湖南长沙雅礼实验中学2023-2024学年九年级上册数学期末综合测试试题含解析

湖南长沙雅礼实验中学2023-2024学年九上数学期末综合测试试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）

6223

1.已知函数：（l）xy=9；（2）y=“—；（3）y=Q-—“；（4）y=V—-；（5）y=ny1,其中反比例函数的个数为（）

2.如图是一斜坡的横截面，某人沿斜坡上的"点出发，走了13米到达N处，此时他在铅直方向升高了5米.则该

斜坡的坡度i为（）

A.1:2.4C.1:73D.1:2

3.已知点A（-l,-1）,点B（l,1）,若抛物线y=x?-ax+a+1与线段AB有两个不同的交点（包含线段AB端点）,

则实数a的取值范围是（）

3

一員a<-1——WaW-1C.一一<a<-1D.--<a^-1

2222

4.如图，在AABC中，点D,E分别在AB,AC边上，且DE〃BC,若AD：DB=3：2,AE=6,则EC等于（）

5.如图,AB是OO的弦（AB不是直径），以点A为圆心，以AB长为半径画弧交OO于点C,连结AC、BC、OB、OC.若

NABC=65。，则NBOC的度数是（）

A.50°B.65°C.100°D.130°

6.作。O的内接正六边形ABCDEF,甲、乙两人的作法分别是:

甲：第一步：在。O上任取一点A,从点A开始，以。。的半径为半径，在。O上依次截取点B,C,D,E,F.第二

步：依次连接这六个点.

乙：第一步：任作一直径AD.第二步:分别作OA,OD的中垂线与。O相交，交点从点A开始，依次为点B,C,

E,F.第三步：依次连接这六个点.

对于甲、乙两人的作法，可判断（）

A.甲正确，乙错误B.甲、乙均错误

C.甲错误，乙正确D.甲、乙均正确

7.在平面直角坐标系中，点P（l,-2）是线段A3上一点，以原点0为位似中心把08放大到原来的两倍，则点

户对应点的坐标为（）

A.（2,-4）B.（2,-4）或（-2,4）

C.（—,-1）D.（一,-1）或（---，1）

222

8.如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度BC=10m,N5=36°,。为底边BC的中点，则上弦AB的长约为

()(结果保留小数点后一位sin36°弋0.59,cos36°«0.81,tan36°«0.73)

C.8.5mD.12.4/M

C.也D.也

22

10.小华同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为2米，与他邻近的一棵树的影长为6米，则这棵树的高为

（）

A.3.2米B.4.8米C.5.2米D.5.6米

11.如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O,下列条件中不能使AABE和AACD相似的是（）

A.ZB=ZCB.ZADC=ZAEBC.BE=CD,AB=ACD.AD：AC=AE：AB

12.若二次函数y=7-2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，则c应满足的条件是（）

A.c=0B.c=lC.c=0或c=lD.c=0或c=-l

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图，AB为。。的直径，C,D是。O上两点，若NABC=50。，则ND的度数为

14.在英语句子“Wishyousuccess”（祝你成功）中任选一个字母，这个字母为“s”的概率是.

15.如上图，四边形。钻尸中，/。43="=90。，点A在x轴上，双曲线y=K过点尸，交AB于点E，连接EF.

16.设。、8是方程f+x—2019=0的两个实数根，贝1（。一1）。-1）的值为.

17.在一次夏令营中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60。方向走了5k”到达8地，然后再沿北偏西30。方向

走了若干千米到达。地，测得A地在。地南偏西30。方向，则A、C两地的距离为km.

18.闹元宵吃汤圆是我国传统习俗，正月十五小明的妈妈煮了一碗汤圆，其中有4个花生味和2个芝麻味，小明从中

任意吃一个，恰好吃到花生味汤圆的概率是.

