2023-2024学年广东高二年级下册3月月考 数学 （含答案）

2023-2024学年广东高二下册3月月考数学模拟试题

一、单选题（共40分）

1,已知等差数列｛4｝的前〃项和若。2+%+%4+%5=40,则S|6=（）

A.150B.160C.170D.与《和

公差有关

【正确答案】B

【分析】根据等差数列性质可得4+q6,代入等差数列的前〃项和公式计算结果即可.

【详解】解：因为｛6,｝是等差数列，所以。2+/+04+。15=2（q+46）=40，

所以6+《6=20,所以s，=型叱匈=吆型=160

~2

故选：B

2.下列导数运算正确的是()

A.(sinx)=-cosx

Z1v1

C.(log2x)=——

x-in2

【正确答案】C

【分析】根据导数公式运算对选项一一验证即可.

【详解】对于A,（sinx）'=cosx，故A错；

对于B,（3x）'=31n3，故B错；

对于C,（log2x）=-----,故C正确；

xln2

对于D,（工）L,故D错.

故选：C.

3.在正项等比数列｛4｝中，若4%=9,则（q%）2-&=（）

A.6B.12C.56D.78

【正确答案】D

【分析】直接利用等比中项即可求出应和6%的值，代入计算即可.

【详解】由等比数列的性质可知=%%=9,4：=。3。5=9>

又因为｛4｝为正项等比数列，

所以。4=3,所以）~—。4=78.

故选：D.

4.过曲线S：y=3x-x3上一点〃（2,-2）的切线方程为（）

A.9x—y—16=0或y=—2B,9x+y—16=0

C.9x+y—16=0或y=—2D,9x—y—16=0

【正确答案】C

【分析】当/为切点，利用导数的几何意义求切线斜率，再由点斜式写出切线方程；当/

不是切点，根据曲线的极值情况，即可写出切线方程.

【详解】由题设，y=3-3x2,则（―,一1）、（i,+8）上v<o,（-i,i）±y>o,

所以夕在（一8,-1）、（1,+8）上递减，（-1,1）上递增，则极小值为川工=_|=一2,极大值为

儿=尸2,

若“是切点，则了二2=一9,此时切线方程为y+2=-9（x-2）,即9x+y-16=0,

若“不是切点，则过“（2,-2）的切线为y=-2.

故选：C

5.函数/（x）==的大致图像为（）

【正确答案】B

【分析】先求出函数的定义域，然后求导，判断单调性；另一方面，当x>0,x<0时，从

函数值的正负性加以判断，最后选出答案.

【详解】函数的定义域为卜卜工0},

当X>1时，/'(X)〉O,所以/(X)在(1,+8)上单调递增；

当0<x<l或x<0时，f'(x)<0,所以/(x)在(-00,0)和(0,1)上单调递减,

显然当x>0时，/(x)>0,当x<0时，/(x)<0.

故选：B.

,1(1y-91

6.已知a=sin§,/?=!-I,c=—log279,则()

A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.

c<a<b

【正确答案】A

【分析】化简得c=；,构造函数/(x)=sinx—x,xe(0,5｝通过导数可证得

sinx<x,xe(0，T),可得a<c,而>；=c，从而可得答案.

1,1lg9121g3

【详解】。=5*9M=于西=于而

3

设/(x)=sinx-x,xG[0,^-j,则有//(x)=cosx-l<0,/(》)单调递减,

从而/(x)</(0)=°，所以sinx<x,x£(0,1'，故sin1L,即a<c,

33

(11

而6=—>—=C，故有力.

⑴3

故选：A.

7.如图，正方形488的边长为5,取正方形力88各边的中点E,F,G,，，作第

2个正方形EFGH,然后再取正方形EFG"各边的中点/,J,K,L,作第3个正方

形IJKL,依此方法一直继续下去.则从正方形Z3C。开始，连续10个正方形的面积之和等

【分析】将正方形面积按作法次序排成一列得数列｛%｝,再确定该数列为等比数列，借助

等比数列前n项和公式求解作答.

