高考数学一轮复习试题第2节 常用逻辑用语

第2节常用逻辑用语

考试要求1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义2理解判定定理与充分

条件的关系、性质定理与必要条件的关系.3.理解全称量词命题与存在量词命题的

含义，能正确对两种命题进行否定.

知识诊断•基础夯实

I知识梳理

1.充分条件'必要条件与充要条件的概念

若p=q,则〃是〃的充分条件,q是D的必要条件

〃是。的充分不必要条件且*p

〃是4的必要不充分条件p*q且qnp

p是q的充要条件p0q

〃是4的既不充分也不必要条件p中q且沪p

2.全称量词与存在量词

⑴全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并

用符号”上”表示.

⑵存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,

并用符号“3”表示.

3.全称量词命题和存在量词命题

名称全称量词命题存在量词命题

结构对M中的任意一个X,有p(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立

简记YxGM,〃(x)Al,p(x)

否定3x^M,㈱p(x)

常用结论

1.区别A是8的充分不必要条件(A=B且8斗A),与A的充分不必要条件是B(8=A

且A冷B)两者的不同.

2.充要关系与集合的子集之间的关系，设4={期＞(%)},B={x\q(x)},

(1)若AUB,则p是q的充分条件，q是p的必要条件.

(2)若AB,则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.

（3）若A=8,则p是q的充要条件.

3.p是q的充分不必要条件，等价于㈱q是㈱p的充分不必要条件.

4.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.

5.对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定.

6.命题p和㈱p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题

的否定的真假.

|［诊断自测

1.思考辨析（在括号内打“J”或“X”）

（1）至少有一个三角形的内角和为兀是全称量词命题.（）

（2）写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词.（）

（3）当〃是q的充分条件时，q是〃的必要条件.（）

（4）若已知p：x＞l和q：则〃是q的充分不必要条件.（）

答案（1）X（2）V（3）V（4）V

解析（1）错误，至少有一个三角形的内角和为n是存在量词命题.

2.（易错题）设x＞0,yGR,则“x＞y”是的（）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析由推不出无＞仅|,由尤＞|y|能推出所以“龙＞丁”是"%＞仅|"的

必要不充分条件.

3.（易错题）命题“VxdR,*GN*,使得〃Wx2”的否定是（）

A.VxGR,3«GN*,使得〃

B.VxER,V〃£N*,使得”＞幺

C.3%eR,3/?eN*,使得〃

D.BxGR,使得〃

答案D

解析含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”，可知选D.

4.（多选X2021•山东新高考模拟）已知两条直线/,〃?及三个平面a,%y,则a，/?

的充分条件是（）

A./ca,/J_£B./±a,〃?_）_£,l±m

C.aJLy,J3//yD./ca,muB,l±m

答案ABC

解析由面面垂直的判定可以判断A,B,C符合题意；对于D,lua,加u尸，

l±m,也可以得到a〃6，D不符合题意.故选ABC.

5.（2021・浙江卷）已知非零向量a,b,c,贝U“ac=bc”是“a=b”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析由a-c="c可得（a—）>c=0,所以（a—»_Lc或@=b,所以‘'GC="C"是

“a=b”的必要不充分条件.故选B.

6.（易错题）命题“VxSR,ax1-ax+\>0,,为真命题，则实数a的取值范围是

答案［0,4）

解析①当a=0时，1>0恒成立，，。=0满足条件,

。〉0,

②当“W0时,解得0VaV4.

/=/—4QV0,

综上，0WaV4.

口考点突破•题型剖析

考点一充分、必要条件的判定

例1⑴已知p：VxGR,znx2—2/nx+1>0,q：指数函数./（x）="（〃2>0,且加Wl）

为减函数，则p是夕的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析当机=0时，1>0成立；

当机wo时，可得彳?解得ovmvi.

lzf=4m—4m<0,

由〃得出P={m|OWmVl},由4得出。={〃力0<机<1},QP,故p是q的必

要不充分条件.