三、解答题（共78分）

19.（8分）在毕业晚会上，同学们表演哪一类型的节目由自己摸球来决定.在一个不透明的口袋中，装有除标号外其它

完全相同的A、B、C三个小球，表演节目前，先从袋中摸球一次（摸球后又放回袋中），如果摸到的是A球，则表演

唱歌；如果摸到的是B球，则表演跳舞；如果摸到的是C球，则表演朗诵.若小明要表演两个节目，则他表演的节目不

是同一类型的概率是多少？

20.（8分）平面直角坐标系中有两点4（%,yj、我们定义A、8两点间的值”直角距离为4（A,B）,

且满足4（A3）=Z卜一百+|凶一%|，其中攵>0.小静和佳佳在解决问题：（求点。（0,0）与点“（2,5）的“1值”

直角距离4（。,“））时，采用了两种不同的方法：

（方法一）：4（0,M）=lx|2-O|+|5_O|=7；

（方法二）：如图1,过点M作MN丄x轴于点N,过点M作直线y=-x+7与x轴交于点E，则

d人O,M）=ON+MN=OE=1

请你参照以上两种方法，解决下列问题：

（1）已知点。（一2,1）,点。（2,3）,贝!Jp、。两点间的“2值”直角距离。2（。，。）=

4

（2）函数y=（（x<0）的图像如图2所示，点C为其图像上一动点，满足O,C两点间的值”直角距离

4（0,。）=5,且符合条件的点C有且仅有一个，求出符合条件的“％值”和点C坐标.

（3）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走，因

此，两地之间修建垂直和平行的街道常常转化为两点间的“A值”直角距离，3地位于A地的正东方向上，。地在A点

东北方向上且相距30夜初7,以C为圆心修建了一个半径为10遮4找的圆形湿地公园，现在要在公园和A地之间修建

观光步道.步道只能东西或者南北走向，并且东西方向每千米成本是20万元，南北方向每千米的成本是10万元，问:

修建这一规光步道至少要多少万元？

21.(8分)解方程

(1)7/—49*=0；(2)3―2%—1=0.

22.（10分）如图，AO是。O的弦，AC是。。直径，。。的切线80交AC的延长线于点8,切点为O,ZDAC=30°.

（1）求证：△AO8是等腰三角形;

（2）若BC=6,求的长.

23.（10分）我国互联网发展走到了世界的前列，尤其是电子商务，据市场调查，天猫超市在销售一种进价为每件40

元的护眼台灯中发现：每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示：

（1）当销售单价定为50元时，求每月的销售件数；

（2）设每月获得的利润为W（元），求利润的最大值；

（3）由于市场竞争激烈，这种护眼灯的销售单价不得高于75元，如果要每月获得的利润不低于8000元，那么每月的

成本最少需要多少元？（成本=进价x销售量）

24.（10分）已知，b=后”,求Ja?十无_"+8•

25.（12分）在一个不透明的布袋里装有3个标有1,2,3的小球，它们的形状，大小完全相同，李强从布袋中随机

取出一个小球，记下数字为x,然后放回袋中搅匀，王芳再从袋中随机取出一个小球，记下数字为y,这样确定了点M

的坐标（x,y）.

（1）用列表或画树状图（只选其中一种）的方法表示出点M所有可能的坐标；

（2）求点M（x,y）在函数y=x2图象上的概率.

26.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从

中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：

摸球的次数”10020030050080010003000

摸到白球的次数山651241783024815991803

摸到白球的频率'

0.650.620.5930.6040.6010.5990.601

n

（1）请估计：当"很大时，摸到白球的频率将会接近;（精确到0.D

（2）假如你摸一次，你摸到白球的概率尸（白球）=;

(3)试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、C

【分析】直接根据反比例函数的定义判定即可.

【详解】解：反比例函数有：xy=9；y=-y=--.

x;3x

故答案为C.

【点睛】

本题考査了反比例函数的定义，即形如y=&(kWO)的函数关系叫反比例函数关系.

x

2、A

【分析】如图，过点M做水平线，过点N做直线垂直于水平线垂足为点A,则4MAN为直角三角形，先根据勾股定

理，求出水平距离，然后根据坡度i定义解答即可.

【详解】解：如图，过点M做水平线，过点N做垂直于水平线交于点A.

在RtZ\MNA中，===

二坡度i=5:12=1:2.1.

故选：A

【点睛】

本题考査的知识点为：坡度=垂直距离：水平距离，通常写成1：n的形式，属于基础题.