【详解】依题意，将正方形面积按作法次序排成一列得数列｛4｝，6=25,

因为后一个正方形边长是相邻前一个正方形边长的也，因此4即数列｛4｝是

22

等比数列，公比[=；，

所以前10个正方形的面积之和So=叫二'2=--------_=50[1-（-）10].

1-41-12

2

故选：A

8.已知函数/（X）是定义在（一卜，0）（0,+）的奇函数，当XG（0,+8）时，

矿（x）＜/（x）,则不等式歹（27）+（工一2）〃5）＜0的解集为（）

A.（-8,-3）U（3,+8）B.（-3,0）U（0,3）

C.（一3,0）c/（0,7）D.（力,一3）口（2,7）

【正确答案】D

【分析】令g（X）=4D,由题意可得g（x）=/3为定义域上的偶函数，且在（一8,0）上

单调递增，在（0,+8）上单调递减；分2-x〉0与2-x<0两类讨论，将不等式

y（2-x）+（x-2）/（5）<0等价转化为g（2-x）<g（5）与g（2-x）>g（-5）,分别解之即

可.

【详解】令g（x）=/（D，

X

;当xe（0,+8）时，/

.•.当XG（0,+8）时，g[x）=7（x）；/（x）〈0,

；.g（x）在（0,+8）上单调递减；

又/（X）为（-卜，0）（0，+）的奇函数，

:.g（一x）=""）=/（，）='（x）=g（X），即g（x）为偶函数，

-X-XX

・•.g（x）在（-8,0）上单调递增；

又由不等式》（2-力+（%-2）/（5）<0得9（2-力<（2-0/⑸,

当2—x>0,即x<2时，不等式可化为/色一》）<£包,即g（2—x）<g⑸，

2-x5

由g（x）在（0,+oo）上单调递减得2-介5,解得x<-3,故x<—3；

当2-x<0,即x>2时，不等式可化为,（2一三）>/包,即8但-力行⑸二8（-5）,

2-x5

由g（x）在（-8,0）上单调递增得2-%>-5,解得x<7,故2<x<7；

综上所述，不等式y（2-x）+（x-2）/（5）<0的解集为:S，-3）.（2,7）.

故选：D.

二、多选题（共20分）

9.已知数列｛《,｝的前〃项和为S“=〃2—10〃，则下列结论正确的有（）

A.｛&｝是递减数列B.a6>0

CS”>0D,当S,最小时，〃=5

【正确答案】BCD

【分析】由数列前〃项和为S“=〃2一]0〃，可求数列通项，然后逐个验证选项.

2

【详解】Sn=/?-10/?,当〃=1时，q=S[=1-10=-9；

当〃22时，/=S“一S,”=(〃2-10»)-[(〃—Ip-10(〃—1)]=2〃—11

注意到〃=1时也满足q=2x1-11,

所以数列｛4｝的通项公式为%=2〃-11,〃eN*，

a“+「a”=2,｛4｝是递增数列，A选项错误；

a6=2x6-ll=l>0,B选项正确；

ll(q+qj=〉0,c选项正确；

"26

Sa=-10〃=(〃-5)~-25,«eN*>当S”最小时，〃=5,D选项正确.

故选：BCD.

10.己知函数/(》)=/+3/-98-10,下列结论中正确的是()

A.x=l是/(x)的极小值点

B./(x)有三个零点

C.曲线y=/")与直线》=一12》一11只有一个公共点

D,函数歹=/(x-l)为奇函数

【正确答案】ABC

【分析】对于A,利用导数，结合极小值点的定义，可得答案；

对于B,利用导数研究函数的单调性，结合零点的存在性定理，可得答案；

对于C,根据切线的求解方程，利用导数检测，可得直线为函数的切线，结合图象，可得答

案；

对于D,整理函数解析式，利用奇函数的定义，可得答案.

