2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编21含解析

2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编(二十一)

一、单选题

1.(广东省湛江市第一中学、深圳实验学校高中部两校2023届高三上学期1月联考数学试题)已知函数

x3-3x+2,x<0

/(*)=x，若方程卜(切2-(2〃+1)/(司+/+4=0有3个不同的实数根，则〃的取值范围

,X>U_EJL.^5^1

\nx

是()

A.[—1,0)[l,e—1)B.(—1,0)(l,e—1)C.[l,e—1)D.(l,e—1)

【答案】A

【解析】当x40时，/(X)=X3-3X+2,/,(X)=3X2-3=3(X+1)(X-1),

所以在区间(—,-1),/。)>0,〃力递增；在区间(一1,0),『'(力<0"(%)递减.

/(0)=2,/(-1)=4,〃-2)=-8+6+2=0,

当x>0目.XH1时，f(x]=-^—,

Inx

r(x)=施产，所以/(X)在区间(O,l),(l,e)，r(x)<O,/(x)递减；

在区间(e,3),f(x)>0J(x)递增.

当0cxe1时，/(x)<0；当x>l时，/(x)>0,

/(O)=2,/(e)=e,e-2«0.72,由此画出的大致图象如下图所示,

方程[/(X)[-(2a+l)/(x)+a2+a=0①,

即0。)一0]卜(力一(a+l)]=0,所以=a或〃x)=a+l,

由于方程①有3个不同的实数根，a+l-a=l,

a<0(0<a<2

所以0<a+l<2^^|2<a+l<e

所以一1<Q<0或l4a<e—1,

所以。的取值范围是[T,0)[he-l).

故选：A

2.(四川省攀枝花市2023届高三1月份第四次统考数学(理)试题)已知函数/(x)=e'+eT-2cosx,若不

(I-4-c

相等的实数b,c成等比数列，H=/(日上)，S=f(b),7=/(0),则A、S、T的大小关系为()

A.R<S<TB.T<R<S

C.S<R<TD.T<S<R

【答案】D

【解析】y=e、+e-\Y=cosx均为偶函数，

故函数f(x)为偶函数，

f'(x)=e*-e、'+2sinx,令g(x)=e*-e-*+2sinx

g'(x)=e*+e-*-2cosx,

e*+e-*..2je*.e-*=2,COSXG[-1,1],

故g(x)单调递增，即/(x)单调递增，

又：八0)=0,.•.在(0,+8)上f(x)..O恒成立,

故在(0,+8)函数〃x)递增，R./(0)=0,

故函数在(9,0)递减，在(0,+8)递增，

且函数f(x)..O恒成立，

a,b,c成等比数列，.•方="c

当。，。均为正数时，

由均值不等式有：a+c^y[ac2\h\,①，

当。，。均为负数时，

山均值不等式,有：a+c=—[(—tz)+(―c)],,—lyfac=-2\h\,②,

a+c

由①②有:

~2~...1*1,

a+c

又“，b,c互不相等，故>\b\,

a+c

>/W>/(0),

故F~2~

:.T<S<R,

故选：D.

3.（备战2023高考数学黄金30题系列之压轴题（新课标版））如图，棱长为4的正方体ABCO-4gGR,

点A在平面«内,平面ABCO与平面。所成的二面角为30,则顶点C1到平面。的距离的最大值是（）

C.2(73+1)D.2(血+1)

【答案】B

【解析】如图所示，当直线AC与面a所成角等于面ABC。与面a所成角时顶点G到平面。的距离最大,

AA

作C,EAO,,CG1CtE,CO,AO},

22

AC='\/4+4=4>/2»ZA=30>COX-2>/2.

,:CGLGE,CO,AAO,,C,EAAO,,/.CO、=GE=272,

・.,？A?AOE1COG?CC.O,：.?A?CC.O30,

...CC}=4,...GG=CC,?cos302^3,

C、E=C1G+GE=26+26=2电+O），

故选:B.

