2023-2024学年北京市九年级上册期中数学质量检测模拟试题（含解析）

2023-2024学年北京市九年级上册期中数学质量检测模拟试题

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

1.下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.B.C.D.

2.如图，内接于G）。，8是。。的直径，ZSCQ=54°,则乙4的度数是（）

A.36°B.33°C.30°D.27°

3.抛物线y=（x+l）（x—3）的对称轴是直线（）

A.x=-1B.x=1C.x=-3D.x=3

4.关于x的一元二次方程41+（4a+1）%+加2=。有实数根，则，"的最小整数值为（）

A.lB.OC.-lD.-2

5.如图，A,B,C是某社区的三栋楼，若在/C中点。处建一个5G基站，其覆盖半径为300m,

则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（）

A.A,B,C都不在B.只有8

C.只有4CD.AD./4,B,C

6.如图，将△/3C绕点/顺时针旋转40。得到△/£>£,点8的对应点。恰好落在边8c上，则

NADE的度数为（）

A

A.40°B.70°C.80°D.75°

7.在平面直角坐标系xQy中，己知抛物线.丁=/一26+4若4（。一1,必），8（。,%）,

C（a+2,%）为抛物线上三点，那么乂，必与为之间的大小关系是（）

A."<%<%B.%

%<乂<y2

D.%<y3

8.在某次实验中，因仪器和观察的误差，使得三次实验所得实验数据分别为4，%，％•我们规

定该实验的“最佳实验数据“X是这样一个数值：x与各数据%,%,%差的平方和最小，依此规

定，贝心=()

A.q+%+%B.个a；+a;+%C.

q+4+%

D.

3

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.如图，N8为。。的切线，切点为点480交。。于点C,点。在。。匕若480的度数是

32。，则44QC的度数是.

10.若正六边形的半径等于4,则它的边心距等于.

11.如图，OO是△NBC的内切圆，点。、£分别为边/8、ZC上的点，且DE为。。的切线,

若△/BC的周长为25,8c的长是9,则的周长是.

D

'O

12.“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用.例如古典园林中的门洞,

如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m,地面入口宽为1m,则该门洞的半径为m.

13.如右图所示，边长为1的正方形网格中，点O,A,B,C,。是网格线交点，若标与丽所

在圆的圆心都为点0,那么阴影部分的面积为.

14.某学校有一个矩形小花园，花园长20米，宽18米，现要在花园中修建人行甬道，如右图所示,

阴影部分为甬道，其余部分种植花卉，同样宽度的雨道有3条，其中两条与矩形的宽平行，另外

一条与矩形的宽垂直，计划花卉种植面积共为306平方米，则甬道的宽为米.

15.抛物线歹=62+bx+c的图象如图所示，则下列结论中正确的有.

@abc>0；②。+力+c=2；©h>2a；®b>\.

16.如图，抛物线歹=：/一4与x轴交于4,8两点，尸是以点C（0,3）为圆心，2cm为半径的圆

上的动点，。是线段处的中点，连接。。，则线段。。的最大值是.

三、解答题（本题共68分，第17、20、22、24、25、26、28题每题6分，第18题4分，第19、

21、23题每题5分，第27题7分）

17.用适当的方法解下列方程：

（1）x~—2>/3x4-1=0；（2）i=2（x+l）.

18.如图，在平面直角坐标系中，△48C的顶点/（一1,1）,5（-4,2）,。（一3,3）.

（1）平移△Z8C,若点N的对应点4的坐标为（3,—1）,画出平移后的△/££；

（2）将△N8C以点（0,2）为旋转中心旋转180。，画出旋转后对应的△482G；

（3）已知将4G绕某一点旋转可以得到△4层02,则旋转中心的坐标为.

19.已知关于x的一元二次方程/一（3左+l）x+2左2+2左=0.

（1）求证：无论我取何实数值，方程总有实数根；

（2）若等腰△ZBC的一边长a=6,另两边长6、c恰好是这个方程的两个根，求上的值.