(2)(2021•全国甲卷)等比数列{斯}的公比为外前〃项和为S”.设甲：4>0,乙:⑸}

是递增数列，贝女)

A.甲是乙的充分不必要条件

B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案B

解析当0<0,9>1时，斯=00门〈0,此时数列{SJ递减，所以甲不是乙的

充分条件.

当数列{£}递增时，有*+1—5“=m+1=0/>0,

若卬>0,则/>O(〃dN*),即q>0;

若的<0,则q"VO(〃WN*),不存在，所以甲是乙的必要条件.

综上，甲是乙的必要不充分条件.

感悟提升充分条件、必要条件的两种判定方法：

(1)定义法：根据p=q,qop进行判断，适用于定义、定理判断性问题.

(2)集合法：根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉

及参数范围的推断问题.

训练1(1)(2021•广州一模)a>b+l是2“>2"的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析当方+1时，得。>儿则。>匕+1是2">2"的充分条件；取a=2,b

=1,满足2。>2〃，不能推出故。>。+1是2“>28的充分不必要条件.

故选A.

(2)(2020・北京卷)已知a,夕6R,则“存在Z6Z使得a=E+(—1)%”是“sina

=sin夕'的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析①若k为偶数,设k=2n(n^Z),则a=2〃jc+夕,有sina=sin(2〃兀+夕)=

sin/；若人为奇数，设％=2〃+1(〃£Z),则a=(2〃+1)兀一夕，有sina=sin[(2〃+

l)7t—

=sin(2«7t+Jr-/?)=sin(n-/7)=sin尸.

充分性成立.

②若sina=sin则a=2kZ8或a=2kn+it—0(kGZ),

即a=2E+4或a=(2Z+l)兀一伙ZGZ),

故a=E+(—1)饮AGZ).

必要性成立.

故选C.

考点二充分、必要条件的应用

例2已知集合A={x*—8x—20W0},非空集合8={x|l—加}.若xCA

是xGB的必要条件，求机的取值范围.

解由x2—8x—20W0,得一2WxW10,

，A={xL2«0}.

由XGA是九G8的必要条件，知BUA.

1—mW1+"2,

l—m^—2,.•.0WmW3.

{110,

.•.当时，xGA是xWB的必要条件，

即所求机的取值范围是[0,3].

感悟提升充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时

需注意

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之

间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.

(2)要注意区间端点值的检验.

训练2(1)(多选)使成立的一个充分不必要条件是()

A.O<x<lB.0<x<2

C.x<2D.0<xW2

答案AB

解析由如1得OV尤W2,

依题意由选项组成的集合是(0,2]的真子集，故选AB.

(2)设p：ln(2x—1)WO,q：(x—a)[x—(a+l)]WO,若q是〃的必要不充分条件，

则实数a的取值范围是.

答案；

解析〃对应的集合A={x|y=ln(2x-1)<0}=卜对应的集合8={x](x

—a)[x—(〃+1)]<0}=1}.

由夕是〃的必要而不充分条件，知AB.

所以awg且a+121,因此OWaW/

考

点-

-全称量词与存在量词

角度1含有量词的命题的否定

例3(1)(2022・武汉模拟)命题“Vx£[O,+8),i+xNO”的否定是()

A.VxG(—8,0),%3+x<0

B.VxG(-oo,o),"BO

C.3xe[0,4-0°),/+x<0

D.Bx^[Q,+0°),1?+x20

答案C

解析含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”，所以，命题“Vx

G[0,+°°),V十%20”的否定是“太£[0,+°°),/+xVO”，故选C.

(2)已知命题p：“mxdR,e*—x-lWO”，则㈱〃为()

A.SxeR,ex-x—120

B.BxGR,eA-x-1>0

C.VxCR,ev—x—1>0

D.VxGR,ev-x-120

答案C

解析根据全称量词命题与存在量词命题的否定关系，可得㈱〃为“VxWR,e，

一九一1>0”,故选C.

