co=1，所以S正方形A/cmi=5s正方形.CD=5,按照此规律易得正方形/4B4CM4的面积.

【详解】解：连接"，B]C,如图⑴，

G

图⑴

9

：AB=BBlfBC=CQ,

•,^LABC=SABBQS^BB'C=SACJB/

1S.B1c,=2s△ABC=S正方形.co=L

S正方形/I/CMI=5S正方形AB。。=5

同理可得S正方形=5s正方形4通1(71。1='2,

4

，正方形4tB4c4。4的面积=5=625.

故答案为：C.

【点睛】本题考查了正方形的性质，也考查了规律型问题的解决方法，本题利用等底同高的两个三角形面积

相等解决问题.

【题型4利用正方形的性质求坐标】

【例4】(2023春・湖北黄冈•八年级统考期末)如图，在平面直角坐标系中，正方形4BCD的顶点A的坐标为

(0,2),顶点B在x轴上，对角线4C、BD相交于点M,若。M=3鱼，则点C的坐标为—.

【答案】(6,4)

【分析】过点C作CElx轴于点E,过点M作轴于点R连接EM,根据正方形的性质可以得出产是

OE的中点，就可以得出MF是梯形20EC的中位线，证明△力。B三ABEC(AAS)就可以得出08=CE,AO=

BE,就可以求得△MOE是等腰直角三角形，由勾股定理就可以求出。E的值，从而得出C点的纵坐标.

【详解】过点C作CElx轴于点E,过点M作MFlx轴于点尸，连接EM,

・"MFO=乙CEO=乙AOB=90°,AO||MF||CE,

・・•四边形4BCD是正方形，

：.AB=BC,^ABC=90,AM=CM,

工乙OAB=^EBC,OF=EF,

JMF是梯形40EC的中位线，

・・.M尸=:(/O+EC),

VMF1OE,

：.MO=ME

•・•在和△BEC中，

(/.CEO=/-AOB

J/.OAF=乙EBC

[AB=BC,

：.△AOB=△^EC(AAS),

：.OB=CE,AO=BE

：.MF=/BE+OB),

又,；OF=FE,

•••△MOE是直角三角形，

9：M0=ME,

・•・△MOE是等腰直角三角形，

AOE=V18+18=6,

・・・A(0,2),

AOA=2,

：.BE=2,

OB=CE=4

・・・C(6,4)

故答案为：（6,4）

【点睛】本题考查坐标与图形，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，梯形中位线定理，掌握全等三角

形的判定与性质是解题的关键.

【变式4-1］（2023春・浙江•八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A

的坐标是（4,0）,点P为边AB上一点，ZCPB=60°,沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点8'处,

C.(2,4-2V3)D.(|,4-2V3)

【答案】C

【分析】过B作BD_Ly轴于D,由折叠的性质可得NB，CP=NBCP=30。，CB（=BC=4,根据正方形的性质可

求出NOCB，=30。，根据含30。角的直角三角形的性质可得BD的长，利用勾股定理可求出CD的长，即可求

出OD的长，即可得点B，的坐标.

【详解】过B作BfD±y轴于D,

•.,四边形OABC是正方形，ZCPB=60°,

.,.ZBCP=30°,

:沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B'处,

.\ZB,CP=ZBCP=30°,B'C=BC=4,

NOCB，=30。,

轴，

.•.BD』BC=2,

2

CD=，B(2-BD=28,

.,.OD=OC-CD=4-2V3,

.•.点B，的坐标为(2,4-2V3).

【点睛】本题考查了折叠的性质、正方形的性质及含30。角的直角三角形的性质，折叠是一种对称变换，它

属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；30。角所对的直角边，等

于斜边的一半；熟练掌握折叠的性质是解题关键.

【变式4-2](2023春・江苏泰州•八年级统考期中)如图，正方形40BC边长为6,对角线4B、OC相交于点0,%

轴上有一点E(2,0),动直线/绕着点。旋转，与x轴相交于点P,且满足ND瓦1—NPZM=45。，点P坐标为.

【分析】过点。作04于点H,分两种情况:①点P在点A左侧，根据正方形的性质，易证△DHE”ADHP

(ASA),可得PH=EH=1,可得点尸坐标；②点P在点A右侧，在线段AC上截取AF=2,连接。尸并延长

交无轴于点P,待定系数法求。尸的解析式，即可求出点P坐标.

【详解】解：过点。作于点H,如图所示，

①点P在A点左侧，

在正方形OABC中，OD=A£),/£＞。4=45。,

ZODP=ZADP,"为。4的中点，

VZDEA-ZPDA=45°f/DEA=NDOA+/ODE,

：.ZPDA=ZODE,

：.ZEDH=ZPDH,

VZDHE=ZDHP,DH=DH,

:.ADHE经ADHP(ASA),

：.EH=PH,

•・,正方形OACB的边长为6,

：.OA=6,

：.0H=HA=3,

,:E(2,0),

：.OE=2,

：.HE=1,

；・HP=1,OP=4,

：.P(4,0)；

②点尸在A点右侧，

在线段AC上截取A尸=2,连接。尸并延长交x轴于点尸,

OD=AD,ZDOH=ZDAF=45°,OE=AF=2,

:•丛DOE空丛DAF,

：.ZODE=ZADFf

：.ZDEA-PDA=ZDEA-ZODE=45°,

・••点尸就是所求点，

・・,正方形的边长为6,

：.D(3,3),F(6,2),

设直线。月的解析式：y=kx+b,

代入。，/点坐标，

+b=3

+b=2'

<解得卜=—!,

IZ)=4

...£）/的解析式：y=-|x+4,

令y=0,得A12,

：.P（12,0）,

综上，点P坐标为（4,0）或（12,0）,

故答案为：（4,0）或（12,0）

【点睛】本题考查了正方形的性质，设计