【押题点】二面角大小；点面距最值问题

4.（湖南省永州市第一中学2022-2023学年高三上学期元月月考数学试题）四面体ABCD的各个顶点都在球

。的表面上，848C,8。两两垂直，且=JTT,8c=3,BQ=4,E是线段BC上一点，且8E=2EC,过E作

四面体A8CD外接球。的截面，则所得截面圆的面积的最大值与最小值之差是（）

A.7乃B.9乃C.5%D.8万

【答案】A

【解析】设所得截面圆的面积为S,半彳仝为，由两两垂直可将四面体A8C。放入长方体中,

如图所示，易得夕卜接球半径R=gj半C2+8D2+48==3,

过E作球。的截面，所得截面圆的面积最大时为过球心的圆面，$皿、=兀/?2=9兀；

所得截面圆的面积最小时为与最大截面垂直的圆面.

在△OBC内，OB=OC—BC=3,所以Z.OCB=60,

所以O《2=OC2+C6-2OCCECOS60=7,

=

所以OE-J7,即=JR?一OE?=V2,Sinin=兀编1=2兀,所以Smax—^min7兀.

故选A.

5.（湖南省部分校教育联盟2022-2023学年高三上学期入学摸底测试数学试题）已知。=21=53,c=（2+e）«，

则＜2,6,C的大小关系为（）

A.b<c<aB.c<b<a

C.b<a<cD.c<a<b

【答案】A

【解析】由题意，可得a=(2+2)；,b=(2+3)5,c=(2+e)；，

所以令f(X)=J•In(2+x),(x>0),则f,(X)=7n-皿2+“),

令g(x)=」;-ln(2+x),(x>0),则g，(x)="：旨<0,

所以g(x)在(0,田)上单调递减,g(x)<g(o)=o,所以/'(力<0恒成立,

所以“X）在（0,+8）上单调递减,

因为2<e<3,所以/(2)>〃e)>〃3),即gln(2+2)>Jn(2+e)>gln(2+3),

21।।।

所以ln(2+2)3>ln(2+e)；>ln(2+3"，所以4、>(2+e)、>5行，即］々<心

故选：A.

6.（湖南省部分校教育联盟2022・2023学年高三上学期入学摸底测试数学试题）已知tana,tan尸是方程

办2+云+。=0（。工0）的两根，有以下四个命题:

甲：tan(a+/?)=-g；

乙：tantztan/?=7:3；

,sin(a+?)5

丙：cos(")="

丁：tanortan/Jtan（cz+/?）-tan（a+/?）=5:3.

如果其中只有一个假命题，则该命题是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】B

bc

【解析】因为tancr,tan/?是方程公?+法+c=0（。w0）的两根，所以tana+tan/7=——,tana•tan/?=一，

b

/八、tana+tan£〃b1

则甲：tan(a+Z?)=--------------^—=—竺=----=一一

l-tanatan/7।_cc-a2

a

_b

sin(a+0sinacos/?+cosasin/tana+tan/?_h5

a—---=一

cos(a-Q)cosacos/?+sinasin/?1+tanatan/［十。c+a4

若乙、丁都是真命题,

_b_5

则tana+tan/=--,tana•tan/?=—,所以tan(a+尸)=3n“+母°'〃=——=—=~

331-tanatan户「£|_74

a3

_b_5

sin(a+〃)_sinacos/y+cosasin/7_tana+tan夕a31

cos(a-/?)cosacos/?+sinasin/?1+tanatan/?j+£j+72

a3

两个假命题，与题意不符，所以乙、丁•真一假,

假设丁是假命题，由丙和甲得（a—c）=2"—5（a+c）=4b,所以2（。—c）=-5（a+c）,

即7a+3c=0,所以C:Q=-7:3,与乙不符，假设不成立；

假设乙是假命题，由内和甲得7a+3c=0,乂（a-c）=2/7,所以3A=5a,

即从a=5:3与丙相符，假设成立；故假命题是乙，

故选：B.