【详解】由函数/(8)=1+3--9》一10,则求导可得

/1x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-l),

令/'(x)=0,解得x=-3或1，可得下表：

X(-00,-3)-3(T1)1(L+8)

小)+0—0+

/(x)极大值极小值/

则x=l是/(x)的极小值点，故A正确；

/(x)极大=/(-3)=(一3丫+3x(—3)2—9x(—3)—1。=17,

/(x)极小=/⑴=F+3xF-9xlT0=-15,

由/(-5)=(-5)3+3X(-5)2-9X(-5)-10=-15,/(3)=33+3x32-9x3-10=17,

显然函数/(x)在(-5,-3),(-3,1),(1,3)分别存在一个零点，即函数〃x)存在三个零点,

故B正确；

y_+312____9丫_]0

联立『二T2x—i；一，消去V可得/+3/+3工+1=0,化简可得(x+l)3=0,

则该方程组存在唯一实根x=-l,故C正确；

令g(x)=/(x-l)=(x-l)3+3(x-l)2-9(x-l)-10-12x+l)

g(—x)=-x3+12x+l*—g(x),故D错误.

故选：ABC.

11.已知数列｛%｝满足％=1,=5台1(〃eN+),则()

A.|-5-+3|为等比数列B.｛%｝的通项公式为%

ci..2-3

c{4}为递增数列D.«一，的前n项和

7；,=2,,+2-3/I-4

【正确答案】AD

12+342、1(1)

【详解】因为——=------=—+3,所以——+3=2—+3,

aaaa

n+\nnn+\>

又上+3=4*0,所以|-!-+3］是以4为首项，2为公比的等比数列,

%1%J

即-L+3=4X2"T,所以」_=2曲一3,所以%=i+：■,，

%%2"+1-3

所以｛4｝为递减数列，

<—>的前n项和

7；,=(22-3)+(23-3)+---+(2n+l-3)=2(2'+22+---+2rt)-

1_2〃

3〃=2x2x------3〃=2"+2一3〃-4.

1-2

故选：AD.

12.设定义在R上的函数“X)与g(x)的导函数分别为了'(X)和g'(x).若

/(x)—g(4r)=2,g(x)=/'(x—2),且〃x+2)为奇函数，则下列说法中一定正确

的是()

A.函数/(x)的图象关于点(1,0)对称B.g(3)+g(5)=-4

20232023

c.£f(k)=oD.(左)=0

"1k=\

【正确答案】BC

【分析】由g'(x)=/'(x-2)得g(x)=/、(x-2)+a,结合/(x)-g(4-x)=2得

/(x)=/(2-x)+a+2,即可令X=1求得a=-2.

对A,由/(x)=/(2-x)可判断其对称性；

对C,由7(x+2)为奇函数可得y=/(x)的周期、对称性及特殊值，从而化简；

对BD,由g(x)=/(x-2)-2,结合C即可判断.

【详解】对A,；g'(x)=/'(x-2),则g(x)=/、(x-2)+a,贝ijg(4-x)=/(2-x)+a,

又/(x)—g(4-x)=2,所以/(x)=/(2—x)+a+2,令x=l,可得a+2=0,即a=-2.

所以/(x)=/(2-x),所以函数/(x)的图象关于x=l对称，A错；

对CJ."(x+2)为奇函数，则y=/(x)图像关于(2,0)对称，且〃2+x)+/(2—x)=0,

.•./(0)=0,/(2)=0,/(1)+/(3)=0,/(4)+/(0)=0,/./(4)=0.

又仆+2)=-/(-》+2)=-/'(*),/(x)=-/(x+2)=/(x+4),y=/(x)的

周期7=4，

2023

.•.Z/⑻=505[/⑴+/(2)+/(3)+/(4)]+/⑴+/(2)+/(3)=0,C对；

"1

对B,g(x)=/(x-2)-2,则g(x)是周期7=4的函数

g(3)+g(5)=〃l)-2+〃3)-2_B对;

对D,

20232023

Eg/)=/(-1)-2+/(0)-2+./(1)-2+...+,/-(2021)—2=£f(k)—2x2023=-4046

4=1k=\

,D错.

故选：BC.

三、填空题(共20分)

13.已知函数/(x)=sin2x-/'(£-cosx,则/'([)=.

【正确答案】2

【分析】对原函数求导得/'(x)=2cos2x+/[[)sinx,令》=看，得到方程，解出即

可.