20.如图，在Rt/XZBC中，ZC=90°,4c=8C=3血，点。在N2上，且历1=34。，连

接CD,将线段8绕点C逆时针方向旋转90。至CE,连接8E,DE.

（1）求证：△ZC0且△8CE；

（2）求线段QE的长度.

21.“化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一.即：求作一个正方形，使其面积等于给定圆的面积，

这个问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的，如果借

用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法如下：

已知：O。（纸片），其半径为八

求作：一个正方形，使其面积等于。。的面积.

作法：①如图1,取。。的直径Z8,作射线A4,过点/作的垂线/；

②如图2,以点，为圆心，长为半径画弧交直线/于点G

③将纸片。。沿着直线/向右无滑动地滚动半周，使点43分别落在对应的⑷，8'处:

④取C8'的中点M,以点〃为圆心，长为半径画半圆，交射线8/于点氏

⑤以AE为边作正方形AEFG,则正方形AEFG即为所求.

图1图2

根据上述作图步骤，完成下列填空：

（1）由①可知，直线/为O。的切线，其依据是.

（2）由②③可知，AC=r,AB'=7ir,则MC=,MA=（用含r的代数式表示）.

（3）连接ME,在RtAUME中，根据9/2+/炉=£“2,可计算得〃炉=（用含，.的代数式

表不）.由此可得$正方形“MG•

22.在平面直角坐标系xQy中，抛物线ynf+bx+c与x轴交于点4（1,0）,8（3,0）,与y轴交

于点C

（1）求抛物线的表达式；

（2）当0Wx<3时，直接写出y的取值范围；

（3）垂直于y轴的直线I与抛物线交于点P（须，M），Q（x2,y2）,与直线BC交于点N（£，M）•若

X,<X2<Xy,结合函数的图象，直接写出X]+W+》3的取值范围•

23.已知：如图，48是OO的弦，ZOAB=45°,C是优弧N8上一点，BD//OA,交C4延长

线于点。，连结8C.

B

（1）求证：5。是O。的切线;

（2）若4c=4石，ZCAB=75°,求O。的半径.

24.小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出

口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一

次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为

一条抛物线.如图1和图2分别建立平面直角坐标系

图1直发式图2间发式

通过测量得到球距离台面高度y（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：dm）的

相关数据，如下表所示：

表1直发式

x(dm)02468101620

Mdm)3.843.9643.96m3.642.561.44

表2间发式

x(dm)024681012141618

Mdm)3.36n1.680.8401.402.4033.203

根据以上信息，回答问题:

(1)表格中m-tn-

（2）求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；

（3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为4，“间发式”模式下球第二

次接触台面时距离出球点的水平距离为4，则4d2（填"="或"<”）.

25.如图，点C是以点。为圆心，为直径的半圆上的动点（不与点48重合），AB=5cm,

过点。作8_1_48于点。，E是C£>的中点，连接/E并延长交Z3于点尸，连接FD

小腾根据学习函数的经验，对线段NC,CD,ED的长度之间的关系进行了探究.

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）对于点C在筋上的不同位置，画图、测量，得到了线段/C,CD,尸。的长度的几组值,

如下表：

F

位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8

AC/cm0.10.51.01.92.63.24.24.9

CD/cm0.10.51.01.82.22.52.31.0

FD/cm0.21.01.82.83.02.71.80.5

在NC,CD,ED的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函

数；

（2）在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；

（3）结合函数图象，解答问题：当时，4C的长度的取值范围是.

y/cmi一

5

4

3

2

1

----»

ai2345xfcm

26.在平面直角坐标系中，抛物线歹="2-2"》一3（。/0）与夕轴交于点儿与直线x=T

交于点B.

(1)若Z8〃x轴，求抛物线的解析式；

(2)记抛物线在48之间的部分为图象G(包含/,8两点),若对于图象G上任意一点?(斗,,

都有力2-3,求a的取值范围.