7.（湖北省武汉市零校联盟2022-2023学年高三上学期12月阶段性测试数学试题）如图，菱形ABC。的边8c

上有一点E,边。。上有一点尸（£,尸不与顶点重合）且忸耳尸若△的是边长为百的等边三角

形，则的范围是（）

D.悖6

【答案】C

【解析】如图所示：过A作AG_LBC于G,AHLCQ于H,则AG=A”,

AD

△A£尸是等边三角形，AE=AF,则zMGE=AHF,故NG4H=g,

则NC=—,Z.B——,设AB=a,BE=b,—<b<a,

332

根据余弦定理：3=«2+b2-2abcos^=a2+b2-ab,

BABE=abcos-=-ab,设,“6=5,则〃6=2S,ab=2S,-<b<a,

3222

故匕2<ab=2S<»2,即s<b2<2S,

3=a2+b2-ab=^-+b2-2S,函数晨x)=/+x-2S在(S,2S)上单调递减,

故g(2S)<g(x)<g(S),即2S<g(x)<3S,即2s<3<3S,解得Sem

故选：C

8.（湖北省武汉市零校联盟2022-2023学年高三上学期12月阶段性测试数学试题）若函数/（"=优与

g（x）=log“x（a>0,a"）的图象有且仅有一个交点，则。的值不可能为（）

A..eB.-C.—D.一

ee164

【答案】C

【解析】当a>l时，〃x）=a*与8（力=108“》（。>0,"力1）关于旷=工对称，

图象有且仅有一个交点，即/（x）=a"与》=x相切，

设切点为（机机），则/'（x）="lna,/'（wi）=a"'lna=l,且〃/«）=""="，

故In。=—m,ci—c_m,a'"=t=m<故〃ci-_cr，A正确；

当Q=1时，设尸-logjx=e-A+lnx,则尸（%）=_©-》+'二^——-,

ele；；xxer

设/7（x）=e"-x,xe（0,+co）,”（同=式一1>0恒成立，函数单调递增，

A（X）>/2（0）=1,故尸'（力>0恒成立，尸（力单调递增,

F(l)=1>0,/(：)=广-1<0,故函数有唯一零点，B正确；

当Y时,设%)=住)一腕/则呜>,-1唱=汨=。，

f^=^_Ly-log±l=l-l=0.故函数至少有2个零点，C错误.

9.(湖北省十堰市2022-2023学年高三上学期元月调考数学试题)已知函数f(x)=11若函数

\nx,x>0,

鼠工)=[〃力丁-2硝力+/-1恰有4个不同的零点，则。的取值范围是()

A.(-1,0)(1,2)B.(-1,1)(3,物)

C.(-1,0)[1,2)D.(-l,l]u(3,+x>)

【答案】C

【解析】令g(x)=[/(x)丁-2,/(x)+a2-1=0,

得〃x)=a-l或/(x)=a+l,

画出/(x)的大致图象.

设/(x)=f,由图可知，

当t<0或f>2时，r=/(x)有且仅有1个实根;

当1=0或14Y2时，f=/(x)有2个实根;

当0<1<1时，f=/(x)有3个实根.

则g(x)恰有4个不同的零点等价于

fa-l<0,fa-l=O,fO<a-l<l,[\<a-[<2,

+或1lVa+142或[a+\>2^|l<a+l<2,

解得-1<a<0或14"v2.

故选：C.

10.(陕西省西安市高新第一中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题)在区间U,4］上，函数

/(x)=x2+bx+c(b,cwR)与g(x)=亡+9在x=%处取得相同的最小值，那么/(x)在区间口，句上的最

大值是()

A.12B.11C.10D.9

【答案】B

【解析】因为g(x)J2+x+9=x+2+i,由对勾函数的性质得：

XX

当x=3时，g(x)取得最小值7,

所以“X)在x=3处取得最小值7,

所以匕=-6,c=16,/(x)=x2-6x+16=(x-3)2+7,

所以当x=l时，〃x)取得最大值11,

故选：B

11.(广东省汕头市2023届高三上学期期末数学试题)已知函数f(x)="+x3+(a-3)x+l在区间(0,1)上有

最小值，则实数。的取值范围是()

A.(-e,2)B.(-e,l-e)C.(1,2)D.(-8,1-e)

【答案】A

【解析】.，'(6="+3/+3—3)在区间(0,1)上单调递增，由题意只需

/'(0)<0fa-2<0

/nl^>-e<a<2

//(1)>01e+a>0

这时存在与€(0,1),使得/(x)在区间(0,%)上单调递减，在区间[%,1)上单调递增，即函数/(X)在区间(0,1)上

有极小值也即是最小值.

所以。的取值范围是(-e,2).