3、A

【分析】根据题意，先将一次函数解析式和二次函数解析式联立方程，求出使得这个方程有两个不同的实数根时a的

取值范围，然后再求得抛物y=x2-ax+a+l经过A点时的a的值，即可求得a的取值范围.

【详解】解：•・•点A(-1,-1),点B(1,1),

，直线AB为y=x,

令x=x2-ax+a+L

则x2-(a+1)x+a+l=(),

若直线y=x与抛物线x2-ax+a+1有两个不同的交点，

则厶=(a+1)2-4(a+1)>0,

解得，a>3(舍去)或aV-L

3

把点A(-1,-1)代入y=x2-ax+a+1解得a=-----,

3

由上可得--金V-1,

2

故选:A.

【点睛】

本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意,

利用二次函数的性质和数形结合的思想解答.

4、B

【解析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可.

【详解】解：・・・DE〃BC,

・•・,即,

——=—=——=.

K2K3

解得，EC=4,

故选：B.

【点睛】

考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.

5、C

【分析】直接根据题意得出AB=AC,进而得出NA=50。，再利用圆周角定理得出NBOC=100。.

【详解】解：由题意可得：AB=AC,

VZABC=65°,

.,.ZACB=65°,

ZA=50°,

.•.ZBOC=100°,

故选：C.

【点睛】

本题考查圆心角、弧、弦的关系.

6、D

【分析】根据等边三角形的判定与性质，正六边形的定义解答即可.

【详解】（1）如图1,由作法知，△AOB,ZkBOC,△COD,△EOF,△AOF都是等边三角務

.,.ZABO=ZCBO=60°,

AZABC=120°,

同理可证：ZABC=ZBCD=ZCDE=ZDEF=ZEFA=ZFAB=120°,

VAB=BC=CD=DE=EF=AF,

二六边形ABCDEF是正六边形，

故甲正确；

由作法知，OF=AF,AB=OB,

VOA=OF=OB,

.,•△AOF,ZkAOB是等边三角形，

:.ZOAF=ZOAB=60°,AB=AF,

ZBAF=120",

同理可证，ZABC=ZBCD=ZCDE=ZDEF=ZEFA=ZFAB=120°,AB=BC=CD=DE=EF=AF,

二六边形ABCDEF是正六边形，

故乙正确.

故选D.

【点睛】

本题考査了圆的知识，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，以及正六边形的定义，熟练掌握各知识点

是解答本题的关键.

7、B

【分析】根据位似变换的性质计算即可.

【详解】点P(L-2)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把AAOB放大到原来的两倍，

则点P的对应点的坐标为(1x2,-2x2)或(lx(-2),-2x(-2)),即(2,-4)或(-2,4),

故选：B.

【点睛】

本题考査的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,

那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

8、B

【分析】先根据等腰三角形的性质得出丄BC=5"?,ADA.BC,再由cosB=02,ZB=36°知48=生-,代

2ABcosB

入计算可得.

【详解】•.•△A5C是等腰三角形，且8O=CZ>,

：.BD=-BC=5m,AD±BC,

2

亠亠BD

在RtZXABO中，'：cosB=—,ZB=36°,

AB

BD5

：.AB=-------=--—*6.2故选：B.

cosBcos36°

【点睛】

本题考查解直接三角形的应用，解题的关键是根据等腰三角形的性质构造出直角三角形RtaABD,再利用三角函数求

解.

9、B

【解析】分析：根据特殊角的三角函数值来解答本题.

详解：sin30°=一.

2

故选B.

点睛：本题考查了特殊角的三角函数值，特殊角三角函数值的计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主.

10、B

【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的

两个直角三角形相似.

【详解】据相同时刻的物高与影长成比例，

设这棵树的高度为xm,

则可列比例为上？=二

26

解得，x=4.1.

故选：B

【点睛】

本题主要考查同一时刻物高和影长成正比，考查利用所学知识解决实际问题的能力.

11、C

【解析】试题分析：；NA=NA,

二当NB=NC或NADC=NAEB或AD：AC=AE：AB时，4ABE和AACD相似.

故选C.

考点：相似三角形的判定.

12、C

【分析】根据二次函数J=x2-2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，可知二次函数j=x2-2x+c的图象与x轴只有一

个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点两种情况，然后分别计算岀c的值即可解答本题.