角度2命题的真假判断及应用

例4(1)(多选X2022.德州模拟)下列四个命题中为真命题的是()

A.3.re(0,+8)，

B.3xG(0,1),log-x>log-x

23

X

|>log；x

C.v%e(o,+8),g

D.v%e

答案BD

解析对于A,当xd(0,+8)时，总有传)》(3成立，故A是假命题;

对于B,当时，有l=log；g=log；g>log；g成立，故B是真命题；

对于C,当OVxvg时，log?>1>出，故C是假命题；

对于D,VxW(0,<l<log|x,故D是真命题.

(2)已知=g(x)=G)一根，若VX1W[O,3],3X2e[l,2],使得

/1)2g(X2)，则实数m的取值范围是.

一1

-

答

案+

?

一4

解析当XW[O,引时，贝X)min=/(0)=0,

当％e[l,2]时，gQ：)min=g(2)=a一机，

由«x)min»g(x)min,得02]一〃?，

所以tn2：.

感悟提升(1)含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论.

(2)判定全称量词命题“VxCM,p(x)”是真命题，需栗对集合M中的每一个元素

X,证明p(x)成立；要判定存在量词命题“"GM,p(©”是真命题，只要在限定

集合内找到一■个X,使p(x)成立即可.

(3)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数

的范围；二是利用等价命题，即p与的关系，转化成㈱p的真假求参数的范

围.

训练3(1)下列命题为假命题的是()

A.VxGR,2，T>0

B.VxGN*,(x—1)2>0

C.lxeR,1gX<1

D.BxGR,tanx=2

答案B

解析当x^N*时，x-IGN,可得(x—1)220,当x=l时取等号，故B错误；

易知A,C,D正确，故选B.

⑵(2022・福州质检)已知命题“mxGR,mx2-x+l<0^,是假命题，则实数机的取

值范围是.

答

案

+8

解析若命题u3x^R,m2—x+1VO”是假命题，则“Vx£R,如金一元+120”

/n>0,解得机斗

为真命题，所以<

/=1—4/nWO,

I分层训练•巩固提升

|A级基础巩固

1.命题p：Vx£R,f+固叫+1>4,则㈱?为()

A.4丫eR,x2+^Jx2+1<4

B.Bx^R,f+.f+1W4

C.VxdR,f+W?+1W4

D.V/R,f+</+1>4

答案A

解析由于全称量词命题的否定为存在量词命题，故㈱pTx£R,/+正不I<4.

2.(多选X2021.重庆质检)下列命题中是真命题的有()

A.B.vGR,log2%=0

B.BxGR,cosx=1

C.VxCR,f>0

D.VxGR,2v>0

答案ABD

解析因为log21=0,cosO=l,所以A,B均为真命题；02=0,C为假命题；

2A>0,D为真命题.

3.已知加，〃是平面a内的两条相交直线，旦直线/，〃，则“/，机”是“/La”

的()

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析当/_!_机时，机，〃是平面a内的两条相交直线，又/_1_及，根据线面垂直的

判定定理，可得La.当Ua时，因为加ua,所以/_Lm.综上，“/L"”是—"

的充要条件.

4.已知命题03xG(0,1),砂一。20,若㈱p是真命题，则实数a的取值范围是

()

A.a>1B.a2eC.a21D.«>e

答案B

解析•.您P：VxG(0,1),e'—aVO为真命题，

5.（2021•北京卷）设函数》）的定义域为［0,1］,则“函数段）在［0,1］上单调递增”

是“函数_/u）在［0,1］上的最大值为.大1）”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

2

解析前推后，一定成立；后推前，不一定成立.如函数.在［0,1］上

的最大值为火1）,但犬X）在［o,总上单调递减，在'，1］上单调递增，故选A.