【详解】/'(x)=2cos2x+./'(£卜inx,令x=£,

则/阪=2吟+/用si哈即川沪+“，1)

解得=2

故2.

14.数列｛《,｝满足4+争及+…+含=3向，则数列｛4｝的通项公式为.

9,〃二1

【正确答案】4=

6,«>2

【分析】利用退一相减法可得引，进而可得｛为｝的通项公式.

【详解】当”=1时，有q=32=9,

当〃22时，<2|++—7H-----Fa，'~\=3",

12222"~2

*出*。3*,an-\,an-]〃+1

12222"-22"~'

两式相减有4=2x3",所以有%=6",

2"T

由于％=9不符合通项公式，

9,〃=1

所以。“=

6\/?>2

I9,Z7=1

故答案为6”22

15.已知数列｛可｝的前〃项和S.=12/7-M2,数列｛|。1｝的前〃项和为北，则

\2n-n2,n<6

【正确答案】

n2-12〃+72,〃>7

[分析]首先求数列｛%｝的通项公式，再分〃W6和〃27两种情况讨论数列｛|为1｝的前〃项

和.

【详解】当〃=1时，q=E=12-1=11

当〃22时，a“=S「Si=12〃—〃2_[i2(〃—l)—(〃—l)[=—2〃+13,

当〃=1时，％=-2+13=11,成立，

所以%=13-2〃,

当时，4>0,

Tn=|(2||+|%|+…+|。〃|=%+%+.・・+Q〃

2

=Sf]=12n—n,

当〃之7时,

T”引力+同+…+同+同+…+㈤

=+%+.・・+%—。7-%一…一a”

=06-(%+…+。〃)=Sf-(S”-)=2S6-Sn

=1-12〃+72

"2

所以数列｛同｝的前"项和Tn=<“2：：—+箸〃>7■

[12〃一n<6

故4

n2-12/7+72,//>7

16.设函数/(x)=alnx-bx2G>0).当b=o时，若不等式/(%)2加+工对所有的

3一

aw0,-,xw(l,e[都成立，则实数加的取值范围.

【正确答案】(一咫―e?].

【分析】利用分离参数法得到mWalnx—x对所有的的aw0,|,xe（l.e?］都成立.利用

单调性求出最小值为七？，即可求解.

【详解】当6=0时，/（x）=alnx.

q—

若不等式/（x）N掰+x对所有的ae0,-,xe（l,e2］都成立，则加—x对所有的

QE0,-,xw（l,e1都成立.

令〃（a）=〃lnx-x,〃（4）为一次函数.

「3-

因为xe（l,e］，所以lnx〉0,所以〃（。）在ae0,-上单调递增，

所以"（a）min=M°）=T.

因为xe（l,e2］,从而加4（一彳人=-/.

故（-e,-e2］

四、解答题（共70分）

17.己知等差数列｛%｝的公差为d（dwO）,前〃项和为S,,且满足（从

①¥0=5（%。+1）；②q,a2,4成等比数列；③项=35这三个条件中任选两个补充到题

干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）.

（1）求见;

（2）设4=-----,数列也｝的前〃项和为求［.

anan+\

【正确答案】⑴an=3n-2

3/7+1

【分析】（1）由①可得。1=1,由②可得1=3%,由③可得%=%+2d=7,选择①②、

①③、②③条件组合，均得q=l,d=3,即得解析式；

（2）可得"J二一丁二］,由裂项相消法求出7；即可.

313〃一23〃+1）

【小问1详解】

［0x9

①由do=5（%0+1）,得10q+—^—4=5（%+91+1）,即q=l；

②由q,a2,4成等比数列，得a：+2qd+d2=.+5/d,即d=3q；

③由Ss=35,得§色士）=5%=35,即/=%+2d=7；

2

选择①②、①③、②③条件组合，均得％=1,d=3,

故a”=1+3（〃-1）=3〃-2.

【小问2详解】

b—______!_______IO_______

"ana„+1（3〃—2）（3〃+l）3（3〃—23/7+1）

；,T,,=A+4+4+•••+〃

~3

3«+lJ3«+l.