【详解】解：•••二次函数了=必-2*+,的图象与坐标轴只有两个公共点，

...二次函数y=7-2x+c的图象与x轴只有一个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点，

当二次函数j=x2-2x+c的图象与x轴只有一个公共点时，

(-2)2-4XlXc=0,得c=l；

当二次函数＞=必-2x+c的图象与轴有两个公共点，其中一个为原点时，

则c=0,y=x2-2x=x(x-2),与x轴两个交点，坐标分别为(0,0),(2,0)；

由上可得，c的值是1或0,

故选：C.

【点睛】

本题考査了二次函数与坐标的交点问题，掌握解二次函数的方法是解题的关键.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、40°.

【解析】根据直径所对的圆心角是直角，然后根据直角三角形的两锐角互余求得NA的度数，最后根据同弧所对的圆

周角相等即可求解.

【详解】...AB是圆的直径，

.,.ZACB=90°,

，ZA=90°-ZABC=90°-50°=40°.

.".ZD=ZA=40°.

故答案为：40°.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，理解定理是关键.

14.a

*

42

【解析】试题解析：在英语句子“Wishyoiisuccess!”中共14个字母，其中有字母“s”4个.故其概率为瓦=亍.

考点：概率公式.

15、6

BF2

【分析】如图，过点F作FG丄。4交OA于点G,由一■=一可得OA、BF与OG的关系，设尸(〃?,〃)，贝！I

OA3

OA=3m,BF=2m,结合5M叮=4可得点B的坐标，将点E、点F代入

y=幺中即可求出k值.

X

_B_F_——2

OA3

BF=-OA

3

:.OA=AG+OG=BF+OG=-OA+OG

3

:.0A^30G

:.BF=20G

设F(m,ri),则OA-3m,BF-2m

SMEF=4

:.-BFBE=-2mBE=4

22

44

/.=n---,即£(3m,n-----)

mtn

k

双曲线y=一过点/，点E

x

k4k

n=—,TI----=—

mm3m

化简得左=w〃,左=3根”-12,即痴=3m//一12

解得mn-6,即左=6.

故答案为：6.

【点睛】

本题主要考查了反比例函数的图像，灵活利用坐标表示线段长和三角形面积是解题的关键.

16、-1

【分析】根据根与系数的关系可得出a+8=—1,必=—2019,将其代入(。-1)仅-1)=必一(。+。)+1中即可得出

结论.

【详解】〃是方程f+x—2019=0的两个实数根，

:.a+h=—\,ah——2019,

.•.(a—1)(8—1)="一(a+3+l=-2019+1+1=-2017.

故答案为-1.

【点睛】

bc

本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-一，两根之积等于一”是解题的关键.

aa

171073

3

【分析】由已知可得到AABC是直角三角形，从而根据三角函数即可求得AC的长.

【详解】解：如图.由题意可知，AB=5km,N2=30。，ZEAB=60°,Z3=30°.

VEF//PQ,

.*.Zl=ZEAB=60°

又：N2=30°,

.,.ZABC=180°-Zl-Z2=180o-60o-30o=90°,

/.△ABC是直角三角形.

又,..MN〃PQ,

.•.N4=N2=30°.

二ZACB=Z4+Z3=30°+30°=60°.

AB&=迎1(km),

/.AC=--------------

sinAACBT3

故答案为应1.

3

【点睛】

本题考查了解直角三角形的相关知识，解答此类题目的关键是根据题意画出图形利用解直角三角形的相关知识解答.

2

18、一

3

【分析】用花生味汤圆的个数除以汤圆总数计算即可.

【详解】解：•••一碗汤圆，其中有4个花生味和2个芝麻味，

42

二从中任意吃一个，恰好吃到花生味汤圆的概率是：-=

63

2

故答案为

【点睛】

本题考查了概率公式的应用，如果一个事件共有“种可能，而且每一个事件发生的可能性相同，其中事件4出现，〃种

m

可能，那么事件4的概率P(A)=」.

n

三、解答题(共78分)

19、见解析

【分析】列举出所有情况，看他表演的节目不是同一类型的情况占总情况的多少即可.