故选：A

12.(福建省厦门第一中学2023届高三上学期12月月考数学试题)数列｛q｝满足4=①，%=叵，(%>0)，

833

2222

落冬=%1言(〃22),贝小

=()

33

A.叵B.立D.

646432

【答案】A

【解析】因为4二"i=(〃之2),%>0,

%《小

2o

即今+冬=2,

%4向

%所吗一辞…,

乂4=聆，a2

所以小弓是以首项为।的常数列’则十一下叱N)

又F1=c32,l---1=,1,所以《二1卜是以首项为32,公差为1的等差数列,

4a24[a,,]

故4=32+(〃-1)、1=〃+31,贝ija“=下二

a„"+31

所以出L，20：+3广悬r&=^

故选：A.

-x+\(x41)

13.(2022-2023学年福建省四地六校高三下学期第一次联考)已知函数f(x)=｛4'',则方程

Inx(x>1)

/（外=欠恰有两个不同的实根时，实数。的取值范围是（注：e为自然对数的底数）

A.（0,1）B.（0,1）C.[1.1）D.[Le）

【答案】C

【解析】•.•方程〃打=以恰有两个不同实数根，，y=f（X）与丫=2*有.2个交点，又；a表示直线丫=2*的

斜率，,设切点为（%,%）,%=J.,.切线方程为y-%=J（x-x（））,

而切线过原点，%=1,%=e,k=L•.直线乙的斜率为L又I•直线4与y=；x+l平行，

/.直线4的斜率为5，二实数a的取值范围是

4

中？

考点：分段函数的应用

14.（浙江省嘉兴市海宁市2023届高三下学期1月适应性考试数学试题）2022年第二十四届北京冬奥会开

幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花一“科赫雪花”.它可以这样

画，任意画一个正三角形A,并把每一边三等分：取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把

这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线2；重复上述两步，画出更小的三角形.一直重复，直到无穷，形成雪

设雪花曲线匕的边长为%,边数为么，周长为4,面积为5,,,若4=3,则下列说法正确的是（）

8

A."5=J,，5=9x图B.<S3<-S]

C.{4},{〃,},{/“},母}均构成等比数列D.S,=£T+.如此

【答案】B

【解析】据题意知:也*⑷一⑷工…也=9・

1半，A错误;

2755

5=-xa2-sin60°=—

121l4

44

(、9上3上+++

S“=S]+（§2—Sj+（S3—s2）++9-9-

18732773

三2（r\9j

所以｛S.｝不构成等比数列，C错误；

小…10^8。18G皿10℃,8

山「一，Sc-i-........,—Si------,则S]£<二S],BD」[.c确e&.

3351551

故选：B.

15.（江苏省南通市海门市2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知正实数。，b,c满足

e'+e-2"=e"+eY,/>=log23+log86,C+log2c=2,则a,h,c的大小关系为（）

A.a<h<cB.a<c<hC.c<a<hD.c<b<a

【答案】B

[解析1e‘+e2"=e"+e'c=>ec-e-c=ea-e2a,

故令〃x）=e，-eT,则〃c）=e0-eY,/（a）=e"-e/

易知丫=_b=-5和八e*均为（0,M）匕的增函数，故f（x）在（（）,用）为增函数.

2fl

Ve-<e-%故由题可知,e'-eY=e"-e-20>e"-e，即f（c）>〃a）,则e>a>0.

易知〃=log23+log2遍=log23^6>2,log2c=2-c,

作出函数y=iog2*与函数y=2-x的图象，如图所示,

p\y=2-x罗bg2X

/l

则两图象交点横坐标在(1,2)内，即l<c<2,

:.c<b,

:.a<c<b.

故选：B.

08

16.(江苏省徐州市2022-2023学年高三上学期期末复习数学试题)设。=0.01,匕=已语,c=-In0.99,则

()

A.a>b>cB.b>a>c

C.b>c>aD.c>b>a

【答案】c

【解析】设/(X)=lnx—x+1,X€(0,田)，所以尸(x)=1_i=q,

则当xe(O,l)时，片x)>0,所以/(x)单调递增，则/(0.99)=ln0.99+0.01<〃l)=0,

所以一In099>0.01,则c>“；

X/?=e'^>e''=->|-S-c=-ln0,99=ln0.99'=ln—<ln-^=lnf—<lne^=->

e399729(9J3

所以Z>>C,故6>C>4.