18.已知x=l是函数/（》）=」/+（4+1）-—（“2+4-3）x的极值点，则:

（1）求实数。的值.

（2）求函数/（x）在区间［0,3］上的最值.

【正确答案】（1）。=3；

（2）/⑺在［0,3］上的最小值为一3,最大值为18.

【分析】（1）由/'（1）=0求得a的值;

(2)结合函数/(x)的单调性来求得函数/(x)在区间［0,3］上的最值.

【小问1详解】

=x2+2((/+l)x-(a2+tz-3),

由题意知/'(1)=1+2(4+1)-(“2+。-3)=0,

Q=3或Q=-2,

〃=3时，/1x)=x~+8x—9=(x+9)(x—1),

当x<-9时，/取)>0,函数/⑺在(9,-9)上单调递增,

当一9<%<1时，/'(x)<0,函数/(x)在(一9,1)上单调递减，

当x〉l时，/心)>0,函数/(x)在(1,+8)上单调递增，

所以x=l为函数的极值点，满足要求；

4=—2时，/'(尤)=X?—2x+］=(X—1)-,

因为_f(x)NO,当且仅当x=l时，/,(x)=0,

所以函数/(x)在(—8,+8)上单调递增，

X=1不是函数“X)的极值点，不符合题意.

则4=3.

【小问2详解】

由⑴知/(X)=#+4X2-9X,且/(x)在［0,1］单调递减，在［1,3］单调递增，

14

又/(0)=0,/⑴=一不，"3)=18,

则/"“==，小)而=18.

19.记数列｛a“｝的前〃项和为S,,对任意正整数“，有2S”=〃a“，且s=3.

(1)求数列｛劣｝的通项公式；

(2)对所有正整数机，若以<2”(以+i,则在以和以+i两项中插入2%由此得到一个新数

列｛儿｝,求｛儿｝的前40项和.

【正确答案】(1)4=3(〃-1)

(2)1809

【分析】(1)由勾=s„-Si(〃>2)得出数列｛%｝的递推关系，然后由连乘法求得通项明；

6

(2)考虑到26<%o<27,a34=99>2,从而确定也｝的前40项中有34项来自｛4｝,

其他6项由2〃组成，由此分组求和.

【小问1详解】

由2S“=〃a“，则2S.+]=(〃+1)%+1，两式相减得：2%+]+

整理得：(〃一l)a“+i=〃。“，即〃22时,%_n

册〃T

所以“22时，?=2・一a,n-\

一%二——-合・・・・・2(i)

a2n-2

又〃=1时，2q=%,得q=0,也满足上式.

故a“=3(〃-1).

【小问2详解】

由&0=117.所以2。<。40<2,,

又％4=99>26,所以｛瓦｝前40项中有34项来自｛4｝.

故4+%+…+/>4()=(4+%+…+%4)+(2]+2~+…+26)

34(q+%4)2(2<，-1)

=_LJ_----)_=1683+126=1809.

22-1

20.已知函数/(x)=e'-ax-l.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)若/(x)有且仅有2个零点，求实数。的取值范围；

【正确答案】(1)答案见解析；

(2)0<〃<1或4>1.

【分析】(1)根据题意，分和。〉0两种情况讨论求解即可;

(2)分别讨论aKO,。=1,。>1,0<。<1，由/(x)的单调性及零点存在定理判断零点

即可.

【小问1详解】

/'(x)=e'-a，

aWO时，*(x)>0恒成立，/(x)在R上是增函数：

a〉0时，x<lna时,/,(x)<0,/.(x)是减函数，x〉lna时，/(x)是增函

数，

综上，aWO时，/(X)在R上是增函数，。>0时，/(x)在(—8,Ina)上是减函数，在

(Ina,+oo)上是增函数.

【小问2详解】

当aWO时，由(1)得/(x)在R上是增函数，不符合题意；

当a>0时，由(1)得/(x)2/(lna)=a-alna-l.