【详解】法一：列表如下：

ABC

AAAABAC

BBABBBC

CCACBCC

法二：画树状图如下:

画树状图或列表

由上述树状图或表格知：所有可能出现的结果共有9种其中不是同一类型有6种因此他表演的节目不是同一类型的概

25,85]

20、(1)10(2)攵=77,C(3)900—150指

16I52丿

【分析】(1)根据直角距离的公式，直接代入求解即可;

(2)设点C的坐标为代入直角距离公式可得-"2一5x-4=0根据根的判别式求出k的值，即可求

出点c的坐标；

（3）如图，0C与线段AC交于点D,过点D作OE丄AE与AB交于点E,先证明4ADE是等腰直角三角形，从而

得出厶石=。£=30-5的。然，再根据直角距离的定义，即可求出出最低的成本.

【详解】⑴'：dk（A,B）=k\xi-x2\+\yi-y^,点P（—2,1）,点。（2,3）

>

.•.i/2（/，e）=2x|-2-2|+|l-3|=8+2=10;

（2）设点C的坐标为（x,d],（x<0）

•.•4(0,C)=5

4.(o,c)=2N+1

5

Vx<()

—kx——5

x

：•-kx1-5x-4=0

;符合条件的点。有且仅有一个，且%>0

=(-5『-4X(-A)X(-4)=25-16左=0

25

解得％==

16

:.--X2-5x-4=0

16

25

—x2+5x+4=0

16

(5V

-x+2=0

14丿

Q

解得x=_g

258_5

故人=3，C

165，-2

（3）如图，0c与线段AC交于点D,过点D作OE丄钻与AB交于点E

由题意得AC=30&hn,CD=lG6km,NC4E=45°

AAD=AC-CD=3Qy/2-1Q^lan

,:DELAE

.,.△ADE是等腰直角三角形

.“AD30V2-10>/3,</7,

・・AE=DE=——=-------=------=30n—5v6bn

V2V2

•.•步道只能东西或者南北走向，并且东西方向每千米成本是20万元，南北方向每千米的成本是10万元

二步道的最短距离为A和D的直角距离，即AE+DE

最低总成本=（30—5指）X20+（30—5"）'10=900—150祈（万元）

故修建这一规光步道至少要900-150几万元.

eF

右图3

本题考查了直角距离的问题，掌握直角距离的定义以及公式、根的判别式、解一元二次方程的方法是解题的关键.

21、（1）XI=042=7；（2）斗=1+夜，x2=1-72

【解析】（1）用因式分解法求解即可；

（2）用配方法求解即可.

【详解】（1）V7X2-49X=0,

.,.x2-7x=0,

:.x（x-7）=0.

解得xi=0,*2=7

（2）移项，得x2-2x=1,

配方，得（X—1）2=2,

开平方，得

X—1=±^2・

解得％=1+V2,x2=1-V2

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的

方法是解答本题的关键.

22、（1）见解析;（2）AD=\.

【分析】（1）根据切线的性质和等腰三角形的判定证明即可；

（2）根据含10°角的直角三角形的性质解答即可.

【详解】（1）证明：连接OD,

VZDAC=10°,AO=OD

.,.ZADO=ZDAC=10°,ZDOC=60°

••,BD是。。的切线，

.♦.OD丄BD,即NODB=90°,

r.NB=10。，

/.ZDAC=ZB,

/.DA=DB,

即厶ADB是等腰三角形.

二/DOC=60。，

VOD=OC,

.,.△DOC是等边三角形

•••（DO的切线BD交AC的延长线于点B,切点为D,

.,.BC=DC=OC=V3»

•••AD=VAC2-DC2=/（2舟-（6）2=3•

【点睛】

本题考査切线的判定和性质，解题的关键是根据切线的性质和等腰三角形的判定，以及勾股定理进行解题.

23、（1）500件；（2）利润的最大值为1;（3）每月的成本最少需要10000元.

【分析】（1）设函数关系式为丫=1«+1）,把（40,600）,（75,250）代入，列方程组即可.

(2)根据利润=每件的利润x销售量，列出式子即可.

(3)思想列出不等式求出x的取值范围，设成本为S,构建一次函数