27.在RtZ\48C中，ZC=90°,AC=BC,点、D为AB上一点、,过点。作QE_LZC于点E,

过点。作于点F,G为直线8c上一点，连接GE,M为线段GE的中点.连接地，MF,

将线段绕点M旋转，使点〃恰好落在边上，记为。

(1)①在图1中将图形补充完整；

②求的度数.

(2)如图2所示，DE=y[iDF,当点G,M,。'在一条直线上时，请直接写出NGR0的度

数.

28.在平面直角坐标系中，的半径为百，对于平面内一点/,若存在边长为1的等边

AABC,满足点8在。。上，且0C204,则称点N为。。的“近心点”，点C为。。的“远心

点”.

(1)下列各点:Z5(-3,0),Z)(o,l+V3),中，O。的“近心点”有;

(2)设点。与。。的“远心点”之间的距离为d,求d的取值范围；

(3)直线y=~^-x+b(b>0)分别交x,y轴于点M,N,且线段MN上任意一点都是。。的“近

心点”，请直接写出b的取值范围.

数学答案

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

DABBDBDD

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.29

10.273

11.7

12.1.3

13.—^-2

2

14.1

15.②④

16.3.5

三、解答题（本题共68分）

17.（6分）

（1）+应,X2=V3-V2；

（2）X）=3,x2=—1.

18.（4分）

（1）如右图；（2）如右图；（3）（2,1）.

Ar

一夕'一三一冬二工瓦

总历・

:|川闺小」

灼五=2*的I

III同斗中

19.（5分）

（1）证明：

'：/\=b2_4ac=（3后+1）2—4（2左2+2左）=942+6左+]_8左2_84=左2_2左+]=（左_°2,0

...无论/取何值，方程总有实数根.

(2)解：①若。=6为底边，则b,c为腰长，则b=c,则△=().

；.(左—1)2=0,解得.左=1此时原方程化为F-4X+4=0,

X.=X2=2,即b=c=2.此时△力8c三边为6,2,2不能构成三角形，故舍去；

②若。=6为腰，则6,C中一边为腰，不妨设6=。=6,

代入方程：62-6(3左+1)+2左2+2左=0,解得左=3或5,

则原方程化为》2-10》+24=0或16X+60=0,

解得X]=4,马=6或占=6,x2=10,即6=6,c=4,或6=6,c=10,

此时△Z8C三边为6,6,4或6,6,10能构成三角形.

左=3或5.

20.(6分)

(1)证明：•.•将线段CD绕点C逆时针方向旋转90。至CE,，。。二虑，NDCE=90°,

•;ZACB=90°,：.ZACB-/BCD=/DCE—NBCD,即乙4CQ=48CE.

AC=BC

在八ACD与4BCE中，<NACD=NBCE,△^CZ>^ABC£(&45)；

CD=CE

(2)解：在Rt△力8c中，ZC=90°,AC=BC=3y/2,：.AB=6.

vAB=3AD,AD=2,60=4.

由(1)可知△ZCD四△BCE,.,.NC8E=4=45°,BE=AD=2,

ZDBE=/ABC+NCBE=90°.

在RtABDE中,NDBE=90°,DE2=BE2+BD2,:.DE=yj22+42=275.

21.(5分)

(1)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线：

(3)7tr~.

22.(6分)

(1)»=12-41+3；(2)-1<<3；(3)7<X)+x2+x3<8.

23.（5分）

(1)证明：连接。8,如图

•;OA=OB,NCU8=45°,N1=NCU8=45。.

•.­AO//DB,.•.N2=NO/8=45。.

.•.Nl+N2=90。，.•.8Z)_LOB于B.

•.•又点2在G)。上，是G)O的切线.

(2)解：作O£_LZC于点E.

•：OELAC,AC=4C，:.4E=、AC=26

2

ABAC=75°,ZO^5=45°,Z3=ZBAC-ZOAB=3Q°.

.•.在中，04=4.

24.(6分)

(1)3.84,2.