①当lna=O=>a=l时，/(lna)=/(O)=O,/(x)只有一个零点，不符合题意；

②当lna>Ona>l时,/(lna)</(0)=0,故/'(x)在(-oo,lna)有一个零点,

又/(x)在(Ina,+8)上是增函数，

设g(a)=/(a)=e"-a?-1,〃⑷=g<a)=e"-2a,=e"-2>/⑴〉0,

g'(a)在(1,+℃)单调递增，g'(a)>g'⑴>。，

；.g⑷在(L+oo)单调递增,/(a)=g(a)>g(l)>0,

设〃?(x)=xTnx,由加'(x)=l-一知,当xe(O,l),M(x)<0,加(x)单调递减；当

xe(l,+oo),m(x)>0,单调递增，

/.7«(x)=x-lnx>m(l)=l=>x>lnx,即a>Ina,

故/(x)在(lna,+oo)有一个零点，故函数有两个零点；

③当lna<O=>O<a<l时，/(Ina)</(0)=0,故(Ina,+oo)有一个零点，

又/(x)在(HQ/na)上是减函数，工］=屋，>0,由②得

—>In—=>——<-ln—=Ina,

aaaa

故/(x)在(80,Ina)有一个零点，故函数有两个零点，

综上，a的取值范围是0<〃<1或a>1.

方法点睛：1.零点个数可根据函数单调性及零点存在定理判断；

2.对于含参函数，难点在于找到合适的自变量满足零点存在定理，本题中可根据函数形式,

构造函数说明a〉l时，/(a)>0及a〉Ina；0<”1时，一"^]〉0及一，<lna.

21.对于数列4=(〃+1)2",〃eN*，的前〃项和，在学习完“错位相减法”后，善于观察

的小周同学发现对于此类“等差x等比数列”，也可以使用“裂项相消法”求解，以下是她的思

考过程：

111

①为什么—/~八=------；可以裂项相消？是因为此数列的第〃，〃+i项有一定关系，

+nH+1

即第〃项的后一部分与第w+1项的前一部分和为零

②不妨将a“=(〃+l)2",〃eN*也转化成第〃，〃+1项有一定关系的数列，因为系数不确

定，所以运用待定系数法可得a,=(p〃+q)2"—[p(〃+l)+q]2"T=(〃+l)2",通过化简

左侧并与右侧系数对应相等即可确定系数

③将数列%=(〃+1)2",〃w]<表示成(=(2〃+。2"-[「(〃+1)+42川形式,然后

运用“裂项相消法”即可！

聪明的小周将这一方法告诉了老师，老师赞扬了她的创新意识，但也同时强调一定要将基础

的“错位相减法”掌握.

(1)(巩固基础)请你帮助小周同学，用“错位相减法”求｛4｝的前“项和S,,；

(2)(创新意识)请你参考小周同学的思考过程，运用“裂项相消法”求｛4｝的前〃项和S“.

n+l

【正确答案】(1)SN=n-2

n+i

(2)Sn=n-2

【分析】(1)直接根据错位相减法的解题步骤求解求｛%｝的前〃项和S“即可;

⑵根据裂项法，设4“=(p〃+q)2"-[p(〃+l)+q]2"+i,结合已知比较系数求得P，4,

再代入Sn=a}+a2+a3+---+an,即可求得Sn.

【小问1详解】

因为4=("+1)2"

所以S“=%+4+%+…+—2x2'+3x2~+4x2,H---F(〃+1)2"①)

则2s“=2X22+3X23+4X24+・一+(〃+1)2"+I②

所以①-②得：

,2)〃+1

-5„=2X2'+(22+23+---+2),)-(M+1)2H41=4+—二-----("+1)2"“=—〃•2”也

1—2

所以S,,=〃-2m；

【小问2详解】

因为4=(〃+1)2"，设

=(p〃+q)2"-[。(〃+1)+夕]2"+|=(-川-4-22)2",

__D-]D~~~]

比较系数得：-,，得《二，所以凡=(一〃+1)2"—(-〃”"I

-q-2p-\[q-1

所以

223,,+l,,+>

Sn=a{+a2+a3+---+an=0x2'-(-l)x2+(-l)x2-(-2)x2+---+(-M+1)2"-(-rt)2=n-2

2

22.已知函数/(x)=—+lnx.

(1)求出/(x)的极值点；

(