故选：c.

17.(江苏省徐州市2022-2023学年高三上学期期末复习数学试题)如图，，ABC内接于圆O,A8为圆。的

直径，AB=\0,BC=6,平面ABC,E为A。的中点，且,则点A到平面BCE的距离为

()

①异面直线BE与AC所成角为60°；

②三棱锥D-BEC的体积为16g

注：从以上两个条件中任选一个，补充在横线上并作答.

D

8历n4g

73

【答案】C

【解析】选①：A8为圆。的直径，且48=10,8c=6,

_ABC为直角三.角形，AC=8,

如图建立空间坐标系,C（o,0,0）,A（8,0,0）,3（0,6,0）,设E（4,o,〃）,"＞（）,

则C4=（8,0,0）,C8=（0,6,0）,8E=（4,-6,〃），

cos/CA,BE\=32+0+0^=cos=J_

'/8xJ16+36+/P2，

h=20

.•.CE=（4,0,2^）,.'.C£CB=0+0+0=0,

.•.CE，a^CE=2"

为A£）的中点，，

••^A-BCE=§SBC，A~^E-ABC=ABC%>

xx6x2-77-hA=^x^x6x8x25/3:

,8国

：.h,=--------.

，7

选②：A8为圆。的直径，且A8=10,BC=6,

_ABC为直角三角形，AC=8,

又COL平面ABC..8,4。,8,3。,设。。二九

E为AD的中点，且三棱锥D-8EC的体积为16百,

•'^D-ABC=2VD_BEC=^E-ABC=32上，

V=—SCD=—x—x6x8xCD=32>/3,

DU-AtAfHLC-3AoBC32

:.CD=46,;.AD=^AC2+CD2=J64+48=4近,

.•■△AC。中，DE=>AD=2出,

2

BCJ-AC,BClCD,ACr>BC=C,

8C，面AC。,.CEu面ACD,

:.BCYCE,

匕-8CE=gS.BCE^A=VD-BCE=16百,

.」X；X6X2A/7也=16石；

,8A/21

r.h.=-----

八7

故选：C.

2

18.（河北省张家口市2023届高三上学期期末数学试题）设」=空，匕=?，c=4二t」2,（）

23e-

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

rA.r；.31n2-2ln8-lne2

【解2J析】1a-b=-------=---------

66

e2<2.82=7.84<8,Aln8>Ine2=2,

a-b>0,a>b,

设〃*）=叱,则r（x）=lz学,X>e时,r（x）<0,即/（X）在（e,+8）上递减，

Xr

In2In44-21n2,崖n?

24e2£

T

22

e~<8，所以e<万e"<4»e>f（4）,即c>a,

综上，b<a<c.

故选：D.

19.（2023年1月浙江省绍兴市选考科目适应性考试数学试题）一个袋中有，/个红球，〃个白球，p个黑球

（1＜/H＜H＜5,P＞4）,从中任取1个球（每球取到的机会均等），设。表示取出的红球个数，多表示取出

的白球个数，则

A,E倡）＞E©）,D信）＞D©）B.E（0,E4）,。（3＜。（刍）

C.Eg）＜E©）Q（*＞D（4）D.Eg）＜E©）,D依）＜D&）

【答案】D

【解析】由题意可知：随机变量百的分布列如下图所不:

01

〃+Pm

P

"z+〃+pm+〃+p

八〃十〃.mm

所以有E©）==0-------------+1-------------=-------------

m+〃+pm+n+pm+n+p

g)=(0__+__—mn+mp

m+n+pm+n+p"7+〃+p"7+〃+p(〃z+"+p)2

随机变量$的分布列如下图所示:

01

pn

p

〃？+〃+p

后©)=0,^±^+1・_

加+〃+〃tn+H+pm+n+p

D&)=(0J.*/+(1J—=mn+np

m+n+p/〃+〃+〃m+n+pm+n+p(m+n+p)

因为14mW5,所以W<"P,因此有E信)<£©),。华)<。(刍)，故本题选D.