6.（2022.湖南雅礼中学月考）若关于x的不等式以一1|<。成立的充分条件是OVx

<4,则实数。的取值范围是（）

A.（-°°»1］B.（—°0,1）

C.（3,+0°）D.［3,+8）

答案D

解析—aVxV1+a,,・,不等式仅一■1|V。成立的充分条件是OVxV

1—QWO,

4,・・・（0,4）U（1—01+〃），川一解得。23.

」十。34,

7.（2021・淄博一模）若等差数列｛〃〃｝的前几项和为S〃,则“S2020X），S2021Vo”是

oio〃ioil〈0”的（）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

2020（。1+。2。20）

角星析•「S2（）20=

2

—1010（＜71Oio+^l011）＞0,

2021（0+。2021）

=2021。1011＜0,

52021-2

.".aion<O,'.a\oio>O,则ai0100on<0,

因此充分性成立；

若a\oioai011VO,

I<21oio>O,,|«1010<0,

则c或c因此必要性不成立.故选B.

laion<Ol<2ioii>O,

8.已知命题p：/+2x—3>0；命题q：x>a,且㈱夕的一个充分不必要条件是㈱

P，则。的取值范围是()

A.[l,+0°)B.(—8,1]

c.[-l,+8)D.(—8,-3]

答案A

解析由f+2x—3>0,得xV—3或x>l,由㈱q的一个充分不必要条件是㈱

P，可知㈱〃是㈱<7的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故

9.命题“3x6(1,4-oo),%2+X忘2”的否定为.

答案V%e(i,+°°),f+x>2

10.设命题p：x>4；命题4：A2—5X+420,那么p是<7的条件

(填”充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”).

答案充分不必要

解析由f—5x+420得xW1或x»4,可知｛x|x>4｝是1或x»4｝的真子集，

:.p是q的充分不必要条件.

11.(2021.青岛二中检测)直线工一3；—上=0与圆。-1)2+^2=2有两个不同交点的充

要条件是•

答案一ivy3

解析直线x—y—k=O与圆(x—1)2+V=2有两个不同交点等价于“也

啦，解得一1<女<3.

12.已知命题p：x2—〃20；命题0R,f+2a¥+2—〃=0.若命题p,

4都是真命题，则实数。的取值范围为.

答案(一8,-2]

解析由命题p为真，得aWO；由命题q为真，得/=44-4(2—a)NO,即

—2或所以aW—2.

|B级能力提升

13.（多选）（2022•南京调研）下列说法正确的是（）

A.i（ac=bcn是“a=b”的充分不必要条件

B.是“a<b”的既不充分也不必要条件

C.若“xCA”是的充分条件，则

D.（（a>b>0>,是〃22）”的充要条件

答案BC

解析A项，呢=从不能推出a=b,比如a=l,b=2,c=0.而可以推出

ac=bc,所以“ac=bc”是“a=b"的必要不充分条件，故错误；

B项，:不能推出a<b，比如:>一J，但是2>—3；。<人不能推出:比

如一2V3,-^<1,所以是“a〈b”的既不充分也不必要条件，故正确;

C项，因为“XWA”是“XCB”的充分条件，所以X6A可以推出XGB,即AU以

故正确；

D项，a">bn（n^N,〃22）不能推出比如a=l,b=0,l">0"（〃eN,

〃22）满足，但是a>人>0不满足，所以必要性不满足，故错误.

14.（多选）下列四个命题中，为假命题的是（）

A.3xG（0,1）,2，=：

B.“VxGR,f+x—1>0”的否定是“mx£R,f+x-lVO”

C.”函数式x）在（a,b）内了（x）>0”是“外）在（a,C内单调递增”的充要条件

D.已知«x）在沏处存在导数，则“/（沏）=0”是“xo是函数式处的极值点”的必要

不充分条件

答案BC

解析对于A,由图象可知A正确（图略