20.（【市级联考】山东省德州市2023届高三第二次练习数学试题）已知AABC中，B4=2,8A-8C=-2.点

P为BC边上的动点，则PC-（PA+P8+尸C）的最小值为（）

325

A.2B.—C.—2D.-----

412

【答案】D

【解析】以8c的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，

可得B(-l,0),C(l,0),设P(a,0),A(x,y),

由BABC=—2,

可得(x+l，y),(2,0)=2x+2=-2,Bpx=-2,y/0,

则PC(PA+P5+PC)=(l-a,0)(x-a—l-a+l-a,y+0+0)

=(l-a)(x-3Q)=(l-a)(-2-3Q)=3q2-a-2

25

（）的最小值为-得.

当〃=二时,PC-PA+PB+PC

故选D.

B平C

二、多选题

21.（广东省湛江市第一中学、深圳实验学校高中部两校2023届高三上学期1月联考数学试题）如果一双

曲线的实轴及虚轴分别为另一双曲线的虚轴及实轴，则此二双曲线互为共轨双曲线.已知双曲线C1与C?互为

共辗双曲线，设G的离心率为6，C?的离心率为e?,则（）

A.若备=石，则B.e©的最小值为4

12

C.e；+e；的最小值为4D.一+一的最大值为石

e\e2

【答案】ACD

【解析】不妨设双曲线&的实轴长为2/n,虚轴长为不,焦距为2c,则解+〃2=c2.

由共班双曲线的定义可得：双曲线Cz的实轴长为2",虚轴长为2〃?，焦距为2c.

所以<=£©=£.

mn

对于A：q=\[s,即q=-=V5.所以c=出m,n—\lc2—m2=\j5rn2—m2=2m,

所以02=£=』5"=正.故A正确；

-n2m2

m+n2

对于B：eie,=-x-=—='>—=2（当且仅当加=〃时等号成立），

mnmnmnmn

所以qe?的最小值为2.故B错误；

对于C：d+4=（£[、（£]=*匚+竺+M=l+工+4+1N2+2、耳耳=4（当且仅当机=〃时等

）\n）nrnnrn\mtv

号成立）.

所以e；+4的最小值为4.故C正确；

对于D：因为m2+n2=c2所以--+f—1=勺+，=1.

mnye\）\e2）cc

sin"——

不妨设L=sine,L=cosd,[0<6,则L+Z=sine+2cos，=\/^sin(9+/)46(当目仅当5

64I2)4e026

2cosJ=---

5

q=6

即石时等号成立）.故D正确.

I^2-=­2

故选：ACD

22.（广东省湛江市第一中学、深圳实验学校高中部两校2023届高三上学期1月联考数学试题）在棱长为1

正方体ABCO-agG。中，若点。为棱G。上的一动点，则下列说法中正确的有（）

A.AP+PC的最小值为不

B.当尸为棱GA的中点时，则四棱锥尸一4344的外接球的表面积为4二1九

c.平面APC与平面CB4G所成夹角取最小值时，则线段c/=g

D.若点E,F分别为棱AB,A£>的中点，点Q为线段G。上的动点，则直线4。与平面REF交点的轨迹长度

【答案】BCD

【解析】建立如图所示坐标系，点尸为棱GR上的一动点，设P（0,a,0）（04a41）,

选项A：因为A(1,O,1),C(O,1,1),

所以AP=J(0_l)2+("0)2+(07)2=J/+2-PC="(1-/)2+(1-0)2=J/-2a+2,

所以AP+PC=J(a-0)2+(0-72)2+"(a_I)?+(0-1)2,

即表示点P'(4。)到两定点A'(0,72),B'(U)的距离之和，

如图所示在坐标系中8':--V的对称点为*'(1,-1),

所以当尸在A*匕时最小，最小值为1(1-0)2+(-1-应尸="+2虚,即AP+PC的最小值为

74+2>/2，A错误:

选项B：当P为棱GA的中点时，月(°，；，°)，设球心为。，正方形AM出中心为O',

因为003平面A，所以设o}q，g)，

O_Z,)2fo-lY解得b=|,

又因为4(1,0,0),由。4=。尸即J(1_勿2(+

所以四棱锥p-ABB^的外接球的半径R=OP=

所以表面积为4兀尸=B正确：

16

选项c山图可知平面片尸。与平面c33G所成夹角为锐角，

因为4。=(—AC=(—1J1),设平面APC的法向量〃=a，y，z),

nA.P=-x+ay=O（\\

则<，当QWO时，解得〃=1,—』

AC=-x+y+z=o\aa.

设平面C63G的法向量m=(0,1,0),

/?•m

所以平面APC与平面CBBCI所成夹角的余弦值cosO^cos<〃,，">卜

对于二次函数y=2/-2a+2,当a=J时，》最小，此时cos。最大，最大值为手,

n•m

当4=0时解得〃=（0』,-1）,此时|cos<n,m>|=J__VI为

川近23

所以平面APC与平面CBB|G所成夹角取最小值时，JP=；,C正确;

选项D：连接与。如图,

因为E,F分别是棱AB,AO的中点，所以用。〃EF,

则4出国尸四点共面,

连接AG，A|。，设4G=M,A]DD、F=N,连接MV,

则MN为直线A0与平面D[EF交点的轨迹，易得A。=JA、D：+DD；=V2,

MND'_DNF旦端=2,

所以4/7=24。=这，

1313

因为AG=G£>=AO=啦，所以NGA力=60。，又A、M二号,

13

所以在.AMN中，由余弦定理可得MN?=4管+4加2-24乂AMcos/M4,N=上，

18

所以MN=叵,即直线4。与平面REF交点的轨迹长度为叵，D正确；

36

故选：BCD

23.（湖北省2023届高三下学期1月联考数学试题）第24届冬季奥林匹克运动会圆满结束.根据规划，国家

体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场"鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈

x2丁

的钢骨架是离心率相同的椭圆，若椭圆C1：/+百>4>0）和椭圆C2：=1(%>4>0)的离

A.一药<b；—b；

B.a]—a2>b]—b2

c.如果两个椭圆G，C分别是同一个矩形（此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行）的内切椭圆（即矩

形的四条边与椭圆C?均有且仅有一个交点）和外接椭圆，则£=0

D.由外层椭圆G的左顶点A向内层椭圆c,分别作两条切线（与椭圆有且仅有一个交点的直线叫椭圆的切

Q1

线）与G交于两点M,N,C1的右顶点为8,若直线AM与BN的斜率之积为则椭圆C的离心率为%

【答案】BCD

【解析】A：由4二1="2会且4>4,贝1」42-片>尺—田，即。：一域>々2-片，故错误；

qa2

B：由=出,得1一4二1一件,则生=华，所以6-〃2=4-用吟（伉一打）>々一4,故正确；

q靖q药瓦b]4

C：尸（心也）满足楠圆c方程”+笈=1,又空=鲁，则幺=3,所以2但1=1,刍=血，故正确；

'-〃a,-b-h如4仇（aj«2

D：由对称性知：M、N关于x轴对称，4（—4,0）,M（x0,y0）,N（毛,—%）,8（4,。），kAM--不一,

%+a\

.2.b、A？I7^2"

则&,T-'+彳ob；8,e=Jl-勾=L故正确.

kAMkBN=-^=-2=-N（aj3

人CV<-|人nv<-|v*|/，

故选：BCD.

24.（山东省潍坊市2023届高三下学期1月模拟数学试题（二））过平面内一点P作曲线），=llnx|两条互相垂

直的切线《4，切点为Pi、尸2（尸/、P2不重合），设直线乙，4分别与y轴交于点A,B,则下列结论正确的是（）

A.Pi、P2两点的横坐标之积为定值

B.直线匕上的斜率为定值

C.线段A8的长度为定值

D.三角形AB尸面积的取值范围为（0,1]

【答案】ABC

..[-Inx,0<x<1

【解析】因为y=lnx=,,,

所以，当0cx<1时，y'=--；当x士1时，/=-,

XX

不妨设点匕，鸟的横坐标分别为不芍，且玉<々，

若0<为<为41时，直线4，4的斜率分别为勺=-，，k2=~~,止匕时•勺《=’->。，不合题意：

X|x2XyX2

若％>芭21时，则直线4，4的斜率分别为K=,，k2=—,此时K&=」一>0,不合题意.

X|x2xtx2

,1,1

所以0<X|〈1<工2或0<X]<14工2,贝!JL=--7，&=—，

玉X2

,,11

由题意可得上见=——=T,可得中2=1,

中2

若%=1,则％=1；若工2=1，则为